Gesamtscript zur Vorlesung Lineare Algebra I. Prof.'in Dr. Salma Kuhlmann

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Gesamtscript zur Vorlesung Lineare Algebra I

Prof.'in Dr. Salma Kuhlmann

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Inhaltsverzeichnis zur Vorlesung: Lineare Algebra I Prof.’in Dr. Salma Kuhlmann

Kapitel 1 Lineare Gleichungen

§ 1 K¨ orper 1.-4. Vorlesung

§ 2 Lineare Gleichungssysteme 4.-5. Vorlesung

§ 3 Matrizen 5.-6. Vorlesung

§ 4 Homogene Systeme 7. Vorlesung

§ 5 Matrixprodukt 7. Vorlesung

§ 6 Elementare Matrizen 8.-10. Vorlesung

Kapitel 2 Vektorr¨ aume

§ 1 Definitionen und Beispiele 10. Vorlesung

§ 2 Unterraum 11. Vorlesung

§ 3 Basis und Dimension 12.-13. Vorlesung

§ 4 Koordinaten 14.-15. Vorlesung

§ 5 Zeilenraum 16. Vorlesung

Kapitel 3 Lineare Abbildungen

§ 1 Definitionen und Beispiele 17. Vorlesung

§ 2 Bild und Nullraum 17. Vorlesung

§ 3 Die Algebra L(V, W ) 18. - 20. Vorlesung

§ 4 Matrix-Darstellung 20.-21. Vorlesung

§ 5 Lineare Funktionale und Dualraum 22.-24. Vorlesung

§ 6 Das Bidual 24.-25. Vorlesung

§ 7 Die Transponierte 25.-26. Vorlesung

§ 8 Quotientenraum 26.-27. Vorlesung

(3)

1 1 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

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Kapitel 1: § 1 K¨ orper

Bezeichnung 1.1.

N := {1, 2, . . .} die Menge der nat¨ urlichen Zahlen N

0

:= {0, 1, . . .} = {0} ∪ N .

Z := Menge der ganzen Zahlen, Q := Menge der rationalen Zahlen, R := Menge der reellen Zahlen.

Q

^×

= Q \{0}

R

^×

= R \{0}

Definition 1.2.

(i) Eine Verkn¨ upfung (oder bin¨ are Operation) (auf einer Menge G) ist eine Funktion:

∗ : G × G → G.

Bezeichnung 1.3.

∗ (g, h) := g ∗ h (ii) Sei G 6= ∅.

Das Paar (G, ∗) ist eine Gruppe, wenn

Assoziativ - (g ∗ h) ∗ k = g ∗ (h ∗ k) ∀g, h, k, ∈ G Neutrales Element - ∃e ∈ G s.d.

e ∗ g = g = g ∗ e ∀g ∈ G Ex. von Inversen - ∀g ∈ G∃h ∈ G s.d.

g * h = e = h * g

NB: Eindeutigkeit von neutralem Element und Inversen; siehe ¨ UB.

Kommutativ - g ∗ h = h ∗ g ∀h, g oder abelsch

Beispiel 1.4.

I) ( Z , +), ( Q , +), ( R , +) II) ( Q

^×

, ·), ( R

^×

, ·)

III) F := {f|f : R → R }

Verkn¨ upfung: f, g ∈ F definiere f + g : R → R mit (f + g)(r) := f (r) + g(r) ∀r ∈ R .

(4)

2 Neutrales Z : R → R

Z(r) = 0 ∀r ∈ R

Inverse

−f : R → R

(−f)(r) := −(f(r)) ∀r ∈ R .

Dies sind abelsche (siehe ¨ Ubungsblatt f¨ ur nicht abelsche) und unendliche Gruppen. Wir konstruieren nun Beispiele von endlichen Gruppen.

Divisionsalgorithmus:

Seien a, b, ∈ Z ; b > 0. ∃! q, r ∈ Z mit 0 ≤ r < b und a = bq + r.

Beweis

Betrachte zun¨ achst den Fall a > 0. Falls 0 < a < b setze q := 0 und r := a, sonst a ≥ b.

Betrachte die Menge S := {s ∈ N ; sb ≤ a}. 1 ∈ S also S 6= ∅; und S ist endlich.

Setze q := max S

r := a − qb (also r = 0 gdw a = qb) Behauptung

0 ≤ r

| {z }

< b r ≥ 0

gilt per Definition.

Widerspruchsbeweis:

Wenn r ≥ b, dann a − qb ≥ b i.e. a ≥ qb + b i.e. a ≥ (q + 1)b, also q + 1 ∈ S aber q + 1 > q. - Widerspruch.

Eindeutigkeit a = q

1

b + r

1

a = q

₂

b + r

₂

(†).

Also von (†) : 0 = (q

2

− q

1

)b + (r

2

− r

1

).

Widerspruchsbeweis:

Wenn r

₁

> r

₂

, dann (r

₁

− r

₂

) > 0. Also ergibt sich aus (†) : 0 < (r

1

− r

2

) = (q

2

− q

1

)b

| {z }

b>0,

(∗)

Also (q

2

− q

1

) > 0. Also (q

2

− q

1

)b ≥ b.

Andererseits: r

₁

< b und r

₂

> 0 also (r

₁

− r

₂

) < (b − r

₂

) ≤ b.

Mit (∗) erh¨ alt man einen Widerspruch: linke Seite in (∗) :< b; rechte Seite in (∗) :≥ b. - Wider- spruch.

Also r

₁

= r

₂

und mit (†) bekommt man auch q

₁

= q

₂

.

(5)

Script 1: Lineare Algebra I 3

Sei nun c ∈ Z , c ≤ 0. Wenn c = 0, setze q := 0 und r := c, c = 0 = 0b + 0. Wenn c < 0, setze a := (−c), dann ist a > 0. Also ∃!q, r mit 0 ≤ r < b und a = bq + r.

r = 0 ⇒ c = −a = b(−q)

r 6= 0 ⇒ c = −a = b(−q) + (−r)

= b(−q) − b + (b − r)

= b(−q − 1) + (b − r)

= b[−(q + 1)] + (b − r)

| {z }

0<r<b

also 0 > −r > −b

also b > (b − r) > 0.

(6)

1 2 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Aus Divisionsalgorithmus: Sei n ∈ N ; n > 1. Z

n

:= {0, . . . , n − 1} ist die Menge der “Reste”

f¨ ur die Division durch n.

Bezeichnung 2.1.

a ∈ Z ; a := Rest der Division von a durch n.

i.e. a = qn + a 0 ≤ a < n i.e. mit a ∈ {0, . . . , n − 1}.

Wir definieren eine Verkn¨ upfung:

F¨ ur x, y ∈ Z

n

definiere x +

_n

y := x + y.

Behauptung 2.2.

( Z

n

, +n) ist eine abelsche Gruppe.

Fall 1 n = 1 Z

n

= {0} die triviale Gruppe.

Fall 2 Sei n ≥ 2. Die Verkn¨ upfung ist wohldefiniert.

Kommutativ? Seien x, y ∈ Z

n

. x +

_n

y = y +

_n

x ? L.S. berechnen:

x +

_n

y = x + y = y + x = y +

_n

x

Def. von +

_n

weil ( Z , +) Def. von +

_n

abelsche Gruppe

Assoziativ? Seien x, y, z ∈ Z

n

. (x +

_n

y) +

_n

z = x +

_n

(y +

_n

z)

? Berechne L.S.:

Setze x + y = r

₁

und r

₁

+ z := r

₂

.

