arctan x2 3 x = t, 3 dx = dt 7x 5 arcsin t = arcsin( 3 x) u v dx = u v u v dx x dx u = arctan x, v = 1 1+x 2

H¨ohere Mathematik f¨ur technische Studieng¨ange Vorbereitungsaufgaben f¨ur die ¨Ubungen

Integralrechnung f¨ur eine Ver¨anderliche 1. L¨osungshinweise:

(Integrationskonstanten sind weggelassen.) a) R _lnx

x dx=R

tdt= ^t₂² = ^(ln₂^x)2 lnx=t , ^dx_x = dt b) R _cosx

sin²xdx=R _dt

t² =−¹_t =−_sin¹_x sinx=t , cosxdx= dt c) R _x

1+x⁴ dx= ¹₂R _dt

1+t² = ^arctan₂ ^t = ^arctan₂ ^x2 x² =t , 2xdx= dt d) R

3√

7x−5 dx= ⁶₇R

t²dt= ²₇t³= ²₇ √

7x−53 √

7x−5 =t , ₂^√_7x−5⁷ dx= dt ]e) R

cosh³x sinhxdx=R

t³dt= ^t₄⁴ = ^cosh₄^4x coshx=t , sinhxdx= dt f) R _dx

cos²(4x+7) = ¹₄R _dt

cos²t = ^tan₄^t = ^tan(4x+7)₄ 4x+ 7 =t , 4 dx= dt g) R √ _dx

1−(3x²) = ^√1

3

R _dt

√1−t² = ^√1

3arcsin t = ^arcsin(

√

√ 3 x) 3

√

3x=t , √

3 dx= dt h) R

x√

x²+ 1 dx= ¹₂R √

tdt= ¹₃√

t³= ¹₃(x²+ 1)√

x²+ 1 x²+ 1 =t , 2xdx= dt i) R _sinx

√5+cosxdx=−R _dt

√

t =−2√

t=−2√

5 + cosx 5 + cosx=t , −sin dx= dt 2. L¨osungshinweise:

(Integrationskonstanten sind weggelassen.) R

u·v⁰dx=u·v−R

u⁰·vdx a) R

xcosxdx =xsinx−R

1·sinxdx u=x , v⁰= cosx

=xsinx+ cosx b) R

x²sinxdx =x²(−cosx)−R

2x(−cosx) dx u=x² , v⁰= sinx

=−x²cosx+ 2R

xcosxdx u=x , v⁰= cosx

=−x²cosx+ 2xsinx+ 2 cosx (vergl. Aufgabe a) c) R

xe^3xdx =x¹₃e^3x−R

1·¹₃e^3xdx u=x , v⁰= e^3x

= ^x₃e^3x−¹₉e^3x d) R

arctanxdx = (arctanx)x−R ₁

1+x² ·xdx u= arctanx , v⁰ = 1

=xarctanx−¹₂R _2x

1+x² dx Typ: R _f

f

0dx= ln|f|

=xarctanx−¹₂ln(1 +x²) e) R _lnx

√x dx = (lnx) 2x¹² −R ₁

x·2x¹² dx u= lnx , v⁰ = ^√1_x =x⁻¹²

= 2√

xlnx−2R

x⁻¹² dx

= 2√

xlnx−4√ x

= 2√

x(lnx−2)

f) R

(lnx)²dx = (lnx)²x−R _{2 lnx}

x ·xdx u= (lnx)² , v⁰= 1

=x(lnx)²−2R

lnxdx u= lnx , v⁰ = 1

=x(lnx)²−2((lnx)x−R ₁

x ·xdx)

=x(lnx)²−2x lnx+ 2x g) R

e^−xsinxdx = e^−x(−cosx)−R

(−e^−x)·(−cosx) dx u= e^−x , v⁰ = sinx

=−e^−xcosx−R

e^−xcosxdx u= e^−x , v⁰ = cosx

=−e^−xcosx−(+e^−xsinx−R

−e^−xsinxdx)

