12 h h () A = a h − a h Trapez = ⇔ 1 a 1 h = 2 a 2 h ⇔− a h + a h = 0 1 2 2 1 1 2 2 1 a a

Stumpf

1 Worum geht es?

Inhaltsformeln von „Stümpfen“.

2 In der Ebene: Trapez als Dreieckstumpf

Wir sehen das Trapez als Differenz zweier ähnlicher Dreiecke (Abb. 1).

Abb. 1: Trapez

2.1 Erster Rechenweg

Wegen der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke ist:

h₁ a₁= ^h_a²

2 ⇔ a₁h₂ =a₂h₁ ⇔ −a₁h₂+a₂h₁=0 (1)

Für die Trapezfläche ATrapez erhalten wir:

A_Trapez=¹₂

(

)

h₂ h₁

h

a₁ a₂

Wegen (1) können wir eine rote Null hineinflicken:

A_Trapez= ¹₂

(

)

(

)

= ¹₂

(

(

)

(

) )

(

)

Mittellinie

! "# #$

(

)

! "# $Höhe# (3)

Wir erhalten die von der Schule her bekannte Formel.

2.2 Zweiter Rechenweg

Wegen der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke ist:

h₁ a₁= ^h_a²

2 ⇒ ^h_a¹

1 = ^h_a^1−h2

1−a₂ =_a^h2

2 ⇒ ^h_a¹

1 =_a ^h

1−a₂ = ^h_a²

2 (4)

Daraus folgt:

h₁= _a^ha1

1−a₂ und h₂ = _a^ha2

1−a₂ (5)

In (2) eingesetzt liefert mit Hilfe der dritten binomischen Formel:

A_Trapez= ¹₂

(

)

= ¹₂(^a1+a2)(^a1−a₂)

a₁−a₂ h= ¹₂

(

)

Abb. 2: Kegel- oder Pyramidenstumpf

Mit a₁ und a₂ bezeichnen wir nun die Boden- beziehungsweise die Deckfläche. Es ist:

h₁ a₁ = ^h2

a₂ ⇒ ^h1

a₁ = ^h1−h2

a₁− a₂ = ^h2

a₂ ⇒ ^h1

a₁ = ^h

a₁− a₂ = ^h2

a₂ (7)

Für das Volumen des Stumpfes erhalten wir:

V_Stumpf =¹₃

(

)

a₁− a₂ −a₂ ^{h a2}

a₁− a₂

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=¹₃ ^{a13− a23}

a₁− a₂ h=¹₃

(

)

⁽

⁾

h₂ h₁

h a₁

a₂

4 Im 4d-Raum

Wir erhalten analog für den 4d-Inhalt:

I_4d-Stumpf = ¹₄

(

)

3 −³a₂ −a₂ ^{h a3 2}

a₁

3 −³a₂

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

= ¹₄ ^{h a3 14}

a₁

3 −³a₂ − ^{h a3 24}

a₁

3 −³a₂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ¹₄ ^3a14−3a24

a₁

3 −³a₂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟h

= ¹₄ ³a₁(^3−k) a₂

3 k

k=0

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟h= ¹₄

(

)

(9)

5 Im nd-Raum

Wir erhalten analog für den allgemeinen Fall:

I_nd-Stumpf= ¹_n ( )ⁿ⁻¹ a₁(^n−1−k)

a₂ ( )n−1 ^k k=0

n−1

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟h=¹_n a₁^{n−1−kn−1} a₂^n−1k

k=0 n−1

∑

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟h (10)

6 Mittelbildungen 6.1 Diskret

In unseren Beispielen erhielten wir für a1 und a2 die Mittelbildung:

Mittel

(

)

n−1−k n−1 a₂^n−1k

k=0

n−1

∑

Für n = 2 ist dies das arithmetische Mittel.

n Mittel(4, 2) 2 3

3 2.942809041 4 2.923661051 5 2.914085403 6 2.908341321 7 2.904512901 8 2.901778922 9 2.899728824 10 2.898134552 Tab. 1: Mittelbeispiele

Die Mittel werden kleiner. Gibt es eine untere Grenze bei wachsendem n?

6.2 Integral

Wir ersetzen die Summanden in (11) durch eine Funktion f wie folgt:

f t

( )

( )

^{[ ]}

Die Summe (11) ersetzen wir entsprechend durch ein Integral:

m a

(

)

( )

0

1

∫

_{( )}

_{( )}

Für das Beispiel a1 = 4 und a2 = 2 (vgl. Tab. 1) erhalten wir:

m

( )