Märt Riiner

Tartu Ülikool

Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika ja statistika instituut

Matemaatika eriala

Märt Riiner

Singulaarse spektraalanalüüsi meetod

Bakalaureusetöö (6 EAP)

Juhendaja: Peep Miidla

Resümee/Abstract

Singulaarse spektraalanalüüsi meetod Bakalaureusetöö

Märt Riiner

Lühikokkuvõte. Käesolevas bakalaureusetöös antakse ülevaade singulaarse spektraalanalüüsi meetodist ja analüüsitakse aegrida, kasutades singulaarse spektraalanalüüsi meetodit(edaspidi SSA meetod). Selles bakalaureusetöös SSA meetodi numbriliseks rakendamiseks kasutatakse Tartu Ülikooli füüsika

instituudi poolt kogutud ilmavaatluse andmeid ja neid analüüsitakse programmidega R ja Matlab.

CERCS teaduseriala: P140 Read, Fourier analüüs, funktsionaalanalüüs Märksõnad: Singulaarne spektraalanalüüs, aegrida, R, Matlab.

Singular spectrum analysis method Bachelors thesis

Märt Riiner

Abstract.The thesis gives overview of singular spectrum analysis method overview of timeseries analysis(named also SSA method). In this thesis for numerical implementation of SSA method will be used University of Tartu Institute of Physics collected data of weather observation and it will be analyzed by programs R and Matlab.

CERCS research specialisation: P140 Series, Fourier analysis, functional analysis.

Keywords: Singular spectrum analysis, time series, R, Matlab.

Sisukord

Resümee/Abstract 2

Sissejuhatus 5

1 SSA meetodi ülevaade 6

1.1 Ülesande püstitus . . . 6

1.2 Trajektoormaatriksi arvutamine . . . 7

1.3 Trajektoormaatriksi lahutus singulaarsete väärtuste järgi . . . 8

1.4 Rekonstruktsioon . . . 9

1.4.1 Gruppidesse jaotamine . . . 9

1.4.2 Diagonaalne keskmistamine . . . 10

2 SSA parameetrite mõjudest 11 2.1 Akna suuruse mõju . . . 11

2.2 Gruppidesse jaotuste mõju . . . 12

2.3 Eritingimused: Eraldatuse mõju . . . 12

3 Numbriline näide 14 3.1 Samm 1: trendide leidmine . . . 15

3.1.1 Akna suuruse määramine . . . 16

3.1.2 Logaritmi meetod . . . 18

3.1.3 Omaväärtuste graak . . . 19

3.2 Samm 2: harmoonilise komponendi eraldamine . . . 24

3.2.1 Akna suuruse otsustamine . . . 25

3.2.2 Harmoonilise komponendi eraldamine . . . 26

3.2.3 Jääkliikme hinnang . . . 31

3.3 SSA meetodi rakendus MATLAB-is . . . 33

Summary 39

A Matlabi kood 41

B R-i kood 44

Sissejuhatus

Meie igapäeva elus mängivad suurt rolli ajas toimuvad ja teatud juhuslikkuse kom- ponenti sisaldavad sündmused, mille efekt on sageli väljendatav erinevatele ajahet- kedele vastavate numbrite jadadena ehk aegridadena. Näitena võib tuua tempera- tuurid, kuised sademed, toodangu mahud ajavahemikus jms. Sellistes valdkondades juhuslikkus toob kaasa riske, mille haldamiseks on väga tähtis osata juhuslikkuse iseloomu kindlaks teha, mineviku andmete põhjal võimalikult täpseid prognoose leida ning mõningatel juhtudel ka vajadusel sekkuda. Kõike seda võimaldavad aeg- ridade numbriliste töötlemise algoritmid. Ajalooliselt on praktikute poolt kasutuse- le võetud mitmeid meetodeid aegridadega seotud ülesannete (nt. trendi leidmine, tulevikuväärtuste prognoosimine) lahendamiseks. Meetodi all mõistame arvutus- eeskirja, mille rakendamine peaks andma soovitud tulemuse. Meetodid tuginevad sageli tervel mõistusel ja intuitsioonil ning neid võib rakendada suvalisele ajas jär- jestatud andmete kogumile, kuid lahtiseks jääb küsimus tulemuste tegelikkusele vastavuse ja usaldusväärsuse osas.

Käesolevas bakalaureusetöös keskendume singulaarsele spektraalanalüüsi(ingl.

k. singular spectrum analysis) meetodile. Edaspidi nimetame seda SSA meetodiks.

SSA meetodit on arendatud alates 1970-ndatest kui uue aegrea analüüsi meeto- dina ja see leiab järjest rohkem kasutust. Töös anname ülevaate SSA meetodist ja näitame ka numbriliselt, kuidas meetodit rakendada. Andmed on saadud Tartu Ülikooli Füüsika instituudist, mida on kogutud ajavahemikus 1995-2011.

Bakalaureusetöö koosneb 4 peatükist. Esimeses kuni kolmandas peatükis an- name ülevaate SSA meetodist, 4 peatükis aga analüüsime ühte aegrida. Selleks kasutame programme Matlab ja R, mille koodid ja paketid on lisatud ka lisade alla(vt. [8],[9],[10],[11]). Väga hea lühiülevaate annab SSA meetodist koos näite ja selgitustega [1].

Töö aluseks on võetud SSA meetodite põhjal koostatud artiklid ja raamatud, mida on loetud kasutatud kirjanduses. Aegridadega seotud mõisteid ja denitsioo-

PEATÜKK 1

SSA meetodi ülevaade

1.1 Ülesande püstitus

Selles peatükis sõnastame ülesande ja anname ülevaate SSA meetodist sammude kaupa. Esmalt aga deneerime aegrea mõiste ja kirjeldame sündmuste esinemise tõenäosusi aegreas.