=−e^−xcosx−e^−xsinx−R

e^−xsinxdx 2R

e^−xsinxdx =−e^−xcosx−e^−xsinx R e^−xsinxdx =−¹₂e^−x(sinx+cosx) h) R

sin²xdx = sinx(−cosx)−R

cosx·(−cosx) dx u= sinx , v⁰ = sinx

=−sinxcosx+R

cos²xdx sin²x+ cos²x= 1

=−sinxcosx+R

(1−sin²x) dx 2R

sin²xdx =−sinxcosx+x

R sin²xdx = ¹₂(x−sinxcosx) sin 2x= 2 sinxcosx

= ¹₄(2x−sin 2x) i) R

cosh²xdx = coshxsinhx−R

sinh²xdx u= coshx , v⁰ = coshx

= coshxsinhx−R

(cosh²x−1) dx cosh²x−sin²x= 1 2R

cosh²xdx = coshxsinhx+x

R cosh²xdx = ¹₂(x+ sinhxcoshx) sinh 2x= 2 sinhxcoshx

= ¹₄(2x+ sinh 2x) 3. L¨osungshinweise:

(Integrationskonstanten sind weggelassen.)

a) Ansatz: (x−1)(x+3)(x−4)^2x2+41x−91 = _x−1^A +_x+3^B +_x−4^C = ^{A(x2−x−12)+B(x}(x−1)(x+3)(x−4)^{2−5x+4)+C(x2+2x−3)}

Koeffizientenvergleich:

2x²+ 41x−91 = (A+B+C)x²+ (−A−5B+ 2C)x+ (−12A+ 4B−3C)

⇒

A+ B+ C= 2

−A−5B+ 2C= 41

−12A+ 4B−3C=−91 ⇒ A= 4 , B=−7 , C = 5 Integration:

R _2x²_+41x−91

(x−1)(x+3)(x−4)dx=R

4

x−1+ _x+3⁻⁷ + _x−4⁵

dx= 4 ln|x−1| −7 ln|x+ 3|+ 5 ln|x−4|

b) Ansatz:

9x²−2x+9

(x−1)²(x²+2x+5) = _x−1^A +_(x−1)^B 2 +_x2^Cx+D+2x+5 = ^{A(x3+x2+3x−5)+B(x}_(x−1)^2+2x+5)+C(x2(x²+2x+5)^{3−2x2+x)+D(x2−2x+1)}

Koeffizientenvergleich:

9x²−2x+ 9 = (A+C)x³+ (A+B−2C+D)x²+ (3A+ 2B+C−2D)x+ (−5A+ 5B+D)

⇒

A + C = 0

A+ B−2C+ D= 9 3A+ 2B+ C−2D=−2

−5A+ 5B + D= 9

⇒ A= 1 , B= 2 , C =−1 , D= 4

Integration: R _9x²_−2x+9

(x−1)²(x²+2x+5) =R

1

x−1 +_(x−1)² 2 +_x2^−x+4+2x+5

dx

= ln|x−1| −_x−1² −¹₂ln (x²+ 2x+ 5) + ⁵₂arctan^x+1₂

c)R _x+2

x³−2x²+xdx=R _x+2

x(x−1)²dx=R

A

x +_x−1^B +_(x−1)^C 2

dx=R

2

x+ _x−1⁻² + _(x−1)³ 2

dx

= 2 ln|x| −2 ln|x−1| − _x−1³ d) R _x²₋₆

(x−1)³ dx=R

A

x−1 +_(x−1)^B 2 +_(x−1)^C 3

dx=R

1

x−1 +_(x−1)² 2 +_(x−1)⁻⁵ 3

dx

= ln|x−1| − _x−1² +_2(x−1)⁵ 2

e)R _4x²_+3x+10

x³+2x²+5xdx=R _4x²_+3x+10

x(x²+2x+5)dx=R

A

x + _x2^Bx+C+2x+5

dx=R

2

x +_x2^2x−1+2x+5

dx

= 2 ln|x|+ ln(x²+ 2x+ 5)− ³₂arctan^x+1₂

Bei Aufgaben f) - i) zuerst Abspalten des ganzrationalen Anteils durch Polynomendivision!

f) Integrand ist unecht gebrochene rationale Funktion, Grad des Z¨ahlerpolynons gr¨oßer als Grad des Nennerpolynons!

