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Zeigen Sie, dass (f1

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Academic year: 2022

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Tutorium zur Linearen Algebra I Blatt 6

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Bergische Universit¨at Wuppertal Prof. Dr. Roland Huber Dr. Thorsten Weist

Aufgabe 1

SeiV ein endlich erzeugterK-Vektorraum mitV 6={0}. Sei (v1, . . . , vn) eine Basis von V. F¨ur jedes i ∈ {1, . . . , n} sei fi : V → K die lineare Abbildung mit fi(vi) = 1 und fi(vj) = 0 f¨ur alle j∈ {1, . . . , n} − {i}.

Zeigen Sie, dass (f1, . . . , fn) eine Basis desK-Vektorraums Hom(V, K) ist.

Aufgabe 2

a) Sei V ein Vektorraum. Zeigen Sie, dass (End(V),+,◦) ein Ring mit Einselement ist.

b) Zeigen Sie, dass f ∈ End(V) genau dann eine Einheit des Rings (End(V),+,◦) ist, wenn f bijektiv ist. Die Einheitengruppe des Rings (End(V),+,◦) wird mit GL(V) bezeichnet.

Aufgabe 3

SeiV ein endlich erzeugter Vektorraum. Zeigen Sie, dass der Ring (End(V),+,◦) genau dann kommutativ ist, wenn dimV ≤1.

Aufgabe 4

Betrachtet wird die lineare Abbildung f :R2→R2,

(x1, x2)7→(3 2x1−1

2x2,−1 2x1+3

2x2).

a) Zeigen Sie, dass f¨ur eine Basis A= (v1, v2) von R2 folgende Aussagen ¨aquivalent sind:

• f(v1) = 2v1 und f(v2) =v2

• Mf,A,A=

2 0

0 1

b) Bestimmen Sie eine Basis Avon R2, die a) erf¨ullt.

c) Zeigen Sie, dassf bijektiv ist und bestimmen Sie f¨ur die BasisAaus b) die Matrix Mf−1,A,A.

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