Aegreaks(kronoloogiliseks reaks) nimetatakse arvandmete rida, mis kirjeldab suuruse ajalist muutumist. Aegrida saadakse korduva vaatluse kasutamisel. Harili- kult esitatakse aegrida ajamomentide (kuupäev, kellaaeg) või ajaperioodide (kuu, kvartal, aasta) ja neile vastavate suuruse väärtuste kogumina.(vt [2])

Olgu meil antud aegrida X =x₁, . . . , x_N , kus N > 2, mis koosneb juhusli- kest reaalarvulistest väärtustest. See tähendab, et kõigi väärtuste esinemine on võrdne tõenäosusega _N¹. Eeldame, et X ei ole nullrida ehk eksisteerib vähemalt üks i > 0 nii, et x_i ̸= 0. Siin võib eeldada, et X tähendab mingit kindlat ajava- hemikku väärtust ja i on mingi kindel periood, kuid ajavahemikku tegelikult ei ole oluline kseerida meie meetodi jaoks. Arvu N saame siin mõista kui ka disk- reetset ajahetke, aga samamoodi võib see tähistada ka ükskõik millise lineaarse järjestusstruktuuri(mingi elementide järjestuse) märgendit.

Meie ülesanne on eraldada aegreast X trend ja sessoonne komponent ning mü- ra. Trendina mõistame antud töös sellist funktsiooni, mille väärtused muutuvad aeglaselt, ühtlaselt ja süstemaatiliselt väga pika aja jooksul(pikemat kirjeldust võib leida [?] tööst(sektsioon 45.12). Siin sõltub trendi funktsioon aegrea pikkusest ehk aegrea pikkus on trendi funktsiooni etteantud ajateljeks. Sessoone komponent on perioodiline funktsioon ja müra on sisult ülejääv osa, mis pole ei trendis ega pe- rioodilises funktsioonis.

Trendi ja muude komponentide eraldamiseks aegreast kasutame SSA meetodit.

SSA on mitteparameetriline meetod, millega tuvastatakse võtmeväärtusi aegreas.

Analüüsi tulemused aitavad meil mõista aegrea käitumist ja ennustada tuleviku väärtusi. Antud töös keskendume aegreast trendi ja sessoonse komponendi ning müra eraldamisele. SSA-ga on võimalik ka leida tuleviku väärtusi aegreas, aga

antud juhul töös me sellele ei keskendu. SSA meetodi võrldusest teiste tuntud meetoditega ja tuleviku väärtuste leidmisest võib leida [3],[4].

SSA meetodis on kaks põhietappi: komponentideks lahtivõtmine e. dekompo- sitsioon ja uuesti kokkupanek e. rekonstruktsioon, mis omakorda jaotuvad eraldi etappideks. Etappide kirjeldused on järgnevad.

• Dekompositsiooni etapid:

1. Trajektoormaatriksi arvutamine. Siin moodustatakse aegreast trajek- toormaatriks. Selleks esmalt jaotatakse aegrida etteantud koordinaatide arvuga vektoriks ja seejärel moodustatakse neist vektoritest maatriks, kus veergudes on moodustatud vektorite koordinaadid.

2. Singulaarsete väärtuste lahutus(ingl. k. singular value decomposition, edaspidi ka SVD). Siin esmalt konstrueerime trajektoormaatriksist ruut- maatriksi ja seejärel leiame saadud ruutmaatriksi omaväärtused ja oma- vektorid. Seejärel esitame esialgse trajektoormaatriksi elementaarmaat- riksi summana.

• Rekonstruktsiooni etapid:

1. Gruppidesse jaotamine. Siin jaotatakse elementaarmaatriksid, mida saa- di SVD etapis, mitmeks erinevaks rühmaks ja liidetakse need elemen- taarmaatriksid igas rühmas eraldi kokku. Selle etapi tulemusena saa- dakse igas rühmas üks maatriks, mille kokkuliitmisel saadakse trajek- toormaatriks.

2. Diagonaalide keskmistamine. Siin etapis moodustatakse gruppidesse jao- tamise etapis saadud maatriksitest aegread, mis on sama pikad kui esialgne rida. Selleks kasutatakse lineaarset kujutust, mille tulemusena saadakse algse rea trajektoormaatriksist uus lähendus algsele aegreale.

1.2 Trajektoormaatriksi arvutamine

Meie eesmärgiks on koostada algsest aegreast uus maatriks, mille veergudes on vektorid, mida edaspidi nimetame ka trajektoormaatriksiks.

OlguL,N naturaalarvud. ArvuLnimetame edaspidi ka akna suuruseks nii, et 1< L < N. Me jaotame aegreaX-iLkoordinaatidega vektoriksX_i ={x_i, . . . , x_i+L−1} iga i= 1, . . . , K korral, kusK =N−L+ 1. Koostame trajektoormaatriksiT, kus

kuju omavat maatriksit nimetatakse ka Hankeli maatriksiks.

Trajektoormaatriks T on kujul

T = [X₁, X₂, . . . , X_K] =







x₁ x₂ · · · x_K x₂ x₃ · · · x_K+1

... ... ... ...

x_L x_L+1 ... x_N





 (1.1)

Maatriksis T on esindatud kõik aegreaX elemendid.

1.3 Trajektoormaatriksi lahutus singulaarsete väär- tuste järgi

Trajektoormaatriksi lahutuseks singulaarsete väärtuste järgi(edaspidi ka SVD, ingl.

k. singular value decomposition) on teine etapp SSA-s. SVD-d saab nimetada eri- nevate nimedega ja seda saab kasutada erinevateks otstarveteks. Täpsemalt on saab selle kohta uurida [5]-st.

Rakendame trajektoormaatriksile T singulaarsete väärtuste lahutust ja saame trajektoormaatriksid T_i, iga i = 1, . . . , L korral, mis omakorda peegeldab mei- le trende, sessoonseid komponente ja müra vastavalt nende singulaarsetele väär- tustele. Singulaarsete väärtuste all mõistame omaväärtuste ruutjuurt. Meenuta- me, et skalaaritλ nimetatakse ruutmaatriksi A omaväärtuseks, kui kehtib võrdus A⃗x =λ⃗x, kus vektor ⃗x ̸=⃗0 on üheveerulise maatriksi kujul. Vektori ⃗x kohta öel- dakse, et see on omaväärtusele λ vastav omavektor.

Meetodi rakendamiseks tuleb esmalt arvutada maatriks S = T T^T ja tulemuseks saame sümmeetrilise ruutmaatriksi mõõtmetega L∗L.

Singulaarsete väärtuste leidmiseks on vajalik esmalt arvutada maatriksi S oma- väärtused ja omavektorid. Tähistagu λ₁, λ₂, . . . , λ_LmaatriksiS omaväärtusi kahe- nevas järjekorras niiviisi λ₁ > λ₂ > · · · > λ_L > 0. Olgu {U₁, U₂, . . . , U_L} maat- riksi S ortonormeeritud omavektorite süsteem(st. (U_i, U_j) = 0, iga i, j = 1, . . . , L korral), mis vastavad λ₁, λ₂, . . . , λ_L omaväärtustele. Maatriksit S omaväärtusi on võimalik nii järjestada, sest nad on üheselt määratud ja tulenevalt maatriksi S konstruktsioonist.

