Tartu Ülikool
Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika instituut
Rihhard Nadel
Diameeter-2 omadustega Banachi ruumide kaasruumide kirjeldused
oktaeedrilisuse abil
Bakalaureusetöö (6 EAP)
Juhendajad: Rainis Haller, teadur, PhD Johann Langemets, assistent, MSc
Tartu 2014
Diameeter-2 omadustega Banachi ruumide kaasruumide kirjeldused oktaeedrilisuse abil
Bakalaureusetöö Rihhard Nadel
Lühikokkuvõte. Bakalaureusetöös antakse erinevate diameeter-2 omadustega Banachi ruumide kaasruumide kirjeldus R. Halleri, J. Langemetsa ja M. Põldvere ühisartikli „On duality of diameter 2 properties“ põhjal, mis on ilmumas ajakirjas Journal of Convex Analysis. Lisaks üldistatakse oktaeedrilisuse stabiilsustulemusi absoluutse normiga korrutisruumidele.
Märksõnad. Diameeter-2 omadus, oktaeedriline norm, absoluutne norm.
Characterization of dual spaces of Banach spaces with diameter 2 properties using octahedrality
Bachelor’s thesis Rihhard Nadel
Abstract. The objective of this bachelor’s thesis is to characterize dual spaces of Banach spaces with diameter 2 properties following the paper “On duality of diameter 2 properties” by R. Haller, J. Langemets, and M. Põldvere, which is due to appear inJournal of Convex Analysis. Also, we generalize some stability results of octahedrality to product spaces with an absolute norm.
Key words. Diameter 2 property, octahedral norm, absolute norm.
Sisukord
Sissejuhatus 3
1 Eelteadmised 4
2 Diameeter-2 omadused 6
3 Oktaeedrilisus 12
4 Diameeter-2 omaduste ja oktaeedrilisuse vahekord 23 5 Absoluutse normiga korrutisruumi oktaeedrilisus 30
Sissejuhatus
Käesoleva bakalaureusetöö põhieesmärk on artikli [HLP] eeskujul üksikasjalikult esitada erinevate diameeter-2 omadustega Banachi ruumide kaasruumi kirjeldus.
Bakalaureusetöö on osalt iseseisev teoreetiline uurimus ja osalt referatiivne.
Norra matemaatikute Abrahamseni, Lima ja Nygaardi ühisartiklis [ALN] uuriti kolme formaalselt erinevat diameeter-2 omadust — lokaalset diameeter-2 omadust, diameeter-2 omadust ja tugevat diameeter-2 omadust. Samas artiklis püstitati hü- potees, et need omadused on üldiselt erinevad. Nüüdseks on see hüpoteesi teadus- likult kinnitatud — kolm vaadeldavat diameeter-2 omadust on tõepoolest üldiselt erinevad (vt. [L], [BLR1]).
Tugeva diameeter-2 omaduse ja oktaeedrilisuse seosele osutas arvatavasti esi- mest korda Godefroy artiklis [G]. Artiklis [HLP] anti vastava oktaeedrilisuse abil kõigi diameeter-2 omaduste kirjeldus.
Bakalaureusetöö põhiosa koosneb viiest paragrahvist. Esimeses kolmes parag- rahvis antakse vajalikud eelteadmised ning tuuakse sisse diameeter-2 omadused ja oktaeedrilisuse omadused. Töö põhieesmärk täidetakse neljandas paragrahvis, kus esitatakse erinevate diameeter-2 omadustega ruumide esimese kaasruumi kirjeldus vastava oktaeedrilisuse omaduse abil. Viimases paragrahvis uuritakse oktaeedrili- suse päranduvust komponentruumidelt absoluutse normiga korrutisruumidele.
Käesolevas töös vaatleme ainult mittetriviaalseid reaalseid Banachi ruume.
Olgu X Banachi ruum. Tähistagu BX ruumi X kinnist ühikkera ja SX ruumi X ühiksfääri. RuumiX pidevate lineaarsete funktsionaalide ruumi tähistameX∗. Ruumi X alamhulgaA lineaarset katet tähistamespanA ja diameetrit diamA.
1 Eelteadmised
Olgu X Banachi ruum.
Definitsioon 1.1. Nõrk topoloogia on ruumiX vähim topoloogia, mille suhtes iga x∗ ∈X∗ korral x∗: X→R, x7→x∗(x), on pidev.
On teada (vt. [M, lk. 213]), et elemendi x∈X ümbruste baasi nõrgas topoloo- gias moodustavad lahtised hulgad kujul
{y ∈X:|x∗i(x−y)|< ε, i= 1, . . . , n}, kus n∈N, x∗1, . . . , x∗n ∈SX∗ ja ε >0.
Definitsioon 1.2. KujutustjX:X →X∗∗, kus iga x∈X ja x∗ ∈X∗ korral jX(x)(x∗) =x∗(x),
nimetatakse ruumi X kanooniliseks sisestuseks teise kaasruumi X∗∗.
Märgime siinkohal, et samastades elemendid x ∈ X ja jX(x) ∈ X∗∗, saame iga elementi x ∈ X vaadelda funktsionaalina kaasruumil X∗ ja võime ruumi X vaadelda teise kaasruumi X∗∗ alamruumina.
Definitsioon 1.3. *-nõrk topoloogia on kaasruumi X∗ vähim topoloogia, mille suhtes iga x∈X korral x: X∗ →R,x∗ 7→x∗(x), on pidev.
On teada (vt. [M, lk. 224]), et elemendi x∗ ∈ X∗ ümbruste baasi *-nõrgas topoloogias moodustavad lahtised hulgad kujul
{y∗ ∈X∗: |(x∗−y∗)(xi)|< ε, i= 1, . . . , n}, kus n∈N, x1, . . . , xn ∈SX ja ε >0.
Teoreem 1.4 (Goldstine’i teoreem, vt. [M, teoreem 2.6.26]). Ruumi X ühikkera BX on *-nõrga topoloogia suhtes tihe teise kaasruumi X∗∗ ühikkeras BX∗∗.
Teoreem 1.5 (Lokaalse refleksiivsuse printsiip, vt. [W, lk. 453]). Kui E ⊂ X∗∗
ja F ⊂ X∗ on lõplikumõõtmelised alamruumid, siis iga ε > 0 korral leidub pidev lineaarne T: E →X nii, et iga x∗∗ ∈E ja x∗ ∈F korral
(1−ε)kx∗∗k ≤ kT x∗∗k ≤(1 +ε)kx∗∗k ja
x∗(T x∗∗) =x∗∗(x∗), kusjuures iga x∈E∩X korral
T x=x.
2 Diameeter-2 omadused
Käesoleva paragrahvi eesmärk on bakalaureusetöösse sisse tuua artiklis [ALN] kä- sitletud diameeter-2 omadused.
Olgu X Banachi ruum.
Definitsioon 2.1. Banachi ruumi X ühikkeraviiluks nimetatakse hulka S(x∗, α) ={x∈BX: x∗(x)>1−α},
kus x∗ ∈SX∗ ja α >0.
Üldisemalt võib vaadelda mistahes alamhulga viile, kuid käesolevas bakalau- reusetöös vaatleme vaid ühikkera viile.
