Olympiade mathematique du Canada 1969

Canadian Mathematical Olympiad 1969

PROBLEM 1

Show that if a¹=b¹=a²=b²=a³=b³and p¹,p²,p³are not all zero, then

a¹ b¹

n

= p¹a^{n1 +}p²aⁿ²⁺p³aⁿ³ p¹bⁿ¹+p²bⁿ²+p³bⁿ³ for every positive integern.

PROBLEM 2

Determine which of the two numbers^pc+ 1^,pc,^pc^,pc^,1 is greater for any c1.

PROBLEM 3

Letcbe the length of the hypotenuse of a right angle triangle whose other two sides have lengthsaandb. Prove thata+b^p2c. When does the equality hold?

PROBLEM 4

LetABCbe an equilateral triangle, andPbe an arbitrary point within the triangle.

Perpendiculars PD, PE, PF are drawn to the three sides of the triangle. Show that, no matter whereP ^{is chosen,}

PD+PE+PF

AB+BC+CA ^{= 1}2^p3:

PROBLEM 5

Let ABC be a triangle with sides of lengths a, b and c. Let the bisector of the angle CcutABin D. Prove that the length ofCD is

2abcos^C2 a+b :

PROBLEM 6

Find the sum of 11! + 22! + 33! ++ (n^,1)(n^,1)! +nn!, wheren! = n(n^,1)(n^,2)21.

PROBLEM 7

Show that there are no integersa, b,c for whicha²+b^2,8c= 6.

{1{

PAGE 2 1969

PROBLEM 8

Letf be a function with the following properties:

1) f(n) is dened for every positive integern; 2) f(n) is an integer;

3) f(2) = 2;

4) f(mn) =f(m)f(n) for allmandn; 5) f(m)> f(n) wheneverm > n. Prove thatf⁽n^{) =}n^.

PROBLEM 9

Show that for any quadrilateral inscribed in a circle of radius 1, the length of the shortest side is less than or equal to ^p2.

PROBLEM 10

Let ABC be the right-angled isosceles triangle whose equal sides have length 1. P is a point on the hypotenuse, and the feet of the perpendiculars fromP to the other sides areQandR. Consider the areas of the trianglesAPQandPBR, and the area of the rectangleQCRP. Prove that regard- less of how P is chosen, the largest of these three areas is at least 2=9.

B R C

A

P Q

Olympiade mathematique du Canada 1969

PROBL

EME 1

Montrer que si a¹=b¹=a²=b²=a³=b³ etp¹,p²,p³sont tous non nuls, alors

a¹ b¹

n

= p¹aⁿ¹ +p²aⁿ²+p³aⁿ³ p¹bⁿ¹+p²bⁿ²+p³bⁿ³ pour chaque entier positifn.

PROBL

EME 2

Trouver lequel des deux nombres^pc^{+ 1,p}c^,pc^,pc^,1 est le plus grand pour c1 quelconque.

PROBL

EME 3

Soitcla longeur de l'hypotenuse d'un triangle droit dont les deux autres c^otes aient pour longueuraetb. Montrer quea+b^p2c. Dans quel cas a-t'on egalite?

PROBL

EME 4

SoitABC un triangle equilateral, etP un point arbitraire a l'interieur du triangle.

Des perpendiculaires PD, PE, PF sont tracees sur les trois c^otes du triangle.

Montrer que quelque soit P^,

PD+PE+PF

AB⁺BC⁺CA ^{= 1}2^p3:

PROBL

EME 5

Soit ABC un triangle dont les c^otes aient pour longueurs a, b et c. Soit D l'intersection de la bissectrice de l'angleCavec le c^oteAB. Montrer que la longueur deCD est precisement

2abcos^C2 a+b :

PROBL

EME 6

Trouver la somme de 11! + 22! + 33! ++ (n^,1)(n^,1)! +nn!, ou n! =n(n^,1)(n^,2)21.

PROBL

EME 7

Montrer qu'il n'existe pas de nombres entiersa,b,cpour lesquelsa²+b^2,8c= 6.