Also x + y = q

1

n + r

1

, und r

1

+ z = q

2

n + r

2

. Also (x + y) + z = (q

₁

+ q

₂

)n + r

₂

. (∗)

Berechnung der R.S.:

Setze y + z := r

₃

und x + r

₃

:= r

₄

.

Also y + z = q

₃

n + r

₃

und x + r

₃

= q

₄

n + r

₄

. Also x + (y + z) − q

3

n = q

4

n + r

4

.

Also x + (y + z) = (q

₃

+ q

₄

)n + r

₄

. (∗∗)

(7)

Script 2: Lineare Algebra I 2

Nun vergleiche (∗) und (∗∗) und beachte, dass (x + y) + z = x + (y + z) in Z . Also (x + y) + z = (q

₁

+ q

₂

)n + r

₂

=

x + (y + z) = (q

3

+ q

4

)n + r

4

Eindeutigkeit von Rest im Divisionsalgorithmus ⇒ r

₂

= r

₄

i.e. x + y + z = x + y + z

i.e. (x +

_n

y) +

_n

z = x +

_n

(y +

_n

z) wie erw¨ unscht.

• Ex. von neutralem Element 0 ∈ Z

ⁿ

. Sei x ∈ Z

ⁿ

. x +

_n

0 = x

?

x +

_n

0 = x + 0 = x.

Aber f¨ ur x ∈ Z

n

gilt x = x. Also x +

_n

0 = x.

• Ex. von additiven Inversen.

Sei x ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Falls x = 0, setze −x = 0.

Sei nun x 6= 0 und setze −x := (n − x) ∈ Z

n

.

Es gilt x +

_n

(−x) = x + (−x) = n = 0 wie erw¨ unscht.

Definition 2.3.

Ein Tripel (R, +, ·) ist ein Ring mit Eins, falls:

• R ist eine nichtleere Menge und

• +, · sind Verkn¨ upfungen auf R und

• (R, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ∈ R und (R, ·) ist ein Monoid, d.h.

• · ist assoziativ und es existiert 1 ∈ R mit x · 1 = 1 · x = x ∀x ∈ R und

• 1 6= 0 und

• die Distributivit¨ atsgesetze gelten:

Links: x · (y + z) = (x · y) + (x · z) ∀x, y, z ∈ R und Rechts: (y + z) · x = (y · x) + (z · x) ∀x, y, z ∈ R

Definition 2.4.

Ein Ring (R, +, ·) ist kommutativ falls x · y = y · x ∀x, y ∈ R.

(8)

Script 2: Lineare Algebra I 3

Beispiel 2.5.

( Z , +, ·), ( Q , +, ·), ( R , +, ·).

Gibt es endliche Beispiele?

Auf Z

n

definieren wir: x ·

_n

y := xy.

Ubungsaufgabe: Pr¨ ¨ ufe, dass f¨ ur n > 1 ( Z

n

, +

_n

, ·

_n

) ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Bezeichnung 2.6.

F

^×

:= F \{0}.

Definition 2.7. q

(F, +, ·) ist ein K¨ orper, falls F 6= ∅, (F, +) und (F

^×

, ·)

abelsche Gruppen sind mit 0 bzw. 1 als neutrale Elemente, 1 6= 0 und die Distributivit¨ atsgesetze gelten.

Bemerkung 2.8.

Also (F, +, ·) ist ein K¨ orper, falls (F, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins ist und alle x ∈ F

^×

sind multiplikativ invertierbar, d.h. ∃x

⁻¹

∈ F

^×

mit x · x

⁻¹

= 1.

Beispiel 2.9.

( Q , +, ·), ( R , +, ·) und sp¨ ater ( C , +, ·) sind K¨ orper.

Frage

Gibt es endliche K¨ orper? Insbesondere betrachten wir nun die Frage:

Ist der Ring ( Z

ⁿ

, +, ·) ein K¨ orper?

Wir werden zeigen: ( Z

n

, +, ·) ist ein K¨ orper, genau dann, wenn n = p Primzahl.

(9)

1 3 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

In Script 2 haben wir gesehen, dass f¨ ur n > 1 ( Z

n

, +

_n

, ·

_n

) ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Wir wollen nun zeigen, dass ( Z

n

, +

_n

, ·

_n

) ein K¨ orper ist, genau dann, wenn n = p eine Primzahl (Definition siehe unten) ist.

“⇒”:

Lemma 3.1.

Jeder K¨ orper ist ein Integrit¨ atsbereich, d.h. aus xy = 0 folgt x = 0 oder y = 0, ∀x, y.

Beweis

Sei xy = 0 und x 6= 0. Also x

⁻¹

(xy) = x

⁻¹

0 = 0, d.h. (x

⁻¹

x)y = 1.y = y = 0.

Bemerkung 3.2.

Hier haben wir benutzt:

∀z(z.0) = 0. ( ¨ Ubungsaufgabe).

Sei nun n > 1. Wir zeigen:

Korollar 3.3.

Sei n > 1, ( Z

ⁿ

, +

_n

, ·

_n

) K¨ orper ⇒ n = p ist eine Primzahl.

Beweis

Annahme: n ist keine Primzahl. Also n = xy mit 1 < x < n, 1 < y < n.

Also x, y, ∈ Z

n

, x 6= 0, y 6= 0, aber x ·

_n

y = xy = 0. Also ist ( Z

n

, +

_n

, ·

_n

) kein K¨ orper.

“⇐”:

Wir wollen nun zeigen, dass n = p Primzahl ⇒ ( Z

p

, +

_p

, ·

_p

) ist ein K¨ orper.

Daf¨ ur wollen wir explizit die multiplikativen Inversen berechnen: Der Euklidische Algorithmus.

Definition 3.4.

(i) (positive) Divisoren

a, b ∈ Z ; b > 0; a = bq + r. Falls r = 0: b teilt a; Bezeichnung: b | a.

b ist ein Divisor von a oder a ist ein Vielfaches von b.

(ii) p ∈ N (also p > 1) ist eine Primzahl, falls 1 und p die einzigen (positiven) Divisoren von p sind.

(iii) N 3 d ist ein gemeinsamer Teiler von a und b falls d | a und d | b (schreibe: d ist gT (a, b)).

(iv) N 3 d ist der gr¨ oßte gemeinsame Teiler von a und b (Bezeichnung: d = ggT (a, b)), falls d

gemeinsamer Teiler und d die gr¨ oßte nat¨ urliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

(10)

Script 3: Lineare Algebra I 2

Aquivalent: ¨

∀d

⁰

: d

⁰

∈ N und d

⁰

gemeinsamer Teiler von a und b gilt: d

⁰

| d.

Bemerke: Die Menge der gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b mit b 6= 0 enth¨ alt stets die 1, ist also nicht leer und außerdem durch das Maximum von a und b nach oben beschr¨ ankt.

Also existiert zu je zwei solchen Zahlen der gr¨ oßte gemeinsame Teiler.

Der Euklidische Algorithmus (zum Berechnen von ggT (a, b)):

a, b ∈ Z ; b > 0; b|a ⇒ ggT (a, b) = b sonst:

a = b q

₁

+ r

₁

0 < r

₁

< b b = r

₁

q

₂

+ r

₂

0 < r

₂

< r

₁

r

₁

= r

₂

q

₃

+ r

₃

0 < r

₃

< r

₂

.. .

Rekursion (ρ)

r

_j−1

= r

_j

q

_j+1

+ r

_j+1

0 < r

_j+1

< r

_j

.. .

r

n−3

= r

n−2

q

n−1

+ r

n−1

0 < r

n−1

< r

n−2

r

n−2

= r

n−1

q

_n

+ r

_n

0 < r

_n

< r

n−1

n maximal mit r

_n

6= 0

Absteigende Folge von nat¨ urlichen Zahlen muss anhalten nach 0 < r

_n

< r

_n−1

< . . . < r

₂

< r

₁

< b endlich vielen Schritten.