Definitsioon 2.2. Viilude S1, . . . , Sn (n ∈ N) kumeraks kombinatsiooniks nime- tatakse hulka
n
X
i=1
λiSi, kus λ1, . . . , λn≥0 ja λ1+· · ·+λn = 1.
Viilude S1, . . . , Sn kumerat kombinatsiooni
n
X
i=1
1 nSi
nimetatakse viilude S1, . . . , Sn aritmeetiliseks keskmiseks.
Definitsioon 2.3. Öeldakse, et Banachi ruumil X on
(a) lokaalne diameeter-2 omadus, kui igaBX viilu diameeter on 2;
(b) diameeter-2 omadus, kui iga BX mittetühja suhteliselt nõrgalt lahtise alam- hulga diameeter on 2;
(c) tugev diameeter-2 omadus, kui iga BX viilude kumera kombinatsiooni dia- meeter on 2.
Märgime, et iga ühikkera viil on mittetühi suhteliselt nõrgalt lahtine hulk. See- ga, kui ruumilX on diameeter-2 omadus, siis on tal ka lokaalne diameeter-2 oma- dus. On teada, et tugevast diameeter-2 omadusest järeldub diameeter-2 omadus (vt. [L]).
Näide 2.4. Banachi ruumidelc0,C[0,1],`∞ jaL1[0,1]on tugev diameeter-2 oma- dus.
Põhjendus. Kõik toodud näited leiab koos põhjendusega või vastava viitega ma- gistritööst [L].
Näitame definitsiooni 2.3 põhjal, et ruumil c0 on tugev diameeter-2 omadus.
Olgu S1 := S(x∗1, α1), . . . , Sn := S(x∗n, αn) viilud, kus iga indeksi i korral x∗i ∈Sc∗
0
ja αi > 0. On hästi teada, et c∗0 = `1. Seda samasust arvestades võime kirjutada x∗1 = (βk1), . . . , x∗n= (βkn)∈S`1 ja iga indeksi i korral
Si ={(ξk)∈Bc0:
∞
X
k=1
βkiξk >1−αi}.
Kuna iga indeksi i korral P∞
k=1|βki|= 1, siis leidub Ni ∈N nii, et
Ni
X
k=1
|βki|>1−αi 2.
Olgu N = max1≤i≤nNi. Valime elemendid x1, . . . , xn, y1, . . . , yn ∈ c0 nii, et iga indeksi i korral
xi = (ξki) = sgnβ1i, . . . ,sgnβNi ,1,0, . . . ja
yi = (ηik) = sgnβ1i, . . . ,sgnβNi ,−1,0, . . . . Ilmselt onxi, yi ∈Bc0. Näitame, et xi, yi ∈Si. Kuna
|βN+1i |<
∞
X
k=N+1
|βki|< αi 2,
siis ∞
X
k=1
βkiξik=
N
X
k=1
|βki|+βN+1i >1−αi 2 − αi
2 = 1−αi
ja
∞
X
k=1
βkiηki =
N
X
k=1
|βki| −βN+1i >1−αi 2 − αi
2 = 1−αi.
Seega xi, yi ∈Si. Vaatleme viilude S1, . . . , Sn mingit kumerat kombinatsiooni K =λ1S1+· · ·+λnSn,
kus λ1, . . . , λn≥0 ja λ1+· · ·+λn = 1. Olgu x=
n
X
i=1
λixi ja y=
n
X
i=1
λiyi. On selge, et x, y ∈K ja
diamK ≥ kx−yk=kλ1(x1−y1) +· · ·+λn(xn−yn)k=
=k(0, . . . ,0, λ1(1−(−1)) +· · ·+λn(1−(−1)),0,0, . . .)k= 2.
Järelikult on ruumil c0 tugev diameeter-2 omadus.
Näide 2.5. Jadaruumil `1 pole lokaalset diameeter-2 omadust.
Põhjendus. Arvestame, et kaasruum `∗1 on samastatav jadaruumiga`∞. Vaatleme viiluS =S(x∗,13), kus x∗ ∈S`∗1 samastub jadaga (1,0,0, . . .)∈S`∞. Seega
S ={(ξk)∈B`1: ξ1 > 2 3}.
Näitame, et diamS ≤1. Kuix= (ξk)∈S ja y= (ηk)∈S, siis saame, et
|ξ1−η1|< 1 3,
∞
X
k=2
|ξk|< 1 3 ja
∞
X
k=2
|ηk|< 1 3, mistõttu
kx−yk=
∞
X
k=1
|ξk−ηk| ≤ |ξ1 −η1|+
∞
X
k=2
|ξk|+
∞
X
k=2
|ηk|< 1 3 +1
3 +1 3 = 1.
SeegadiamS ≤1<2. Järelikult ruumil`1pole lokaalset diameeter-2 omadust.
Artikkel [ALN] on esimene põhjalikum diameeter-2 omaduste uurimus, aga sellest ei selgu, kas diameeter-2 omadused on alati samad või erijuhul erinevad.
Muuhulgas tõestatakse artiklis [ALN], et1< p <∞korral on Banachi ruumide`p- summal (s.t.`p-normiga otsesummal) diameeter-2 omadus või lokaalne diameeter-2 omadus, kui komponentidel on vastav diameeter-2 omadus.
Magistritöös [L] tõestati, et kui1< p <∞, siis Banachi ruumide`p-summal ei ole tugevat diameeter-2 omadust. Seega on näiteks ruumil c0⊕2c0 on diameeter-2 omadus, aga ei ole tugevat diameeter-2 omadust.
Nüüdseks on teada, et diameeter-2 omadus ja lokaalne diameeter-2 omadus ei ole üldiselt samad (vt. [BLR1]).
Järgnevas näitame, et tugev diameeter-2 omadus on samaväärne sellega, et iga viilude aritmeetilise keskmise diameeter on2. Selle näitamiseks kasutame järgmist lemmat.
Lemma 2.6. Iga n ∈ N, λ1, . . . , λn > 0, kus λ1 +· · ·+λn = 1, ja ε > 0 korral leiduvad k1, . . . , kn ∈N nii, et
n
X
i=1
λi− ki m
< ε, kus m=k1+· · ·+kn.
Tõestus. Olgu n ∈ N, λ1, . . . , λn > 0, kus λ1 +· · ·+λn = 1, ja ε > 0. Valime m∈N sellise, et mε > 2n ja
l1 :=bmλ1c, . . . , ln :=bmλnc>0.
Olgu iga indeksi i korral
ki =
l1+m−
n
X
i=1
li, kui i= 1, li, kui i≥2.
On selge, et m=Pn
i=1ki. Paneme tähele, et
λ1− k1 m
≤
λ1− l1 m
+
k1 m − l1
m
=
=
λ1− l1 m
+
m−Pn i=1li m
=
=
λ1− l1 m
+
n
X
i=1
λi− li m
. Seega
n
X
i=1
λi− ki m ≤
n
X
i=1
λi− li m
+
n
X
i=1
λi− li m
≤
≤2
n
X
i=1
λi− li m
=
= 2 m
n
X
i=1
(mλi−li)≤
≤ 2 m
n
X
i=1
1 = 2n m < ε.