{3{

PAGE 4 1969

PROBL

EME 8

Soitf une fonction munie des proprietes suivantes:

1) f(n) est denie pour chaque nombre entier positifn; 2) f(n) est un nombre entier;

3) f(2) = 2;

4) f(mn) =f(m)f(n) pour chaquemetn; 5) f(m)> f(n) pour toutm > n.

Montrer que f⁽n^{) =}n^.

PROBL

EME 9

Montrer que pour tout quadrilatere inscrit dans un cercle de rayon 1, la longueur du plus petit c^ote est au plus^p2.

PROBL

EME 10

Soit ABC un triangle isocele droit dont les c^otes egaux ont pour longueur 1. P est un point sur l'hypotenuse, et les bases des perpendiculaires de P sur les autres c^otes sont Q et R. Consider- ons maintenant les aires des triangles APQ et PBR, et de m^eme que l'aire du rectangleQCRP. Montrer que quelque soitP, la plus grande de ces aires est au moins 2=9.

B R C

A

P Q

Canadian Mathematical Olympiad 1970

PROBLEM 1

Find all number triples (x;y;z) such that when any one of these numbers is added to the product of the other two, the result is 2.

PROBLEM 2

Given a triangle ABC with angle A obtuse and with altitudes of length hand kas shown in the diagram, prove that a+h b+k. Find under

what conditionsa+h=b+k. C B

h E a b

A D

k

PROBLEM 3

A set of balls is given. Each ball is coloured red or blue, and there is at least one of each colour. Each ball weighs either 1 pound or 2 pounds, and there is at least one of each weight. Prove that there are 2 balls having dierent weights and dierent colours.

PROBLEM 4

a) Find all positive integers with initial digit 6 such that the integer formed by deleting this 6 is 1=25 of the original integer.

b) Show that there is no integer such that deletion of the rst digit produces a result which is 1=35 of the original integer.

PROBLEM 5

A quadrilateral has one vertex on each side of a square of side-length 1. Show that the lengthsa,b,c anddof the sides of the quadrilateral satisfy the inequalities

2a²+b²+c²+d²4:

PROBLEM 6

Given three non-collinear points A^, B^, C, construct a circle with centre C ^such that the tangents fromA^andB to the circle are parallel.

PROBLEM 7

Show that from any ve integers, not necessarily distinct, one can always choose three of these integers whose sum is divisible by 3.

PROBLEM 8

Consider all line segments of length 4 with one end-point on the liney=xand the other end-point on the liney= 2x. Find the equation of the locus of the midpoints of these line segments.

{5{

PAGE 6 1970

PROBLEM 9

Letf(n) be the sum of the rstnterms of the sequence 0;1;1;2;2;3;3;4;4;5;5;6;6;::: : a) Give a formula forf(n).

b) Prove thatf(s+t)^,f(s^,t) = st wheres and t are positive integers and s > t^.

PROBLEM 10 Given the polynomial

f(x) =xⁿ+a¹x^n,1+a²x^n,2++an^,1x+an

with integral coecientsa¹;a²;::: ;an, and given also that there exist four distinct integersa^,b^,c ^andd^{such that}

f(a) =f(b) =f(c) =f(d) = 5; show that there is no integerk such thatf(k) = 8.

Olympiade mathematique du Canada 1970

PROBL

EME 1

Trouver tous les triplets (x;y;z) tels que la somme de n'importe lequel de ces nombres avec le produit des deux autres soit egal a 2.

PROBL

EME 2

Etant donne un triangleABC dont l'angleA est obtus et dont les hauteurs soient de longueurs h et k comme le montre le diagramme ci-contre, montrer quea⁺hb⁺k. Trouver les conditions

qui nous donneraienta+h=b+k. _{C B}

h E a b

A D

k

PROBL

EME 3

Une collection de balles nous est donnee. Chaque balle est de couleur rouge ou bleue et au moins une de chaque couleur apparait. De plus, chaque balle pese 1 ou 2 livres, et on a de m^eme au moins une de chaque poids. Montrer qu'il y a 2 balles de couleur et poids dierents.