Abspalten des ganzrationalen Anteils durch Polynomendivision:

(−2x⁵+ 9x³+ 4x²−4x−7) : (x³−3x−2) =−2x²+ 3 +_x3^5x−1−3x−2

Integration des ganzrationalen Anteil: R

−2x²+ 3 dx=−²₃x³+ 3x Patialburchzerlegung des echt gebrochenen Anteils:

Nullstellen des Nenners:

- Erste Nullstelle x₁ =−1 durch

”Probieren“ mit Teilern des Absolutgliedes−2 :

- Abspalten des Linearfaktors (x−x1) durch Polynomendivision (x³−3x−2) : (x+ 1) =x²−x−2 - Nullstellen des quadratischen Restpolynoms: x₂ =−1, x₃ = 2

⇒ Faktorzerlegung des Nenners (x³−3x−2) = (x+ 1)²(x−2) Ansatz f¨ur gebrochenen Anteil:

5x−1

x³−3x−2 = _x+1^A + _(x+1)^B 2 + _x−2^C = A(x+1)(x−2)+B(x−2)+C(x+1)² (x+1)²(x−2)

Koeffizientenvergleich: 5x−1 = (A+C)x²+ (−A+B+ 2C)x+ (−2A−2B+C)

⇒

x⁰ : −2A−2B+ C=−1 x¹ : −A+ B+ 2C= 5 x² : A + C= 0

⇒ A=−1 , B= 2 , C = 1 Integration der Partialbr¨uche: R

−_x+1¹ +_(x+1)² 2 +_x−2¹

dx=−ln|x+ 1| −_x+1² + ln|x−2|

Zusammenfassung:

R _−2x⁵_+9x³_+4x²_−4x−7

x³−3x−2 dx=−²₃x³+ 3x−ln|x+ 1| −_x+1² + ln|x−2|

g)R _2x²_+9x+12

x²+6x+10 dx=R

2−_x2+6x+10^3x+8

dx= 2x−³₂ln(x²+ 6x+ 10) + arctan(x+ 3) h) R _3x⁴

x⁴+5x²+4dx=R

3−_x^15x_4+5x²⁺¹²₂₊₄

dx= 3x−R _15x²₊₁₂

(x²+4)(x²+1)dx= 3x−R

Ax+B

x²+4 + ^Cx+D_x2+1

dx

= 3x−R

16

x²+4 +_x2¹+1

dx= 3x−8 arctan^x₂ + arctanx

i) R _x⁴_+10x²_−5x−1

x³−x²+4x−4 dx=R

x+ 1 + _x3^7x−x^2−5x+32+4x−4

dx= ^x₂² +x+R _7x²_−5x+3

(x−1)(x²+4)dx

= ^x₂² +x+R

A

x−1 +^Bx+C_x2+4

dx= ^x₂² +x+R

1

x−1 +^6x+1_x2+4

dx

= ^x₂² +x+ ln|x−1|+ 3 ln(x²+ 4) + ¹₂arctan^x₂ 4. L¨osungshinweise:

(Integrationskonstanten sind weggelassen.) a) Substitution √

x=t , x=t² , dx= 2tdt und partielle Integration:

R e

√xdx= 2R

te^tdt= 2(te^t−R

e^tdt) = 2(te^t−e^t) = 2e

√x(√ x−1) b) Doppelwinkelformel: 1−cos 4x= 1−cos²2x+ sin²2x= 2 sin²2x ⇒ R √

1−cos 4xdx=R √

2 sin²2xdx=√ 2R

sin 2xdx=−

√2 2 cos 2x c) Zweimal partiell integrieren:

R x²cos 3xdx= ¹₃x²sin 3x− ²₃R

xsin 3xdx , R

xsin 3xdx=−¹₃xcos 3x+¹₃R

cos 3xdx

⇒ R

x²cos 3xdx= (^x₃² −₂₇²) sin 3x+²₉xcos 3x. d) Zweimal partiell integrieren:

R e^x sinxdx= e^x(−cosx) +R

e^x cosxdx=−e^xcosx+ e^x sinx−R

e^x sinxdx

⇒ 2R

e^x sinxdx= e^x sinx−e^x cosx ⇒ R

e^x sinxdx= ¹₂e^x(sinx−cosx) . e) Substitution cosx=t , −sinxdx= dt :

R _sin³_x

cos⁴xdx =R _sin²_x

cos⁴xsinxdx=R _1−cos²_x

cos⁴x sinxdx=−R _1−t²

t⁴ dt=R ₋₁

t⁴ dt+R ₁

t² dt

= _3t¹3 − ¹_t = _{3 cos}¹3x −_cos¹_x . f) Substitution e^x=t , dx= ^dt_t : R _dx

e^x+e^−x =R ₁

t+¹_t dt

t =R ₁

t²+1dt= arctant= arctan e^x .

g) Substitution x= 2 sint , dx= 2 costdt, Doppelwinkelformeln:

