Halbgruppen und Gruppen

Halbgruppen und Gruppen

K ¨urzungsregel f ¨ur invertierbarescmit Inversemd:

•Ausac = bcfolgta = b, denn es gilta = (ac)d = (bc)d = b.

•Ausca = cbfolgta = b, denn es gilta = d(ca) = d(cb) = b.

Neutrale Elemente und Inverse sind eindeutig:

•e1= e1e2= e2, auscd1= e = cd2folgt durch K ¨urzend1= d2. Kombinierte Inverse:

•(ab)⁻¹= b⁻¹a⁻¹,(a⁻¹)⁻¹= a.

Eine GruppeGist eine Halbgruppe mit neutralem Element, in dem jedes Element invertierbar ist.

Das Inverse vonc∈Gwird mitc⁻¹bezeichnet.

Die Ordnung vonGist#G.

3 16. November 2006

Gruppen

Minimale Axiome f ¨ur eine Gruppe:

•(ab)c = a(bc)f ¨ur allea,b,c∈G.

•Es gibte∈Gmitea = af ¨ur allea∈G. (Linksneutrales Element).

•F ¨ur jedesa∈Ggibt esb∈Gmitba = e. (Linksinverses Element).

Bew: Seib∈Gmitba = e.

1. Ausa²= afolgta = e. Denn es gilta = ea = (ba)a = b(aa) = ba = e.

2. Es giltab = e. Denn(ab)(ab) = a(ba)b = abund nach 1 auchab = e.

3. Es giltae = a. Dennae = a(ba) = (ab)a = ea = a.

Die Existenz eines linksneutralen Elements und von linksinversen Elementen impliziert also, daß diese auch rechtsneutral und rechtsinvers sind.

Halbgruppen

SeiGeine Menge,·: G×G→Gunde∈G. Es gelte

•(a·b)·c = a·(b·c)f ¨ur allea,b,c∈G.

•a·e = e·a = af ¨ur allea∈G.

Dann heißtGeine Halbgruppe mit neutralem Elemente.

Gheißt kommutativ (oder abelsch), wenna·b = b·a f ¨ur allea,b∈Ggilt.

Das Elementbheißt Inverses vonaundainvertierbar inG, wenna·b = egilt.

1 16. November 2006

Halbgruppen

Beispiel:

•(Z,·),(Z,+).

•In(Z,·)sind nur1,−1invertierbar. In(Z,+)sind alle Elemente invertierbar:a + (−a) = (−a) + a = 0.

Beispiel:

•StringsA^∗und Aneinanderh ¨angen·. EINS·ZWEI = EINSZWEI.

•ZWEI·EINS = ZWEIEINS. Sind ungleich, daher nicht kommutativ.

•Neutrales Element: Der leere String.

•Inverse Elemente: Gibt es f ¨ur nicht-leere Strings nicht.

Kerne und Bilder

Die MengeU := f⁻¹({1H})ist ein Normalteiler vonG.

•F ¨ura,b∈U gilt f (ab⁻¹) = f (a) f (b)⁻¹= 1_H, alsoab⁻¹∈U undU ist eine Untergruppe vonG.

•F ¨ura∈Gundb∈U gilt f (aba⁻¹) = f (a) f (b) f (a⁻¹) = 1H, also aba⁻¹∈U.

Man nenntU den Kern von f und schreibtU = ker( f ).

f ist ein Monomorphismus⇔ker( f ) ={1G}. Die MengeV := f (G)ist eine Untergruppe vonH.

•F ¨urc,d∈V gibt esa,b∈Gmitc = f (a),d = f (b). Dann cd⁻¹= f (a) f (b)⁻¹= f (ab⁻¹). Wegenab⁻¹∈Gfolgtcd⁻¹∈V.

Man nenntV das Bild von f und schreibtV =im( f ).

f ist ein Epimorphismus⇔im( f ) = H.

7 16. November 2006

Nebenklassen

SeiGeine Gruppe undU⊆Geine Untergruppe. Wir bezeichnenaU als eine Nebenklasse vonU inG.

Thm (Lagrange): Die MengeU={aU|a∈G}ist eine Partition vonG in Mengen gleicher Kardinalit ¨at,Gist also disjunkte Vereinigung der NebenklassenaU.

Bew: Dau7→auinjektiv ist, gilt#U = #aU f ¨ur allea.

F ¨ura∈Ggilta∈aU wegene∈U, daherG =∪a∈GaU.

Istc∈aU∩bU, so giltc = au₁= bu₂, alsoa = bu₂u⁻¹₁ . Danna∈bU und aU = bU. Daher entwederaU = bUoderaU∩bU ={}.