Behauptung 3.5.

r

_n

= ggT (a, b)

Die Behauptung folgt aus:

Lemma 3.6.

a = bq + r ⇒ ggT (a, b) = ggT (b, r)

Beweis

Setze d := ggT (b, r)

(1) d | b und d | r ⇒ d | a also d ist gT (a, b)

(2) Ferner d

⁰

| a und d

⁰

| b ⇒ d

⁰

|a − bq i.e. d

⁰

| r. Also d

⁰

|d.

Also d = ggT (a, b) wie behauptet.

(11)

Script 3: Lineare Algebra I 3

Und ferner in (ρ):

Bemerkung 3.7.

r

_n

= ggT (r

_n−1

, r

_n−2

) weil r

n

| r

n−1

und r

_n

| r

_n







⇒ r

_n

| r

_n−2

und d

⁰

| r

n−1

, d

⁰

|r

n−2

⇒ d

⁰

| (r

n−2

− r

n−1

q

n

), i.e. d

⁰

| r

n

Also (in (ρ)): ggT (a, b) = ggT (b, r

₁

) = ggT (r

₁

, r

₂

) = . . . = ggT (r

n−1

, r

n−2

) = r

_n

.

Definition 3.8.

Eine lineare Kombination von a und b (¨ uber Z ) ist eine ganze Zahl γ der Gestalt:

γ := αa + βb wobei α, β ∈ Z .

Bemerkung 3.9.

(1) Wir haben st¨ andig die folgende Tatsache benutzt:

d

⁰

| a und d

⁰

| b ⇒ d

⁰

teilt jede lineare Kombination von a und b, weil γ = αd

⁰

a

⁰

+ βd

⁰

b

⁰

= d

⁰

(αa

⁰

+ βb

⁰

)

(2) R¨ uckw¨ arts EA:

ggT (a, b) = r

_n

ist eine lineare Kombination (¨ uber Z ) von a und b:

Rekursion:

r

_n

= r

n−2

− r

n−1

q

_n

. Aber hier werden nur r

n−1

, r

n−2

ben¨ otigt.

r

_n−1

= r

_n−3

− r

_n−2

q

_n−1

Also r

_n

= r

n−2

− [r

n−3

− r

n−2

q

n−1

]q

_n

. Hier werden nur r

n−2

, r

n−3

ben¨ otigt.

Verfahre so weiter.

F¨ ur numerische Beispiele und Berechnungen siehe ¨ Ubungsblatt.

(3) ggT (a, b) = ggT (b, a) (a, b > 0).

(12)

1 4 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Korollar 4.1.

n = p ist eine Primzahl ⇒ ( Z

p

, +

_p

, ·

_p

) ist ein K¨ orper.

Bezeichnung 4.2.

F

p

Beweis

( Z

^p

, +

_p

, ·

_p

) ist ein kommutativer Ring mit Eins. Sei nun x ∈ Z

^p

, x 6= 0.

Wir wollen zeigen: ∃y ∈ Z

p

mit xy = x ·

_p

y = 1.

Nun x ∈ {1, . . . , p − 1} und p prim ⇒ ggT (x, p) = 1. Also ∃α, β ∈ Z mit α 6= 0 und αx + βp = 1. (∗)

Also αx = (−β)p + 1. A priori α ∈ Z , nehme α ∈ {1, . . . , p − 1}.

(Bemerke, dass α 6= 0, sonst p |α. Aber dann im (∗) p | 1; Unsinn).

Also α = qp + α (∗∗)

(∗∗) in (∗) ergibt: (qp + α)x + βp = 1.

Also αx + qxp + βp = 1.

Also αx + (qx + β)p = 1 ⇒ αx = −(qx + β)p + 1 (∗ ∗ ∗) mit α ∈ Z

p

.

Setze α := y.

Berechne x ·

_p

y = xy = 1 aus (∗ ∗ ∗) und Eindeutigkeit von Rest in DA.

UA f¨ ¨ ur ¨ UB: Zeige folgende:

Proposition 4.3.

Sei p eine Primzahl, a, b ∈ N . Wenn p | ab, dann p | a oder p | b.

Frage: Gibt es andere endliche K¨ orper?

Definition 4.4. (Charakteristik) Sei K ein K¨ orper, definiere Char (K) :=



 



 



die kleinste nat¨ urliche Zahl (n ≥ 2) wof¨ ur 1 + 1 + . . . + 1 = 0

| {z }

n-mal

falls existiert 0 sonst

(Bezeichnung: 1 + . . . + 1

| {z }

n-mal

:= n.1.) I.e Char (K) = 0 falls 1 + 1 + . . . + 1

| {z }

n-mal

6= 0 f¨ ur alle n ∈ N .

(13)

Script 4: Lineare Algebra I 2

Lemma 4.5.

Char (K) 6= 0 ⇒ Char (K) = p eine Primzahl.

Beweis

Sei n 6= 0 n = Char (K).

n nicht prim ⇒ n = n

₁

n

₂

mit 1 < n

_i

< n f¨ ur i = 1, 2.

Also 0 = 1 + 1 + . . . + 1

| {z }

n1n2mal

= (1 + . . . + 1)

| {z }

n1-mal

(1 + . . . + 1)

| {z }

n2-mal

= 0.

Also 1 + . . . + 1

| {z }

n1-mal

= 0 oder 1 + . . . + 1

| {z }

n2-mal

= 0 - Widerspruch.

Beispiel 4.6.

Char ( F

p

) = p

Char ( Q ) = Char ( R ) = 0 [ weil 1 > 0

also 1 + 1 > 0 + 1 = 1 > 0 .. .

1 + 1 + . . . + 1

| {z }

n+1mal

= (1 + . . . + 1)

| {z }

nmal

+1 > (1 + . . . + 1)

| {z }

nmal

> 0]

Definition 4.7. und Bemerkung k ⊂ K ist ein Teilk¨ orper, falls 0, 1 ∈ k,

k abgeschlossen unter x + y, xy, −x, x

⁻¹

f¨ ur x 6= 0.

Bemerke: Char (k) = Char (K ).

Lemma 4.8.

K endlich ⇒

(1) Char (K) = p > 0 und (2) | K | = p

^l

l ∈ N Beweis

(1) Wir zeigen die Kontraposition: Char (K) = 0 ⇒ K unendlich.

Wir behaupten: n

₁

, n

₂

∈ N , n

₁

6= n

₂

⇒ 1 + . . . + 1

| {z }

n1

6= 1 + . . . + 1

| {z }

n2

.

Ohne Einschr¨ ankung (OE) n

₁

> n

₂

; (n

₁

− n

₂

) > 0 (1 + . . . + 1)

| {z }

n1

− (1 + . . . + 1)

| {z }

n2

= (1 + . . . + 1)

| {z }

n1−n2

= 0 - Widerspruch.

(2) Daf¨ ur brauchen wir lineare Algebra! Also sp¨ ater! (Basis und Dimension)

(14)

Script 4: Lineare Algebra I 3

Beispiel 4.9.

K = F

p

(t) ist der K¨ orper der rationalen Funktionen ¨ uber dem endlichen K¨ orper F

p

. K unendlich; aber Char (K) = p > 0. Daf¨ ur brauchen wir Polynomringe. Sp¨ ater!

Bemerkung 4.10.

Also K unendlich 6⇒ Char (K) = 0.

(15)

Script 4: Lineare Algebra I 4

Kapitel 1: § 2 Lineare Gleichungssysteme

Definition 4.11.