Sellega on lemma 2.6 tõestatud.
Teoreem 2.7. Banachi ruumil on tugev diameeter-2 omadus parajasti siis, kui iga tema ühikkera viilude aritmeetilise keskmise diameeter on 2.
Tõestus. Tarvilikkus on ilmne.
Piisavus. OlguX Banachi ruum. Eeldame, etBX viilude aritmeetilise keskmise diameeter on alati 2. Vaatleme BX viilude S1, . . . , Sn kumerat kombinatsiooni
K =λ1S1+· · ·+λnSn,
kus λ1, . . . , λn>0ja λ1+· · ·+λn = 1. Näitame, et diamK = 2. Olgu ε >0.
Valime lemma 2.6 põhjal k1, . . . , kn∈N nii, et
n
X
i=1
λi− ki m
< ε 4, kus m=k1+· · ·+kn. Vaatleme hulka
K0 = 1 m
(S1+· · ·+S1
| {z }
k1t¨ukki
) +· · ·+ (Sn+· · ·+Sn
| {z }
knt¨ukki
)
.
On selge, et K0 on viilude aritmeetiline keskmine ning seega on eelduse põhjal diamK0 = 2. Järelikult leiduvad elemendid x, y ∈K0 nii, et
kx−yk ≥2− ε 2.
KunaS1, . . . , Snon ruumiX kumerad alamhulgad, siis elemendidxjayavalduvad kujul
x= k1
mx1+· · ·+ kn
mxn ja
y= k1
my1+· · ·+kn myn, kus xi, yi ∈Si. Olgu
˜
x=λ1x1+· · ·+λnxn ja
˜
y=λ1y1+· · ·+λnyn. Paneme tähele, et x,˜ y˜∈K. Kuna
k(x−x)˜ −(y−y)k˜ =
n
X
i=1
(λi− ki
m)(xi−yi)
≤
≤2
n
X
i=1
λi− ki m
<2ε 4 = ε
2, siis
k˜x−yk ≥ kx˜ −yk − k(x−x)˜ −(y−y)k ≥˜
≥2− ε 2 − ε
2 = 2−ε.
Seega diamK = 2. Järelikult on ruumil X tugev diameeter-2 omadus.
3 Oktaeedrilisus
Käesolevas paragrahvis tutvume artiklis [HLP] uuritud oktaeedrilisuse omaduste- ga.
Olgu X Banachi ruum.
Definitsioon 3.1. Öeldakse, et Banachi ruumX on
(a) lokaalselt oktaeedriline, kui iga x ∈ X ja ε > 0 korral leidub y ∈ SX nii, et iga s ∈R korral
ksx+yk ≥(1−ε)(|s|kxk+kyk);
(b) nõrgalt oktaeedriline, kui iga ruumi X lõplikumõõtmelise alamruumi E, x∗ ∈BX∗ ja ε >0korral leidub y∈SX nii, et iga x∈E korral
kx+yk ≥(1−ε)(|x∗(x)|+kyk);
(c) oktaeedriline, kui iga ruumiX lõplikumõõtmelise alamruumiE jaε >0korral leidub y∈SX nii, et iga x∈E korral
kx+yk ≥(1−ε)(kxk+kyk).
Paneme tähele, et ruumi oktaeedrilisusest järeldub tema nõrk oktaeedrilisus ja ruumi nõrgast oktaeedrilisusest järeldub tema lokaalne oktaeedrilisus. Artiklist [HLP] on teada, et üldjuhul vastupidised implikatsioonid ei kehti.
Näide 3.2. Banachi ruumid C[0,1], `1 ja L1[0,1]on oktaeedrilised.
Põhjendus. Ruumide C[0,1] ja `1 oktaeedrilisust näitame üksikasjalikult lausetes 3.9 ja 3.10 pärast oktaeedrilisuse kriteeriumi sisse toomist. RuumiL1[0,1]oktaeed- rilisus on põhjendatud artiklis [BLR2, järeldus 2.5 ja märkus 2.6].
Näide 3.3. Banachi ruum c0 pole lokaalselt oktaeedriline.
Põhjendus. Eeldame vastuväiteliselt, et ruum c0 on lokaalselt oktaeedriline. Olgu x= (1,0,0, . . .)∈Sc0 ja ε= 1/4. Eelduse põhjal leidub y= (ηk)∈Sc0 nii, et
kx±yk ≥(1−ε)(kxk+kyk) = 3 2.
Viimane võrratus on samaväärne võrratustega
sup{|1 +η1|,|η2|, . . .} ≥ 3 2 ja
sup{|1−η1|,|η2|, . . .} ≥ 3 2.
Kuna y∈Sc0, siis iga indeksi k korral |ηk| ≤1. Seega saame, et
|1 +η1| ≥ 3
2 ja |1−η1| ≥ 3 2 ehk
η1 ≥ 1
2 ja η1 ≤ −1 2.
Jõudsime vastuoluni. Järelikult ruum c0 pole lokaalselt oktaeedriline.
Alljärgnevates lausetes 3.5–3.8 toome oktaeedrilisuste samaväärsed tingimused.
Lemma 3.4. Kui x, y ∈SX, siis mistahes t >0 korral kehtib kx+tyk ≥max{1, t}kx+yk − |t−1|.
Tõestus. Olgu x, y ∈SX ja ε >0. Kuit ≥1, siis saame, et kx+tyk=ktx+ty−(t−1)xk ≥
≥tkx+yk − |t−1|=
= max{1, t}kx±yk − |t−1|.
Kui t <1, siis saame, et
kx+tyk=kx+y+ (t−1)yk ≥
≥ kx+yk − |t−1|=
= max{1, t}kx±yk − |t−1|.
Lause 3.5 ([HLP, lemma 3.1]). Olgu X Banachi ruum. Järgmised väited on sa- maväärsed.
(i) Ruum X on lokaalselt oktaeedriline.
(ii) Iga x∈SX ja ε >0 korral leidub y ∈SX nii, et iga t >0 korral kx±tyk ≥(1−ε)(kxk+t).
(iii) Iga x∈SX ja ε >0 korral leidub y ∈SX nii, et kx±yk ≥2−ε.
Tõestus. (i) ⇒(iii). Eeldame, et kehtib (i). Olgu x∈SX ja ε >0. Eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et igas ∈Rkorral
ksx+yk ≥ 1− ε
2
(|s|kxk+kyk).
Kui s= 1, siis saame võrratuse
kx+yk ≥2−ε.
Kui s=−1, siis saame võrratuse
kx−yk ≥2−ε.
Kokkuvõttes
kx±yk ≥2−ε.
Järelikult kehtib (iii).
(iii) ⇒ (ii). Eeldame, et kehtib (iii). Kui x ∈ SX ja ε > 0, siis eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et
kx±yk ≥2−ε.
Fikseerime vabalt t >0. Lemma 3.4 abil saame iga t >0korral kx±tyk ≥max{1, t}kx±yk − |t−1| ≥
≥max{1, t}(2−ε)−(max{1, t} −min{1, t}) =
= max{1, t}(1−ε) + min{1, t}=
= 1 +t−max{1, t}ε≥
≥1 +t−(1 +t)ε=
= (1−ε)(1 +t) = F
= (1−ε)(kxk+t).