Folgerung: Man nennt(G : U ) = #Uden Index vonU inG. Es gilt

#G = (G : U ) #U.

8 16. November 2006

Homomorphismen von Gruppen

SeienG,HGruppen mit den neutralen Elementen1_G,1_Hund

f : G→H. Es gelte f (ab) = f (a) f (b)f ¨ur allea,b∈G. Dann heißt f ein Homomorphismus.

Epimorphismus = surjektiv.

Monomorphismus = injektiv.

Isomorphismus = bijektiv.

Endomorphismus =H = G.

Automorphismus =H = Gund bijektiv.

Es gilt:

• f (1_G) = f (1_G) f (1_G), daher f (1_G) = 1_Hnach der K ¨urzungsregel.

•1H= f (1G) = f (bb⁻¹) = f (b) f (b⁻¹), also f (b⁻¹) = f (b)⁻¹wegen der Eindeutigkeit der Inversen.

5 16. November 2006

Untergruppen und Normalteiler

IstU⊆Geine Gruppe und die Multiplikation inU die gleiche wie die inG, so heißtU eine Untergruppe vonG.

SetzeaU :={au|u∈U},U a :={ua|u∈U},aU a⁻¹:={aua⁻¹|u∈U}.

Die Abbildungenu7→au,u7→ua,u7→aua⁻¹sind bijektiv.

Gilt f ¨ur eine UntergruppeU vonGzus ¨atzlichaU a⁻¹⊆U f ¨ur allea∈G, so heißtU normal inGbzw. ein Normalteiler vonG. Hier gilt sofort aU a⁻¹= U, weilu7→aua⁻¹bijektiv ist.

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, denn aua⁻¹= aa⁻¹u = uundaU a⁻¹= U.

6 16. November 2006

Isomorphiesatz

Thm: Ist f : G→H ein Homomorphismus, so isth : G/ker( f )→im( f ), x ker( f )7→ f (x)ein Isomorphismus.

Bew: Wegen f (xn) = f (x)f ¨ur allen∈ker( f )isthwohldefiniert.

Außerdem ist es auch surjektiv. Weiter ergibt sich

h((x ker( f ))(y ker( f ))) = h((xy) ker( f )) = f (xy) ker( f ) = ( f (x) f (y)) ker( f ) = ( f (x) ker( f ))( f (y) ker( f )) = h(x ker( f ))h(y ker( f )), also isthein

Homomorphismus. Schließlich folgt aush(x ker( f )) = f (x) = 1H, daß x∈ker( f )ist, alsox ker( f ) = ker( f ). Daher isthauch injektiv.

11 16. November 2006

Beispiel

G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}.

Bekommen Isomorphismush :Z/5Z→ {5i + 25Z|0≤i≤4}

durchx + 5Z7→5x + 25Z.

Faktorgruppen

SeiGeine Gruppe undN⊆Gein Normalteiler.

Wir wollen inGmoduloN rechnen. Zwei Elemente sollen als gleich gelten, wenn sie sich um ein Element ausN unterscheiden: Also wenna = bnf ¨ur einn∈N bzw.a∈bN.

Wir betrachten die NebenklassenzerlegungG/N ={aN|a∈G}und definierenaN·bN = (ab)N.

•Dies ist wohldefiniert: F ¨ura⁰∈aNundb⁰∈bN gilta⁰N = aN, b⁰N = bNundbN = NbwegenbNb⁻¹= N, und dann

(a⁰b⁰)N = a⁰bN = a⁰Nb = aNb = (ab)N.

•bN·N = bN undN·bN = bN, also istN das neutrale Element.

•bN·b⁻¹N = (bb⁻¹)N = N, also istb⁻¹N das Inverse vonbN.

Damit wirdG/N eine Gruppe und f : G→G/N,x7→xNein Epimorphismus (Restklassenhomomorphismus).

9 16. November 2006

Beispiel

G =Z,U = 4Zmit+. DannZ/4Z={0 + 4Z,1 + 4Z,2 + 4Z,3 + 4Z}.

Hieri + 4Z={i + 4 j|j∈Z}.

Es gilt(2 + 4Z) + (3 + 4Z) = (2 + 3) + 4Z= (1 + 4) + 4Z= 1 + 4Z. Also modulo4Rechnen!

G =Z,H =Z/25Z, f :Z→Z/25Z,x7→5x + 25Z. Dannker( f ) = 5Zund im( f ) ={5i + 25Z|0≤i≤4}.

Stets#(G/N) = (G : N).

