Lautsprecher-Box mit Beamer-Auge Situationsbeschreibung

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Situationsbeschreibung

Lautsprecher-Box mit Beamer-Auge

Der Hardware-Produzent 1SUS hat in Kooperation mit dem Unternehmen HarmonY eine Bluetooth-Box mit Beamer- Funktion entwickelt, die „Eyebox®“, die auf der diesjährigen CES¹ ohne Publikum

vorgestellt wurde.

Das Gerät hat die Größe einer Kaffeetasse und ähnelt im Design einer Bluetooth-Box.

Doch es ist ein leistungsfähiger Beamer, der Bild und Ton zusammen liefert.

Der integrierte 10-Watt-Lautsprecher stammt von Hi-Fi-Spezialist HarmonY, er verfügt über drei verschiedene Audio-Modi zum Filmeschauen, für Musik und fürs Gaming. Die äußere Hülle besteht aus einem textilen Gewebe, das

hitzeregulierend wirkt und für eine bessere Schalldurchdringung sorgt. Im oberen Bereich befindet sich eine Art Auge, das dazu dient, die bewegten Bilder an die Wand zu zaubern.

Um den Produktionsprozess zu optimieren sowie auch die Wirtschaftlichkeit

sicherzustellen, sind noch einige Voruntersuchungen notwendig.

Lösungshinweise:

• Nullstellen quadratischer Funktionen sollten durch ein rechnerisches Verfahren bestimmt werden, bei Funktionen 3. Grades kann auch ein Taschenrechner zur Berechnung eingesetzt werden.

• Der Rechenweg muss immer erkennbar sein. Kennzeichnen Sie auch den Einsatz des Taschenrechners mit „TR“.

• Prozentzahlen bei Aufgabe 1 bitte mit zwei Nachkommastellen darstellen.

• Schreiben Sie zu jeder Aufgabe einen (kurzen) Antwortsatz.

Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner TI 30 xPro oder vergleichbar Bearbeitungszeit: 135 Minuten

1 Consumer Electronics Show; eine der weltweit größten Fachmessen für Unterhaltungselektronik

Bildquelle:

https://www.trendsderzukunft.de/beamer- mit-hi-fi-box-in-kaffeetassengroesse-asus- liefert-bald-mobiles-heimkino/

Zugriff: 09.03.2021

Aufgabe 1– Stochastik (32 Punkte)

Immer häufiger werden portable Beamer und Lautsprechersysteme sowohl für den privaten als auch den beruflichen Bereich nachgefragt.

Um die Qualitätsführerschaft auch in Zukunft halten zu können, legt der Hersteller „1SUS GmbH“ großen Wert auf ein strenges Qualitätsmanagement für die neue „Eyebox®“.

1.1 In einer langen Versuchsreihe werden notiert, welche Fehler am häufigsten auftreten.

Begründen Sie, ob es sich bei der Erstellung einer Rangliste der drei häufigsten Fehler um einen Bernoulli-Versuch handelt. (2 P.)

Die Versuchsreihe hat ergeben, dass in 2 % der Fälle das Gehäuse (G), in 1 % die Beamerlinse (B) und in 4 % der Fälle die Lautsprecher (L) Fehler aufweisen.

1.2 Stellen Sie diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm mit den entsprechenden Prozentanteilen dar. (8 Punkte)

1.3 Eine Eyebox ist einwandfrei, wenn in allen Prüfungsbereichen festgestellt wird, dass keine Fehler vorliegen. Untersuchen Sie, ob das Werbeversprechen an die

Großhändler richtig ist, dass mehr als 90 % der ausgelieferten Eyeboxen einwandfrei sind. (3 Punkte)

1.4 Prüfen Sie, ob die Aussage stimmt, dass weniger als 6 % der Eyeboxen bei der Endkontrolle nur in einem Funktionsbereich nicht einwandfrei sind. (3 Punkte) 1.5 In einem Interview mit dem Fachmagazin „Fledermaus“ lobt der Pressesprecher des

Unternehmens die hohe Qualität und behauptet, dass von 1.000.000 produzierten Eyeboxen weniger als 10 Stück bei der Endkontrolle in allen geprüften

Funktionsbereichen Fehler aufwiesen. Nehmen Sie begründet Stellung. (3 Punkte) Ein wesentliches Bauteil der Box ist ein LCoS-Chip (Liquid Crystal on Silicon). Hiervon werden jeweils 1.000 Stück pro Tag produziert. Der Prozessor wird bisher manuell montiert.