Olgu V_i = T^TU_i/√

λ_i (i = 1,2, . . . , d), kus d = max(i : λ_i > 0) on maatrik- si T astak. Tavaliselt d väärtus on minimaalne väärtus L-st ja K-st. Me saame trajektoorimaatriksi lahti kirjutada kujul

T =T₁+T₂+· · ·+T_d=∑

i∈d

√λ_iU_iV_i^T, (1.2)

kus U_i ja V_i on L∗L ja K ∗K maatriksid. (1.2) tõestuse leiab [5] peatükk 4-st. Kolmikut (U_i,√

λ_i, V_i^T) nimetatakse (1.2) SVD i-ndaks omafunktsiooni kol- mikuks(ingl. k. ith eigentriple of the SVD).

1.4 Rekonstruktsioon

1.4.1 Gruppidesse jaotamine

Siin jaotame SVD etapis lahtivõetud maatriksiT_ilaiali. Selle eesmärgiks on eralda- da meid huvitavad komponendid. Täpsemalt arutame gruppidesse jaotamise mõ- just (2.2).

Põhimõtteliselt jaotame indeksid{1,2, . . . , d}, mis tähistavadT =T₁+T₂+· · ·+T_d maatriksite T- indekseid, ühisosata alamgruppidesseI ={I₁, . . . , I_m}. Seega T_I-le vastab hulkI ={I₁, . . . , I_m}. Maatriks T_I on summa T_j-st, kusj ∈I_i. Trajektoor- maatriksi T saab lahti kirjutada kujul

T =

z SVD}| { T1+· · ·+TL

=

Gruppideks jaotaminez }| { T_I1 +· · ·+T_Im

(1.3)

Selleks, et mõista paremini gruppidesse jagamist, selgitame protsessi veidi de- tailsemalt. Oletame, et meil on kahe grupi trajektoormaatriksi T omafunktsiooni kolmikuid. Olgu need T_L ja T_R. Olgu hulkI ={1, . . . , d},R∪L=I, kusR ei ole L alamhulk. T_I on siis

TI =∑

i∈I

√λiUiV_i^T (1.4)

ja saame arvutada T_L = T_I −T_R, eeldusel, et nende seos omavahel on nõrk ehk nad on eraldatavad. See tähendab sisuliselt seda, et kaks rida X⁽¹⁾ ja X⁽²⁾ on eraldatavad trajektoormaatriksi lahutuses (1.2) parajasti siis, kui eksisteerib selline indeksite hulk I ⊂ {1, . . . , d} nii, etX⁽¹⁾ =∑

i∈IX_i ja X⁽²⁾ =∑

i /∈IX_i. Seega saame T_L kirjutada kujul

T_L=∑

i∈L

√λ_iU_iV_i^T (1.5)

1.4.2 Diagonaalne keskmistamine

SSA algoritmis mõeldakse diagonaalse keskmistamise all sammu, kus me moodus- tame grupeeritud maatriksitest T_Ii uue rea pikkusega N.

Olgu Y L∗K mõõtmetega maatriks, mille elementideks on y_ij, 1 ≤ i ≤ L, 1 ≤ j ≤ K. Fikseerime L^∗ = min(L, K), K^∗ = max(L, K) ja N = L+K −1. Olgu y_ij^∗ =yij, kui L < K, muudel juhtudel y_ij^∗ =yji. Diagonaalne keskmistamine muundab maatriksi Y reaksg₀, . . . , g_N−1 järgneva skeemi abil:

g_k =























1 k+1

∑k+1 m=1

y^∗_m,k−m+2 iga 0≤k < L^∗−1,

1 L^∗

L^∗

∑

m=1

y^∗_m,k−m+2 iga L^∗−1≤k < K^∗,

1 N−k

N−∑K^∗+1 m=k−K^∗+2

y_m,k^∗ _−m+2 iga K^∗ ≤k < N























(1.6)

Skeem (1.6) teostab keskmistamist üle maatriksi elementide üle "diagonaalide"

i+j =k+ 2, kuik= 0, siisg₀ =y₁₁, iga k= 1 korral saameg₁ = (y₁₂+y₂₁)/2jne.

Paneme tähele, et kui maatriksY on trajektoormaatriks mõnele realeh₀, . . . , h_N−1, teiste sõnadega, kui Y on Hankeli maatriks, siisg_i =h_i iga i korral.

Diagonaalne keskmistamine (1.6) rakendatunaT_ik-le annab meile reaX˜⁽ⁱ⁾ ={X˜⁽ⁱ⁾+ X˜₀^(k)+· · ·+ ˜X_N^(k)}ja seega aegridaX ={x₁, ..., x_N}dekomponeeritaksem-rea sum- maks eeldusel, et kehtib nõrk seos.

PEATÜKK 2

SSA parameetrite mõjudest

2.1 Akna suuruse mõju

SSA meetodi alguses määrasime aknaL suuruse, mis määrab ka trajektoorimaat- riks T mõõtme. Vaatame meie algset aegrida X = {x₁, . . . , x_N}. Arv L jaotab aegreaX L koordinaadiga vektoriks X_i ={x_i, . . . , x_i+L−1} iga i= 1, . . . , K korral ja kus K = N −L+ 1. Akna suurus L rahuldab võrratust 2 < L < N/2. Kuna akna suurusLrahuldab võrdustK =N−L+ 1 trajektoormaatriksisT, siis meile pole vaja suuremat Lkui N/2.

Oletame, et meil on mingi aegrida kolme aasta kohta. Kui akna suurus Lläheneb N/2-le, siis algse rea jaotamine muutub detailsemaks. Maatriksi T maksimaalne astak saab olla N/2. Me peame olema samuti ettevaatlik akna suuruse valikuga, sest kui nt aegrida on perioodiline, siis aknaLsuurus ei saa olla aknaLmaksimum ega ka miinimum. Kui L on väga lähedal väärtusele N/2, siis kipub trajektoori maatriksT ületama oma ridu ja veerge. Kui agaLon väga väike, siis võib juhtuda nii, et lahti võtmise käigus kaovad ära perioodilised komponendid.