Järelikult kehtib (ii).
(ii) ⇒(i). Eeldame, et kehtib (ii). Olgu x∈X jaε >0. Kui x6= 0, siis eelduse põhjal leidub selline y∈SX, et iga t >0korral
x kxk ±ty
≥(1−ε)(1 +t).
Kui s ∈ R\ {0}, siis t = |s|kxk1 korral saame viimase võrratuse mõlemaid pooli arvuga t läbi jagades, et
ksx+yk ≥(1−ε)(|s|kxk+kyk).
Kui s= 0, siis viimane võrratus kehtib triviaalselt.
Kui x= 0, siis suvalise y∈SX ja iga s∈R korral saame, et ksx+yk=kyk ≥(1−ε)(|s|kxk+kyk).
Järelikult kehtib (i).
Lause 3.6 ([HLP, lause 2.4]). Olgu X Banachi ruum. Järgmised väited on sama- väärsed.
(i) Ruum X on nõrgalt oktaeedriline.
(ii) Iga ruumi X lõplikumõõtmelise alamruumi E, x∗ ∈ BX∗ ja ε > 0 korral leidub y∈SX nii, et iga x∈SE ja t >0 korral
kx+tyk ≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
(iii) Iga n ∈ N, x1, . . . , xn ∈SX, x∗ ∈ BX∗ ja ε >0 korral leidub y ∈ SX nii, et iga indeksi i ja t≥ε korral
kxi+tyk ≥(1−ε)(|x∗(xi)|+t).
Tõestus. (i)⇒(iii). Eeldame, et kehtib (i). Olgun ∈N,x1, . . . , xn ∈BX,x∗ ∈SX∗ ja ε > 0. Olgu E = span{x1, . . . , xn}. Eelduse kohaselt leidub y ∈ SX nii, et iga x∈E ja t >0korral
kx+tyk ≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Seega iga indeksi i ja t≥ε korral
kxi+tyk ≥(1−ε)(|x∗(xi)|+t).
Järelikult kehtib (iii).
(iii) ⇒ (ii). Eeldame, et kehtib (iii). Olgu E ruumi X lõplikumõõtmeline ala- ruum,x∗ ∈BX∗ jaε∈(0,1). Valimeδ, γ > 0nii, etδ ≤ 2εjaγ ≤ δ22. KunaEon lõp- likumõõtmeline, siis leidub tema ühiksfäärile SE lõplik γ-võrk{x1, . . . , xn} ⊂ SE. Eelduse põhjal leidub selline y∈SX, et iga indeksii ja t ≥δ korral
kxi+tyk ≥(1−δ)(|x∗(xi)|+t).
Fikseerime vabalt x∈SE ja t >0. Kui t≤δ, siis δ valiku tõttu saame, et kx+tyk ≥ kxk −tkyk ≥1−δ≥
≥(1−ε)(1 +δ)≥(1−ε)(1 +t)≥
≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Kui t≥δ, siis valime sellise indeksi i, et
kx−xik ≤γ.
Seega
|x∗(xi)| ≥ |x∗(x)| − kx−xik ≥ |x∗(x)| −γ ja
kx+tyk ≥ kxi+tyk − kx−xik ≥
≥(1−δ)(|x∗(xi)|+t)−γ ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−(2−δ)γ ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−δ2 ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−δt≥
≥(1−2δ)(|x∗(x)|+t)≥
≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Järelikult kehtib (ii).
(ii) ⇒ (i). Eeldame, et kehtib (ii). Olgu E ⊂X lõplikumõõtmeline alamruum, x∗ ∈BX∗ jaε >0. Eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et iga x∈SE ja t >0korral
kx+tyk ≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Kui x∈E\ {0}, siis
x
kxk + 1 kxky
≥(1−ε)
x∗ x
kxk
+ 1 kxk
ehk
kx+yk ≥(1−ε)(|x∗(x)|+kyk).
Kui x= 0, siis x∗(x) = 0 ja
kx+yk=kyk ≥(1−ε)kyk= (1−ε)(|x∗(x)|+kyk).
Järelikult kehtib (i).
Lause 3.7 ([HLP, lause 2.5]). Olgu X Banachi ruum. Järgmised väited on sama- väärsed.
(i) Kaasruum X∗ on nõrgalt oktaeedriline.
(ii) Iga kaasruumi X∗ lõplikumõõtmelise alamruumi E, x ∈ BX ja ε > 0 korral leidub y∗ ∈SX∗ nii, et iga x∗ ∈E ja t >0 korral
kx∗+ty∗k ≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
(iii) Iga n ∈N, x∗1, . . . , x∗n ∈SX∗, x∈BX ja ε > 0 korral leidub y∗ ∈ SX∗ nii, et iga indeksi i ja t≥ε korral
kx∗i +ty∗k ≥(1−ε)(|x∗i(x)|+t).
Tõestus. (i)⇒(iii). Eeldame, et kehtib (i). Olgun ∈N,x∗1,· · · , x∗n ∈SX∗,x∈BX
ja ε > 0. Olgu E = span{x∗1,· · ·, x∗n}. Eelduse põhjal leidub y∗ ∈ SX∗ nii, et iga x∗ ∈E korral
kx∗+y∗k ≥(1−ε)(|x∗(x)|+ 1).
Seega ka suvalise indeksi i ja t >0korral saame
1
tx∗i +y∗
≥(1−ε)
1
tx∗i (x)
+ 1
ehk
kx∗i +ty∗k ≥(1−ε)(|x∗i(x)|+t).
Järelikult kehtib (iii).
(iii) ⇒ (ii). Eeldame, et kehtib (iii). Olgu E kaasruumi X∗ lõplikumõõtmeline alaruum, x ∈ SX ja ε ∈ (0,1). Olgu δ, γ > 0 sellised, et δ ≤ ε2 ja γ ≤ δ22. Olgu {x∗1, . . . , x∗n} ⊂SE lõplikγ-võrk hulgaleSE. Eelduse põhjal leidub selliney∗ ∈SX∗, et iga indeksi i ja t≥δ korral
kx∗i +ty∗k ≥(1−δ)(|x∗i(x)|+t).
Fikseerime suvalised x∗ ∈ SE ja t > 0. Kui t≤δ, siis δ valiku tingimusest saame, et
kx∗+ty∗k ≥ kx∗k −tky∗k ≥1−δ ≥(1−ε)(1 +δ)≥
≥(1−ε)(1 +t)≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Kui t≥δ, siis valime sellise indeksi i, et
kx∗−x∗ik ≤γ.
Seega
|x∗i(x)| ≥ |x∗i(x)| − kx∗−x∗ik ≥ |x∗i(x)| −γ.
ja
kx∗+ty∗k ≥ kx∗i +ty∗k − kx∗−x∗ik ≥
≥(1−δ)(|x∗i(x)|+t)−γ ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−(2−δ)γ ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−δ2 ≥
≥(1−δ)(|x∗(x)|+t)−δt≥
≥(1−2δ)(|x∗(x)|+t)≥
≥(1−ε)(|x∗(x)|+t).
