Willi Törnig Peter Spellucci
Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker
Band 2: Numerische Methoden derAnalysis
Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage
; Mit 50 Abbildungen
Technische Hochschule Darmstadt
FACHBEREICH INFORMATIK
B I B L I O T H E K
Irwentar-Nr.: X . . T ~ . 9 Sachgebiete: .C;.K....!
Standort:
Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
London Paris Tokyo HongKong 1990
Inhaltsverzeichnis
V Interpolation, Approximation und numerische Inte- gration 1
11 Interpolation u n d Approximation 5 11.1 Interpolation durch Polynome .; 5 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom 5 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation 8 11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom 10 11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen . . . . 13 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom 13 11.2.2 Darstellung des Fehlers 14 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränder-
lichen . . . . 16 11.3 Ergänzungen zur Interpolation. Numerische Differentiation 18 11.3.1 Hermite-Interpolation 18 11.3.2 Inverse Interpolation 23 11.3.3 Interpolation als Approximationsprozeß 25 11.3.4 Numerische Differentiation 29 11.4 Approximation durch Polynome 33 11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem 33 11.4.2 Die Polynomapproximation 34 11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen 36 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen 36 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogo-
nalfunktionen 38 11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen 39 11.6.1 Konvergenzfragen r . . . 39 11.6.2 Legendresche Polynome 41 11.6.3 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion* . . . 43 11.7 Approximation periodischer Funktionen 44 11.7.1 Trigonometrische Approximation 44 11.7.2 Näherungsformeln für die FourierkoefHzienten 47
X Inhaltsverzeichnis
11.7.3 Komplexe Form der trigonometrischen Approximation . . . . 48 11.8 Approximation empirischer Funktionen 49 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme 49 11.8.2 Approximation durch Polynome 51 11.8.3 Approximation periodischer Funktionen, schnelle Fourierap-
proximation* 52 11.9 Zweidimensionale Approximation* 58 ll.lOOrthogonale Anpassung* 70 12 Spline-Interpolation 77 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen 77 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges 77 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen 80 12.2 Definition der kubischen Splines 81 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion 81 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines 82 12.3 Der kubische Interpolationsspline 83 12.3.1 Berechnung des Splines 83 12.3.2 Der Algorithmus 86 - 12.4 Fehlerbetrachtungen 88 12.5 Weitere Splinekonstruktionen 91 12.6 Darstellung differenzierbarer Kurven durch Splinefunktionen* . . . . 95 12.7 Basis-Darstellung der kubischen Spline-Funktionen 97 12.8 Zweidimensionale Spline-Interpolation* 101 12.9 Beispiel 103 13 Numerische Integration 107 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ 107 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln 107 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln '.'.... 108 13.2 Summierte Quadraturformeln 111 13.2.1 Das Verfahren 111 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln 112 13.3 Romberg-Integration ,.- . 114 13.3.1 Das Prinzip ' 114 13.3.2 Der Algorithmus 115 - 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration 118 13.3.4 Ergänzungen 119 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren 123 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung 123 13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte 124
Inhaltsverzeichnis XI
13.4.3 Ergänzungen 128 13.5 Adaptive Quadratur und Kontrolle des Quadraturfehlers* 129 13.6 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale 134 13.7 Numerische Kubatur 136 13.7.1 Tensorprodukt-Methoden* 136 13.7.2 Summierte Kubaturverfahren 138
VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differential- gleichungen 145
14 Anfangsprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen 149 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren ' 149 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung . . 149 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren 150 14.1.3 Das Polygonzugverfahren 151 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren 154 14.2 Runge-Kutta-Verfahren 156 14.2.1 Allgemeine Herleitung der Verfahren 156 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren 158 14.3 Konsistenz und Konvergenz 160 14.3.1 Konsistente Verfahren : 160 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren 162 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung 163 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen 168 3.4.4 Schrittweitensteuerung und Kontrolle des globalen Diskretisierungs-
fehlers* i 170
14.5 Ergänzungen zur Theorie der Einschritt-Verfahren 184 14.5.1 Rundungsfehlereinfluß 184 14.5.2 Parameterabhängige Differentialgleichungen* 185 14.5.3 Differentialgleichungen mit unstetiger bzw. nicht differenzier-
barer rechter Seite* 185 14.6 Mehrschritt-Verfahren 186 14.6.1 Einführung _.. . . . 1 8 6 14.6.2 Kurzer Überblick über die Theorie der Mehrschritt-Verfahren 190 14.6.3 Anwendung von Mehrschritt-Verfahren in der Praxis* . . . . 200 . 14.7 Steife Differentialgleichungen 202 14.7.1 Einführung 202 14.7.2 Lineare Stabilität von Diskretisiemngsverfahren für Anfangs-
