Projektarbeit - Jugend forscht: Potenzrechnen leicht gemacht - ein Lernprogramm für Mathematik

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Projektarbeit - Jugend forscht:

Potenzrechnen leicht gemacht - ein Lernprogramm für Mathematik

Niya Stoyanova, Raya Stoyanova, Galabov-Gymnasium, Sofia, Bulgarien:

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2 Kurzfassung:

Mathematik ist für viele Schüler ein unbeliebtes, schweres Fach. Das muss nicht so sein. Wir wollen einen Weg aufzeigen, wie Schüler leichter Mathematik lernen können. Dazu entwickeln wir ein Lernprogramm zum Potenzrechnen. Der Vorteil dieses Programms: Die Lerner werden selbst ak- tiv, erleben schnelle Erfolge und werden dadurch bestärkt sich mit Mathematik zu beschäftigen.

Sie lernen logisch zu denken und entwickeln sich mathematisch weiter. Nach der Entwicklung dieses Lernprogramms werden wir seine Anwendung mit Schülern testen, denen das Rechnen mit Potenzen noch unbekannt ist.

Gliederung:

1. Einleitung 2. Ziele

2. Vorgehen

4. Herleitung der Gleichungen

4. 1. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 2 4. 2. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 3 4. 3. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 4 4. 4. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 5 4. 5. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 6 4. 6. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 7 4. 7. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 8 4. 8. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 9 4. 9. Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 10

5. Das Lernprgramm

5.1 Woraus besteht das Lernprogramm?

5.2 Die Schritte des Lernprogramms 6 Umfrage mit Schülern

7 Der Fragebogen

8 Ergebnisse der Umfrage

9 Künftige Entwicklung des Projekts 10 Experten, die uns geholfen haben.

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1 Einleitung

Als wir in das mathematische Gymnasium eintraten, wurde unser Interesse an Mathematik ge- weckt. Das Wichtigste, was wir dort in den drei Jahren unserer Schulzeit gelernt haben, war, dass man mit Hilfe der Mathematik für alles eine exakte Erklärung finden kann und auch, dass es span- nend ist, eine mathematische Lösung der Ereignisse in der Umwelt und der menschlichen Verhält- nisse zu suchen. Das brachte uns auf die Idee, die wir in unserem Projekt vorstellen wollen: Eine einfache Vorstellung eines schwierigen Lernstoffes kann sehr hilfreich sein und Schülern eine leichteren Zugang zu mathematischen Fragen ermöglichen.

2 Ziele

1. Eine der Hauptaufgaben unseres Projektes ist zu zeigen, dass es eine Abhängigkeit gibt zwischen den unterschiedlichen Potenzen der aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.

Wir wollen veranschaulichen wie die Zahlen hoch irgendwelcher Potenz mit der Hilfe unserer Methode berechnet werden können. Unsere Untersuchungen umfassen die Zahlen hoch zwei bis hoch zehn.

2. Eine zweite Hauptaufgabe unseres Projekts ist es, das, was wir erarbeitet haben, in einem Lernprogramm vorzustellen. Damit sollen diese mathematischen Zusammenhänge anderen Schülern interessanter und kompakter zugänglich werden.

3 Vorgehen

Bei der Berechnung einer Aufgabe, bildet man eine Gleichung, die die Aufgabe erfasst und berechnet sie anschließend. Wenn man in einem bestimmten Bereich, wo man ein Spezialist ist und die entsprechenden Kenntnisse besitzt, ein Programm schreiben will, muss man diese Kenntnisse dem Computer vermitteln. Hierzu erfordert die Arbeitsweise eines Computers die Anwendung einer bestimmten Sprache.

4 Herleitung der Gleichungen

Die Herleitung von Formeln soll die Zusammenhang zwischen den Potenzen zeigen.

4.1 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 2

Zuerst werden wir die Verbindung zwischen den Quadraten der zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen untersuchen und wir werden zeigen, wie man jede nächste und vorrige Potenz berechenn kann.

k k 1 x

X k k 1

X k k 1 k k 1

X k k 1

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4

Man kann sehen, dass eine Abhängigkeit zwischen den Quadraten der zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen besteht und die Formel für alle natürlichen ganzen Zahlen hoch zwei gilt.

