Analysis II f¨ ur M, LaG, Ph

Analysis II f¨ ur M, LaG, Ph

8. Tutorium

L¨osungsvorschlag

T1 Zum Satz ¨uber Umkehrabbildungen

Nach Satz 3.4 (s. Vorlesung) gibt es f¨ur eine stetig differenzierbare Funktion mit inver- tierbarer Jacobi-Matrix lokal eine Umkehrabbildung. Wir betrachten hier ein Beispiel, welches zeigt, dass f¨ur diesen Satz auf stetigeDifferenzierbarkeit nicht verzichtet wer- den kann.

Sei φ:R→Rin R r{0}eine stetig differenzierbare Funktion mit

φ(s) = (1

n f¨ur _n¹ − _4n¹₂ ≤ |s| ≤ ¹_n+_4n¹2, s+O(s²) f¨urs→0.

Dabei bezeichnet das Landau-Symbol O(s²) die asymptotisch obere Schranke s², d.h.

f¨urf ∈O(s²) gilt

0≤lim sup

s→0

f(s) s²

<∞.

Man zeige nun:

i) Die Funktionφist in s= 0 differenzierbar und es giltφ⁰(0) = 1.

ii) Die Funktionφist in s= 0 nicht stetig differenzierbar.

iii) Die Funktionφist in keiner Nullumgebung injektiv.

i) Zun¨achst mache man sich klar, dass die Funktion wohldefiniert ist, also dassφauch in S

n∈N[¹_n−_4n¹₂,_n¹ +_4n¹2]das asymptotische Verhaltens+O(s²) zeigt. F¨ur einn∈Nsei

1

n−_4n¹2 ≤ |s| ≤ ¹_n+_4n¹2. Wir schreibens=: _n¹ +δ mitδ∈[−_4n¹2,_4n¹2], also δ∈O(_n¹2).

Wegen ¹_n ∈O(s) haben wir δ∈O(s²).

Nun untersuchen wir den Differentialquotienten von φins= 0:

h→0lim

φ(h)−φ(0)

h = lim

h→0

h+O(h²)

h = 1 + lim

h→0

O(h²)

h² ·h= 1.

Die Funktion φist also im Punkts= 0 differenzierbar.

ii) Mit der Nullfolge (¹_n)n∈N erhalten wir φ(¹_n) = ¹_n und φ⁰(_n¹) = 0 (weil φ in der Um- gebung (¹_n − _4n¹2,¹_n + _4n¹2) um ¹_n konstant ist). F¨ur die Ableitung gilt also im Punkt s= 0

n→∞lim φ⁰(1

n) = 06= 1 =φ⁰(0),

d.h. die Funktion φist im Punkts= 0 nicht stetig differenzierbar.

iii) Sei ε >0. Dann gibt es einn∈N, so dass _n¹ < ε. Damit liegt in der Nullumgebung Uε(0) :={x∈ R| |x| < ε} das Intervall [¹_n− _4n¹2,_n¹] auf dem die Funktion φ konstant gleich _n¹ ist. Damit ist φnicht injektiv inUε(0).

Analysis II f¨ur M, LaG, Ph, L¨osungsvorschlag 2 T2 Eine Lipschitz-stetige Bijektion

Es ist bekannt, dass stetige, bijektive Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich stetige Umkehrfunktionen haben (s. Satz im Skript, Seite 20). Wir zeigen nun, dass eine entprechende Aussage f¨ur Lipschitz-stetige Funktionen nicht gilt. Man zeige hierf¨ur

i) Die Funktion f : [−1,1]→[−1,1], f(x) :=x³ ist Lipschitz-stetig.

ii) Die Umkehrfunktionf⁻¹: [0,1]→[0,1], f⁻¹(y) =√³

y ist nicht Lipschitz-stetig.

i) F¨ur alle x, y∈[−1,1]gilt

|f(x)−f(y)|=|x²+xy+y²||x−y| ≤ |x²|+|x||y|+|y²|

|x−y| ≤3|x−y|.

Also ist f eine Lipschitz-stetige Funktion mit Lipschitz-Konstante3. (Daf stetig differenzierbar ist, folgt die Lipschitz-Stetigkeit auch mit Aufgabe T33 des 11.

Tutoriums aus Analysis I.)

ii) Angenommen f⁻¹ sei Lipschitz-stetig, dann g¨abe es eine Konstante L_f⁻¹ >1, so dass f¨ur alle x∈[−1,1]gilt

|√³

x|=|f⁻¹(x)−f⁻¹(0)| ≤L_f⁻¹|x−0|.

Definieren wir nun x0 := (2L_f⁻¹)⁻³² ∈[−1,1], so erhalten wir

|√³ x₀|

|x₀| =|x⁻

2 3

0 |= 2L_f⁻¹ > L_f⁻¹

und damit einen Widerspruch zur angenommenen Lipschitz-Stetigkeit von f⁻¹.

T3 Peano-Kurven

Wir wollen uns nun mit einer sogenannten Peano-Kurve besch¨aftigen, d.h. mit ei- ner Kurve, die ein ganzes Quadrat ausf¨ullt. Zur Konstruktion gibt es verschiedene Ans¨atze, sowohl geometrisch motivierte (Peano, Hilbert), als auch rein algebraische.

Wir besch¨aftigen uns hier mit einer Kurve letzteren Typs, die Idee dieser Konstruktion stammt von Lebuesge.

Satz: Seif :R→[0,1] eine stetige Funktion mit folgenden Eigenschaften:

f(t) = 0, f¨ur 0≤t≤ 1

3, f(t) = 1, f¨ur 2

3 ≤t≤1, und f(t+ 2) =f(t).

