Naturwissenschaftliche Fakultät

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Programmiersprachen und Softwaretechnik

Prof. Klaus Ostermann

Leitung des Seminars David Binder Ingo Skupin

Kategorientheorie für Programmierer

Hausaufgabenblatt 3 – SS18

Aufgabe 1: Lektüre

Für kommende Woche lesen Sie bitte Kapitel 8 und 9 und schicken Ihre Fragen bis Dienstag Abend (also Dienstag, der 15.Mai) an uns.

Aufgabe 2: Eindeutigkeit

SeiC eine Kategorie,AundB Objekte in dieser Kategorie undP undQseien beide jeweils Produkte vonA undBmit Projektionenp1:P→Aundp2:P →Bbeziehungsweiseq1: Q→Aundq2:Q→B.

Zeigen Sie, dassP undQisomorph sind.

Hinweis: Der Beweis funktioniert analog zum Beweis für die Isomorphie von initialen Objekten (vgl. 5.4 im Buch) und verwendet nur die universelle Eigenschaft der beiden Produkte.

Bonus:Wie verhält es sich bei zwei Coprodukten?

Aufgabe 3: Produkte in Haskell

Laden Sie sich den Code für dieses Aufgabenblatt auf der Website der Veranstaltung herunter. Darin sollen Sie zeigen, dass

1. data Pair a b = MkPair b aein Produkt vonaundbund 2. Integerein Produkt vonIntegermit sich selbst sind.

Aufgabe 4: Funktoren

SeiCeine beliebige Kategorie. Dann nennen wirC × CdieProduktkategorievonCmit sich selbst. Die Objekte in dieser Kategorie sind Paare(A, B)von ObjektenAundBausC. Die Morphismen zwischen Objekten(A, B) und(A⁰, B⁰)sind Paare(f, g)von Morphismenf:A→A⁰ undg:B →B⁰ausC.

Für Morphismenf: C →Aundf: C →B, notieren wir den universellen Morphismush:C →A×B des ProduktsA×Bmithf, gi.

C

A B

A×B

f

hf gi=h g

π₁ π2

Dann definieren wirf×g: A×B→A⁰×B⁰fürf:A→A⁰ undg:B →B⁰alsf ×g=hf◦π₁, g◦π₂i:

A A×B B

A⁰ A⁰×B⁰ B⁰

f

π₁ π₂

f×g g

π⁰₁ π₂⁰

Zeigen Sie, dass×: C × C → Cmit×(A, B) :=A×B auf Objekten und×(f, g) :=f ×gein Bifunktor (also ein Funktor vonC × CnachC) ist.

Hinweis: In beiden Fällen müssen Sie die Eindeutigkeit der Morphismen der universellen Eigenschaft des Produkts verwenden. Es hilft meistens, sich die Situation anhand eines Diagramms zu verdeutlichen.

Seite 2/??