R √

4−x²dx =R p

4−4 sin²t2 costdt=R

4 cos²tdt=R

2 (1 + cos 2t) dt

= 2t+ sin 2t= 2t+ 2 sintcost= 2t+ 2 sintp

1−sin²t

= 2 arcsin^x₂ +^x₂√

4−x² .

h) Substitution x= sinht , dx= coshtdt, Beziehungen Hyberbelfunktionen:

R _2x²

√

1+x² dx =R √_{2 sinh}²_t

1+sinh²t coshtdt=R

2 sinh²tdt=R

(cosh 2t−1) dt

= ¹₂sinh 2t−t= sinhtcosht−t= sinhtp

1 + sinh²t−t

=x√

1 +x²−arsinhx .

i) Nach Umformung Substitution ^x−2₂ =t , ¹₂dx= dt : R _dx

√

x²−4x+8 =R √ _dx

(x−2)²+4 =R _dx

2 q

(^x−22 )²⁺¹ =R _dt

√

t²+1 = arsinht= arsinh ^x−2₂ . j) Substitution e^x=t , dx= ^dt_t :

R _e^3x

e^x+1dx =R _t³

t+1 dt

t =R _t²

t+1dt=R

t−1 +_t+1¹

dt= ^t₂² −t+ ln|t+ 1|

= ^e2x₂ −e^x+ ln (e^x+ 1) .

k) Substitution tan^x₂ =t , sinx= _1+t^2t2 , dx= _1+t^2dt2

R _dx

sinx =R _1+t²

2t 2dt

1+t² =R _dt

t = ln|t|= ln|tan^x₂|.

l) Substitution tan^x₂ =t , cotx= ^1−t_2t² , dx= _1+t^2dt2 und Partialbruchzerlegung:

R(1−cot²x) dx =R

1−

1−t² 2t

2

2dt

1+t² =−¹₂R _t⁴_−6t²₊₁

t²(1+t²) dt=−¹₂R

1 +_t^−7t2(1+t²⁺¹²)

dt

=−¹₂t−¹₂R

A

t + ^B_t2 +^Ct+D_1+t2

dt=−¹₂t−¹₂R

1

t² +_1+t⁻⁸2

dt

=−¹₂t+_2t¹ + 4 arctant=−¹₂tan^x₂ +_{2 tan}¹ x

2 + 2x= ^−tan

2 x 2+1 2 tan^x₂ + 2x

= _tan¹_x + 2x= cotx+ 2x .

Es geht aber auch einfacher! Wenn man sich in den Ableitungen der elementaren Funktionen auskennt, dann weiss man, das (cotx)⁰ =−1−cot²x. Bis auf eine additive Konstante ist das (fast) der Integrand. Durch einfache Umformung bekommt man deshalb

R(1−cot²x)dx=R

(2−1−cot²x)dx=R

2dx+R

(−1−cot²x)dx= 2x+ cotx.

5. L¨osungshinweise:

a) Substitution tanx=t , dx= _1+t^dt2 ⇒ R tan³xdx=R _t³

1+t² dt=R

t−_1+t^t2

dt=R

tdt−¹₂R _2t

1+t² dt= ^t₂² − ¹₂ln(1 +t²) +C

= ¹₂tan²x−¹₂ln(1 + tan²x) +C b) Substitution cosx=t , sinx=√

1−t² , dx=−^√dt

1−t² ⇒

R tan³xdx=R^√

1−t² t³

3

√dt 1−t²

=R _dt

t −R _dt

t³ = ln|t|+_2t¹2 +Ce= ln|cosx|+_{2 cos}¹2x+Ce Wegen _cos¹2x = ^sin2_cos^x+cos2x^2x = tan²x+ 1 gilt

1

2tan²x−¹₂ln(1 + tan²x) +C= ¹_{2 cos}¹2x−1

−¹₂ln_cos¹2x+C= _{2 cos}¹2x −¹₂+ ln√

cos²x+C

= _{2 cos}¹2x+ ln|cosx|+C−¹₂ ,

die gefundenen L¨osungen unterscheiden sich also nur um eine additive Konstante und gehen f¨ur Ce=C−¹₂ ineinander ¨uber.