PROBL

EME 4

a) Trouver tout entier positif debutant par le chire 6 et tel que le nombre obtenu en delaissant ce chire 6 soit 1=25 fois l'entier de depart.

b) Montrer qu'il n'y ait aucun entier tel qu'en delaissant son premier chire on obtienne un nombre qui soit 1=35 fois l'entier de depart.

PROBL

EME 5

Un quadrilatere a un sommet sur chaque c^ote d'un carre dont chaque c^ote est de longueur 1. Montrer que les longueursa,b,cetddes c^otes du quadrilatere satisfont les inegalites

2a²⁺b²⁺c²⁺d²⁴:

PROBL

EME 6

Etant donnes trois points non colineairesA^,B^,C, construire un cercle de centreC tel que les deux tangentes au cercle enA^etB soient paralleles.

PROBL

EME 7

Montrer qu'etant donnes cinq nombres entiers, pas necessairement tous distincts, on puisse toujour choisir trois d'entre eux de telle sorte que leur somme soit divisible par 3.

PROBL

EME 8

Considerons tous les segments de droite de longueur 4 ayant un point terminal sur {7{

PAGE 8 1970

la droitey=xet dont l'autre point terminal se situe sur la droitey= 2x. Trouver l'equation du lieu geometrique des points milieux de ces segments.

PROBL

EME 9

Soitf(n) la somme desnpremiers termes de la suite 0;1;1;2;2;3;3;4;4;5;5;6;6;::: : a) Donner une formule pourf(n).

b) Montrer quef(s+t)^,f(s^,t) =stousettsont des entiers positifs ets > t.

PROBL

EME 10

Etant donne le polyn^ome

f(x) =xⁿ+a¹x^n,1+a²x^n,2++an^,1x+an

dont les coecients a¹;a²;::: ;an sont entiers, et etant donne aussi qu'il existe quatre nombres entiers distinctsa^,b^,c ^etd^{tels que}

f(a) =f(b) =f(c) =f(d) = 5;

montrer alors qu'il n'existe aucun nombre entierktel quef(k) = 8.

Canadian Mathematical Olympiad 1971

PROBLEM 1

DEB is a chord of a circle such thatDE= 3 and EB = 5. Let O be the centre of the circle. Join OE and extendOE to cut the circle at C. (See diagram). Given EC = 1, nd the radius of the circle.

E C

O

D B

PROBLEM 2

Letxandy be positive real numbers such thatx+y= 1. Show that

1 + 1x

1 + 1y

9:

PROBLEM 3

ABCDis a quadrilateral withAD⁼BC^{. If6} ADCis greater than⁶ BCD^{, prove} thatAC > BD.

PROBLEM 4

Determine all real numbersasuch that the two polynomialsx²+ax+1 andx²+x+a have at least one root in common.

PROBLEM 5

Let p(x) =a⁰xⁿ+a¹x^n,1++an^,1x+an;

where the coecientsaiare integers. Ifp(0) andp(1) are both odd, show thatp(x) has no integral roots.

PROBLEM 6

Show that, for all integersn,n²+ 2n+ 12 is not a multiple of 121.

PROBLEM 7

Let n be a ve digit number (whose rst digit is non-zero) and letm be the four digit number formed fromnby deleting its middle digit. Determine allnsuch that n=mis an integer.

PROBLEM 8

A regular pentagon is inscribed in a circle of radius r. P is any point inside the pentagon. Perpendiculars are dropped fromP to the sides, or the sides produced, of the pentagon.

{9{

PAGE 10 1971

a) Prove that the sum of the lengths of these perpendiculars is constant.

b) Express this constant in terms of the radiusr.

PROBLEM 9

Two ag poles of heights h and k are situated 2a units apart on a level surface.

Find the set of all points on the surface which are so situated that the angles of elevation of the tops of the poles are equal.

PROBLEM 10

Suppose thatnpeople each know exactly one piece of information, and allnpieces are dierent. Every time person A phones person B, A tells B everything that A knows, while B tells A nothing. What is the minimum number of phone calls between pairs of people needed for everyone to know everything? Prove your answer is a minimum.