(i) Sei n ∈ N , und K ein K¨ orper. Eine lineare Gleichung ¨ uber K in den Variablen x

₁

, . . . , x

_n

und Koeffizienten in K ist eine Gleichung der Form:

a

1

x

1

+ . . . , +a

n

x

n

= b (∗) wobei a

₁

, . . . , a

_n

, b ∈ K.

Terminologie

a

i

ist der Koeffizient der Variablen x

i

.

(ii) Ein n-Tupel c := (c

₁

, . . . , c

_n

) ∈ K

ⁿ

ist eine L¨ osung der Gleichung (∗), falls die Identit¨ at a

₁

c

₁

+ . . . + a

_n

c

_n

= b gilt in K.

Beispiel 4.12.

a) √

2x

₁

+ πx

₂

= e ist eine l. G. ¨ uber R . b) 2 √

x

₁

+ πx

²₂

= e ist keine l.G. ¨ uber R .

c) Linie: y = ax + b ist die Gleichung (a, b ∈ R , a := Steigung; b := y - intersect) einer Geraden (in der Ebene R

²

) : l.

Umschreiben: x

₂

− ax

₁

= b.

L¨ osung:

P : Punkt in R

²

; P = P (c

₁

, c

₂

) mit Koordinaten c

₁

und c

₂

ist eine L¨ osung gdw P ∈ l, d.h. P

liegt auf l.

(16)

1 5 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Definition 5.1.

(i) Seien m, n ∈ N . Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Variablen ¨ uber K ist:

(S)

a

₁₁

x

₁

+ . . . + a

_1n

x

_n

= b

₁

a

₂₁

x

₁

+ . . . + a

_2n

x

_n

= b

₂

.. . .. . .. . .. . a

_m1

x

₁

+ . . . + a

_mn

x

_n

= b

_m



 

 

 

 

G

₁

= b

₁

G

₂

= b

₂

.. . G

_m

= b

_m

(ii) Eine L¨ osung f¨ ur (S) ist x = (x

₁

, . . . , x

_n

) ∈ K

ⁿ

ein n-Tupel, so dass x eine (simultane) L¨ osung f¨ ur alle Gleichungen in (S) ist.

Notation

L(S) := {x ∈ K

ⁿ

; x ist L¨ osung } L(S): die L¨ osungsmenge.

Ziel: Finde und beschreibe L(S).

(iii) (S) ist homogen, falls b

_i

= 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , m.

(iv) (S) ist konsistent, falls L(S) 6= ∅.

(S) ist ansonsten inkonsistent (L(S) = ∅).

(v) (S) homogen ⇒ x = 0 := (0, . . . , 0) ∈ L(S) (die triviale L¨ osung). Also insbesondere (S) homogen ⇒ (S) konsistent.

Beispiel 5.2.

3 Gleichungen in 3 Variablen ¨ uber R (S

₁

)







0x

₁

+ 0x

₂

+ 2x

₃

= 6 2x

₁

+ 2x

₂

+ 0x

₃

= 4 x

1

+ 0x

2

+ 0x

3

= 1 (Typ 1 - Umformung)

Vertauschen der ersten mit der dritten Gleichung ergibt







x

₁

= 1

2x

₁

+ 2x

₂

= 4 2x

3

= 6 (Typ 3 - Umformung)

Addition des (−2)-fachen der ersten Gleichung zur zweiten:







x

₁

= 1

2x

₂

= 2

2x

3

= 6

(17)

Script 5: Lineare Algebra I 2

(Typ 2 - Umformung)

Multiplikation der Zweiten und der dritten Gleichung mit 1/2 ergibt schließlich:

(S

₂

)







x

₁

= 1

x

₂

= 1

x

3

= 3

Damit ist (1, 1, 3) eine L¨ osung (pr¨ ufe durch Einsetzen).

L(S

₁

) = {(1, 1, 3)}?

Die Frage ist, ob man durch die Umformung obiger Gleichung keine L¨ osungen verloren hat.

Wir wollen zeigen, dass die L¨ osungsmenge unter den elementaren Gleichungsumformungen in- variant ist. Wir untersuchen sie nun.

Typ 1:

Vertauschen

(S

1

)

G

1

= b .. . G

_i

= b

_i

l G

_j

= b

_j

G

_m

= b

_m



 

 

 

 

T yp 1

−−−→

.. . .. . G

j

= b

j

.. . G

_i

= b

_i

.. .



 

 

 

  (S

2

)

Bemerkung 5.3.

(i) (S

₂

) T yp1

−−−→ (S

₁

)

(ii) x L¨ osung von (S

₁

) ⇒ x L¨ osung von (S

₂

)

Typ 2:

Multiplizieren einer Gleichung mit λ ∈ K

^×

(S

₁

)



 

 

 

 

G

₁

= b

₁

.. . G

_i

= b

_i

.. . G

_m

= b

_m

T yp 2

−−−→

G

₁

= b .. . λG

_i

= λb

_i

.. . G

_m



 

 

 

  (S

₂

)

Bemerkung 5.4.

(i) (S

₂

) T yp 2

−−−→ (S

₁

) (Multiplikation durch λ

⁻¹

) (ii) G

_i

= b

_i

⇒ λG

_i

= λb

_i

(folgt aus K¨ orperaxiome), also

x L¨ osung von (S

1

) ⇒ x L¨ osung von (S

2

)

(18)

Script 5: Lineare Algebra I 3

Typ 3:

Addieren des λ-fachen der i-ten Gleichung zur j -ten Gleichung i 6= j; λ ∈ K

(S

₁

)



 



 



G

₁

= b

₁

.. . G

_i

= b

_i

.. . G

j

= b

j

.. . G

_m

= b

_m

T yp 3

−−−→

G

₁

= b

.. .

G

_i

= b

_i

.. .

λG

i

+ G

j

= λb

i

+ b

j

.. .

G

_m

= b

_m

Bemerkung 5.5.

(i) (S

2

) T yp 3

−−−→ (S

1

)

(Addition (−λ)-fach der i-ten Gleichung zur j-ten) (ii) G

_i

= b

_i

⇒ λG

_i

= λb

_i

und addiere G

_j

= b

_j

also (K¨ orperaxiome) λG

_i

+ G

_j

= λb

_i

+ b

_j

. Also x L¨ osung von (S

1

) ⇒ x L¨ osung von (S

2

) Definition 5.6.

(S

₂

) ist ¨ aquivalent zu (S

₁

), falls man (S

₂

) aus (S

₁

) durch endlich viele elementare Gleichungs- umformungen erh¨ alt.

Bemerkung 5.7.

Durch Bemerkung 5.3 (i), 5.4 (i) und 5.5 (i) bekommt man sofort:

(S

₂

) ¨ aquivalent (S

₁

) ⇒ (S

₁

) ¨ aquivalent (S

₂

).

Also sagen wir: (S

₁

) und (S

₂

) sind ¨ aquivalent.

Satz 5.8.

Aquivalente Systeme haben die gleiche L¨ ¨ osungsmenge.

Beweis

Aus Bemerkung 5.3 (ii), 5.4 (ii) und 5.5 (ii) haben wir:

L(S

₁

) ⊆ L(S

₂

).

Aus Bemerkung 5.3 (i), 5.4 (i) und 5.5 (i) bekommt man nun umgekehrt L(S

₂

) ⊆ L(S

₁

). Also L(S

₁

) = L(S

₂

).

Bemerkung 5.9.

Wir werden die Umkehrung vom Satz sp¨ ater studieren!