Järelikult kehtib (ii).
(ii) ⇒ (i). Eeldame, et kehtib (ii). Olgu E kaasruumi X∗ lõplikumõõtmeline alamruum,x∗∗ ∈BX∗∗ jaε >0. Lokaalse refleksiivsuse printsiibi (vt. teoreem 1.5) põhjal leidub x∈X nii, et iga x∗ ∈E korral
x∗∗(x∗) =x∗(x) ja (1−ε)kx∗∗k ≤ kxk ≤(1 +ε)kx∗∗k.
Paneme tähele, et 1+ε1 x ∈BX. Eelduse põhjal leidub y∗ ∈ SX∗ nii, et iga x∗ ∈SE ja t >0 korral
kx∗+ty∗k ≥(1−ε2)
x∗ 1
1 +εx
+t
≥
≥(1−ε)(|x∗(x)|+t) =
= (1−ε)(|x∗∗(x∗)|+t).
Seega, kuix∗ ∈E\ {0}, siis
x∗
kx∗k + 1 kx∗ky∗
≥(1−ε)
x∗∗
x∗ kx∗k
+ 1 kx∗k
ehk
kx∗ +y∗k ≥(1−ε)(|x∗∗(x∗)|+ky∗k).
Kui x∗ = 0, siis
kx∗+y∗k=ky∗k ≥(1−ε)ky∗k= (1−ε)(|x∗∗(x∗)|+ky∗k).
Lause 3.8 ([HLP, lause 2.1]). Olgu X Banachi ruum. Järgmised väited on sama- väärsed.
(i) Ruum X on oktaeedriline.
(ii) Iga ruumi X lõplikumõõtmelise alamruumi E ja ε >0 korral leidub y∈ SX
nii, et iga x∈SE ja t >0 korral
kx+tyk ≥(1−ε)(kxk+t).
(iii) Iga n ∈N, x1, . . . , xn ∈ SX ja ε > 0 korral leidub y ∈ SX nii, et iga indeksi i korral
kxi+yk ≥2−ε.
Tõestus. (i)⇒ (iii). Eeldame, et kehtib (i). Olgun∈N, x1, . . . , xn∈SX jaε >0.
Olgu E = span{x1, . . . , xn}. Eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et igax∈E korral kx+yk ≥
1− ε 2
(kxk+kyk).
Seega iga indeksi i korral
kxi+yk ≥ 1− ε
2
(kxik+kyk) = 2−ε.
Järelikult kehtib (iii).
(iii) ⇒(ii). Eeldame, et kehtib (iii). OlguE ruumiX lõplikumõõtmeline alam- ruum ja ε > 0. Olgu {x1, . . . , xn} ⊂ SE lõplik ε2-võrk hulgale SE. Eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et iga indeksi ikorral
kxi+yk ≥2− ε 2.
Sarnaselt lause 3.5 (iii) ⇒(ii) tõestusele kehtib iga t >0korral kxi+tyk ≥
1− ε 2
(kxik+t).
Kui x∈SE ja t >0, siis leidub indeks i nii, et kx−xik< ε2 ja saame, et kx+tyk ≥ kxi+tyk − kx−xik ≥
1− ε 2
(1 +t)− ε
2 ≥(1−ε)(1 +t).
Järelikult kehtib (ii).
(ii) ⇒ (i). Eeldame, et kehtib (ii). Olgu E ruumi X lõplikumõõtmeline alam- ruum ja ε >0. Eelduse põhjal leidub y∈SX nii, et iga x∈SE ja t >0 korral
kx+tyk ≥(1−ε)(kxk+t).
Kui x∈E\ {0}, siis
x
kxk + 1 kxky
≥(1−ε)(1 + 1 kxk)
ehk
kx+yk ≥(1−ε) (kxk+kyk). Kui x= 0, siis
kx+yk=kyk ≥(1−ε)kyk= (1−ε)(kxk+kyk).
Järelikult kehtib (i).
Lause 3.9. Ruum C[0,1] on oktaeedriline.
Tõestus. Olgun ∈N,x1, . . . , xn∈SC[0,1]jaε ∈(0,1). Lause 3.8, (iii) põhjal piisab näidata, et leiduby ∈SC[0,1] nii, et iga indeksi i korral
kxi+yk ≥2−ε.
Kunax1, . . . , xnon pidevad funktsioonid ja iga indeksiikorralmaxt∈[0,1]|xi(t)|= 1, siis leiduvad paarikaupa erinevad t1, . . . , tn ∈[0,1] nii, et
|xi(ti)| ≥1−ε.
Vaatleme sellist y∈SC[0,1], et iga indeksii korral y(ti) = sgnxi(ti).
Seega saame, et
kxi+yk ≥ |xi(ti) +y(ti)| ≥1−ε+ 1 = 2−ε.
Järelikult on ruum C[0,1] oktaeedriline.
Lause 3.10. Jadaruum `1 on oktaeedriline.
Tõestus. Olgu n ∈ N, x1, . . . , xn ∈ S`1 ja ε > 0. Tähistame iga indeksi i korral xi = (ξik). Kuna iga indeksi i korral P∞
k=1|ξki| = 1, siis leidub N ∈ N nii, et iga indeksi i korral |ξNi | ≤ε/2. Olgu y= (ηk), kus
ηk=
0, kuik 6=N, 1, kuik =N.
Nüüd saame, et suvalise indeksi ikorral kxi+yk=
N−1
X
k=1
|ξki|+|ξNi + 1|+
∞
X
k=N+1
|ξki|=
= 1− ε
2 +|ξNi + 1| ≥1− ε
2 + 1− ε
2 = 2−ε.
Lause 3.8, (iii) põhjal on jadaruum `1 oktaeedriline.
4 Diameeter-2 omaduste ja oktaeedrilisuse vahe- kord
Antud paragrahvis esitame artikli [HLP] eeskujul bakalaureusetöö põhitulemusena erinevate diameeter-2 omadustega Banachi ruumide esimese kaasruumi kirjelduse oktaeedrilisuse abil.
Teoreem 4.1([HLP, teoreem 3.3]). Banachi ruumil on lokaalne diameeter-2 oma- dus parajasti siis, kui tema kaasruum on lokaalselt oktaeedriline.
Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et Banachi ruum X on lokaalse diameeter-2 oma- dusega. Näitame lause 3.5 tingimuse (iii) abil, et kaasruum X∗ on lokaalselt ok- taeedriline. Olgu x∗ ∈ SX∗ ja ε > 0. Lokaalse diameeter-2 omaduse tõttu on BX viiluS(x∗, ε/2) diameeter 2. Seega leiduvadx, y ∈S(x∗, ε/2)nii, et
kx−yk ≥2− ε 2. Olgu y∗ ∈SX∗ selline, et
y∗(x−y) = kx−yk.
