Ubung zur Vorlesung ¨ Lokale Netzstrukturen Sommersemester 2017, Blatt 3
Prof. Hannes Frey, Dr. Jovan Radak, Kevin Reuß
Freiwillige Abgabe bis Dienstag, den 04.07.2017, 12.00 Uhr, als PDF per Email (radak@uni-koblenz.de oder kreuss@uni-koblenz.de)
oder Ausdruck (abzugeben im B¨uro B229).
Besprechung des Zettels in der ¨Ubung am 05.07.2017.
Bei Fragen wenden Sie sich bitte direkt an Dr. Jovan Radak oder Kevin Reuß.
Aufgabe 1: Spanner und Spanner Eigenschaften der Re- stricted Delaunay Triangulation
a) Allgemeine Spanner Eigenschaften
Seien F = (V, EF), G= (V, EG) und H = (V, EH) Graphen ¨uber der selben Knotenmenge V. Weiterhin gelte F ⊆ G ⊆ H (d.h.: EF ⊆ EG ⊆ EH).
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
i) Wenn F ein t-Spanner f¨urH ist, dann ist auch Gein t-Spanner f¨urH.
ii) Wenn F ein c-Spanner f¨ur G ist und G ein k-Spanner f¨urH ist, dann ist F ein (c·k)-Spanner f¨urH.
b) Spanner Eigenschaften der Restricted Delaunay Triangulation Aus der Vorlesung ist Ihnen bekannt, dass der Restricted Delaunay Graph, RDG, konstruiert ¨uber einem Unit Disk Graph, U DG(V), ein Euklidischer Spanner ist. Beweisen Sie: Falls U DG(V) ein zivilisierter Graph ist, dann ist RDG auch ein topologischer Spanner f¨ur den Graphen U DG(V) ist.
Bemerkung: Ein geometrischer Graph wird alszivilisiert bezeichnet, wenn f¨ur jede Kanteuv im Graphen gilt, dass die Euklidische Distanz zwischen u and v mindestens λ betr¨agt, f¨ur ein beliebig aber festesλ >0.
Hinweis: Sie k¨onnen es sich einfach machen und Ergebnisse aus vorherigen Ubungen verwenden. F¨¨ ur einen direkten Nachweis ¨uberlegen Sie in welchem Zusammenhang RDG und der DT-Pfad (Beweis von Dobkin et al. zu Span- ning Ratio der Delaunay triangulierung) stehen.
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c) Zusammenhang RDG und LDel(2)
Zeigen oder widerlegen Sie: Sei U DG(V) ein zusammenh¨angender Unit Disk Graph. Es gilt RDG(U DG(V)) = LDel(2)(U DG(V)), d.h. die Restricted Delaunay Triangulierung und die 2-Localized Delaunay Triangulierung kon- struiert ¨uber einem Unit Disk Graphen stimmen ¨uberein.
Aufgabe 2: Delaunay Triangulierung, Voronoi Diagramm und Konvexe H¨ ulle
Im folgenden bezeichne V ⊂ R2 eine endliche Menge von Punkten in der Ebene. Weiterhin seien die Punkte in V weder kollinear noch kozirkul¨ar.
a) Zusammenhang Konvexe H¨ulle und Delaunay Triangulierung Es seien u, v ∈ V. Die Kante (bzw. das Liniensegment) uv ist genau dann Teil der Konvexen H¨ulle CH(V), wenn uv die Punkteu und v nur in einem Dreieck in der Delaunay Triangulierung Del(V) verbindet.
b) Eigenschaften von Voronoi Diagrammen Es gelte V0 ⊆V und u∈V0.
Beweisen Sie:V RV(u)⊆V RV0(u). Hierbei bezeichnet V RY(x) die Voro- noi Region von x∈Y bzgl. einer Knotenmenge Y.
Aufgabe 3: Erg¨ anzungen zur Vorlesung
a) Planarit¨at des Gabriel Graphen
Sei G= (V, E) ein beliebiger Graph gezeichnet in der Ebene (nicht notwen- digerweise ein Unit Disk Graph!). Seien u, v, x, y vier verschiedene Knoten aus V so dass die Kanten uv und xy in GG(V) enthalten sind. Zeigen Sie:
uv und xy k¨onnen sich nicht schneiden.
b) Umkreisdurchmesser
Es seien u, v, w ∈ R2 drei verschiedene und nicht kolineare Punkte in der Ebene. Bezeichne mit α = ∠uwv den Innenwinkel des Schnitts der Linien- segmenteuwund vw(siehe Abbildung 1). Weiterhin bezeichnedden Durch- messer des Kreises C(uvw). Zeigen Sie dass gilt:
||uv||
sin(α) =d.
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Abbildung 1: Abbildung zu Aufgabe 3b)
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