Aufg. 8 Zu allen folgenden Funktionen sind folgende Teilaufgaben zu lösen: ➢

(1)

Aufg. 8 Zu allen folgenden Funktionen sind folgende Teilaufgaben zu lösen:

➢ den Graphen der Funktion in ein neues Koordinatensystem einzeichnen,

➢ die Funktionsgleichung der Funktion angeben,

➢ eine Wertetabelle mit mindestens 3 Wertepaaren anlegen,

➢ rechnerisch die Nullstelle bestimmen und

➢ das Ergebnis anhand der Graphen überprüfen.

8.1 Gegeben ist eine zweite Funktion g (x) durch die Steigung m = 3 und den Ordinatenabschnitt* n = – 2.

Ich bestimme die Funktionsgleichung der Funktion:

( )

2

( )

Bei der Funktion g x ist der Anstieg m 3 und der Ordinatenabschnitt n 2.

Ich setze m und n in die al lg emeine Funktionsgleichung y f x m x n ein :

y g x 3 x 2 und erhalte die Funktionsgleichung der lin. Fkt.

= + = −

= =  +

= = +  −

Ich erstelle eine Wertetabelle:

x - 2 - 1 0 + 1 + 2

y - 8 - 5 -2 + 1 + 4

Ich zeichne den Graphen der Funktion:

Ich berechne die Nullstelle der Funktion:

( ) ( )

0 0 0

0 23

Nullstellenberechnung :

1. Schritt : ich setze in der Funktionsgleichung y 0

0 3 x 2 2

2 3 x : 3

2 : 3 1 x ausrechnen und Seiten vertauschen

x

Überprüfung : Die Nullstelle der Funktion ist auch beim Graphen der Funktion x

=

= +  − +

+ = +  +

+ + = 

= +

0 = + 23.

--- (*) Der Ordinatenabschnitt n wird manchmal auch y – Achsenabschnitt n genannt.

g (x) = 3x - 2

(2)

8.2 Gegeben ist eine dritte Funktion h (x) durch die Steigung m = 3 und den Punkt (2 / 1), durch den der Graph der Funktion h verläuft.

Ich bestimme die Funktionsgleichung:

( ) ( )

Bei der Funktion h x ist der Anstieg m 3 und die Gerade verläuft durch den Punkt P 2 /1 .

Ich setze m und die Koordinaten des Punktes in die al lg emeine Funktionsgleichung y f x m x n ein :

1 3 2 n jetzt stelle ich die Funktionsgleichung n

= +

= =  +

+ = +  + +

( )

3

( )

ach n um

1 3 2 n 6

5 n Seiten vertauschen

n 5

Also heißt die vollständige Funktionsgleichung : y h x 3 x 5 + = +  + + −

− =

= −

= = +  − Ich erstelle eine Wertetabelle:

x - 2 - 1 0 + 1 + 2

y - 11 - 8 - 5 -2 + 1

( ) ( )

0 0 0

0 53

0 3 x 5 5

5 3 x : 3

5 : 3 1 x ausrechnen und Seiten vertauschen

x

Überprüfung : Die Nullstelle der Funktion ist auch beim Graphen der Funktion x

=

= +  − +

+ = +  +

+ + = 

= +

0 = + 53 1, 7.

h (x) = 3x - 5

(3)

8.3

Gegeben ist eine vierte Funktion k (x) durch den Ordinatenabschnitt n = 1 und den Punkt (4 / – 4), durch

den der Graph der Funktion k verläuft.

( ) ( )

4

Bei der Funktion k x ist der Ordinatenabschnitt n 1 und die Gerade verläuft durch den Punkt P 4 / 4 . Ich setze n und die Koordinaten des Punktes in die al lg emeine Funktionsgleichung y f x m x n ein :

4 m 4 1 jetzt stelle ich die Funktio

= + −

= =  +

− =  + +

( )

( ) ( )

( )

5 4

4 54

nsgleichung nach m um

4 m 4 1 1

5 m 4 : 4 und Seiten vertauschen

m

Also heißt die vollständige Funktionsgleichung : y k x x 1

− =  + + −

− =  + +

= −

= = −  +

Ich erstelle eine Wertetabelle:

x - 2 - 1 0 + 1 + 2

y + 3,5 2,25 + 1 - 0,25 - 1,5

( ) ( )

5 0

4

5 5

4 0 4

5 4 0

0 45

0 x 1 1

1 x :

1: 1 x ausrechnen und Seiten vertauschen

x

Überprüfung : Die Nullstelle der Funktion ist auch beim Graphen der Funkt

=

= −  + −

− = −  −

− − = 

= +

0 45

ion x = + =0,8.