Kuna y∗(x)≤1ja y∗(y)≥ −1, siis y∗(x)≥1− ε
2 ja −y∗(y)≥1− ε 2. Järelikult
kx∗+y∗k ≥(x∗ +y∗)(x) = x∗(x) +y∗(x)≥1− ε
2 + 1− ε
2 = 2−ε ja
kx∗−y∗k ≥(x∗−y∗)(y) = x∗(y)−y∗(y)≥1− ε
2 + 1− ε
2 = 2−ε.
Kokkuvõttes saame, et
kx∗±y∗k ≥2−ε.
Järelikult on X∗ lokaalselt oktaeedriline.
Piisavus. Eeldame nüüd, et kaasruumX∗on lokaalselt oktaeedriline ja näitame, et ruumil X on lokaalne diameeter-2 omadus. Olgu x∗ ∈ SX∗ ja ε > 0. Piisab näidata, et leiduvad sellised x, y ∈S(x∗, ε), et
kx−yk ≥2−ε.
Kuna X∗ on lokaalselt oktaeedriline, siis leidub selliney∗ ∈SX∗, et kx∗±y∗k ≥2− ε
4. Võtame x, y ∈SX nii, et
(x∗ +y∗)(x)>2− ε
2 ja (x∗−y∗)(y)>2− ε
2. (1)
Seega
x∗(x)>2− ε
2 −y∗(x)≥2− ε
2 −1 = 1− ε
2 >1−ε ja
x∗(y)>2− ε
2−y∗(y)≥2− ε
2−1 = 1− ε
2 >1−ε.
Järelikult x, y ∈S(x∗, ε). Teiselt poolt saame võrratustest (1), et y∗(x)≥1− ε
2 ja −y∗(y)≥1− ε 2. Seega
kx−yk ≥y∗(x−y) =y∗(x)−y∗(y)≥1− ε
2+ 1− ε
2 = 2−ε.
Järelikult on ruumil X lokaalne diameeter-2 omadus.
Teoreem 4.2 ([HLP, teoreem 2.7]). Banachi ruumil on diameeter-2 omadus pa- rajasti siis, kui tema kaasruum on nõrgalt oktaeedriline.
Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et Banachi ruumilX on diameeter-2 omadus. Näi- tame lause 3.7 kriteeriumi (iii) abil, et kaasruum X∗ on nõrgalt oktaeedriline.
Olgu n ∈ N, x∗1, . . . , x∗n ∈ SX∗, x ∈ BX ja ε ∈ (0,1). Fikseerime suvalise sellise
δ ∈ (0, ε2), et δ < ε|x∗i(x)| iga indeksi i korral, mille puhul |x∗i(x)|> 0. Vaatleme hulka
W ={y ∈BX: |x∗i(x−y)|< δ, i= 1, . . . , n}.
Ilmselt on W ühikkera BX mittetühi suhteliselt nõrgalt lahtine alamhulk. Seega eelduse põhjal leiduvad u, v ∈ W nii, et
ku−vk ≥2−ε.
Olgu y∗ ∈SX∗ selline, et
y∗(u−v) = ku−vk.
Kuna y∗(u)≤1ja y∗(v)≥ −1, siis
y∗(u)≥1−ε ja y∗(v)≤ −1 +ε.
Fikseerime vabalt indeksi i ja arvu t ≥ ε. Kui x∗i(x) 6= 0, siis valime sellise z ∈ {u, v}, etx∗i(x)ja y∗(z)oleksid sama märgiga. Sel juhul on kax∗i(z)ja y∗(z)sama märgiga, mistõttu
kx∗i +ty∗k ≥ |x∗i(z) +ty∗(z)|=
=|x∗i(z)|+t|y∗(z)| ≥
≥ |x∗i(x)| − |x∗i(x−z)|+t|y∗(z)| ≥
≥ |x∗i(x)| −ε|x∗i(x)|+t(1−ε)) =
= (1−ε)(|x∗i(x)|+t).
Kui x∗i(x) = 0, siis
kx∗i +ty∗k ≥ |x∗i(u) +ty∗(u)| ≥
≥t|y∗(u)| − |x∗i(u)| ≥
≥t(1−ε)−ε2 ≥
≥t(1−ε)−tε= (1−2ε)t =
= (1−2ε)(|x∗i(x)|+t).
Järelikult on kaasruum X∗ nõrgalt oktaeedriline.
Piisavus. Eeldame, et Banachi ruumi X korral on kaasruum X∗ nõrgalt ok- taeedriline. Näitame, et ruumilX on diameeter-2 omadus. OlguO ⊂BX mittetühi suhteliselt nõrgalt lahtine alamhulk. Olgu x∈ O. Vaatleme elemendix suhteliselt nõrka baasiümbrust
W ={y∈BX: |x∗i(x−y)|< ε, i= 1, . . . , n} ⊂ O,
kus n ∈ N, x∗1, . . . , x∗n ∈ SX∗ ja ε > 0. Meil piisab näidata, et leiduvad sellised u, v ∈ W, et
ku−vk ≥2−ε.
Üldisust kitsendamata võime eeldata, et ε < 2. Olgu E = span{x∗1, . . . , x∗n}. Eel- duse kohaselt leidub y∗ ∈SX∗ nii, et iga x∗ ∈E ja t >0 korral
kx∗ +ty∗k ≥ 1− ε
4
(|x∗(x)|+t). (2) Paneme tähele, ety∗ ∈/ E: kuiy∗ ∈E, siis ka−y∗ ∈E, mistõttu saame võrratusest (2) vastuolu, kui võtta x∗ =−y∗ ja t = 1.
Defineerime funktsionaalid
F, G: span(E∪ {y∗})→R selliselt, et iga x∗ ∈E korral
F(x∗) =G(x∗) =x∗(x) ning
F(y∗) = 1 ja G(y∗) =−1.
Kuna y∗ ∈/ E, siis funktsionaalid F ja G on ilmselt korrektselt defineeritud ja lineaarsed. Paneme tähele, et funktsionaalid F ja G on pidevad: võrratuse (2) põhjal saame, et
|F(x∗+ty∗)|=|x∗(x) +t| ≤ |x∗(x)|+t≤ 1
1−ε/4kx∗i +ty∗k, seega (1−ε/4)kFk ≤1ja analoogiliselt saame, et (1−ε/4)kGk ≤1.
Järelikult on ka
U :=
1− ε 4
F ja V :=
1− ε 4
G
pidevad lineaarsed funktsionaalid kaasruumi X∗ alamruumil span(E∪ {y∗}), kus- juureskUk,kVk ≤1. Jätkame funktsionaalidUjaV normi säilitavalt kogu ruumile X∗ ja edaspidi tähistagu U jaV vastavaid jätke. Goldstine’i teoreemi (vt. teoreem 1.4) põhjal leiduvadu, v ∈BX ⊂BX∗∗ nii, et iga indeksi i korral
|(u−U)(x∗i)|< ε
4 ja |(v−V)(x∗i)|< ε 4 ning
|(u−U)(y∗)|< ε
4 ja |(v−V)(y∗)|< ε 4. Näitame, et u, v ∈ W ja ku−vk ≥2−ε. Paneme tähele, et
ku−vk ≥ |y∗(u−v)|=
=|(U −V)(y∗) + (u−U)(y∗) + (V −v)(y∗)| ≥
≥ |(U −V)(y∗)| − |(u−U)(y∗)| − |(V −v)(y∗)| ≥
≥2(1− ε 4)− ε
4 − ε
4 = 2−ε.