Also wollen wir die Gleichung umformen, um “einfachere” Systeme zu bekommen. Wir m¨ ussen

den Begriff “einfacher” formalisieren. Daf¨ ur f¨ uhren wir nun Matrizen ein.

(19)

Script 5: Lineare Algebra I 4

Kapitel 1: § 3 Matrizen

Definition 5.10.

Seien m, n ∈ N . Eine m × n Matrix ¨ uber K ist eine Familie in K der Gestalt A = (a

_ij

)

1≤i≤m,1≤j≤n

wobei a

_ij

∈ K f¨ ur alle i, j.

Darstellung

(i) S

_j

:= j-te Spalte

m-Zeilen ⇒







a

11

· · · a

1n

.. . · · · .. . a

_m1

· · · a

_mn





 ← R

_i

:= i-te Zeile

⇑ n-Spalten

(ii) Die Koeffizientenmatrix zum System (S) ist

A(S) :=







a

₁₁

· · · a

_1n

.. . · · · .. . a

_m1

· · · a

_mn







und die erweiterte Koeffizientenmatrix ist (A, b) :=







a

₁₁

· · · a

_1n

.. . . .. .. . a

_m1

· · · a

_mn

b

₁

.. . b

_m







Matrix-Darstellung von (S) ist: Ax = b, wobei

x :=





 x

₁

.. . x

n







(Eine n × 1 Matrix mit Variablen als Koeffizienten.) und

b :=





 b

₁

.. . b

_m







(Eine m × 1-Matrix ¨ uber K.)

(iii) Die elementaren Zeilenumformungen von Typ 1, Typ 2 und Typ 3 entsprechen genau den elementaren Gleichungsumformungen.

(iv) Seien A, B m × n Matrizen. A und B sind Zeilen¨ aquivalent, falls man B aus A durch endlich viele Zeilenumformungen erh¨ alt (und / oder umgekehrt).

Das ist die Matrix analog von Definition 5.6 f¨ ur Systeme.

(20)

Script 5: Lineare Algebra I 5

Satz 5.11.

(Matrix analog von Satz 5.8)

Bei elementaren Zeilenumformungen (auf die erweiterte Koeffizientenmatrix) ¨ andert sich die L¨ osungsmenge des linearen Gleichungssytems nicht.

Nun wollen wir endlich beschreiben, was wir mit “einfacher” meinen.

Definition 5.12.

Eine m × n-Matrix A ist in reduzierter Zeilenform (Abk¨ urzung: r.Z.F) falls (a) der erste Koeffizient 6= 0 ist 1 in einer Zeile R

_i

6≡ 0.

(Dieser erste Koeffizient verschieden von Null heißt Hauptkoeffizient bzw. Haupteins.

Bedeutung von R

_i

≡ 0: eine Reihe der Matirx heißt “Nullreihe”, falls alle Koeffizienten, die darin vorkommen, gleich Null sind.

(b) Jede Spalte von A, in der sich eine Haupteins befindet, hat alle anderen Koeffizienten gleich Null.

Beispiel 5.13.

(Matrix-Form): Erweiterte Matrix von (S

₁

):





0 0 2 2 2 0 1 0 0

6 4 1



 nicht in r.Z.F.

Erweiterte Matrix von (S

₂

) dagegen:





1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 1 3





(21)

1 6 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Beispiel 6.1.

(i) Die Identit¨ atsmatrix oder Einheitsmatrix (quadratische Matrix) I

_n

wird so definiert:

(I)

_ij

= δ

_ij

|{z}

Kronecker Delta

:=

1 f¨ ur i = j 0 f¨ ur i 6= j I

_n

ist in r.Z.F.

I

_n

=







1 · · · 0 · · · 0 .. . . .. .. .

.. . 1 0

.. . . ..

0 · · · · 0 1







(ii) 



1 0 0 0

0 1 −1 0

0 0 1 0



 ;





0 2 1

1 0 −3

0 0 0





sind nicht in r.Z.F.

(iii) Die 0

^m×n

-Matrix (0

_ij

= 0 f¨ ur alle i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n) ist in r.Z.F.

Definition 6.2.

Eine m × n-Matrix A ist in einer (reduzierten) Zeilenstufenform (r.Z.S.F.), falls die folgenden Eigenschaften erf¨ ullt sind:

(a) Axiome f¨ ur r.Z.F. und (b) Axiome f¨ ur r.Z.F. und

(c) jede identische Nullzeile erscheint (falls vorhanden) nach jeder nicht identischen Nullzeile.

(d) Seien Z

₁

, . . . , Z

_r

die nicht identischen Nullzeilen (r ≤ m) und k

_i

der Spaltenindex, in der die Haupteins der i-ten Zeile erscheint (i = 1, . . . , r), dann gilt k

₁

< k

₂

< · · · < k

_r

.

Satz 6.3.

Jede m × n-Matrix A ist zeilen¨ aquivalent zu einer Matrix B in r.Z.S.F.

Beweis siehe unten

(22)

Script 6: Lineare Algebra I 2

Zweck: Aus der r.Z.S.F. kann man L(S) sofort ablesen.

Beispiel 6.4.

Uber ¨ Q : Erweiterte Koeff-M:

(i) 



1 0 0 0 1 0 0 0 1

4 7

−1



 ⇒

x

₁

= 4

x

2

= 7

x

₃

= −1 (ii) 



1 0 0 0 1 2 0 0 0

0 0 1





← inkonsistent.

(iii) 



1 0 0 4 0 1 0 2 0 0 1 3

−1 6 2





x

₁

, x

₂

, x

₃

Hauptvariablen; x

₄

freie Variable.

x

1

+ 4x

4

= −1

x

₂

+ 2x

₄

= 6

x

₃

+ 3x

₄

= 2

⇒

x

1

= −1 − 4x

4

x

₂

= 6 − 2x

₄

x

₃

= 2 − 3x

₄

x

₄

= q ∈ Q also L(S) = {(−1 − 4q, 6 − 2q, 2 − 3q, q) ∈ Q

⁴

; q ∈ Q }

Beweis von Satz 6.3:

Falls A = 0

^m×n

, dann ist A bereits in r.Z.S.F. Ansonsten:

Typ 1 Bei wiederholter Anwendung von Typ 1 k¨ onnen wir Œ an- nehmen, dass die Zeilen Z

₁

, Z

₂

, . . . , Z

_r

nicht Null sind (r ≤ m) und Z

_r+1

, . . . , Z

_m

Null sind (wobei r = m vorkommen kann!).

Wir betrachten Z

₁

:

Sei 0 6= a

_1k₁

Hauptkoeffizient (1 ≤ k

₁

≤ n) Typ 2 Multipliziere Z

₁

, durch a

⁻¹_1k

1

und dann f¨ ur jede 2 ≤ i ≤ r:

Typ 3 Addiere (−a

_ik₁

)-fach von (der neu erhaltenen Zeile) Z

₁

zur i-ten Zeile

Spalte k

₁

↓ z

₁

z

_r







0 · · · 0 1 ∗ · · · · ∗ 0

.. . 0 .. .

− − − − − − − −

0 · · · · · · · · 0 .. .

0 · · · · 0 · · · · 0







:= A

₁

(23)

Script 6: Lineare Algebra I 3

Nun betrachte Z

₂

der Matrix A

₁

. Wieder Typ 1 ŒZ

₂

6≡ 0.