Allolev tabel (2.1) näitab, mis juhtub suurte või väikseteL-ide korral SSA meeto- dis.Seega, mida täpsema akna suuruse Lme valime, saab trendiks sile või regulaarne muster. Kui me vähendame akna väärtustL, trend muutub "karedamaks"ja näitab rohkem ebaregulaarusi, sest ta sisaldab ka teisi komponente.

Tabel 2.1: Akna suuruse mõju

Akna suurus T aste √

λ₁ Peamine trend

L ↑ ↑ ↓ sile tavaline

L ↓ ↓ ↑ ebatasane ebatavaline

etT/Loleks täisarv. Näiteks kui meil on aegrea andmed sessoonsed ja perioodiks on 5, siis on mõistlik võttaL-ks 5-kordsed 5, 10, 15, jne. AknaL väärtus ei tohiks olla ka liiga suur, sest see võib lüüa segamini perioodid teiste väärtustega.

2.2 Gruppidesse jaotuste mõju

Kokku panemisel mängib olulist rolli grupeerimine, mis määrab ära trendid, sile- duse, poolaasta, kvartali, igakuise arverea ja müra, mis kajastub graakutel. Kui lahtivõtmise etapid on läbitud, siis grupeerime valitud akna suurusega maatriksid T_Ii, mille abil saame võrrelda algset rida ja uut koostatud rida.

Olulist rolli mängib, kuidas leida grupeerimise sammus õiged alamgrupid. SVD sammust saame omafunktsiooni kolmikud L-tükki ja diagonaalsest keskmistami- sest saame X˜⁽ⁱ⁾ iga i= 1, . . . , d diagonaalsest keskmistamisest saameX˜⁽ⁱ⁾. Erine- vate omafunktsiooni kolmikute graakute võrdlemine aitab meil määrata trende või silumist või teiste komponentide sobivust.

Kahe komponendi vahelist vastastikust seost saab arvutada kasutades selleks nnw- korrelatsiooni (ingl.k. w-correlation). Selle all mõistame seost (2.3). Komponentide w-korrelatsiooni maatriks võib olla kasulik grupeerimise jaoks. W-korrelatsiooni väärtused, mis on lähedal1-le, on omavahel kõrges korrelatsioonis ja peaksid seega ühte gruppi kuuluma, samal ajal väärtused, mis on lähedal 0-le viitavad, et need pole omavahel korrelatsioonis.

Veel üks võimalus grupeerimiseks on liita omavahel kokku komponendid, millel on ligilähedaselt sama periood. See on efektiivne eriti siis, kui kui lahtivõetud komponendid sisaldavad palju harmoonilisi (perioodilisi) komponente. Perioode on võimalik leida nii, et teha iga komponendi kohta periodogrammi ja leida sealt domineeriv periood.

2.3 Eritingimused: Eraldatuse mõju

Singulaarsete väärtuste lahtivõtmise sammus(SVD) ja diagonaalide keskmistamise sammus peame eeldama, et trendid ja teised komponendid on eraldatavad algsest aegreast. Seda eeldust kutsume nõrgaks seoseks. Sisult tähendab see järgnevat.

Olgu L^∗ = min(L, K)ja K^∗ = max(L, K)ning

w_i =





i iga 0≤i < L^∗, L^∗ iga L^∗ ≤i < K^∗, N −i+ 1 iga K^∗ ≤i < N



 (2.1)

Deneerime kaks aegrida F⁽¹⁾ ja F⁽²⁾ pikkusega N niiviisi:

(F⁽¹⁾, F⁽²⁾)_w ^def=

∑N i=1

w_ix⁽¹⁾_i x_i⁽²⁾ (2.2) ja nimetame read F⁽¹⁾ ja F⁽²⁾ w-ortogonaalseks(ingl. k. w-orthogonal), kui

(F⁽¹⁾, F⁽²⁾)_w = 0. Järgmisena deneerime

ρ^w(F⁽¹⁾, F⁽²⁾)^def= (F⁽¹⁾, F⁽²⁾)_w

∥F⁽¹⁾∥w∥F⁽²⁾∥w

, (2.3)

kus ∥F⁽ⁱ⁾∥ = √

(F⁽¹⁾, F⁽²⁾), i = 1,2. Me ütleme, et kaks rida F⁽¹⁾ ja F⁽²⁾ on ligikaudu eraldatavad (ingl.k. approximately separable) kui

ρ^w(F⁽¹⁾, F⁽²⁾)≃0. (2.4) Denitsioonid ja kahe rea eraldatuse näidete ja tõestuste kohta leiab [5], peatükk 6.Eraldatuse eelduse tõttu rakendame SSA meetodit aegreale ja eraldame trendi või teised komponendid algsest aegreast. Sellisel juhul kõik eraldised trendidest või komponentidest, mis on võetud algandmetest, tehakse eeldusel, et kehtib (2.4).

Peame ära märkima, et praktikas tegelikult on harva selline situatsioon, kus aegrea komponendid on täpselt eraldatavad ja seetõttu kasutatakse rohkem ligi- kaudset eraldatavust. Aegridadel, millel on väga kompleksed struktuurid, on ka keeruline teostada komponentide eraldamist. Selle jaoks moditseeritakse SSA meetodit erinevate võtete abil nagu tsentreerimine ja Toeplitz. Neid meetodeid on kirjeldatud [5].

PEATÜKK 3

Numbriline näide

Selleks, et illustreerida SSA meetodit, kasutame SSA meetodit konkreetsel aegreal ja esitame graakuid. Töös on analüüsi teostamise eeskujuks võetud [6] ja [12].

Meie andmed pärinevad Tartu Ülikooli füüsika instituudi uurimustööst, mille alu- seks on atmosfääri veeauru sisaldus arvutatuna GPS signaali hilistumise põhjal.

Atmosfääri veeauru sisaldust kilogrammides ruutmeetri kohta (ingl.k. GNSS IPW - Integrated Precipitable Water) on kogutud igapäevaselt ja need andmed on jaota- tud veergudeks kuupäeva, veeauru, standardhälvete kaupa. Meie analüüsime vee- auru veergu, kasutades selleks Matlabi ja R programmi ning R-i pakette Rssa, gdata.