Aufgrund der langjährigen Erfahrung der Mitarbeiter sind die Fehler bei diesem Lötverfahren zu vernachlässigen.

Die Unternehmensführung beabsichtigt nun aus Effizienz- und Produktivitätsgründen einen Roboter für die Montage einzusetzen. Es ist davon auszugehen, dass 2,5 % der Lötpunkte fehlerhaft sind. Insgesamt gibt es 9 Lötpunkte auf der Platine des Prozessors. Weist ein Prozessor mehr als drei defekte Lötpunkte auf, soll dieser ersetzt werden.

Der Produktionsleiter äußert Bedenken und meint, dass durch die Automatisierung täglich Ausschuss produziert würde. Außerdem sei nicht auszuschließen, dass schon ein defekter Lötpunkt zu Vibrationen im Lautsprecher führen könnte.

1.6 Erläutern Sie, inwiefern es sich bei der Überprüfung der Lötpunkte um eine Binomialverteilung handelt. (2 P.)

1.7

1.8.1 Erstellen Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Binomialverteilung! (5 P.) X (Anzahl defekte

Lötstellen) P(X)

1.8.2 Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass 1.8.2.1 höchstens 3 defekte Lötstellen auftreten, 1.8.2.2 mindestens 5 defekte Lötstellen auftreten,

1.8.2.3 mindestens 1 aber höchstens 3 defekte Lötstellen auftreten. (6 P.)

Aufgabe 2 – Differentialrechnung (31 Punkte)

Zum Zwecke der Marktforschung wird eine Gewinnanalyse von Ihnen durchgeführt.

Folgende Angaben sind bekannt:

2.1 Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Preisabsatzfunktion p(x) basierend auf den Angaben der Firmen. (3 Punkte)

2.2 Zeigen Sie, dass für die Erlösfunktion !(#) = −'(#^!+ '((# gilt und geben Sie den ökonomischen Definitionsbereich *_Ö# an. (2 Punkte)

2.3 Berechnen Sie das Erlösmaximum. (3 Punkte)

2.4 Bestimmen Sie die Gewinnfunktion und ermitteln Sie, wie viele ME minimal bzw.

maximal verkauft werden müssten, damit Gewinn erwirtschaftet wird. (5 Punkte) (Hinweis: Sollten Sie keine Gewinnfunktion aufstellen können, gehen Sie von folgender Gewinnfunktion aus: +(,) = −0.5,^$− 5,^%+ 80, − 50)

2.5 Bestimmen Sie das Gewinnmaximum. (6 Punkte)

2.6 Bestimmen Sie den Cournot’schen Punkt C und interpretieren Sie seine Koordinaten ökonomisch. (4 Punkte)

2.7 Ermitteln Sie das Betriebsoptimum sowie die langfristige Preisuntergrenze. (8 Punkte)

Aufgabe 3 – Finanzmathematik (23 Punkte)

Für den Bau einer neuen Produktionsanlage hat die „1SUS GmbH“ einen Investitionsbedarf von 4.000.000 € ermittelt, wobei 2.500.000 € davon mit einem Zinssatz von 2,5 %

fremdfinanziert werden müssen.

