P11. Addition of Spins we start with

Theoretische Physik III: Quantenmechanik

Prof. F.Wegner, Universit¨ at Heidelberg, SS04

10. L¨ osungsblatt, Pr¨ asenz¨ ubung 02.06.04, Hausaufgaben Abgabetermin: 28.06.04

P11. Addition von Spins Wir beginnen mit

P11. Addition of Spins we start with

|3/2, 3/2i = | + ++i

|3/2, 1/2i = 1

√ 3 (| + +−i + | + −+i + | − ++i)

|3/2, −1/2i = 1

√ 3 (| + −−i + | − +−i + | − −+i)

|3/2, 3/2i = | − −−i Die dazu geh¨ orige Ortswellenfunktion ist total antisymmetrisch unter Vertauschung von Indizes. Es gibt noch zwei nicht

¨

aquivalente Arten zu Spin 1/2 zu kop- peln. Man erh¨ alt sie indem man zu

|3/2, 1/2i orthogonale Kombinationen von

| + +−i, | + −+i, | − ++i konstruiert.

Die resultierenden Kombinationen haben allerdings nur noch Symmetrie bzw. Anti- symmetrie bez¨ uglich Austausch zweier In- dizes

The corresponding position wave function is completely antisymmetric under inter- change of indices. There are yet two in- equivalent ways to couple to spin 1/2.

They are obtained by constructing combi- nations of |++−i, |+−+i, |−++i orthog- onal to |3/2, 1/2i. The resulting combina- tions however have less symmetry. They are only symmetric or antisymmetric with respect to two indices

|1/2, 1/2i

= 1

√ 6 (2| + +−i − | + −+i − | − ++i)

|1/2, −1/2i

= 1

√ 6 (−2| − −+i + | − +−i + | + −−i)

und and

|1/2, 1/2i

= 1

√ 2 (| + −+i − | − ++i)

|1/2, −1/2i

= 1

√ 2 (| + −−i − | − +−i) .

Um hieraus total antisymmetrische Wellenfunktionen mit Spin 1/2 zu kon- struieren ben¨ otigt man im Allgemeinen beide in¨ aquivalente Darstellungen, die zusammengenommen die Basis einer irreduzible Darstellung der Permutation- sgruppe bilden. Man ¨ uberzeugt sich zum Beispiel, daß

To construct a completely antisymmetric wave function with spin 1/2 in general one needs both inequivalent representations, which build together an irreducible repre- sentation of the permutation group. One can convince oneself that for instance

P

|1/2, 1/2i

|1/2, 1/2i

=

1 0 0 −1

|1/2, 1/2i

|1/2, 1/2i

P

|1/2, 1/2i

|1/2, 1/2i

= 1 2

−1 √

√ 3

3 1

|1/2, 1/2i

|1/2, 1/2i

. Eine Dreiteilchenwellenfunktion mit Spin

1/2 und z-Komponente + l¨ asst sich also schreiben als

A three fremion wave function with spin 1/2 and z component + can therefore be written as

ψ(x

, x

, x

; 1/2, 1/2) = f

(x

, x

, x

)|1/2, 1/2i

+ f

(x

, x

, x

)|1/2, 1/2i

Die Wellenfunktionen f

, f

m¨ ussen nun so

konstruiert sein, daß

the wave functions have to be constructed such that

P

ψ = −ψ for all i, j . Das wird erreicht wenn f

, f

unter

Permutationen transformieren wie

|1/2, 1/2i

aber mit dem umgekehrten Vorzeichen, also

This is achieved when the f

, f

trans- form under permutations as |1/2, 1/2i

but with inverted sign, thus

P

f

f

=

−1 0

0 1

f

f

P

f

f

= 1 2

1 − √ 3

− √

3 −1

f

f

. Aus Einteilchenwellenfunktionen

φ

(x

), φ

(x

), φ

(x

) lassen sich durch geeignetes Symmetrisieren und Antisymmetrisieren die f

und f

kon- struieren. Das Verfahren ist allerdings schon f¨ ur drei Teilchen sehr m¨ uhselig.