( )

⁵₄

k x = −  +x 1

(4)

8.4 Gegeben ist eine fünfte Funktion s (x) durch die Nullstelle

x₀ = +3

und den Ordinatenabschnitt n = – 2.

( ) ( )

0

x Achse

Bei der Funktion s x ist der Ordinatenabschnitt n 2 und die lin. Fkt. hat die Nullstelle x 3.

Da die Nullstelle immer auf der x Achse liegt fo lg t daraus, dass die Gerade die x Achse im Punkt S 3 / 0 schnei det .

Ich setze n und die Koor

−

= − = +

− −

( ) ( )

( )

( ) ( )

x Achse 5

2 3

dinaten des Punktes S in die al lg emeine Funktionsgleichung y f x m x n ein : 0 m 3 2 jetzt stelle ich die Funktionsgleichung nach m um

0 m 3 2 2

2 m 3 : 3 und Seiten vertauschen

m

Also heißt die vollständige Funktions

− = =  +

=  + −

=  + − +

=  + +

= +

( )

²

5 3

gleichung : y =s x = +  −x 2 Ich erstelle eine Wertetabelle:

x - 3 - 1 0 + 1 + 3

y - 4 ⁻⁸₃ - 2 ⁻⁴₃ 0

Eigentlich kann die Berechnung entfallen, weil die Nullstelle bereits gegeben ist; die folgende Berechnung dient eher als zusätzliche Kontrolle, ob ich die Funktionsgleichung korrekt bestimmt habe.

( ) ( )

2 3 0

2 2

3 0 3

2 0

3 0

0 x 2 2

2 x :

2 : 1 x ausrechnen und Seiten vertauschen

x 3

Überprüfung : Die Nullstelle der Funktion ist auch beim Graphen der Funkti

=

= −  − +

+ = −  −

+ − = 

= +

on x0 = +3.

(5)

8.5 Gegeben ist eine sechste Funktion t (x) durch die Punkte A (-21 -3) und B(+1/ +1), durch die der Graph der Funktion y6 verläuft.

( )

( ) ( )

B A

Von der Funktion t x wissen wir, dass sie durch die fo lg enden zwei Punkte verläuft : Punkt A 2 / 3 und Punkt B 1/ 1 .

Im Tafelwerk finde ich eine Formel zur Berechnung des Anstiegs m mithilfe von zwei Punkten :

1 3

y y 1 3

m x x 1 2 1

− − + +

+ − −

− +

= = =

− + − −

( ) ( )

6 4

3 4 3

4 4

3 3

1 3

4 2 3

Ich setze m und die Koordinaten des von B 1 / 1 in die al lg emeine Funktionsgleichung y f x m x n ein : 1 1 n jetzt stelle ich die Funktionsgleichung nach n um

1 1 n ausrechnen

1 n und Seiten vertauschen

m

Al

+ =

+ + = =  +

+ =  + + + =  + +

+ = + −

= −

( )

⁴ ¹

6 3 3

so heißt die vollständige Funktionsgleichung : y =t x = +  −x Ich erstelle eine Wertetabelle:

x - 3 - 1 0 + 1 + 3

y ⁻¹³₃ ⁻⁵₃ ⁻¹₃ 1 ⁺¹¹₃

( ) ( )

4 1 1

3 0 3 3

1 4 4

3 3 0 3

1 4

3 3 0

1

0 4

0 x

x :

: 1 x ausrechnen und Seiten vertauschen

x

Überprüfung : Die Nullstelle der Funktion ist auch beim Graphen der Fu

=

= +  − +

+ = +  +

+ = 

= +

0 14

nktion x = + =0, 25

( )

⁴₃ ¹₃

t x = +  −x

(6)