Jääb veel näidata, et u, v ∈ W. Iga indeksi ikorral
|x∗i(x−u)|=|(x−U)x∗i + (U−u)x∗i| ≤
≤ |(x−U)x∗i|+|(u−U)x∗i|<
<|x∗i(x)−(1− ε
4)F(x∗i)|+ε 4 =
= ε
4|x∗i(x)|+ ε 4 ≤
≤ ε 4+ ε
4 = ε 2 < ε.
Seega u ∈ W. Analoogiliselt saab näidata, et v ∈ W. Järelikult on ruumil X diameeter-2 omadus.
Teoreem 4.3 ([HLP, teoreem 2.3]). Banachi ruumil on tugev diameeter-2 omadus parajasti siis, kui tema kaasruum on oktaeedriline.
Tõestus. Tarvilikkus. Eeldame, et Banachi ruumilXon tugev diameeter-2 omadus.
Näitame lause 3.8 kriteeriumi (iii) abil, et kaasruum X∗ on oktaeedriline. Olgu x∗1, . . . , x∗n ∈SX∗ ja ε >0. Näitame, et leiduby∗ ∈SX∗ nii, et iga indeksi ikorral
kx∗i +y∗k ≥2−ε.
Tähistame
K := 1 n
n
X
i=1
Si,
kus iga indeksiikorralSi :=S(x∗i, ε/2)onBX viilud. Eelduse kohaseltdiamK = 2.
Järelikult leiduvadx, y ∈K nii, et
kx−yk>2− ε 2n. Olgu y∗ ∈SX∗ selline, et
y∗(x−y) = kx−yk.
Kuna y∗(y)≥ −1, siis
y∗(x)>1− ε 2n. Kuna x∈K, siis x esitub kujul
x= 1 n
n
X
i=1
xi, kus xi ∈Si. Paneme tähele, et
y∗(xi) =ny∗(x)−
n
X
j=1 j6=i
y∗(xj)≥
≥n 1− ε
2n
−(n−1) =
= 1− ε 2, mistõttu
kx∗i +y∗k ≥(x∗i +y∗)(xi)>1− ε
2 + 1− ε
2 = 2−ε.
Järelikult on kaasruum X∗ oktaeedriline.
Piisavus. Eeldame, et Banachi ruumi X korral on kaasruum X∗ oktaeedriline.
Näitame teoreemi 3.8 kriteeriumi (iii) abil, et ruumil X on tugev diameeter-2 omadus. Olgu x∗1, . . . , x∗n∈SX∗ ja ε >0. Tähistame
K := 1 n
n
X
i=1
S(x∗i,ε 2),
kus iga indeksi ikorralS(x∗i, ε/2)onBX viil. Piisab näidata, et leiduvad x, y ∈K nii, et
kx−yk ≥2−ε.
Eelduse kohaselt leidub y∗ ∈SX∗ nii, et iga indeksi i korral kx∗i ±y∗k ≥2− ε
4. Iga indeksi i korral leiduvadxi, yi ∈BX nii, et
(x∗i +y∗)(xi)≥ kx∗i +y∗k − ε
4 ja (x∗i −y∗)(yi)≥ kx∗i −y∗k − ε
4. (3) Kuna y∗(xi)≤1ja y∗(yi)≥ −1, siis
x∗i(xi)≥1− ε
2 ja x∗i(yi)≥1− ε 2.
Seega xi, yi ∈Si. Kuna x∗i(xi)≤1 ja y∗(xi)≤1, siis võrratustest (3) saame, et y∗(xi)≥1− ε
2 ja −y∗(yi)≥1− ε 2. Võtame
x= 1 n
n
X
i=1
xi ja y= 1 n
n
X
i=1
yi. Ilmselt x, y ∈K ja
kx−yk ≥y∗(x−y)≥1− ε
2 + 1− ε
2 = 2−ε.
Järelikult on ruumil X tugev diameeter-2 omadus.
5 Absoluutse normiga korrutisruumi oktaeedrilisus
Artiklis [HLP] uuriti, kuidas oktaeedrilisus kandub Banachi ruumidelt üle nen- de ruumide `p-summale. Käesolevas paragrahvis üldistame artiklis [HLP] saadud
`p-summade oktaeedrilisuse stabiilsustulemusi absoluutsete normidega korrutis- ruumidele.
Olgu X ja Y Banachi ruumid.
Definitsioon 5.1. Öeldakse, et norm k · kN ruumil X × Y on absoluutne, kui leidub funktsioon N: [0,∞)×[0,∞)→[0,∞)nii, et iga x∈X ja y∈Y korral
k(x, y)kN =N(kxk,kyk).
Absoluutne norm k · kN onnormaliseeritud, kuiN(0,1) =N(1,0) = 1.
Ruumi X×Y varustatud absoluutse normiga k · kN tähistame X⊕N Y. Näide 5.2. Iga p-norm
k(x, y)kp =
(kxkp+kykp)1/p, kui 1≤p < ∞, max{kxk,kyk}, kui p=∞, on absoluutne normaliseeritud norm.
Korrutisruumi X×Y varustatudp-normiga tähistame X⊕pY. Näide 5.3. Olgu λ∈(0,1). Korrutisruumil X×Y vaadeldav norm
k(x, y)k= max{k(x, y)k∞, λk(x, y)k1}
on ilmselt absoluutne normaliseeritud norm, kuid polep-norm. Paneme tähele, et kuiλ= 1, siis antud norm oleks võrdne 1-normiga, ja kuiλ= 0, siis oleks tegemist
∞-normiga.
Lemma 5.4 ([H, lemma 3.1 ja lk. 317]). Olgu X ja Y Banachi ruumid ja k · kN
absoluutne normaliseeritud norm korrutisruumil X×Y.
(a) X⊕N Y on Banachi ruum, kusjuures
k · k∞≤ k · kN ≤ k · k1.
(b) Kui x1, x2 ∈X ja y1, y2 ∈Y on sellised, et kx1k ≤ kx2k ja ky1k ≤ ky2k, siis k(x1, y1)kN ≤ k(x2, y2)kN.
(c) Leidub absoluutne normaliseeritud norm k · kN∗ ruumil X∗ × Y∗ nii, et (X⊕N Y)∗ =X∗⊕N∗Y∗, kusjuures iga (x∗, y∗)∈X∗⊕N∗Y∗ korral
k(x∗, y∗)kN∗ = max
N(|α|,|β|)≤1
|α|kx∗k+|β|ky∗k ja iga (x, y)∈X⊕N Y korral
(x∗, y∗)(x, y) =x∗(x) +y∗(y).
Lause 5.5. Kui Banachi ruumid X ja Y on lokaalselt oktaeedrilised ja k · kN on absoluutne normaliseeritud norm, siis ruumX⊕NY on samuti lokaalselt oktaeed- riline.