Meie algne aegrida X, milles on N = 4568 väärtust, on kujul

Joonis 3.1: Atmosfääri veeaurusisaldus

Joonisel (3.1) on vertikaalteljel aegrea ühik kg/m2 kohta ja horisontaalteljel kuupäevad.

Aegrea graak näitab, et aasta alguses on atmosfääris veeauru sisaldus madalam, aasta keskel tundub olema atmosfääris veeauru sisaldus kõrgem. Mõnel aastal tun- dub olema väga kõrge atmosfääri veeauru sisaldus.

3.1 Samm 1: trendide leidmine

Uurime esmalt kuude kaupa, kas suudame mingeid trende leida.

Joonis 3.2: Atmosfääri veeaurusisalduse karpdiagramm 1995 aasta kohta Kuuline karpdiagramm näitab meile, et kõrgem veeauru mediaan on suvekuudel ja kõige kõrgem on augustis. Samal ajal madalam veeauru mediaan on talvekuudel ja madalaim mediaan on märtsis. Seega on meil aastaaegadest sõltuv aegrida.

Aasta karpdiagrammi joonis (3.3) näitab meile, et üldiselt on veeaur suhteliselt sarnasel tasemel aastate jooksul, kuid siiski on ka mõned kuivemad ja mõned niis- kemad aastad ehk eksisteerivad irregulaarsed tsüklid. Seega tegelikult on keeruline otseseid trende määrata, kuna veeauru sisaldus sõltub millised on aastaajad. Kõige täpsem määratlus oleks ehk aastaaegade kaupa trende otsida.

Joonis 3.3: Atmosfääri veeaurusisalduse karpdiagramm

3.1.1 Akna suuruse määramine

SSA meetodi esimene samm on arvutada trajektoori maatriks. Selleks peame k- seerima akna suuruse L. Akna kseerimisel on oluline teada, et kui aegrida on lühike, siis on parem kseerida akna suurus proportsioonides perioodiga. Näiteks, oletame et meil on aegreas aastased perioodid, siis sellisel juhul peame jälgima ka aastaste puhul trende ja kordusi, kuik/12 (k = 1, . . . ,12).

Kui meil on tegemist pika aegreaga, siis on mõistlik validaLnii suur kui võimalik, kuid väiksem kui T /2.

Sagedus on deneeritud kui tsüklite arv ajaühikus. Kuna iga üksik vaatlus tä- hendab üht ajaühikut, siis on sagedus arvutatud kui vaatluste tsükkel. Suktses- siivseteks sagedusteks on väärtusedK/N(K = 0, . . . , N/2), kusN on andmete arv algreas. Seega näiteks sagedus 0,0833 tähendab, et 12 andmetega aegreast täide- takse üks tsükkel. Kui aegrida koosneb kuu andmetest, mis on kogutud üle paljude aastate, siis vastav sagedus näitab aastast tsüklit.

Kuna veeauru sisaldus õhus on sõltuv kuudest ja aastaaegadest, siis meie rea puhul on mõistlik eeldada, et periood T võiks olla 12ja L oleks 12-kordsed.

Meil on tegemist pika reaga, millel on N = 4568 väärtust, siisL= 12∗M, kus M on positiivne täisarv.

W-korrelatsiooni graak aitab meil otsustada akna suuruseL-i üle.W-korrelatsiooni graaku L= 12 maatriks on nähtav joonisel (3.4).

W-korrelatsioon maatriksi kujul annab meile aimu, kuidas teha õiget grupee- rimist. Joonisel (3.4) iga ruudu tumedus näitab w-korrelatsiooni tugevust kahe komponendi vahel. Mida tumedam, seda tugevam on w-korrelatsioon.

Joonis (3.4) näitab meile antud juhul, et esimene element on nõrgasw-korrelatsioonis kolmanda komponendiga. Teine element on nõrgasw-korrelatsioonis neljanda kom- ponendiga. Kolmas element on nõrgas w-korrelatsioonis kolmanda ja viienda ele-

Joonis 3.4: W-korrelatsiooni maatriks L= 12

mendiga. Samas võib olla ka tegemist lihtsalt müraga. Ühe kuni kümne puhul võime eeldada, et need kirjeldavad trende.

(a)L= 180w-korrelatsiooni maatriks (b)L= 36w-korrelatsiooni maatriks

(c)L= 24w-korrelatsiooni maatriks (d)L= 12w-korrelatsiooni maatriks

Joonis 3.5: W-korrelatsiooni maatriksid

Need neli akna L suurust joonisel (3.5) näitavad meile, et müra on rohkem väiksemate akende juures ja müra väheneb 8-ndast komponendist alates.

3.1.2 Logaritmi meetod

Üks meetod müra eraldamiseks on otsida erisusi omaväärtuste hulgas. Müra tun- nuseks on aeglaselt kahaneva singulaarsete väärtuste jada. Kahjuks ei ole mingit

kindlat eeskirja selle tuvastamiseks, vaid peabki uurima graakutelt. Sisult ot- sitakse sellist kohta, kus logaritmilised väärtused hakkavad aeglaselt ja ühtlaselt kahanema ja ei esine nn hüppeid graakus.

Arvutame 20 omaväärtust, mis on järjestatud vastavalt lahtivõtmise osadele.

Järgnevas graakus on näha omaväärtuste logaritmilisi väärtusi. Jooniselt (3.6)

Joonis 3.6: Omaväärtuste logaritmid

näeme, et kiire langus toimub teise omaväärtuste juures ja saame tegelikult oletada, et siit alates algab müra suurenemine.

3.1.3 Omaväärtuste graak

Omaväärtuste graakult, millel on omaväärtuste korrelatsiooni maatriks kahane- valt, on oluline jälgida langeva graaku murdepunkti. Olulised komponendid on meie jaoks enne murdepunkti.

Joonis 3.7: Omaväärtuste graak

Jooniselt (3.7) on näha, et murdepunkt on number 2 omaväärtuse juures. See tähendab, et oluline komponent on esimene.

Joonis 3.8: Omavektorid, L= 12

Jooniselt (3.8) on et esimesel omavektoril on peaaegu konstantsed koordinaa- did. Sellist omavektori käitumist saab tõlgendada trendina. Jooniselt (3.8) 94.37%

ütleb meile seda, et see omavektor kirjeldab 94.37% reast. Teised omavektorid kirjeldavad meile mu"ra.