Sie kann auf folgende Weise zusammengefasst werden:

Eine natürliche Zahl hoch zwei bekommt man, wenn man zum Quadrat der vorherigen natürlichen Zahl die Summe dieser aufeinanderfolgenden Zahlen addiert.

Beispiel:

19² 361

20 19

19 20 361 39 400

4.2 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 3

Jetzt werden wir die Verbindung zwischen den Zahlen mit Hochzahl 3 auch mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen herleiten.

K k 1 x

X k k 1

X k k 1 k k k 1 k 1 X k k k 1 k 2k 1

X 3k 3k 1 X 3k k 1 1

K k 1 3k k 1 1

Beispiel:

20

8000 19 3.20.19 1 6859 1140 1 8000

Dies kann auch auf folgender Weise zusammengefasst werden:

Eine natürliche Zahl hoch 3 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 3 der vorherigen natürlichen Zahl folgende Zahlen addiert: 1 und das dreifache Produkt der Zahl selbst mit ihr hervorgehende Zahl.

Man sieht, dass eine Abhängigkeit zwischen den Potenzen hoch 3 der zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen besteht und die Formel für alle natürlichen ganzen Zahlen hoch drei gilt.

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5

4.3 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 4

Wir werden jetzt die Verbindung zwischen den Potenzen der Zahlen hoch 4 mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen zeigen.

k k 1 x

k k 1 X X k – k 1 k k 1

X k k 1 k k 1 k k 2k 1 X k k 1 2k 2k 1

X k k 1 2k k 1 1

K k 1 k k 1 2k k 1 1

Beispiel:

30⁴=810000 29 30 29 2.30.29 1

707281 59. 1740 1 707281 59.1741 707281 102719 810000

Man sieht hier, dass es auch eine Abhängigkeit zwischen den Potenzen der Zahlen hoch 4 gibt.

Sie können auch zusammengefasst werden.

Eine natürliche Zahl k hoch 4 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 4 der vorherigen natürlichen Zahl k-1 ein Produkt von

k k 1 , 2k k 1 1 addiert

, das sich durch die Zahl selbst und ihr vorhergehenden Zahl ausdrücken lässt.

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6

4.4 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 5

Jetzt werden wir die Verbindung der Zahlen mit Hochzahl 5 auch mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen zeigen.

k k 1 x

X k k 1

X k k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 k 1

X k k 1 k k 1 k k k 1 k 1

X k k 1 k k 1 k k k k 2k 1

X k k 1 k k 1 3k 3k 1

X k k 1 k k 1 k k 1

k k 1 k k 1 k k 1 k k 1

Beispiel:

30 24300000

29 30 29 30.29. 30 29

20511149 810000 707281 870. 27000 24389 22028430 870.2611

22028430 2271570 24300000

Die Formel kann auch auf folgender Weise zusammengefasst werden:

Eine natürliche Zahl k hoch 5 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 5 der vorrigen natürlichen Zahl k-1 die Summe von

k k 1 , k k 1 k k 1

addiert.

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7

4.5 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 6

Jetzt werden wir die Verbindung der Potenzen der Zahlen hoch 6 auch mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen zeigen:

K k 1 x

X k k 1 k k 1

Aus der Herleitung der Gleichung von den Zahlen mit Hochzahl 3 haben wir K k 1 3k k 1 1 folglich K k 1 3k k 1 1.

Die Gleichung folgt weiter so:

X 3k 3k 1 k k 1

X 3k k 1 1 k k 1 k k 1 1

K k 1 3k k 1 1 k k 1 k k 1 1

Beispiel:

30 7290000000

29 3.30.29 1 30 29 30.29 1 594823321 2611.59.871

594823321 134176679 7290000000

Eine natürliche Zahl k hoch 6 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 6 der vorherigen natürlichen Zahl k-1 das Produkt von

3k k 1 1, k k 1 , k k 1 1

addiert, das auch aus aufeinanderfolgenden Zahlen besteht.