3.1 Berechne die jährliche Annuität, wenn der Kredit in 10 Jahren getilgt werden soll.

(4 Punkte)

• x in Mengeneinheiten (ME)

y in Geldeinheiten (GE) bzw. Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)

• Aufgrund der Produktionsbedingungen kann von einem ertragsgesetzlichen Kostenverlauf mit der Gleichung 1(#) =^&_!#^'− 2#^!+ 3(# + 2( kalkuliert werden.

• Die Sättigungsmenge liegt bei 10 ME.

• Der Höchstpreis beträgt 100 GE/ME.

Der Geschäftsführer, Herr Baco, möchte die Annuität auf 200.000 € beschränken.

3.2 Bestimme die Länge der Tilgungsdauer. (5 Punkte)

3.3 Ermittle die Höhe der Restschuld nach 12 Jahren, wenn nach 10 Jahren der Zinssatz auf 4% steigt. (7 Punkte)

3.4 Der Eigenanteil von 1.500.000 €, der für die geplante Investition eingebracht werden soll, ist folgendermaßen zustande gekommen:

3.4.1 Herr Baco hat vor 8 Jahren 300.000 € geerbt. Diesen Betrag legte er zu 3,5 % p.a. in einem festverzinslichen Wertpapier an, sodass inzwischen eine deutlich höhere Summe angewachsen ist. Bestimme den aktuellen Guthabenstand. (2 Punkte)

3.4.2 Außerdem zahlte Herr Baco in den vergangenen 25 Jahren jeweils vorschüssig in eine kapitalbildende Lebensversicherung ein. Auch hier erhielt er einen Zinssatz von 3,5 %.

Berechne die Höhe der Jahresrate. Solltest du im ersten Teil kein Ergebnis ermitteln können, dann rechne mit einem Rentenendwert von 1.100.000 €. (5 Punkte)

Teilaufgabe Nr. 1

Erwartungshorizont

Z (Ziel- formulierung) Punkte AF

B I

AF B II

AFB III

1.1 Nein, es handelt sich nicht um einen Bernoulli-Versuch, da es sich nicht um ein Zufallsexperiment handelt, bei dem nur zwei

Ereignisse eintreten können.

Z 1 Z 19 Z 24

2 1.2 Es sind mehrere Rechenwege und Reihenfolgen möglich. (Je nach

Rechenreihenfolge und Rundung kann es zu leicht abweichenden Ergebnissen kommen.)

Hier scheint wesentlich, dass die Struktur stimmig ist.

8

1.3 Gesucht ist die Ergebnismenge

S = {GBL, GBL`, GB`L, GB`L`, G`BL, G`BL`, G`B`L, G`B`L`} Z 17 Z 19 2 1.4 Gesucht ist das Ereignis, dass mehr als 90% aller Boxen intakt

sind: ! = {%&'}

P(A) = 0,98 * 0,99 * 0,96 = 0,9314.

93,14% > 90%, also stimmt das Werbeversprechen.

Z 24 3 1.5 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Boxen nur einen Defekt

aufweisen: B = {%&'`, %&`', %`&'}

P(B) = 0,98 * 0,99 * 0,04 + 0,98 * 0,01 * 0,96 + 0,02 * 0,99 * 0,96 = 0,06722. 6,72% > 6%, also stimmt die Aussage nicht.

Z 24 3

1.6 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Bauteile defekt sind:

+ = {%̅&-'-}

P(C) = 0,02 * 0,01 * 0,04 = 0,000008

0,0008%, d.h. 8 Totalausfälle von 1.000.000 Boxen. Die Behauptung ist korrekt.

Z 22 3

1.7 Da aus einer laufenden Produktion heraus geprüft wird und täglich 1000 Stück hergestellt werden, kann man davon ausgehen, dass sich die Wahrscheinlichkeit bei der Entnahme einer Box nachfolgend nicht ändert. Ist X die Anzahl der defekten Lötpunkte, so heißt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X Binomialverteilung.