Joonis 3.9: Rekonstrueeritud rida,L= 12

Joonisel (3.9) on kujutatud rekonstrueeritud rea graakut. Esimene kast re- konstrueeritud rea joonisel kujutab trendi ja ülejäänud kastid näitavad kõrge sa- gedusega komponente, mis ei ole seotud trendiga. Küll aga võime leida sarnasust karpdiagrammi joonisega (3.3).

Joonis 3.10: Trend, jääkliige

Joonisel (3.10) on kujutatud rekonstrueeritud rea trendi, originaalrida ja jääk- liiget. Joonis näitab, et trend on tegelikult suhteliselt regulaarne ja tsüklid on suhteliselt sarnased. Joonisel (3.11) kujutatud trend on nüüd R-i SSA meetodi tuvastatud. Punane on trend ja must on originaalrida.

Joonis 3.11: Rekonstrueeritud rida

3.2 Samm 2: harmoonilise komponendi eraldamine

Jääkliiget arvutatakse nii, et lahutatakse trendi väärtused ära originaalreast. Teises sammus tuvastame harmoonilise komponente jääkliikme aegreas.

Algse rea periodgrammid oli niisugune

Joonis 3.12: Jääkrea periodogramm

Jääkrea periodogrammist on maha lahutatud trend1/12on ühtlustanud väär- tusi. Need väärtused, mis eemaldati, saame seostada, et nende tsüklid olid pikemad kui aasta.

Vasak graak joonisel (3.12) ütleb meile, et meil on tipp sageduse 0.1 juures ja veidi väiksem 0.5 juures. Nende sagedused on võrdsed vastavalt 0.01/12ja0.5/12. Parempoolne graak joonisel (3.12) näitab meile seda, et kui jääkliige on lineaarselt tõusev graak, siis on tegemist meil mu"raga. Joonisel on näha see punktiirjoone- na. Jääkliikme rea graakut ennast kujutab aga kumer joon. X-telg kujutab endast esinemise sagedusi ja y-telg nende esinemise tõenäosusi.

3.2.1 Akna suuruse otsustamine

Akna suuruse määramine on esimene samm, mida tuleb otsustada enne SSA ana- lüüsi teostamist. Paremaks eraldumiseks peab L olema võimalikult suur ehk siis maksimaalselt N/2. Seega peaksL= 2274.

Joonis 3.13:W-korrelatsiooni maatriks, L= 2274

Joonis (3.13) jaotab esimesed 50 omafunktsiooni kolmikud kahte peamisesse gruppi: esimesest kuni 14-ndani ja ülejäänud. 19. omafunktsiooni kolmik tundub ka olema eraldiseisev. Kuigi 15. ja 16. on omavahel tihedas korrelatsioonis, siis on nad ka paljude teistega tihedas korrelatsioonis. 15. ja 16. omafunktsiooni kolmikud vastavad mürale.

3.2.2 Harmoonilise komponendi eraldamine

Joonis (3.14) näitab meile õlga 6-nda omaväärtuse juures. Jooniselt (3.14) näeme veel, et meil osad väärtused on peaaegu harmoonilised: 2 ja 3, 4 ja 5, 6 ja 7, 8 ja 9, 10, 11, 12 ja 13.

Joonis 3.14: Singulaarväärtuste logaritmid

Joonis (3.15) näitab, et esimene komponent moodustab88,86%jääkreast samm 1-s.Praktikas selgub, et harmoonilise rea kahe omafunktsiooni kolmiku singulaarväär- tused on sageli väga lähedased üksteisele. Omavektorite paaride graak näitab meile visuaalselt ära need omafunktsiooni kolmikud, mis vastavad harmoonilistele komponentidele reas, eeldusel, et need on komponendid on eraldatavad jääkliik- mete hulgast.

Oletame, et puhas harmooniline komponent sagedusega w, millel on kindel faas, aplituud ja ideaalses situatsioonis, kusP = 1/won täisarv, mis jagab akna suurust LjaK. KunaP on täisarv, on ta harmoonilise rea periood. Ideaalses situatsioonis on vasakul omavektoril ja põhikomponendil siinuse ja koosinuse jada kuju, millel on samaP ja sama faas. Seega, nende komponentide tuvastamiseks, mis generee- ritakse harmoonilisusest, taandatakse sellele, et need paarid tuleb tuvastada.

nestuvad graaku ringi kujulisena.

Joonis 3.15: Omavektorid sammus 2

Joonis 3.16: Omavektorite paarid samm 2

Joonisel (3.16) näeme, 2 ja 3, 4 ja 5, 6 ja 7, 8 ja 9, 12 ja 13 näitavad p-tipu po- lügoone, mis tähendab, et nad on siinuse/koosinuse jada paarid koos nullfaasiga ja sama amplituudiga. Teiste sõnadega, nad moodustavad harmoonilisi komponente erinevad perioodiga.

Tabel (3.1) näitab, et 2 ja 3 moodustavad perioodi 238, 4 ja 5 perioodi 106, 6 ja 7 Tabel 3.1

Komponent A ja B Periood Määr Mod Arg Re Im A=2 ja B=3 238,278 0 1 0,03 0,99965 0,02637 A=4 ja B=5 105,611 0 1 0,06 0,99823 0,05946 A=6 ja B=7 38,979 0 1 0,16 0,98704 0,1605 A=8 ja B=9 29,81 0 1 0,21 0,97787 0,20922 A=12 ja B=13 26,044 0 1 0,24 0,97104 0,23892

Joonis 3.17: Trendide ja sessoonide graak algsel real

Jooniselt (3.17) näeme, et tegelikult on keeruline leida mingit sessoonsust, sest ka trendid on väga erinevad aastate lõikes.

Joonis 3.18: Rekonstrueeritud rea trendid

3.2.3 Jääkliikme hinnang

Jääkliige on, mis jääb üle reast, kui sealt on välja võetud trend, ja sessoone osa.

Vaatleme jääkliikme graakute kujusid.

Joonis 3.19: Jääkliikme graakud L=50

Histogrammil on näha, et kerge kalle vasakule, mis on tingitud mõnest väär- tusest, mis kalduvad normaalsusest kõrvale. Karpdiagramm näitab meile, et on mõned ebanormaalsused, kuid peamine kast on sümmeetriline. Samas on ta null- punktist veidi kõrgemal. Positiivsed väärtused näitavad meile suuremat veeauru sisaldust, kui mida võiks eeldada trendide ja sessoonide põhjal. Kvantiilide graak näitab meile, et väärtused −2,−1,2 ei ole kaugel normaaldistributsioonist. Siiski on ka suuremaid väärtusi, mis näitavad kõrvalekallet normaalsusest. Shapiro-Wilk test näitab meile, et p− value = 5.493e−16. See tähendab, et jääkliikmeid ei saa käsitleda normaalsetena. Kuna meil on 4568 väärtust, siis iga kõrvalekalle ei pruugi eriti oluline olla.