Sei a

_2k₂

6= 0 Hauptkoeffizient von Z

₂

. Bemerke: k

₂

6= k

₁

! Also haben wir







0 · · · 0 0 · · · 1 ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 a

_2k₂

· · · 0 ∗ · · · ∗

.. . .. . 0







= A

₁

(Fall 1) (k

₂

<

k

₁

) oder







0 · · · 0 1 ∗ · · · ∗ · · · ∗ 0 · · · 0 0 · · · a

2k2

· · · ∗

0 .. . 0







= A

₁

(Fall 2) (k

₁

< k

₂

)

Typ 2 Wiederhole: Multipliziere Z

₂

durch a

⁻¹_2k

2

, dann

Typ 3 Im Fall 1 (k

₂

< k

₁

): Addiere (−a

_ik₂

)-fach von Z

₂

zur i-ten Zeile f¨ ur 3 ≤ i ≤ m.

Typ 3 Im Fall 2 (k

₁

< k

₂

): Addiere (−a

_ik₂

)-fach von Z

₂

zur i-ten Zeile f¨ ur

i = 1 und 3 ≤ i ≤ m.

Achtung

Wichtig ist es zu bemerken, dass wir die Koeffizienten a

1j

= 0 j = 1, . . . , k

1

− 1 und

a

_1k₁

= 1 und

a

_ik₁

= 0 i = 2, . . . , m von A

₁

in beiden F¨ allen k

₂

< k

₁

oder k

₁

< k

₂

nicht ge¨ andert haben !

Per Induktion wiederholen wir diese Prozedur f¨ ur i = 3, . . . , r. Wir erhalten eine Matrix A

_r

, die

nun (a), (b), (c) gen¨ ugt. Schließlich erhalten wir bei wiederholter Anwendung von Typ 1 eine

Matrix B, die auch (d) gen¨ ugt, also B ist in r.z.S.F.

(24)

Script 6: Lineare Algebra I 4

Kapitel 1: § 4 Homogene Systeme

Beispiel 6.5.

Sei R folgende Matrix (¨ uber Q ) R =





0 1 −3 0 1/2

0 0 0 1 2

0 0 0 0 0



 x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

₅

finde L(S), wobei (S) das homogene System RX = 0 ist.

L¨ osung

R ist in r.Z.S.F. Beobachte: r := Anzahl der 6≡ 0-Zeilen = 2 = Anzahl Hauptvariable.

(S) x

₂

− 3x

₃

+

¹₂

x

₅

= 0 x

₄

+ 2x

₅

= 0 Also x

₂

= 3x

₃

−

¹₂

x

₅

x

₄

= −2x

₅

x

₁

, x

₃

, x

₅

freie Variable. Setze x

₁

= a, x

₃

= b, x

₅

= c.

Also L(S) = {(a, 3b −

¹₂

c, b, −2c, c) ∈ Q

⁵

; a, b, c ∈ Q }.

Bemerke

x

₁

freie Variable. Setze a = 1, b = c = 0. dann ist (1, 0, 0, 0, 0) eine nicht-triviale L¨ osung.

(25)

1 7 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Korollar 7.1.

Sei R eine m × n-Matrix in r.Z.S.F und setze r := die Anzahl der 6≡ 0-Zeilen von R.

Falls r < n, dann hat das homogene System

RX = 0 (∗) nicht triviale L¨ osungen.

Beweis

r = Anzahl der 6≡ 0-Zeilen in r.Z.S. F.

= Anzahl der Haupteins

= Anzahl der Hauptvariablen.

Also n − r = Anzahl der freien Variablen und r < n ⇒ n − r 6= 0 ⇒ es existiert mindestens eine freie Variable x

_j

. Wir erhalten eine nicht triviale L¨ osung f¨ ur (∗), indem wir z.B. x

_j

= 1 setzen.

Korollar 7.2.

Sei A eine (beliebige) m × n-Matrix mit m < n. Dann hat das homogene System (S) AX = 0

nicht triviale L¨ osungen.

Beweis

Sei R in r.Z.S.F zeilen¨ aquivalent zu A. (R ist immer noch eine m ×n-Matrix.) Setze r := Anzahl der 6≡ 0-Zeilen von R.

Also r ≤ m < n. Also hat

RX = 0 (∗)

nach Korollar 7.1 nicht triviale L¨ osungen und damit auch (S).

Bemerkung 7.3.

Sei R eine n × n-Matrix in r.Z.S.F und ohne Nullzeilen (also jede Zeile hat eine Haupteins).

Dann ist R = I

n

.

Beweis

r.Z.S.F ⇒ 1 ≤ k

₁

< k

₂

< · · · < k

_n

≤ n, wobei k

_j

die Spalte ist, in der die Haupteins der Zeile Z

_j

erscheint.

Also k

_j

= j, f¨ ur alle j = 1, . . . , n.

Also a

_jj

= 1, f¨ ur alle j = 1, . . . , n.

Sei i 6= j, dann ist a

_ij

in der k

_j

-Spalte r.Z.S.F

−−−−−→ a

_ij

= 0 (weil a

_ij

6= a

_jj

).

(26)

Script 7: Lineare Algebra I 2

Korollar 7.4.

Sei A eine n × n-Matrix. Es gilt:

A zeilen¨ aquivalent zu I

_n

⇔ AX = 0 hat nur die triviale L¨ osung.

Beweis

“⇒” klar, weil I

_n

X = 0 nur die triviale L¨ osung hat.

“⇐” Sei R eine n × n-Matrix in r.Z.S.F und zeilen¨ aquivalent zu A. Sei r := Anzahl der 6≡ 0-Zeilen von R. Korollar 7.2 ⇒ r ≥ n. Andererseits r ≤ n. Also r = n. Also hat

R keine Nullzeilen ⇒ R = I

_n

.

(27)

Script 7: Lineare Algebra I 3

Kapitel 1: § 5 Matrix-Multiplikation

Definition 7.5.

Seien A eine m × n- und B eine n × p-Matrix ¨ uber K.

Wir definieren eine neue Matrix C := AB; das Produkt als die folgende m × p-Matrix:

C

ij

:=

n

X

r=1

A

ir

B

rj

.

Also Zeilen mal Spalten!

Beispiel 7.6.

(1) 





a

₁₁

· · · a

_1n

a

₂₁

· · · a

_2n

.. . .. . a

m1

· · · a

mn











 x

₁

x

₂

.. . x

n







=







a

₁₁

x

₁

+ · · · + a

_1n

x

_n

a

₂₁

x

₁

+ · · · + a

_2n

x

_n

.. .

a

m1

x

1

+ · · · + a

mn

x

n







m × n n × 1 m × 1

(2) 



1 0 0 0 1 0 0 0 1









a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃



 =





a

₁₁

+ 0 + 0 a

₁₂

+ 0 + 0 a

₁₃

+ 0 + 0

0 + a

₂₁

+ 0 0 + a

₂₂

+ 0 0 + a

₂₃

+ 0

0 + 0 + a

31

0 + 0 + a

32

0 + 0 + a

33



 =





a

11

a

12

a

13

a

₂₁

a

₂₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃





(3) Allgemeiner: Sei A eine n × n-Matrix. Es gilt C = AI

_n

= I

_n

A = A.

Beweis: Wir zeigen AI

_n

= A. (I

_n

A wird analog behandelt.) (AI

n

)

ij

= P

n

r=1

A

ir

(I

n

)

rj

(∗) Fall 1 r 6= j (I

_n

)

_rj

= 0 Fall 2 r = j (I

_n

)

_rj

= 1

in (∗) eingesetzt ergibt die Summe P

n

r=1

A

_ir

(I

_n

)

_rj

= A

_ij

(I

_n

)

_jj

= A

_ij

(4) ¨ Uber F

⁷

: 1 2

3 4

5 6 0 1

=

(1 •

₇

5) + (2 •

₇

0) (1 •

₇

6) + (2 •

₇

1) (3 •

₇

5) + (4 •

₇

0) (3 •

₇

6) + (4 •

₇

1)

= 2 × 2 2 × 2

5 1 1 1

2 × 2

(28)

Script 7: Lineare Algebra I 4

(5) Die j -te Spalte von AB (als m × 1-Matrix) = A

|{z}

m×n

[j-te Spalte von B] (als n × 1-Matrix).

und:

Die i-te Zeile von AB (als 1 × p-Matrix) = (als 1 × n-Matrix) [i-te Zeile von A] B

|{z}

n×p

.