4.6 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 7

Jetzt werden wir die Verbindung der Potenzen der Zahlen hoch 7 auch mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen behandeln:

K k 1 x

X k k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k 1

X k k 1 k k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 k 1

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8

X k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1

K k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1

Beispiel:

30 21870000000

29 30 29 30.29. 30 29 30.29. 30 29 30.29)]=

17249876309 729000000 594823321 870. 810000 707281 870. 900 841 870

18573699630 870. 1517281 870.2611 18573699630 870. 1517281 2271570

18573699630 870.3788851

18573699630 3296300370 21870000000

Eine natürliche Zahl k hoch 7 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 7 der vorrigen natürlichen Zahl k-1 das Produkt von

k , k 1 , k k 1 k k 1 k k 1 k

k 1 k k 1 )

addiert.

4.7 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 8

K k 1 x

X k k 1 k k 1

Aus der Herleitung der Gleichung von den Zahle mit Hochzahl 4 haben wir K k 1 k k 1 2k k 1 1 folglich

K k 1 k k 1 2k k 1 1

Die Gleichung folgt weiter so:

X k k 1 2k k 1 1 k k 1 2k k 1

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9

X k k 1 2k k 1 1 k 1 k 2k k 1 2k k 1

K k 1 k k 1 2k k 1 1 k 1 k 2k k 1 2k k 1

Beispiel:

30 656100000000

29 + 29 30 2.30.29 1 (( 29 30 2.30.29 -2.30 . 29 = 500246412961 59.1741. 59 1740 1513800 =

500246412961 102719. 3481 1740 -1513800

=500246412961 102719. 3031081 1513800 500246412961 102719.1517281

500246412961 155853587039 656100000000

Eine natürliche Zahl k hoch 8 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 8 der vorrigen natürlichen Zahl k-1 das Produkt von

k k 1 , 2k k 1 1, k 1 k 2k k 1 2k k 1

addiert.

4.8 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 9

Jetzt werden wir die Potenzen der Zahlen hoch 3 auch mit Hilfe der aufeinanderfolgenden Zahlen behandeln:

K k 1 x

X k k 1

X k k 1 k k k 1 k 1

X 3k k 1 1 k k k 1 k 1

k k 1 3k k 1 1 k k k 1 k 1

Beispiel:

(10)

10

30 19683000000000 29 3.30.29 1 30 30 . 29 29

14507145975869 2611. 729000000 27000.24389 594823321 14507145975869 2611. 1323823321 658503000

14507145975869 2611.1982326321

14507145975869 5175854024131 19683000000000

Die Formel kann auch auf folgender Weise zusammengefasst sein.

Eine natürliche Zahl hoch 8 bekommt man, wenn man zu der Potenz hoch 8 der vorrigen natürlichen Zahl das Produkt von

3k k 1 1, k k k 1 k 1

addiert.

4.9 Herleitung der Gleichung für alle Zahlen mit der Hochzahl 10

k k 1 x

X k k 1 k k 1

X k k 1 k k 1 k k k 1 k k 1 k k 1 k 1

X k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k k 1 k 1

k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k 1 k k k 1

k 1

Beispiel:

30 590490000000000

29 30 29 30 29 . 30 +29 30.29 30 30.29 29 = 420707233300201 24300000 20511149 .

. 30 29 . 810000 707281 870 900 870 841 420707233300201 3788851. 30 29 . 1517281 870.871

420707233300201 3788851.59. 1517281 757770

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11

420707233300201 223542209.759511

420707233300201 169782766699799=590490000000000

Eine natürliche Zahl hoch 8 erhält man, wenn man zu der Potenz hoch 8 der vorherigen natürlichen Zahl das Produkt von

k k 1 , k k 1 , k k 1 k k 1 , k k k 1

k 1

addiert.

5. Das Lernprogramm

Nachdem wir die Gleichungen hergeleitet haben, wollen wir unsere Vorstellungen in einem Lernprogramm für Schüler einbringen.

5.1 Woraus besteht das Lernprogramm?

Ein Programm besteht aus zwei Teilen, einem Code und einer Schnittstelle. Der Code zeigt den logischen Teil des Lernprogramms und die Schnittstelle stellt das Aussehen des Programms vor.

Das Programm schreiben wir in Microsoft Visual Studio Solution, die Technologie, die wir benutzen, ist Silverlight und die Sprache heißt C#.