wertprobleme 208 14.7.3 Nichtlineare Stabilität* 212
XII Inhaltsverzeichnis
14.7.4 Implizite Runge-Kutta-Verfahren und Rosenbrock-Verfahren* 215 14.8 Differentialgleichungen in impliziter Form* 224 15 Rand— und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichun- gen 231
15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie 231 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems 231 15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen 233 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differential-
gleichungen 1. Ordnung 235 15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung 236 15.2 Differenzenverfahren 238 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung 238 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme zweiter Ordnung 241 15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens 245 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren 251 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem 251 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren 256 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens . . . 258
"- .15.4 Die Methode der finiten Elemente 260 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen 261 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen 263 15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen* 266 15.5 Schießverfahren 270 15.5.1 Einfachschießverfahren 270 15.5.2 Das numerische Einfachschießverfahren 273 15.5.3 Das Schießverfahren für nichtlineare Randwertaufgaben* . . . 277 15.6 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme . . . . 279 15.6.1 Das Eigenwertproblem 279 15.6.2 Das Differenzenverfahren 281 15.7 Ergänzungen 284 15.7.1 Elementares Beispiel bei Anwendung nichtäquidistanter Gitter 284 15.7.2 Differentialgleichung 4. Ordnung 285
VII Numerische Lösung von partiellen Differentialglei- chungen 295
16 Differenzenverfahren 299 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken 299 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen 2. Ordnung 299
Inhaltsverzeichnis XIII
16.1.2 Typeneinteilung 300 16.1.3 Charakteristiken 302 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme . . . . 304 16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem 304 16.2.2 Das Differenzenverfahren 306 16.3 Explizite Differenzenverfahren 310 16.3.1 Problemstellung 310 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren 312 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens 314 16.4 Implizite Differenzenverfahren 318 16.4.1 Konstruktion der Verfahren 318 16.4.2 Konvergenz der Verfahren 322 16.4.3 Nichtlineare Probleme 325 16.5 Die Linienmethode 328 16.5.1 Das Prinzip des Verfahrens 328 16.5.2 Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme . . . . 330 16.5.3 Nichtlineare parabolische Differentialgleichungen 331 16.6 Ergänzungen 331 16.6.1 Parabolische Probleme in 2 und 3 Raumvariablen* 331 16.6.2 Differentialgleichungen in der Strömungsmechanik* 335 17 Hyperbolische Systeme 1. Ordnung 343 17.1 Einige Grundlagen der Theorie 343 17.1.1 Klassifizierung 343 17.1.2 Normalform 345 17.1.3 Charakteristiken 346 17.1.4 Das Anfangswertproblem 347 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungs-
mechanik 349 17.2 Charakteristikenverfahren 352 17.2.1 Das Prinzip 352 17.2.2 Der lineare Fall ~. . . . 352 17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall 355 17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern 358 17.3.1 Das Anfangswertproblem 358 17.3.2 Das Differenzenverfahren 359 17.3.3 Zwei spezielle Verfahren 362 17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren 364
XIV Inhaltsverzeichnis
18 R a n d w e r t p r o b l e m e elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ord- . nung 371 18.1 Elliptische Randwertprobleme 372 18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme 372 18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme 373 18.1.3 Allgemeine Variationsprobleme und Randwertprobleme . . . 376 18.2 Differenzenverfahren 378 18.2.1 Das Modellproblem 379 18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens 383 18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete 384 18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben . . . 390 18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente . . . . 394 18.3.1 Das Ritzsche Verfahren 394 18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente 395 18.3.3 Die praktische Aufstellung des FE-Gleichungssystems* . . . 400 18.3.4 Ansatzfunktionen höherer Ordnung 406 18.3.5 Isoparametrische Elemente* 408 18.3.6 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen 412 18.3.7 Ergänzungen 415 19 Lösung diskretisierter Randwertprobleme durch iterative Mehrgit- terverfahren 421
19.1 Das eindimensionale Modellproblem 422 19.1.1 Das Modellproblem 422 19.1.2 Glättende Iterationen 424 19.1.3 Ein Zweigitterverfahren 425 19.1.4 Mehrgitterverfahren . . . : . 432 19.2 Randwertprobleme der Poisson-Gleichung 433 19.2.1 Glättende Iterationen 434 19.2.2 Restriktion und Prolongation 437 19.2.3 Mehrgitterverfahren 439 19.2.4 Rechenaufwand 441 19.2.5 Schlußbemerkungen 442 20 Hinweise zu weiteren Verfahren für R a n d w e r t p r o b l e m e und Inte- gralgleichungen 445
20.1 Kollokationsverfahren 445 20.2 Die Randelementmethode* 450 20.3 Hinweise zur Lösung von Integralgleichungen* 454 Literaturverzeichnis 459 Sachverzeichnis 465