Joonis 3.20: Kumulatiivne jääkliikme funktsioon

Joonis (3.20) näitab, et jääkliikme puhul pole tegemist lihtsalt müraga.

3.3 SSA meetodi rakendus MATLAB-is

Valisime antud juhulL= 20.

Trajektoori maatriks T on mõõtmetega 20*4549(20 rida ja 4549 veergu). Trajek- toormaatriksi T diagonaalis on algse reaX väärtused üle kahe ehk siis diagonaalis on algrea elementidest 1,3,5,7,. . . , 4549. TrajektoorimaatriksiT graak on selline:

Joonis 3.21: Trajektoorimaatriksi elemendid

Järgmisena arvutame maatriksi T ∗T^T , mille tulemusena saame 20*20 ruut- maatriksi:

Joonis 3.22: MaatriksiT ∗T^T väärtused

Kolmas samm on leida SVD. Iga omaväärtuste suhe λ_i/

∑d i=1

λ_i on siis ka mõis- tetav kui Ti osa T-st, mis on graakul järgnev

Joonis 3.23: Omaväärtused

Järgmisena valime l(1 6 l 6 L) suuruse grupi omavektoreid Pi1, Pi2, . . . , Pi_l. Olgu l = 20. Olgu hulk I ={i₁, . . . , i_l} indeksitei₁, . . . , i_l grupp. Siis maatriks T_I vastavalt grupeerimisele on deneeritud niiviisi:

T_I =T_i1 +· · ·+T_il.

Viimane samm on arvutada aegrida X˜, mis on lähendiks algsele aegreale X. Selleks rakendame diagonaalset keskmistamist eelmises sammus arvutatud maat- riksile T_Ii ja saame esialgse pikkusega aegrea X˜⁽ⁱ⁾. Rakendades diagonaalset kesk- mistamist kõigile eelmises sammus saadud maatriksitele, saameT = ˜X_I1+· · ·+ ˜X_Il, kus X˜_I1 = κX˜_I1 ja seega esitatakse algne rida X maatriksitest X˜_Il diagonaalse keskmistamise abil saadud ridade X˜⁽ⁱ⁾ summana.

Meie andmete puhul on rida X˜⁽ⁱ⁾ kujul:

Joonis 3.24: Maatriks X˜⁽ⁱ⁾ väärtused

Nagu näha, ei olnud meie valitud tükeldus parim. Jaotades indeksid 1,..,20 saame:

Joonis 3.25: Algse rea silumine ja jääkliige, kui akna suurusL= 20

Joonise (3.25) alumisel graakul on näha jääkliige. Aegrida saab kirjeldada kol- me komponendi kaudu sisuliselt: Aegrida=trendid+tsüklid+müra(ebaregulaarsed muutused). Seega, mida suurem on jääkliige, seda rohkem on jääkliikmete reas väärtusi.

Singular spectrum analysis method Märt Riiner

Summary

This thesis is motivated by the diculty of time series analysis. The longer the time series are, the harder is to analyse by computers the trends and future val- ues. It needs faster computers to analyse the series. So for this reasons we are investigating the SSA method for analysing and smoothing time series.

This bachelor thesis consists of four chapters. The rst, second and third chapter give the overview of SSA method. The fourth chapter gives us numerical example of SSA method. In the fourth chapter, we use University of Tartu Institute of Physics collected data of weather observation and give overview of choosing win- dow size, analyzing graphics and deciding over window length.

In this thesis we use computer programs Matlab and R.

Kirjandus

[1] A beginner's guide to SSA - CERES environnement.ens.fr/IMG/

file/DavidPDF/SSA_beginners_guide_v9.pdf

[2] Aegrea mõiste http://www.lvrkk.ee/kristiina/Heli_

Freienthal/aegread/

[3] ANALYSIS OF PROCESS DATA WITH SINGULAR SPECTRUM METHODS https://scholar.sun.ac.za/bitstream/handle/10019.

1/16252/barkhuizen_analysis_2003.pdf;sequence=1

[4] Basic Singular Spectrum Analysis and Forecasting with R https://arxiv.org/pdf/1206.6910.pdf

[5] Golyandina, N., Nekrutkin, V., Zhigljavsky, A., Analysis of Ti- me Series Structure: SSA and Related Techniques, Chapman & Hall, 2001.

[6] Hassani, Hossein, Singular Spectrum Analysis: Methodology and Com- parison, Journal of Data Science 5(2007),p. 239-257

[7] Kangro, Raul, Aegridade analüüs, http://kodu.ut.ee/~rkangro/

aegread/2011/aegread.pdf

[8] MATLAB-i kood https://www.mathworks.com/matlabcentral/

mlc-downloads/downloads/submissions/8115/versions/1/

previews/ssa.m/index.html

[9] Package Rssa https://cran.r-project.org/web/packages/Rssa/

Rssa.pdf

[10] R-i paketid http://www.inside-r.org/

[11] Singular Spectrum Analysis with Rssa http:

//www.milanor.net/blog/wp-content/uploads/2014/07/

SingularSpectrumAnalysisWithRssa.pdf

[12] Time Series Decomposition Using Singular Spectrum Analy- sis http://dc.etsu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=3725&

context=etd

LISA A

Matlabi kood

Allikas: https://www.mathworks.com/matlabcentral/mlc-downloads/

downloads/submissions/8115/versions/1/previews/ssa.m/index.html load albh.txt; % Loeme andmed sisse failist albh.txt

x1 = albh(:,3); % Loeme failist albh.txt 3 veeru L=4; % M"argime akna suuruse

% Step1 : Build trayectory matrix N=length(x1);

if L>N/2;L=N-L;end K=N-L+1;

X=zeros(L,K);

for i=1:K

X(1:L,i)=x1(i:L+i-1);

end

% Step 2: Constructing a matrix for applying SVD S=X*X';

%Step 3: SVD of the matrix XXT [U,autoval]=eig(S);