Satz 7.7.

Seien A, B, C Matrizen ¨ uber K, so dass die Produkte BC und A(BC) definiert sind, dann sind auch die Produkte AB und (AB)C definiert und es gilt:

A(BC) = (AB)C.

Beweis

Sei B eine n × p-Matrix. Also hat C p Zeilen und BC n Zeilen. Also (weil A(BC) definiert ist) Œ ist A eine m × n-Matrix. Also ist AB eine wohldefinierte m × p-Matrix und (AB)C ist damit auch wohldefiniert.

Wir wollen nun zeigen, dass die zwei Matrizen A(BC ) und (AB)C gleich sind. Daf¨ ur m¨ ussen wir zeigen, dass alle ihre Koeffizienten gleich sind.

Wir berechnen also:

[A(BC)]

_ij

= P

r

A

_ir

(BC)

_rj

= P

r

A

_ir

( P

s

B

_rs

C

_sj

)

= P

r

P

s

A

ir

B

rs

C

sj

(Distributivit¨ at und Assoziativit¨ at in K)

= P

s

P

r

A

_ir

B

_rs

C

_sj

(Kommutativit¨ at und Assoziativit¨ at in K)

= P

s

( P

r

A

_ir

B

_rs

) C

_sj

= P

s

(AB)

is

C

sj

= [(AB)C]

_ij

. Bezeichnung 7.8.

Seien A eine n × n-Matrix und k ∈ N . A

^k

:= A · · · A

| {z }

k-mal

(wohldefiniert).

(29)

1 8 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Kapitel 1: § 6 Elementare Matrizen

Notation

Sei e eine elementare Zeilenumformung auf eine m × n-Matrix A. Mit e(A) bezeichnet man die m × n-Matrix, die wir nun erhalten.

Untersuchung

Typ 1: Umtauschen von Zeilen Z

_r

und Z

_s

von A:

e(A)

_ij

=







A

_ij

f¨ ur i 6= r, i 6= s A

_sj

f¨ ur i = r A

_rj

f¨ ur i = s

Typ 2: Multiplizieren Z

_r

durch Skalar c 6= 0; c ∈ K:

e(A)

_ij

=

A

_ij

f¨ ur i 6= r cA

_rj

f¨ ur i = r

Typ 3: Ersetzen von Z

_r

durch Z

_r

+ cZ

_s

, c ∈ K ; r 6= s:

e(A)

ij

=

A

ij

f¨ ur i 6= r A

_rj

+ cA

_sj

f¨ ur i = r Definition 8.1.

Eine m × m-Matrix in der Form e(I

_m

) ist elementar.

Beispiel 8.2.

Die 2 × 2 elementaren Matrizen ¨ uber K : 1 0

0 1

;

0 1 1 0

T yp1

c 0 0 1

;

1 0 0 c

T yp2, c 6= 0, c ∈ K

1 c 0 1

;

1 0 c 1

T yp3, c ∈ K

Satz 8.3.

Sei e eine elementare Zeilenumformung und E die elementare Matrix E := e(I

_m

) und sei A eine

m × n-Matrix ¨ uber K. Es gilt: e(A) = EA.

(30)

Script 8: Lineare Algebra I 2

Beweis

e ∈ Typ 1, r 6= s

(i) E

ik

= δ

ik

f¨ ur i 6= r, i 6= s und (ii) E

_rk

= δ

_sk

f¨ ur i = r und (iii) E

_sk

= δ

_rk

f¨ ur i = s Nun: (EA)

_ij

= P

m

k=1

E

_ik

A

_kj

Fall (i): i 6= r; i 6= s

(EA)

_ij

= P

m

k=1

δ

_ik

A

_kj

= δ

_ii

A

_ij

= A

_ij

Fall (ii): i = r

(EA)

_ij

= P

m

k=1

E

_rk

A

_kj

= P

m

k=1

δ

_sk

A

_kj

= δ

_ss

A

_sj

= A

_sj

Fall (iii): i = s

(EA)

_ij

= P

m

k=1

E

_sk

A

_kj

= P

m

k=1

δ

_rk

A

_kj

= δ

_rr

A

_rj

= A

_rj

e ist vom Typ 2: UA. ¨ e ist vom Typ 3: r 6= s E

_ik

=

δ

_ik

f¨ ur i 6= r δ

_rk

+ cδ

_sk

f¨ ur i = r Also: (EA)

_ij

= P

m

k=1

E

_ik

A

_kj

Fall 1

i 6= r

Dann P

m

k=1

E

_ik

A

_kj

= P

m

k=1

δ

_ik

A

_kj

= δ

_ii

A

_ij

= A

_ij

Fall 2

i = r

Dann P

m

k=1

E

_rk

A

_kj

= P

m

k=1

(δ

_rk

+ cδ

_sk

)A

_kj

Hier bekommen wir nur zwei Terme (die m¨ oglichwerweise ungleich Null sind) und zwar nur f¨ ur k = r oder k = s.

k = r ⇒ Also k 6= s; also cδ

sk

= 0; also (δ

rk

+ cδ

sk

)A

kj

= (δ

rr

+ 0)A

rj

= A

rj

. k = s ⇒ Also k 6= r; also δ

_rk

= 0; also (δ

_rk

+ cδ

_sk

)A

_kj

= (0 + cδ

_ss

)A

_sj

= cA

_sj

. Also P

E

_rk

A

_kj

=

A

_ij

f¨ ur i 6= r

A

_rj

+ cA

_sj

f¨ ur i = r .

(31)

1 9 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Korollar 9.1.

Seien A und B m × n-Matrizen ¨ uber K. Es gilt: B ist zu A zeilen¨ aquivalent gdw B = P A, wobei P das Produkt von m × m-elementaren Matrizen ist.

Beweis

“⇐” Sei P = E

_`

. . . E

₂

E

₁

, wobei E

_t

eine elementare m × m-Matrix ist.

Also ist E

₁

A zeilen¨ aquivalent zu A

und E

₂

(E

₁

A) ist zeilen¨ aquivalent zu E

₁

A. Also ist E

₂

E

₁

A zeilen¨ aquivalent zu A.

So weiter fortsetzen:

E

_`

. . . E

₁

A ist zeilen¨ aquivalent zu A i.e. B ist zeilen¨ aquivalent zu A.

“⇒” Sei B zeilen¨ aquivalent zu A und seien e

₁

, · · · , e

_`

die elementaren Zeilenumformungen mit A → · · ·

^e¹

→

^e^`

B. Also E

_`

· · · E

₂

E

₁

A = B ,

wobei E

_t

die elementare Matrix e

_t

(I

_m

) f¨ ur t = 1, . . . , ` ist.

Setze P := E

_`

· · · E

₂

E

₁

.

Definition 9.2.

Eine n × n-Matrix A ist invertierbar, falls es eine n × n-Matrix B gibt, so dass AB = I

n

und BA = I

n

.

In diesem Fall heißt B eine Inverse von A.

Proposition 9.3.

Sei A invertierbar. Dann gibt es eine eindeutige Inverse.