5.2 Die Schritte des Lernprogramms

In unserem Lernprogramm soll man zuerst seinen Namen eintragen. Danach folgt eine Umfrage über das Interesse des Schülers für Mathematik. Nachdem man auf die gegebenen Fragen geantwortet hat, soll man eine Hochzahl wählen. Der nächste Schritt ist, dass man eine Zahl eintragen soll, damit man sehen kann, wie die ausgewählte Zahl auf eine interessante Weise mit der Hilfe unseren Formeln umgeformt sein könnte und leicht und listig berechnet wird. Am Ende gibt es eine kleine Umfrage, die uns zeigen wird, ob das Lernprogramm den Schülern gefallen hat. Das Programm ist nur für die Zahlen mit Hochzahl zwischen 2 und 10 geschaffen, man soll also eine Zahl zwischen 1 und 100 wählen. Wenn man eine größere Zahl wählt, könnte der Computer sie nicht berechnen. Deshalb gibt es für die Hochzahl 10 noch eine Umklammerung gemacht,dass man zwischen 1 und 75 wählen kann, weil sonst es mehr als 19 Ziffern gibt.

6 Umfrage mit Schülern

Das Lernprogramm haben wir 28 Schülern gegeben. Nachdem sie es angewendet und ausprobiert hatten, sollten sie ihre Meinung äußern. Sie waren aus einer zehnten Klasse unseres Gymnasiums, weil die Schüler in dieser Klasse den Lernstoff mit Potenzen erlernen.

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12 7 Der Fragebogen:

Potenzrechnen leicht gemacht - ein Lernprogramm für Mathematik Umfrage

1. Mathe ist für mich interessant.

a) Sehr b)Ziemlich c)Etwas d)Nein 2. Ich verstehe Mathematik…

a) Sehr b)Ziemlich c)Etwas d)Nein 3. Ich habe Schwierigkeiten in Mathe…

a) Sehr b)Ziemlich c)Etwas d)Nein 4. Ich freue mich ,wenn ich Aufgabe löse.

a)Sehr b)Ziemlich c)Etwas d)Nein

Nachdem du auf diese Frage geantwortet hast und das Potenzrechen gemacht hast, sollst du noch folgende Fragen beantworten:

5. Hast du etwas Neues von diesem Programm erfahren?

a)Nein b)Etwas c)Ziemlich d)Sehr 6. Wie findest du das Lernprogramm?

a)Langweilig b)Interessant c)Hilfreich d)Hilflos e)Schwierig f)Leicht 7. Wirst du das Programm deinen Mitschülern vorschlagen?

a)Nein b)Wahrscheinlich c)Sicherlich d)Ja 8. Wird dir dieses Lernrogramm in der Zukunft helfen?

a)Nein b)Wahrscheinlich c)Sicherlich d)Ja

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13 8 Ergebnisse der Umfrage:

Alle 28 Schüler, die das Lern-Programm ausprobiert haben, fanden es hilfreich und interessant.

Obwohl drei von ihnen Schwierigkeiten in Mathematik haben, fanden sie das Lernprogramm leicht und hilfreich. Nur für 2 Schüler war das Programm ziemlich schwierig und unverständlich. Wir haben erkannt, dass bei den Schülern Probleme erscheinen, wenn man größere Zahlen berechnet, da sie Schwierigkeiten beim Addieren haben.

9 Die künftige Entwicklung des Projekts

Obwohl die hergeleiteten Gleichungen für alle Zahlen mit der Hochzahl 2 bis 10 gelten, glauben wir, dass es eine gemeinsame Gleichung gibt, die für alle Zahlen mit Hochzahl von 2 bis n geignet ist. Das bleibt als unsere Aufgabe, die wir in der Zukunft lösen sollen.

10 Experten, die uns geholfen haben.

Der Informatiker Nikola Irinchev aus der Firma Gensoft

Die Mathematiklehrerin Anna Tzaneva aus dem deutschsprachigen Galabov Gymnasium Der Mathematiklehrer Volker Paetzelt aus dem deutschsprachigen Galabov Gymnasium

25% 55%

13% 7%

Wie gefällt das Lernprogramm den

Schülern?

Sehr Ziemlich Etwas Nein

0 50 100

Wie finden die Schüler das Lernprogramm?

langweilig interessant hilfreich hilflos schwierig leicht