2

G

B

L

L`

B`

L

L`

G`

B

L

L`

B`

L

L`

0,98

0,02

0,96

0,04 0,96

0,04 0,96

0,04 0,96 0,99

0,01

0,99

0,01

0,04

1.8.1 n = 8; p = 0,015 Defekte

Löt- punkte

0 1 2 3 >3

P(X=xi) B8; 0,015(0)

= 0,886 B8; 0,015(1)

= 0,108 B8; 0,015(2)

= 0,0058 B8; 0,015(3)

= 0,00018 1 – F8;

0,015(3) = 0

Z 6 Z 23

5

1.8.2 1. F(8;0,015;3) = 0,999996623, also mehr als 99,99 % 2. 1-F(8;0,015;4) = 1-1 = 0, nahezu unmöglich

3. F(8;0,015;3) – B(8;0,015;0) = 0,9999966232 – 0,8861 = 0,1139 Also 11,39 %

2

2

2 1.9 Pro Tag werden 1000 Chips mit jeweils 8 Lötpunkten

hergestellt. Der Erwartungswert für defekte Lötpunkte pro Tag:

E(X) = n*p, also pro Tag: 8000*0,015 = 120 Man muss mit 120 defekten Lötpunkten rechnen.

Zur Frage, ob mit täglichem Ausschuss gerechnet werden muss:

P(X > 3) = 1 - P(X ≤ 3) = 0,000003377 1000*0,000003377 = 0,00338

Es muss jedoch nicht mit täglichem Ausschuss (falls mehr als 3 Lötpunkte defekt sind) gerechnet werden.

Neben ökonomischen Aspekten könnte für die manuelle

Fertigung der Erhalt von Arbeitsplätzen und damit einhergehend die Mitarbeiterzufriedenheit im Unternehmen sprechen.

Das manuelle Fertigungsverfahren kann dem Unternehmen als Imageträger für Marketingaktivitäten dienen. Es hebt die hohe Verarbeitungsqualität hervor und rechtfertigt ein hohes

Preisniveau.

Weitere mögliche Antwort:

Die Anschaffungskosten des Roboters bleiben hier

unberücksichtigt. Zudem kann eine gewisse Abhängigkeit zum Hersteller des Roboters entstehen. Know-How der Mitarbeiter im Sinne der manuellen Fertigung geht durch die

Automatisierung verloren.

Z 27 2

2

Gesamtpunkte AFB I-III für die Teilaufgabe 1 5 29 4

Teilaufgabe Nr. 2

Erwartungshorizont

ZF Ziel- formulierung Punkte AFB

I AFB

II AFB

III 2.1

p(x) = mx+b

Höchstpreis: 100 GE/ME à b = 100 Sättigungsmenge: 10 ME à (10/0) 0 = 10m + 100

m = -10

® p(x) = -10x+100

AFS 3 Z 22 Z 19 Z 22

3

2.2 Fixkosten: 50 GE K(5) = 87,5 GE

Z 27 2 2.3 0(1) = 2(1) ∙ 1

0(1) = (−567 + 566)1 0(1) = −101^!+ 1001

;_Ö# = [0; >ä@@ABCDBEFGDBG] = [0; 10]

Z 19 Z 22

Z 17 Z 21 Z 23

1 1

2.4 Erlösmaximum

Scheitelpunkt der Erlösfunktion S(5/250) 3

2.5 Gewinnfunktion:

%(1)= −'(#^!+ '((# − (^&_!#^'− 2#^!+ 3(# + 2() I(7) = −6, J 7^$+ J7^%+ K67 − J6

Gewinnschwelle/-grenze

%(1) = 0

−0.5,^$− 5,^%+ 80, − 50= 0

TR: poly-solv (L = −0,5; N = −5; O = 80; Q = −50) 1_&≈ −18,8 liegt nicht in ;_Ö#

1_!≈ 8,14 = %GTADDBUGDVG 1_'≈ 0,65 = %GTADDEOℎTGYYG

Z 22 Z 23 Z 30 Z 27

2

1 2

( ) ( ) ( )

G x =E x -K x

2.6 Gewinnmaximum

%⁽(1) = −1,51^!− 101 + 80 und %⁽⁽(1) = −31 − 10

%⁽(1) = 0 ⇒ 1^!+^!)_' 1 −^&*)_' = 0 , 2 =^!)_' , \ = −^&*)_' 1_&,!=−10

3 ± ^_10 3`

!