6. L¨osungshinweise:

a) Substitution 1 +√

x=t , ₂^√1_xdx= dt , dx= 2(t−1) dt :

9

R

1

√x 1+√

xdx =

4

R

2 t−1

t 2(t−1) dt= 2

4

R

2

t−2 +¹_t

dt= 2h

t²

2 −2t+ ln|t|i4

2= 4 + 2 ln 2 . b) Uneigentliches Integral, Nenner unbeschr¨ankt f¨urx→0 :

Unbestimmtes Integral (Z¨ahler ist Ableitung des Nenners): R _e^x

e^x−1dx= ln|e^x−1|

UnerlaubteAnwendung des Haupsatzes der Integralrechnung f¨uhrt auf denFehler:

1

R

−1 e^x e^x−1dx=

ln|e^x−1|

1

−1

= ln|e−1| −ln ¹_e −1

= _{ln (1−}^{ln (e−1)}1

e) = ^{ln (e−1)}

ln (^e−1_e ) = _{ln (e−1)−1}^{ln (e−1)} . Erforderlich ist jedoch die Grenzwertbetrachtung (ε, µ unabh¨angig voneinander !)

1

R

−1 e^x

e^x−1dx= lim

ε→+0

−ε

R

−1 e^x

e^x−1dx+ lim

µ→+0 1

R

µ e^x e^x−1dx

= lim

ε→+0 ln _e¹_ε −1

−ln ¹_e −1

+ lim

µ→+0(ln|e−1| −ln|e^µ−1|)

= _{ln (e−1)−1}^{ln (e−1)} + lim

ε→+0ln _e¹ε −1

− lim

µ→+0ln|e^µ−1|= (−∞+∞) , divergent.

c) Substitution √

x²−1 =t , ^{√ x}

x²−1dx= dt , xdx=tdt, partielle Integration:

2

R

1

xe

√x²−1dx =

√ 3

R

0

te^tdt= te^t

√ 3

0 −

√ 3

R

0

e^tdt= e

√3(√

3−1) + 1 .

7. L¨osungshinweise:

a)f(x) =x³−7x²+ 10x= 0 f¨urx= 0, x= 2, x= 5 , lim

x→±∞f(x) =±∞ ⇒ A=

2

R

0

(x³−7x²+ 10x) dx

+

5

R

2

(x³−7x²+ 10x) dx

= ¹⁶₃ +¹⁸⁹₁₂ = ²⁵³₁₂ . b) y = 2√

x , definiert f¨ur x ≥ 0 , y = √

1−x , definiert f¨ur x ≤ 1 , sind nichtnegativ und schneiden sich bei x = ¹₅ . Die von beiden Kurven (und der x-Achse) eingeschlossene Fl¨ache hat den Inhalt:

A= 2

1 5

R

0

√xdx+

1

R

1 5

√1−xdx= 2h

2 3x³²i¹₅

0

−h

2

3(1−x)³²i1

1 5

= ₁₅⁴ √ 5 .

8. L¨osungshinweise:

x0

R

0

e^x2 dx=

4

R

x0

e^x2 dx , 2h e^x2ix0

0 = 2 h e^x2i4

x0

, e^x20 −1 = e²−e^x20 , e^x20 = ^e2₂⁺¹ , x₀ = 2 ln

e²+1 2

.

9. L¨osungshinweise:

Der Fl¨acheninhalt a ist gerade das Doppelte der Fl¨ache, die begrenzt wird von der x-Achse, der Geraden y= _x^y0

0 x und dem Hyperbelbogen. Es gilt also a= 2

y0

R

0

p

1 +y²−^x_y⁰

0 y dy . In einer Nebenrechnung findet man: (partielle Integration u=p

1 +y² , v⁰ = 1) R p1 +y²dy=p

1 +y²·y−R ₁

2

√2y

1+y² ·ydy =yp

1 +y²−R _y√²₊₁₋₁

1+y² dy

=yp

1 +y²−R p

1 +y²dy+R √₁

1+y²dy

⇒ 2R p

1 +y²dy=yp

1 +y²+ arsinhy , R p

1 +y²dy= ¹₂ yp

1 +y²+ arsinhy (∗)

L¨osungsvariante: Substitution y = sinht , p

1 +y² = p

1 + sinh²t = cosht , dy = coshtdt f¨uhrt auf das Integral R

cosh²tdt= ¹₂(sinhtcosht+t) (gel¨ost durch partielle Integration in einer fr¨uheren Aufgabe). R¨ucksubstitution (t= arsinhy) ergibt wieder (∗) .