Beweis

Seien B

₁

, B

₂

beide Inverse von A. Es gilt:

AB

₁

= I

_n

= AB

₂

also B

₂

(AB

₁

) = B

₂

(AB

₂

) (Multiplikation) also (B

2

A)B

1

= (B

2

A)B

2

also I

_n

B

₁

= I

_n

B

₂

, i.e. B

₁

= B

₂

Notation

Wir bezeichnen mit A

⁻¹

die eindeutige Inverse der invertierbaren Matrix A.

(32)

Script 9: Lineare Algebra I 2

Proposition 9.4.

Seien A, B n × n-Matrizen ¨ uber K. Es gilt

(i) Wenn A invertierbar, so auch A

⁻¹

und (A

⁻¹

)

⁻¹

= A.

(ii) Wenn A und B beide invertierbar, so auch AB und (AB)

⁻¹

= B

⁻¹

A

⁻¹

. Beweis

(i) Wir berechnen AA

⁻¹

= A

⁻¹

A = I

_n

. Also ist A die Inverse von A

⁻¹

. (ii) Wir berechnen B

⁻¹

A

⁻¹

(AB) = B

⁻¹

(A

⁻¹

A)B = B

⁻¹

I

_n

B = B

⁻¹

B ≡ I

_n

.

Analog (AB)(B

⁻¹

A

⁻¹

) = I

_n

.

Korollar 9.5.

Seien A

₁

, . . . , A

_`

n × n -invertierbare Matrizen, dann ist das Produkt A

₁

· · · A

_`

auch invertierbar

und es gilt (A

₁

· · · A

_`

)

⁻¹

= A

⁻¹_`

· · · A

⁻¹₁

(∗)

Beweis

Induktion nach `. F¨ ur ` = 1 ist es klar.

Indutkionsannahme: (∗) gilt f¨ ur `.

Induktionsschritt: (∗) gilt f¨ ur ` + 1:

Beweis: (A

₁

· · · A

_`

A

_`+1

)

⁻¹

=

((A

₁

· · · A

_`

) A

_`+1

)

⁻¹

= ← Proposition 9.4 (ii) A

⁻¹_`+1

(A

₁

· · · A

_`

)

⁻¹

= ← Induktionsannahme A

⁻¹_`+1

(A

⁻¹_`

· · · A

⁻¹₁

) = ← Assoziativit¨ at

A

⁻¹_`+1

A

⁻¹_`

· · · A

⁻¹₁

Proposition 9.6.

Elementare Matrizen sind invertierbar.

Beweis

Sei E = e(I

_n

) eine elementare Matrix. Sei e

^∗

die umgekehrte Zeilenumformung (auf die Zeilen von I

_n

; siehe Bemerkungen 5.3 (I), 5.4 (i) und 5.5 (i)) und E

^∗

:= e

^∗

(I

_n

). Wir berechnen

E

^∗

E = e

^∗

(I

_n

)e(I

_n

) = I

_n

und E

^∗

E = EE

^∗

= I

_n

D.h. E

^∗

= E

⁻¹

.

Beispiel 9.7.

2 × 2-elementare Matrizen 0 1

1 0

⁻¹

=

0 1 1 0

und

1 0 0 1

⁻¹

=

1 0 0 1

1 c

0 1

−1

=

1 −c 0 1

und

1 0 c 1

−1

=

1 0

−c 1

c 6= 0 c 0

0 1

−1

=

c

⁻¹

0 0 1

und

1 0 0 c

−1

=

1 0 0 c

⁻¹

(33)

Script 9: Lineare Algebra I 3

Satz 9.8.

Sei A eine n × n-Matrix. Sind ¨ aquivalent:

(i) A ist invertierbar.

(ii) AX = b ist konsistent f¨ ur jede n × 1-Spaltenmatrix b.

(iii) AX = 0 hat nur die triviale L¨ osung.

(iv) A ist zeilen¨ aquivalent zu I

_n

.

(v) A ist Produkt von elementaren Matrizen.

[(ii) und (iii): Beziehung zwischen homogener und allgemeiner (quadratischer) Systeme.]

Beweis (i) ⇒ (ii)

Setze X := A

⁻¹

b. Es gilt AX = A(A

⁻¹

b) = (AA

⁻¹

)b = I

n

b = b.

(iii) ⇔ (iv) schon bewiesen (Korollar 7.4).

(ii) ⇒ (iii)

Wenn AX = 0 nicht triviale L¨ osungen h¨ atte, dann ist die r.Z.S.F. R von A nicht I

_n

, also muss eine Nullzeile haben (siehe Bemerkung 7.3 und Korollar 7.4). Also ist zum Beispiel das System (S) RX =





 0

.. . 1





 inkonsistent.





· · · · 0 · · · 0

0 .. . 1







Nun R = PA wobei P das Produkt von elementaren Matrizen ist (Korollar 9.1). Also ist P invertierbar (Korollar 9.5 und Proposition 9.6).

Also multipliziere (S) durch P

⁻¹

: (S) (P A)X =





 0

.. . 1





 ist inkonsistent.

Also P

⁻¹

(P A)X = P

⁻¹





 0

.. . 1





 ist inkonsistent.

Also AX = P

⁻¹





 0

.. . 1





 inkonsistent.

n × n n × 1

| {z }

n×1

Setze b = P

⁻¹





 0

.. . 1





 , wir bekommmen AX = b inkonsistent. Widerspruch.

(34)

Script 9: Lineare Algebra I 4

(iv) ⇒ (V )

A = P

⁰

I

_n

= P

⁰

, wobei P

⁰

das Produkt von elementaren Matrizen ist (Korollar 9.1).

(v) ⇒ (i)

Folgt aus Korollar 9.5 und Proposition 9.6.

Korollar 9.9.

Seien A und B m × n-Matrizen. B ist zeilen¨ aquivalent zu A genau dann, wenn B = P A, wobei

P eine invertierbare m × m-Matrix ist.

(35)

1 10 Script zur Vorlesung: Lineare Algebra I

Prof. Dr. Salma Kuhlmann

Korollar 10.1.

Seien A, eine n × n-Matrix, invertierbar. Eine Folge von elementaren Zeilenumformungen, die A zur Identit¨ atsmatrix I

_n

reduzieren, reduziert I

_n

zu A

⁻¹

.

Beweis

Die elementaren Zeilenumformungen werden durch Multiplikation (links) mit elementaren Ma- trizen erreicht, d.h. E

_`

. . . E

₁

A = I

_n

. Aber dann gilt: A

⁻¹

= E

_`

. . . E

₁

= E

_`

. . . E

₁

I

_n

.

Beispiel 10.2.

(A | I

n

) → (I

n

| A

⁻¹

)





1 2 3 2 5 3 1 0 8

1 0 0 0 1 0 0 0 1





(−2)Z

₁

+ Z

₂

−−−−−−−−→

(−1)Z

₁

+ Z

₃





1 2 3

0 1 −3

0 −2 5

1 0 0

−2 1 0

−1 0 1



 2Z

₂

+ Z

₃

− −−−−− →





1 2 3

0 1 −3 0 0 −1

1 0 0

−2 1 0

−5 2 1



 (−1)Z

₃

−−−−→





1 2 3

0 1 −3

0 0 1

1 0 0

−2 1 0 5 −2 −1





3Z

3

+ Z

2

−−−−−−−−→

(−3)Z

₃

+ Z

₁





1 2 0 0 1 0 0 0 1

−14 6 3 13 −5 −3 5 −2 −1



 (−2)Z

₂

+ Z

₁

−−−−−−−−→





1 0 0 0 1 0 0 0 1

−40 16 9 13 −5 −3 5 −2 −1