Setzt man

x(t) :=

∞

X

n=1

2⁻ⁿf(3²ⁿ⁻¹t), y(t) :=

∞

X

n=1

2⁻ⁿf(3²ⁿt),

so bildet die (stetige) Kurveγ : [0,1]→[0,1]² mitγ(t) := (x(t), y(t)) das Intervall [0,1]

surjektiv auf das Quadrat [0,1]² ab.

Beweise den Satz wie folgt:

i) Mache Dir die Stetigkeit von γ klar.

ii) Zeige, dass jeder Punkt (x0, y0)∈[0,1]² eine Darstellung x₀=

∞

X

n=1

2⁻ⁿa2n−1, y₀ =

∞

X

n=1

2⁻ⁿa_2n, a_n∈ {0,1}

besitzt, und dass f¨urt₀ = 2P∞

ν=13^−ν−1a_ν giltf(3ⁿt₀) =a_n. Weise damit die Surjekti- vit¨at von γ nach.

Analysis II f¨ur M, LaG, Ph, L¨osungsvorschlag 3 Ein geometrischer Algorithmus zur Erzeugung einer Peano-Kurve stammt von Hilbert.

Die folgenden Abbildungen zeigen die ersten sechs Approximationspolygone.

i) Daf eine stetige Funktion ist, sind f¨ur alle m∈Ndie Funktionen x_m(t) :=

m

X

n=1

2⁻ⁿf(3²ⁿ⁻¹t), y_m(t) :=

m

X

n=1

2⁻ⁿf(3²ⁿt)

stetig. Die Funktionenfolge(x_m)m∈N konvergiert nun gleichm¨aßig gegenx:

sup

t∈[0,1]

|x(t)−x_m(t)|= sup

t∈[0,1]

∞

X

n=m+1

2⁻ⁿf(3²ⁿ⁻¹t)

≤ kfk_∞

∞

X

m+1

2⁻ⁿ≤2.

Ebenso konvergiert die Folge (ym)m∈Ngleichm¨aßig gegeny. Daher sind x und y, und somit auchγ stetig.

ii) Zun¨achst zeigen wir, dass sich jede Zahl ξ∈[0,1)darstellen l¨asst durch ξ=

∞

X

n=1

2⁻ⁿα_n mitα_n∈ {0,1}.

Analysis II f¨ur M, LaG, Ph, L¨osungsvorschlag 4 F¨ur ξ < ¹₂ setzen wir α1 := 0, sonst α1 := 1. Das erste Folgenglied ist dann ξ₁ := ^α₂¹. In den n¨achsten Schritten halbieren wir jeweils das Intervall [ξ_i, ξ_i+₂¹i) in dem sichξbefindet und setzen entsprechend wiederα_i+1 := 0, fallsξ < ξ_i+₂i+1¹ , bzw. αi+1 := 1, falls ξ ≥ ξi+ ₂i+1¹ . Damit definieren wir nun ξi+1 := ξi+ ^α₂i+1ⁱ⁺¹. Wir erhalten somit eine gegen ξ konvergierende Folge(ξ_i)i∈N:

|ξ−ξ_i| ≤ 1

2ⁱ →0, f¨urn→ ∞.

Wir k¨onnen daher schreiben ξ= lim

i→∞ξi = lim

i→∞

i

X

n=1

2⁻ⁿαn=

∞

X

n=1

2⁻ⁿαn.

F¨ur den Fall ξ = 1 haben wir die Darstellung ξ = P∞

n=12⁻ⁿ, d.h. wir w¨ahlen an:= 1f¨ur allen∈N. Die in der Aufgabenstellung angegebene Darstellung eines Punktes(x0, y0)∈[0,1]² ist nun eine einfache Konsequenz aus der oben gezeigten Darstellung im eindimensionalen Fall ξ ∈ [0,1]. (”Die Folgenglieder a_i werden abwechselnd verteilt.“)

Nun untersuchen wir den Funktionswert f(3ⁿt₀) mit t₀ = 2P∞

ν=13^−ν−1a_ν und erhalten zun¨achst:

f(3ⁿt₀) =f(2

∞

X

ν=1

3^n−ν−1a_ν)

=f(2

n−1

X

ν=1

3^n−ν−1aν+2 3an+ 2

∞

X

ν=n+1

3^n−ν−1aν).

Man sieht schnell, das der Term 2Pn−1

ν=13^n−ν−1aν eine gerade (nat¨urliche) Zahl ist. Da f eine2-periodische Funktion ist, haben wir also

f(3ⁿt₀) =f(2 3a_n+ 2

∞

X

ν=n+1

3^n−ν−1a_ν).

Mit der Absch¨atzung 0≤2

∞

X

ν=n+1

3^n−ν−1a_ν ≤ 2 9

∞

X

ν=0

1 3

ν

= 1 3

bekommen wir mit den Eigenschaften vonf f¨ura_n= 0den Wertf(3ⁿt₀) = 0 =a_n und f¨ura_n= 1 den Wert f(3ⁿt₀) = 1 =a_n.

Kommen wir schließlich zur Surjektivit¨at der Peano-Kurve. Sei (x₀, y₀) ∈[0,1]² ein beliebiger Punkt aus dem Einheitsquadrat. F¨ur diese gibt es die Darstellung

x₀=

∞

X

n=1

2ⁿa2n−1, y₀=

∞

X

n=1

2ⁿa_2n, a_n∈ {0,1}.

Wir identifizieren also den Punkt (x₀, y₀) mit einer Folge(a_n)n∈N ∈ {0,1}^N. F¨ur diese Folge ist nun 0 ≤t₀ := 2P∞

ν=13^−ν−1a_ν ≤ ¹₃ <1 gerade das Argument, so dass γ(t0) = (x(t0), y(t0)) = (x0, y0). Damit ist γ eine surjektive Kurve.