Tõestus. OlguXjaY lokaalselt oktaeedrilised Banachi ruumid jak·kN absoluutne normaliseeritud norm korrutisruumil X ×Y. Näitame lause 3.5 kriteeriumi (iii) abil, etX⊕NY on lokaalselt oktaeedriline. Olgu(x, y)∈SX⊕NY jaε∈(0,2). Meil piisab leida (u, v)∈SX⊕NY nii, et
k(x, y)±(u, v)kN ≥2−ε.
Kui x 6= 0 ja y 6= 0, siis ruumide X ja Y on lokaalse oktaeedrilisuse tõttu leivad x0 ∈SX ja y0 ∈SY nii, et
x kxk ±x0
≥2−ε ja
y kyk ±y0
≥2−ε.
Võtame u:= kxkx0 ja v :=kyky0. Paneme tähele, et (u, v)∈SX⊕NY. Tõepoolest, kunakx0k=ky0k= 1, siis
k(u, v)kN =N(kuk,kvk) =N
kxkx0 ,
kyky0
=
=N(kxk,kyk) =k(x, y)kN = 1.
Paneme lemma 5.4, (b) abil tähele, et
k(x, y)±(u, v)kN =N(kx±uk,ky±vk) =
=N
x± kxkx0 ,
y± kyky0
≥
≥N (2−ε)kxk,(2−ε)kyk
=
= (2−ε)N(kxk,kyk) = 2−ε.
Vaatleme nüüd juhtu, kus x = 0 või y = 0. Konkreetsuse mõttes olgu kxk = 0.
Kunak · kN on normaliseeritud, siiskyk= 1. Ruumi Y on lokaalse oktaeedrilisuse tõttu leidubv ∈SY nii, et
ky±vk ≥2−ε.
Seega
k(0, y)±(0, v)kN =N(0,ky±vk)≥N(0,2−ε) = 2−ε.
Järelikult on X⊕N Y lokaalselt oktaeedriline.
Lause 5.6. Kui Banachi ruumid X ja Y on nõrgalt oktaeedrilised ja k · kN on ab- soluutne normaliseeritud norm, siis ruumX⊕NY on samuti nõrgalt oktaeedriline.
Tõestus. Olgu X jaY nõrgalt oktaeedrilised Banachi ruumid ja k · kN absoluutne normaliseeritud norm korrutisruumilX×Y. Näitame lause 3.6 kriteeriumi (ii) abil, etX⊕N Y on nõrgalt oktaeedriline. OlguE⊕N F ⊂X⊕N Y lõplikumõõtmeline alamruum,k · kN∗ kaasruumi(X⊕NY)∗ =X∗⊕N∗Y∗ absoluutne normaliseeritud norm, (x∗, y∗) ∈ SX∗⊕N∗Y∗ ja ε ∈ (0,1). Meil piisab leida (u, v) ∈ SX⊕NY nii, et iga (x, y)∈E⊕N F ja t >0korral
k(x, y) +t(u, v)kN ≥(1−ε)(|(x∗(x) +y∗(y)|+t).
Kui x∗ 6= 0 ja y∗ 6= 0, siis ruumide X ja Y nõrga oktaeedrilisuse tõttu leiduvad x0 ∈SX ja y0 ∈SY nii, et iga x∈SE, y∈SF ning t >0 korral
kx+tx0k ≥(1−ε)
|x∗(x)|
kx∗k +t
ja
ky+ty0k ≥(1−ε)
|y∗(y)|
ky∗k +t
.
Lemma 5.4, (c) põhjal leiduvad sellised α, β >0, et N(α, β) = 1 ja k(x∗, y∗)kN∗ =αkx∗k+βky∗k= 1.
Võtameu:=αx0 jav :=βy0. Paneme tähele, et(u, v)∈SX⊕NY. Tõepoolest, kuna kx0k=ky0k= 1, siis
k(u, v)kN =N(kuk,kvk) =N(αkx0k, βky0k) =N(α, β) = 1.
Paneme tähele, et iga(x, y)∈E⊕N F ja t >0korral k(x, y) +t(u, v)kN ≥ kx∗kkx+tuk+ky∗kky+tvk ≥
≥ kx∗k(1−ε)
|x∗(x)|
kx∗k +αt
+ky∗k(1−ε)
|y∗(y)|
ky∗k +βt
≥
≥(1−ε) |x∗(x) +y∗(y)|+ (αkx∗k+βky∗k)t
=
= (1−ε)(|x∗(x) +y∗(y)|+t).
Vaatleme nüüd juhtu, kus x∗ = 0 või y∗ = 0. Konkreetsuse mõttes olgu x∗ = 0.
Kuna k · kN∗ on normaliseeritud, siis ky∗k = 1. Ruumi Y nõrga oktaeedrilisuse tõttu leidubv ∈SY nii, et iga y∈F ja t >0korral
ky+tvk ≥(1−ε)(|y∗(y)|+t).
Seega iga (x, y)∈E⊕N F ja t >0 korral
k(x, y) +t(0, v)kN ≥ kx∗kkxk+ky∗kky+tvk=
=ky+tvk ≥(1−ε)(|y∗(y)|+t) =
= (1−ε)(|x∗(x) +y∗(y)|+t).
Järelikult on X⊕N Y nõrgalt oktaeedriline.
Lause 5.7 ([HLP, lause 3.10]). Olgu X ja Y Banachi ruumid.
(a) Kui X on oktaeedriline, siis X⊕1Y on oktaeedriline.
(b) Kui 1< p < ∞, siis X⊕p Y ei saa olla oktaeedriline.
(c) Kui X ja Y on oktaeedrilised, siis X⊕∞Y on oktaeedriline.
Seega leidub selliseid absoluutse normiga korrutisruume X × Y, mis on ok- taeedrilised ning ka selliseid, mis pole oktaeedrilised. Lahtiseks jääb küsimus, millal täpselt on absoluutse normiga varustatud korrutisruum X×Y oktaeedriline.
Viited
[ALN] T. Abrahamsen, V. Lima ja O. Nygaard,Remarks on diameter 2 properties, J. Convex Anal.20 (2013), 439–452.
[BLR1] J. Becerra Guerrero, G. López Pérez ja A. Rueda Zoca,Big slices versus big relatively weakly open subsets in Banach spaces, (2013), arXiv:1304.4397.
[BLR2] , Octahedral norms and convex combination of slices in Banach spaces, (2013), arXiv:1309.3866.
[G] G. Godefroy, Metric characterization of first Baire class linear forms and octahedral norms, Studia Math.95 (1989), 1–15.
[H] J.-D. Hardtke,Absolute sums of Banach spaces and some geometric proper- ties related to rotundity and smoothness, Banach J. Math. Anal. 8 (2014), 295–334.
[HLP] R. Haller, J. Langemets ja M. Põldvere,On duality of diameter 2 properties, J. Convex Anal.22 (2015), ilmumas.
[L] J. Langemets,Diameter 2 properties, magistritöö, Tartu Ülikool, 2012.
[M] R. E. Megginson,An introduction to Banach space theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 183, Springer-Verlag, New York, 1998.
[OO] E. Oja ja P. Oja, Funktsionaalanalüüs, TÜ trükikoda, Tartu, 1991.
[W] D. Werner,Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007.