Damit erh¨alt man unter Beachtung von x₀ =p

1 +y₀² , daß a= 2

y0

R

0

p

1 +y²− ^x_y⁰

0 y

dy = yp

1 +y²+ arsinhy−^x_y⁰

0 y²

y0

y=0

=y0

p1 +y02+ arsinhy0−x0y0= arsinhy0 . Folglich gilt y0= sinha und also auch x0 =p

1 + sinh²a= cosha. 10. L¨osungshinweise:

Mittelwertsatz:

b

R

a

f(x) dx=f(c)(b−a) R2

0

1−(x−1)²dx= x−¹₃(x−1)³

2

0 = ⁴₃ =^! f(c)(2−0)

⇒ 1−(c−1)²= ²₃ , c_1,2= 1± ¹₃√ 3 11. L¨osungshinweise:

Bogenl¨ange f¨ur ebene Kurven in kartesischen

Koordinaten y=f(x) , a≤x≤b : s=

b

R

a

p1 + [f⁰(x)]²dx .

a)y = ^x₁₂³ + ¹_x , x∈[2,4], s=

4

R

2

r 1 +

x²

4 − _x¹₂2

dx=

4

R

2

x² 4 +_x¹2

dx=h

x³ 12 −¹_xi4

2= ⁵⁹₁₂ . b) y= ln sinx , x∈[^π₃,^π₂] ; Substitution tan^x₂ =t , sinx= _1+t^2t2 , dx= _1+t^2dt2 ,

s=

π

R2 π 3

q

1 + ^cos_sin^x_x2

dx=

π

R2 π 3

1 sinxdx=

tan^π₄

R

tan^π₆ 1+t²

2t 2dt 1+t² =

1

R

√ 3 3

dt t =h

ln|t|i1

√ 3 3

= ¹₂ln 3 .

c)y = arcsin e^−x , x∈[ln 2; 1] ; Substitution e^x=t , s=

1

R

ln 2

s 1 +

−e^−x

√

1−(e^−x)²

2

dx=

1

R

ln 2

q1−e^−2x+e^−2x 1−e^−2x dx=

1

R

ln 2

q 1 1−e^−2xdx

=

1

R

ln 2

q e^2x e^2x−1dx=

1

R

ln 2 e^x

√e^2x−1dx=

1

R

ln 2 e^x

√e^2x−1dx=

e

R

2

√1 t²−1dt

= h

arcosht ie

2 = h

ln (t+√ t²−1)

ie

2 = ln (e +√

e²−1)−ln (2 +√ 3) .

Bogenl¨ange f¨ur ebene Kurven in Parameter-

darstellung x=x(t) , y=y(t) , a≤t≤b : s=

b

R

a

px˙²+ ˙y²dt d) x=t² , y = 2t³ , 0≤t≤

√ 3

3 : p

˙

x²+ ˙y² =p

4t²(1 + 9t²) = 2t√

1 + 9t²,

s= 2

√ 3

R3

t=0

t√

1 + 9t²dt= ₂₇²

(1 + 9t²)

√ 3 3

t=0 = ¹⁴₂₇ . e) x= ¹₂t² , y=tcosht−sinht , 0≤t≤1 : p

˙

x²+ ˙y² =p

t²+t²sinh²t=tcosht, s=

1

R

t=0

tcoshtdt= [tsinht−cosht]¹_t=0 (Partielle Integration)

= sinh 1−cosh 1 + cosh 0 = e¹−e⁻¹

2 −e¹+e⁻¹

2 + 1 = 1−1 e . 12. L¨osungshinweise:

(a) L1 =

x1

Z

0

p1 + (y⁰)²dx=

x1

Z

0

√

1 +xdx= 2

3(1 +x)³²

x1

0

= 2 3

h

(1 +x1)³² −1 i _!

= 14 3

⇒ x₁ = 14

3 ·3 2+ 1

³₂

−1 =√³

8 ²−1 = 3

⇒ y₁= 2 3

3³²

= 2 3

√

3³ = 2√ 3 L₂=

q

x²₁+y₁² =√

9 + 12 =√ 21 L=L₁+L₂= 14

3 +√ 21 (b) A=

x1

Z

0

y1

x₁ x−2 3x³²

dx=

3

Z

0

2√ 3 3 x−2

3x³²

! dx=

√ 3

3 x²−14 5 x⁵²

3

0

= 3 5

√ 3

13. L¨osungshinweise:

(a) V =π

ln 2

Z

0

f(x)²dx= 2π

ln 2

Z

0

e^2xdx= π 2

e^2xln 2

0 = π

2

e^{2 ln 2}−e⁰

= 3 2π M = 2π

ln 2

R

0

f(x)p

1 + [f⁰(x)]²dx= 2π

ln 2

R

0

e^x√

1 + e^2xdx

Substitution: e^x =t , x= lnt , e^xdx= dt , t1 = e⁰ = 1 , t2 = e^{ln 2}= 2 M = 2π