+160 3 1_&≈ −11,36 und 1_!≈ 4,69

1_& liegt nicht in ;_Ö# und %⁽′(4,69) = −24,07 < 0

⇒ 4,69 ME ist die gewinnmaximale Ausbringungsmenge Gewinnmaximum liegt bei G(4,69) = 163,64 (GE)

Z 21 Z 27 Z 31 Z 32 Z 33

2

2

1

1 2.7 Cournotscher Punkt

2(4,69) = −10 ∙ 4,69 + 100 = 53,1

Der gewinnmaximale Preis beträgt 53,1 GE/ME, zu dem die VR- Brillen im zweiten Jahr angeboten werden sollten.

Z 33

2

2 2.8 _{f,(1) =}^&

!#^'− 2#^!+ 3(#

g_,(1) =^#!_.^(.)=^&_!#^!− 2# + 3(

g_,′(1) = x − 5 g_,⁽⁽(1) = 0,5

g_,⁽(1) = x − 5 = 0 ⇒ 1 = 5

Das Betriebsminimum liegt bei 5 ME, da g_,⁽⁽(5) = 0,5 > 0 . KPU:

g_,(5) = 7,5 (%0 2Uj k0)

Z 32

3

3

2.9 _{g(1) =}^&

!#^!− 2# + 3(+⁰⁾_. g′(1) = x − 5 −⁰⁾_."

g⁽⁽(1) = 1 +⁰⁾_.# g⁽(1) = 0

∙.^"

lm x^'− 51^!− 50 = 0 ₂₃

45&

657085) 9570)

lnnnm 1 ≈ 6,27

(hier muss nur die reelle Lsg. angegeben werden, da alle weiteren Lösungen im komplexen Zahlenraum liegen und damit nicht Teil der Unterrichtsinhalte sind)

g⁽⁽(6,27) > 0

⇒ oAGp2CDg@ NGA 1 = 6,27 k0 (&G@UAGNEj2@AFCF)

g(6,27) ≈ 16,28 à Die langfristige PU beträgt 16,28 GE/ME.

Z 27 Z 31 Z 34

Z 32 Z 33

2 2

1

2

1

2.10 Um auf lange Sicht konkurrenzfähig zu bleiben, kann die Firma die Boxen zu einem Stückpreis von minimal 16,28 GE/ME auf dem Markt anbieten, wenn sie 6,27 ME verkauft. Die langfristige PU darf nicht unterschritten werden, da sonst Verluste gemacht werden.

Kurzfristig kann das Produkt zu einem Preis von 7,5 GE/ME angeboten werden, um auf etwaige Konkurrenz zu reagieren.

Dabei müssen 5 ME verkauft werden. Die Fixkosten werden hierbei als Verlust in Kauf genommen.

Die Firmen sollten das Produkt zu einem Preis von 53,1 GE/ME anbieten. Bei einer gewinnoptimalen Ausbringungsmenge von 4,69 ME beträgt das Gewinnmaximum dann 163,64 GE

6

Gesamtpunkte AFB I-III für die Teilaufgabe 2 11 25 9

Anteile der Anforderungsbereiche

Punkte (83 Punkte)

16 19%

54 65%

13 16%

Anteile der berücksichtigten

mathematischen Fachgebiete Stochastik (38 Punkte) 46 %

Analysis (45 Punkte) 54 %

Vorgesehener Notenschlüssel

Note % Punkte

1 86 - 100 71 - 83 2 71 - 85 59 - 70 3 56 - 70 46 - 58 4 41 - 55 34 - 45 5 20 - 40 16 - 33

6 0 - 19 0 - 15

å