Ordnungen

SeiGeine Gruppe unda∈G. Dann heißt#haidie Ordnung vona.

Es gilt#hai= min{n∈Z^≥1|aⁿ= e}und#hai |#Gnach Lagrange.

Thm (Fermat): IstGendlich, so gilta^#G= ef ¨ura∈G.

Bew: Es gilta^#G= (a^#hai)^#G/#hai= e^#G/#hai= e.

Thm: Ist#Gprim, so istGzyklisch.

Bew: F ¨ura∈G\{e}folgt#hai>1und#hai |#G, also#hai= #G.

Thm: SindU,V Untergruppen vonGmit teilerfremden Ordnungen, so giltU∩V ={e}.

Bew: Es gilt#(U∩V )|#U und#(U∩V )|#V nach Lagrange. Also

#(U∩V )|gcd{#U,#V}= 1und daher#(U∩V ) = 1.

15 16. November 2006

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

SeiGeine endlich erzeugte abelsche Gruppe.

Thm (Version 1): Es gibt ein eindeutig bestimmtesnund eindeutig bestimmtec_i∈Z^≥0mitc_i|c_i+1f ¨ur1≤i≤n−1, so daß gilt:

G∼=

∏

Z/ciZ.

Thm (Version 2): Es gibtr∈Z^≥0, Primzahlen p_iund Exponenten e_i≥1, so daß

G∼=Z^r×

∏

Z/p^e_iⁱZ

gilt. Die Zahlrund die Paare(pi,ei)sind bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt.

Bemerkung: Die ¨Aquivalenz von Version 1 und 2 beruht auf dem chinesischen Restsatz.

16 16. November 2006

Direktes Produkt

SeienGundH Gruppen. Dann inG×H koordinatenweise die Gruppengesetze definieren:(a1,a2)(b1,b2) = (a1b1,a2b2).

Einheitselement(1G,1H).

Damit wirdG×H zur Gruppe.

EinbettungG→G×H,x7→(x,1_H)vonGist Monomorphismus.

ProjektionG×H→G,(x,y)7→xaufGist Epimorphismus.

Kern der Projektion aufGist Untergruppe{1G} ×HvonG×H.

13 16. November 2006

Erzeuger

Seieng₁, . . . ,gr∈G. Die von deng_ierzeugte UntergruppeU vonG besteht aus allen Elementen vonG, die durch Verkn ¨upfung und Inversion aus dengierhalten werden k ¨onnen.

SchreibweiseU =hg1, . . . ,gri.

Aquivalent kann¨ U als der Schnitt aller Untergruppen vonGdefiniert werden, welche diegienthalten.

Ist die von deng_ierzeugte Untergruppe gleichG, so heißen dieg_iein Erzeugendensystem vonG.

GiltG =hg1, . . . ,grimitr<∞, so heißtGendlich erzeugt.

GiltG =hgi, so heißtGzyklisch.

Homomorphismen sind bereits durch ihre Bildwerte auf Erzeugern definiert.

14 16. November 2006

Beispiel

Ein direktes ProduktZ/3Z×Z×5Z.

Erzeuger:(1 + 3Z,0,0),(0 + 3Z,1,0),(0 + 3Z,0,5).

Ist nicht zyklisch.

Z/5Zhat Erzeuger1 + 5Z. Ist zyklisch.

Z/2Z×Z/3Zist auch zyklisch (!):

Erzeuger(1 + 2Z,1 + 3Z).

Als Gruppen sindZund5Zunterx7→5xisomorph.

Gruppe wie in Thm (Version 1) ist genau dann zyklisch, wennn = 1gilt.

F ¨ur einen endlichen K ¨orperFqgiltF^×q ∼=Z/(q−1)Z.

17 16. November 2006

Exponentiation in Gruppen

Wiegⁿeffizient ausrechnen? Z.B. f ¨urn = 27354268183173165356.

Schreiben =∑^ki=0r_i2ⁱ,r_i∈ {0,1}. Danngⁿ= g^{(···(rk2+rk−1)2+···)2+r0}. Eingabe:gundn≥0.

Ausgabe:gⁿ.

1. Wennn = 0dann Ausgabe von1.

2. Berechne rekursivb←g^ndiv2. Berechneb←b². 3. Wennnungerade, dannb←bg.

4. Ausgabe vonb.

Aufwand≤2(log₂(n) + 1)Operationen (Quadrieren und Multiplizieren).

Von diesem Verfahren gibt es einige Varianten (mit vorberechneter Tabelle, links-rechts, rechts-links, sliding windows,. . .).