2

R

1

√1 +t²dt

1. Variante zur L¨osung des IntegralsR √

1 +t²dt Substitution t= sinhu , u= arsinht= ln(t+√

t²+ 1), dt= coshudu , u1 = arsinh 1 = ln(1 +√

2), u2 = arsinh 2 = ln(2 +√ 5) und Anwendung von Beziehungen zwischen Hyperbelfunktionen liefert

M = 2π

u2

R

u1

p1 + sinh²u coshudu= 2π

u2

R

u1

cosh²udu= 2π

u2

R

u1

1

2(cosh 2u+ 1) du

=π ₁

2sinh 2u+uu2

u1 =π [sinhucoshu+u]^u_u²

1 =π h

sinhup

1 + sinh²u+uiu2

u1

=π h

t√

1 +t²+ ln(t+√ t²+ 1)

it2=2

t1=1 (?)

=π

2√

5 + ln(2 +√ 5)−√

2−ln(1 +√ 2)

=π

2√ 5−√

2 + ln²⁺

√5 1+√

2

2. Variante zur L¨osung des IntegralsR √

1 +t²dt (Standard-)Substitution f¨ur Integrale der FormR

R(t;√

1 +t²) dt(siehe Formelsammlungen) t= ^v2_2v⁻¹ , v=t+√

t²+ 1, √

t²+ 1 = ^v2_2v⁺¹ , dt= ^v_2v²⁺¹2 dv , v1= 1 +√

2 , v2= 2 +√ 5 M = 2π

v2

R

v1

v²+1 2v

v²+1

2v² dv= ^π₂

v2

R

v1

v⁴+2v²+1

v³ dv = ^π₂

v2

R

v1

v+ ²_v +_v¹3

dv= ^π₂ hv²

2 + 2 ln|v| − _2v¹2

iv2

v1

=π h_(t+^√_t2+1)2

4 − ¹

4(t+√

t²+1)² + ln(t+√

t²+ 1)it2=2

t1=1 (??)

Vergleicht man (?) mit (??), so besteht keine offensichtliche ¨Ubereinstimmung. Man rechnet jedoch (durch geeignetes Erweitern und Anwendung der binomischen Formeln) leicht nach, daß

(t+√ t²+1)²

4 − ¹

4(t+√

t²+1)² = ¹₄

(t+√

t²+ 1)²−

t−√ t²+1 (t+√

t²+1)(t−√ t²+1)

2

= ¹₄

(t+√

t²+ 1)²−

t−√ t²+1 t²−(t²+1)

2

= ¹₄n (t+√

t²+ 1)²−(t−√

t²+ 1)²o

= ¹₄

t²+ 2t√

t²+ 1 +t²+ 1−(t²−2t√

t²+ 1 +t²+ 1)

=t√ t²+ 1 3. Variante zur L¨osung des IntegralsR √

1 +t²dt , partielle Integrationu=√

1 +t² , v⁰= 1 R √

1 +t²dt=√

1 +t²·t−R ₁

2

√2t

1+t² ·tdt=t√

1 +t²−R _t²₊₁₋₁

√ 1+t² dt

=t√

1 +t²−R √

1 +t²dt+R ₁

√ 1+t² dt

⇒ 2R√

1 +t²dt=t√

1 +t²+ arsinht , R√

1 +t²dt= ¹₂ t√

1 +t²+ ln(1 +√

1 +t²)

(b) y= e^x , 0≤x≤ln 2 ⇐⇒ x= lny , 1≤y≤2 V =π

2

Z

1

g(y)²dy =π

2

Z

1

(lny)²dy =_{(N R)} π

y(lny)²−2y lny+ 2y2 1

=π 2 (ln 2)²−4 ln 2 + 4− (ln 1)²−2 ln 1−2

= 2π (ln 2)²−2 ln 2 + 1

= 2π(1−ln 2)²

14. L¨osungshinweise:

Bei entsprechender Wahl des Koordinatensystems (Skiz- ze) ergibt sich das gesuchte Volumen als Differenz der Volumina der f¨ur √