[d,i]=sort(-diag(autoval));

d=-d;

U=U(:,i);sev=sum(d);

plot((d./sev)),hold on,plot((d./sev),'rx');

title('Singular Spectrum');xlabel('Omav"a"artuste arv');

ylabel('Omav"a"artus')

V=(X')*U;

rc=U*V';

% Step 4: Selection of eigen(vectors):

I=input('Valime t"ukelduste suurused I vormis [i1,i2:ik,...,iL]') Vt=V';

rca=U(:,I)*Vt(I,:);

% Step 5: Reconstruction y=zeros(N,1);

Lp=min(L,K);

Kp=max(L,K);

for k=0:Lp-2 for m=1:k+1;

y(k+1)=y(k+1)+(1/(k+1))*rca(k-m+2);

endend

for k=Lp-1:Kp-1 for m=1:Lp;

y(k+1)=y(k+1)+(1/(Lp))*rca(k-m+2);

endend

for k=Kp:N

for m=k-Kp+2:N-Kp+1;

y(k+1)=y(k+1)+(1/(N-k))*rca(k-m+2);

endend

figure;subplot(2,1,1);hold on;xlabel('Data point');

ylabel('Originaal ja rekonstrueeritud rida') plot(x1);grid on;plot(y,'r')

r=x1-y;

xlabel('Data point');ylabel('Residual series');grid on vr=(sum(d(I))/sev);

LISA B

R-i kood

#Gdata, Rssa, TSA paketid, install.packages("gtools", dependencies = T)

#w-korrelatsioon

s <-read.xls("C:/algnerida.xls",

sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") ss <- ssa(s, L=2274)

w <- wcor(ss) print(w) plot(w) plot(ss)

plot(ss, type = "vectors",idx = 1:12) # omavektorid

plot(ss, type = "paired", idx = 1:12) #omavektorite paarid

print(parestimate(ss,groups=list(c(2,3),c(4,5),c(6,7),c(8,9),c(12,13))))

#############kood

# plot

coo2 <-read.xls("C:/algnerida.xls", sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") s<- as.numeric(unlist(coo2))

ss <- ssa(s, L=12)

plot(ss, type = "vectors", idx = 1:12) plot(ss, type = "series", groups = 1:12)

#Trend

coo2 <-read.xls("C:/algnerida.xls",sheet=1, header =FALSE,perl="C:/Perl64/bin/perl.exe")

ss <- ssa(s)

r <- reconstruct(ss, groups = list(Trend = c(1:12))) plot(r, plot.method = "xyplot", add.residuals = TRUE,

add.original = TRUE,superpose = TRUE, auto.key = list(columns = 2), col="red")

#plot(r, add.residuals = FALSE,add.original = TRUE);

#legend(4000,40,legend="series", fill="black")

#typeof(s)

#################################

plot(ss, type = "vectors", vectors = "factor", idx = 1:12) plot(ss, type = "wcor", groups = 1:10)

plot(ss, plot.method = "xyplot", superpose = TRUE, auto.key = list(columns = 1),

col = c("blue"), lty = c(rep(1)))

lst <- grouping.auto(ss, grouping.method = "wcor", groups = 1:6, nclust=3)

g1 <- grouping.auto(ss, base = "series", freq.bins = list(0.005), threshold = 0.95)

#RAW periodgram, periodogramm

spec.pgram(coo2, taper=0, fast=FALSE, detrend=FALSE, log="no") cpgram(coo2)

#Residuals

coo2 <-read.xls("C:/algnerida.xls", sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") s<- as.numeric(unlist(coo2))

ss <- ssa(s, L=2274)

residualssss<- residuals(ss)

spec.pgram(residualssss, taper=0.1, fast=FALSE, detrend=FALSE, log="no")

cpgram(residualssss)

#Seasonality

ss<-read.xls("C:/algnerida.xls",

sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") s<- as.numeric(unlist(ss))

plot(stl(ts(s,freq=304), t.window=365, s.window="per", robust=TRUE)) plot(stl(ts(ss,freq=304),s.window="per", robust=TRUE))

#trendide graafik aasta kohta

# reconstructed

coo2 <-read.xls("C:/algnerida.xls", sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") s<- as.numeric(unlist(coo2))

ss <- ssa(s)

r <- reconstruct(ss, groups = list(Trend = c(2,3),c(4,5),c(6,7),c(8,9),c(12,13))) s<- as.numeric(unlist(r))

plot(stl(ts(s,freq=2280),t.window=365,s.window="per", robust=TRUE))

#Periodogram

s <-read.xls("C:/algnerida.xls",

sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") ss <- ssa(s, L=2274)

periodogram(ss,groups=list(c(2,3),c(4,5),c(6,7),c(8,9),c(12,13)), ylab='Variable Star Periodogram'); abline(h=0)

#Smoothed Periodogram

s <-read.xls("C:/algnerida.xls",

sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") spectrum(s, spans = c(2,3))

spectrum(s, c(2),c(3))

s <-read.xls("C:/Vihik1.xlsx",

sheet=1, header =FALSE,

perl="C:/Perl64/bin/perl.exe")

> ss<- as.numeric(unlist(s))

> shapiro.test(ss)

#cummulative program cpgram(s)

Lihtlitsents lõputöö reprodutseerimiseks ja lõputöö üldsusele kättesaadavaks tegemiseks

Mina, Märt Riiner (sünnikuupäev 25.02.1985),

1. annan Tartu Ülikoolile tasuta loa (lihtlitsentsi) enda loodud teose "Singu- laarse spektraalanalüüsi meetod", mille juhendaja on Peep Miidla,

1.1. reprodutseerimiseks säilitamise ja üldsusele kättesaadavaks tegemise ees- märgil, sealhulgas digitaalarhiivi DSpace'is lisamise eesmärgil kuni au- toriõiguse kehtivuse tähtaja lõppemiseni;

1.2. üldsusele kättesaadavaks tegemiseks Tartu Ülikooli veebikeskkonna kau- du, sealhulgas digitaalarhiivi DSpace'i kaudu kuni autoriõiguse kehtivu- se tähtaja lõppemiseni.

2. olen teadlik, et punktis 1 nimetatud õigused jäävad alles ka autorile.

3. kinnitan, et lihtlitsentsi andmisega ei rikuta teiste isikute intellektuaaloman- di ega isikuandmete kaitse seadusest tulenevaid õigusi.