Man erh¨ alt

The f

, f

can be constructed from three one particle wave functions φ

(x

), φ

(x

), φ

(x

) by symmetrizing and antisymmetrizing. However the pro- cedure is even for three particles rather tedious. One obtains

f

(x

, x

, x

) = 1

√ 6

2

φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

)

φ

(x

) −

φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

)

φ

(x

)−

φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

) φ

(x

)

φ

(x

)

f

(x

, x

, x

) = 1

√ 2 ([φ

(x

)φ

(x

) + φ

(x

)φ

(x

)] φ

(x

)

− [φ

(x

)φ

(x

) + φ

(x

)φ

(x

)] φ

(x

)) Obige Ausdr¨ ucke gelten allgemein. Die

Ausdr¨ ucke vereinfachen sich, wenn man zus¨ atzlich annimmt daß die Ortswellen- funktionen Eigenfunktionen des Bahn- drehimpulses sind, insbesondere wenn die radiale Funktion dreimal die gleiche ist. Dann reduziert sich die Berech- nung der Ortswellenfunktion auf das rein geometrische Problem der Addition von Bahndrehimpulsen.

The above expression holds in general. Of- ten one can assume that the position wave function is an eigenfuntion of angular mo- mentum, if in addition the radial part of the wave function is the same for all three particles the calculation of the space part of the wave function reduces to the ge- ometric problem of adding angular mo- menta.

H22. Addition von Drehimpulsen Nach der Regel |l

− l

| < l < l

+ l

haben wir drei m¨ ogliche Drehimpulse l = 0, 1, 2 auszuwerten. Man startet jeweils mit dem Zustand des h¨ ochsten Gewichts m = l und wendet dann sukzessive L

an.

l = 2:

H22. Addition of angular momenta After the rule |l

− l

| < l < l

+ l

we have to consider three possibilities for the angular momentum l = 0, 1, 2. We start with the heighest weight state m = l and applies sucessivlely L

.

|2, 2i = |1, 1i|1, 1i L

|2, 2i = ¯ h2|2, 1i = ¯ h √

2 (|1, 0i|1, 1i + |1, 1i|1, 0i) L

|2, 2i = ¯ h

2 √

6|2, 0i = ¯ h

2 (|1, −1i|1, 1i + 2|1, 0i|1, 0i + |1, 1i|1, −1i)

l = 1: l = 1:

|1, 1i = 1

√ 2 (|1, 1i|1, 0i − |1, 0i|1, 1i) L

|1, 1i = ¯ h √

2|1, 0i = ¯ h (|1, 1i|1, −1i − |1, −1i|1, 1i)

l = 0: l = 0:

|0, 0i = 1

√ 3 (|1, 1i|1, −1i + |1, −1i|1, 1ii + |1, 0i|1, 0i) H23. Spin im Magnetfeld

A: Zu berechnen:

H23. Spin in magnetic field A: To calculate

hS

(t)i = hψ(0)|e

S

e

|ψ(0)i

= e

hψ(0)|+ihψ(0)|−i

h+|S

|−i + complex conjugated .

Wir benutzten We used h±|S

|±i = 0

Wir schreiben |ψ(0)i in S

Basis: We write |ψ(0)i in S

basis:

|ψ (0)i = 1

√ 2 (|+i + |−i)

⇓ hS

(t)i = ¯ h

2 cos(ωt) .

B: Wir werten den Kommutator aus We evaluate the commutator e

S

e

= S

+ −iωt

¯

h [S

, S

] + 1 2

−iωt

¯ h

2

[S

, [S

, S

]] . . .

= S

+ ωtS

− 1

2 ω

t

S

+ . . .

= cos(ωt)S

+ sin(ωt)S

(1)

⇓ hS

(t)i = ¯ h

2 cos(ωt)

C: Heisenberggleichungen C: Heisenberg equation of motion d

dt S

= ω

i¯ h [S

, S

] = ωS

d

dt S

= ω

i¯ h [S

, S

] = −ωS

hψ(0)|S

(t)|ψ(0)i = cos(ωt)hψ (0)|S

(0)|ψ(0)i

= ¯ h

2 cos(ωt) .