R²−r² ≤ x ≤ −√

R²−r² von f(x) = √

R²−x² (Kugelscheibe) bzw. g(x) = r (Zylinder) erzeugten Rotationsk¨orper:

V =π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

f(x)²dx − π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

g(x)²dx

= 2π

√ R²−r²

Z

0

R²−x²−r² dx

= 2π

(R²−r²)x−1 2x³

√ R²−r² 0

= 4 3π p

R²−r²3

Anstelle mit dem 2. Integral im Ansatz l¨aßt sich das entsprechende Zylindervolumen nat¨urlich auch elementar berechnen als πr²·2√

R²−r² .

Die Oberfl¨ache erh¨alt man als Summe der Mantelfl¨achen der Kugelscheibe (

”Außenfl¨ache“) und des Zylinders (

”Innenfl¨ache“):

A_O= 2π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

f(x)p

1 + [f⁰(x)]²dx + 2π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

g(x)p

1 + [g⁰(x)]²dx

= 2π

√R²−r²

Z

−√ R²−r²







pR²−x² s

1 + 1

2

√ 1

R²−x²(−2x) 2

+ r





 dx

= 2π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

(

pR²−x²

rR²−x²+x² R²−x² + r

) dx

= 2π

√ R²−r²

Z

−√ R²−r²

(R+r) dx= 4π(R+r)p

R²−r²

15. L¨osungshinweise:

a)

∞

R

−∞

dx

1+x² = lim

a→−∞

c

R

a dx

1+x² + lim

b→∞

b

R

c dx

1+x² =− lim

a→−∞arctana+ lim

b→∞arctanb

=− −^π₂ + ^π₂

=π . b)

∞

R

−∞

dx

cosh²x = lim

a→−∞

c

R

a dx

cosh²x + lim

b→∞

b

R

c dx

cosh²x =− lim

a→−∞tanha+ lim

b→∞tanhb

=−(−1) + 1 = 2 . c)

∞

R

e dx

xlnx = lim

b→∞

b

R

e

1 x

lnxdx= lim

b→∞ln(lnb)−ln(ln e) =∞ , bestimmt divergent.

d)

∞

R

0

cos(nx) dx= lim

b→∞

b

R

0

cos(nx) dx= _n¹ lim

b→∞sin(nb) , unbestimmt divergent.

e)

a

R

0

√dx

a²−x² = lim

t→a−0 1 a

t

R

0 dx q

1−(^xa)² = lim

t→a−0

arcsin^x_at

0 = lim

t→a−0 arcsin_a^t = ^π₂ . L¨osungsvariante:Substitution x=asinu , dx=acosudu , u= arcsin^x_a :

a

R

0

√dx

a²−x² = lim

t→a−0 t

R

0

√ dx

a²−x² = lim

t→a−0 arcsin^t_a

R

arcsin 0

acosu

√

a²−a²sin²udu= lim

t→a−0 arcsin_a^t

R

0

acosu a

√

1−sin²udu

= lim

t→a−0 arcsin_a^t

R

0

du= lim

t→a−0arcsin_a^t = ^π₂ . f)

1

R

−1

√dx

|x| = lim

ε→+0

−ε

R

−1

√dx

−x + lim

µ→+0 1

R

µ

√dx

x = lim

ε→+0

−2√

−x−ε

−1+ lim

µ→+0[2√ x]¹_µ

= lim

ε→+0−2√

ε+ 2 + 2−2 lim

µ→+0

õ= 4 .

g)

π

R2

0 cosx

1−sinxdx=− lim

t→^π₂−0 t

R

0

−cosx 1−sinxdx

=R _f⁰

f = ln|f|

=− lim

t→^π₂−0[ln|1−sinx|]^t₀=− lim

t→^π₂−0(ln|1−sint|) =∞ , divergent.

h)

9

R

0 dx

√3

(x−1)² = lim

ε→+0 1−ε

R

0

(1−x)⁻²³ dx+ lim

µ→+0 9

R

1+µ

(x−1)⁻²³ dx

= lim

ε→+0

h

−3p³

(1−x) i1−ε

0 + lim

µ→+0

h 3p³

(x−1) i9

1+µ

= lim

ε→+0(−3√³

ε) + 3 + 6− lim

µ→+03√³ µ= 9 .