Olympiade mathematique du Canada 1971

PROBL

EME 1

DEB est une corde d'un cercle tel que DE = 3 etEB = 5. SoitO le centre du cercle. Joignons maintenantOEet poursuivreOEde facon a couper le cercle au point C. (Voir le diagramme). Etant donne queEC= 1, trouver le rayon du cercle.

E C

O

D B

PROBL

EME 2

Soitxety deux nombres reels positifs tels quex+y = 1. Montrer que

1 + 1x

1 + 1y

9:

PROBL

EME 3

ABCDest un quadrilatere dontAD=BC. Si ⁶ ADC est plus grand que⁶ BCD, montrer alors queAC > BD.

PROBL

EME 4

Determiner tout nombre reelatel que les deux polyn^omesx²+ax+1 etx²+x+a aient au moins une racine en commun.

PROBL

EME 5

Soit p(x) =a⁰xⁿ+a¹x^n,1++an^,1x+an;

ou les coecients ai sont entiers. Si p(0) et p(1) sont tous deux impairs, montrer quep(x) n'a aucune racine entiere.

PROBL

EME 6

Montrer que, pour tout entiern^, n^{2+ 2}n+ 12 n'est pas un multiple de 121.

PROBL

EME 7

Soit n un nombre a cinq chires (dont le premier chire est non nul) et soit m le nombre a quatre chires forme a partir de n en retirant le chire du milieu.

Determiner toutntel quen=msoit entier.

PROBL

EME 8

Un pentagone regulier est inscrit dans un cercle de rayon r. P etant un point quelconque a l'interieur du pentagone, des perpendiculaires sont tracees de P aux c^otes du pentagone, ou peut-^etre sur les extensions de ces c^otes.

{11{

PAGE 12 1971

a) Montrer que la somme des longueurs de ces perpendiculaires est constante.

b) Exprimer cette constante en terme du rayonr.

PROBL

EME 9

Deux m^ats de drapeau de hauteur h et k sont situes 2a unites a part sur une surface plane. Trouver l'ensemble des points sur la surface qui sont tels que les angles d'elevation sur le sommet des m^ats soient egaux.

PROBL

EME 10

Supposons que nindividus aient la connaissance d'exactement un renseignement, et que lesnrenseignements soient dierents. Chaque fois que l'individu A contacte l'individu B, A devoile a B toute sa connaissance, mais par contre B ne revele rien a A. Quel est le nombre minimum de contacts requis entre les couples d'individus de telle sorte que chacun soit en possession de tous les renseignements? Montrer que votre reponse est en eet un minimum.

Canadian Mathematical Olympiad 1972

PROBLEM 1

Given three distinct unit circles, each of which is tangent to the other two, nd the radii of the circles which are tangent to all three circles.

PROBLEM 2

Let a¹;a²;::: ;an be non-negative real numbers. Dene M to be the sum of all products of pairsaiaj (i < j),i.e.,

M⁼a¹⁽a²⁺a³⁺⁺an) +a²⁽a³⁺a⁴⁺⁺an) ++an^,1an: Prove that the square of at least one of the numbersa¹;a²;::: ;an does not exceed 2M=n(n^,1).

PROBLEM 3

a) Prove that 10201 is composite in any base greater than 2.

b) Prove that 10101 is composite in any base.

PROBLEM 4

Describe a construction of a quadrilateralABCD^given:

(i) the lengths of all four sides;

(ii) thatAB^andCD are parallel;

(iii) thatBC ^andDAdo not intersect.

PROBLEM 5

Prove that the equationx³+11³=y³has no solution in positive integersxandy.

PROBLEM 6

Letaandbbe distinct real numbers. Prove that there exist integersmandnsuch thatam⁺bn <^0,bm⁺an >^0.

PROBLEM 7

a) Prove that the values ofxfor which x= (x²+ 1)=198 lie between 1=198 and 197:99494949.

b) Use the result of a) to prove that^p2<1:41421356.

c) Is it true that^p2<1:41421356?

PROBLEM 8

During a certain election campaign,pdierent kinds of promises are made by the various political parties (p >0). While several parties may make the same promise, any two parties have at least one promise in common; no two parties have exactly the same set of promises. Prove that there are no more than 2^p,1 parties.

