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Konjugiert komplexe Zahlen, Betr¨ age, Polarkoordinaten

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FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Skript 2

Mathematik 2 f¨ur KMUB 25./26. M¨arz 2009

Prof. Dr. H.-R. Metz

Komplexe Zahlen 2

Konjugiert komplexe Zahlen, Betr¨ age, Polarkoordinaten

• Definition

F¨urz =x+iy heißt

z=x−iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

• Anmerkung: Statt z schreibt man auchz.

• Skizze und Beispiele.

• Satz (Eigenschaften konjugiert komplexer Zahlen) F¨urz, z1, z2 ∈ C gilt:

(a) z1+z2 =z1+z2, (b) z1·z2 =z1·z2,

(c) zz1

2

= zz1

2 (z2 6= 0), (d) (z) =z,

(e) Re(z) = 12(z+z), Im(z) = 2i1 (z−z).

• Beweis

• Definition

Zu z =x+iy heißt die reelle Zahl

|z|=qx2+y2 der Betrag von z.

• Skizze und Beispiele.

Copyright c2009, Prof. Dr. H.-R. Metz. All rights reserved.

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• Satz (Eigenschaften des Betrages) F¨urz, z1, z2 ∈ C gilt:

(a) |z| ≥0,

(b) |z|= 0 genau dann, wenn z = 0, (c) |z|=|z|,

(d) |z|=√ z·z,

(e) |z1·z2|=|z1| · |z2|.

• Anmerkung: Aus √

z·z = |z| folgt durch Quadrieren z·z = |z|2, woraus sich unmittelbar z·z ∈IR und z·z≥0 ergibt.

Eine Anwendung haben wir bei der Division komplexer Zahlen. Ist der Nenner gleich z 6= 0, wird mit der konjugiert komplexen Zahl z erweitert, und der neue Nenner z·z ist reell. Wegenz 6= 0 ist er außerdem echt gr¨oßer Null.

• Beweis

• Polarkoordinaten r,ϕ f¨ur eine Zahl z ∈C, z 6= 0.

• Definition

Zur komplexen Zahl z 6= 0 heißt

z =r(cos(ϕ) +i·sin(ϕ))

die trigonometrische Darstellung von z. Der Winkel ϕ heißt Argu- ment von z,

ϕ= arg(z).

• Beispiele

• Umrechnungen zwischen cartesischen und polaren Koordinaten.

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