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EC := { 〈 G 〉 | G admits a Eulerian cycle}

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Academic year: 2022

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(1)

Complexity Theory

Example Problems (I)

Eulerian cycle in an undirected graph G traverses each edge precisely 1x; Hamiltonian cycle visits each vertex precisely 1x.

EC := { G| G admits a Eulerian cycle}

HC := { 〈G〉 | G admits a Hamiltonian cycle}

G admitting a Eulerian cycle is connected and

Theorem: Conversely every connected graph with an even number of edges incident to each vertex admits a Eulerian cycle.

has an even number of edges incident to each vertex save isolated

vertices

P P

?

(2)

Complexity Theory

EC = { G,k| G=(V,E) und FE, |F|=k:

xVxV: (x,y)F } dh. die Kanten ‘überdecken‘ V

Example Problems (II)

Eulerian (EC) vs. Hamiltonian Cycle (HC) Edge Covering (EC) vs.

Vertex Covering (VC)

Travelling Salesperson TSP := { c,k 〉 : c admits a Hamiltonian cycle of weightk } CLIQUE := { G,k| G contains a k-clique }

Independent Set IS := { G,k 〉 :

G contains an independent set of size k }

P P

?

?

?

?

VC = { G,k| G=(V,E) and UV, |U|=k: (x,y)E:

xUyU } i.e. each edge contains one vertex in U

(3)

Complexity Theory

Beziehungen zwischen Problemen

A,B ⊆ ∑ * Entscheidungsprobleme; schreibe

„A ≼ ≼ ≼ ≼ B“ für „A ist höchstens so schwer wie B“

HC : enthält G einen Hamiltonkreis;

TSP: enthält c einen Hamiltonkreis mit Gewicht k

Beobachtung:

HC ≼ ≼ ≼ ≼ TSP

Clique ≼ ≼ ≼ ≼ IS ≼ ≼ ≼ ≼ Clique

(4)

Martin Ziegler 23

Complexity Theory

Polynomielle Reduktion

A heißt polynomiell reduzierbar auf B ( „A p B” ), falls es eine in polynomieller Zeit berechenbare totale Funktion f:Σ* → Σ* gibt mit xA f(x) Bx∈Σ*.

Lemma: a) A p B und B ∈ P ⇒ A ∈ P

b) A p B und B p CA p C (Transitivität)

Beispiel: CLIQUE p IS p CLIQUE, f(〈G,k〉):= 〈G,k〉

A ⊆ Σ* heißt reduzierbar auf B ⊆ Σ*, falls es eine berechenbare, totale Funktion f:Σ*→Σ* gibt

so dass für alle x∈Σ* gilt: xA ⇔ f(x)∈B.

Wir schreiben: A B (mittels f). „ “ ist transitiv.

Falls B (semi-) entscheidbar ist und A B gilt, dann ist auch A (semi-) entscheidbar.

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