{13{

PAGE 14 1972

PROBLEM 9

Four distinct linesL¹,L²,L³,L⁴are given in the plane: L¹andL²are respectively parallel to L³ and L⁴. Find the locus of a point moving so that the sum of its perpendicular distances from the four lines is constant.

PROBLEM 10

What is the maximum number of terms in a geometric progression with common ratio greater than 1 whose entries all come from the set of integers between 100 and 1000 inclusive?

Olympiade mathematique du Canada 1972

PROBL

EME 1

Etant donnes trois cercles de rayon unite, chacun tangent aux deux autres, trouver le rayon des cercles tangents aux trois cercles donnes.

PROBL

EME 2

Soienta¹;a²;::: ;an des nombres reels non-negatifs. PosonsM la somme de tous les produits des couplesaiaj (i < j),c.-a-d.,

M=a¹(a²+a³++an) +a²(a³+a⁴++an) ++an^,1an: Montrer que le carre d'au moins un des nombres a¹;a²;::: ;an ne depasse pas 2M=n(n^,1).

PROBL

EME 3

a) Montrer que 10201 est un nombre compose pour toute base plus grande que 2.

b) Montrer que 10101 est un nombre compose pour toute base.

PROBL

EME 4

Decrire la construction d'un quadrilatereABCDetant donnes:

(i) les longueurs des quatre c^otes;

(ii) queAB etCDsoient paralleles;

(iii) queBC etDAne se coupent pas.

PROBL

EME 5

Montrer qu'il n'existe pas d'entiers x^ety qui soient solutions de l'equation x³⁺ 11³=y³.

PROBL

EME 6

Soientaetbdes nombres reels distincts. Montrer qu'il existe des nombres entiers m ^etn^{tels que}am⁺bn <^0,bm⁺an >^0.

PROBL

EME 7

a) Montrer que les valeurs dexpour lesquellesx= (x²+ 1)=198 se situent entre 1=198 et 197:99494949.

b) Utiliser le resultat de a) pour montrer que^p2<1:41421356.

c) Est-il vrai que ^p2<1:41421356?

PROBL

EME 8

Durant une certaine campagne electorale,pdierentes sortes de promesses ont ete faites par les divers partis concernes (p >0). Bien que plusieurs partis puissent faire la m^eme promesse, deux partis quelconques ont au moins une promesse en commun;

de plus, deux partis distincts dierent par au moins une promesse. Montrer que la campagne comporte au plus 2^p,1 partis.

{15{

PAGE 16 1972

PROBL

EME 9

Quatre droites distinctes L¹, L², L³, L⁴ sont donnees dans le plan. L¹ et L² sont respectivement paralleles aL³ etL⁴. Trouver le lieu geometrique du point se deplacant de telle sorte que la somme de ses distances perpendiculaires aux quatres droites soit constante.

PROBL

EME 10

Quel est le nombre maximum de termes d'une progression geometrique ayant un rapport commun plus grand que 1 et de plus qui soit composes des chires entre 100 et 1000 inclusivement?

Canadian Mathematical Olympiad 1973

PROBLEM 1

(i) Solve the simultaneous inequalities, x < ⁴¹_x and x < 0; i.e., nd a single inequality equivalent to the two given simultaneous inequalities.

(ii) What is the greatest integer which satises both inequalities 4x+ 13<0 and x²+ 3x >16?

(iii) Give a rational number between 11=^{24 and 6}=^13.

(iv) Express 100000 as a product of two integers neither of which is an integral multiple of 10.

(v) Without the use of logarithm tables evaluate log1²36 + 1

log³36:

PROBLEM 2

Find all the real numbers which satisfy the equation^jx^+3j,jx^,1j=x^{+1. (Note:}

ja^j=aifa0;^ja^j=^,aifa <0.)

PROBLEM 3

Prove that ifpandp+ 2 are both prime integers greater than 3, then 6 is a factor of p+ 1.

PROBLEM 4

The gure shows a (convex) polygon with nine ver- tices. The six diagonals which have been drawn dissect the polygon into the seven triangles:

P⁰P¹P³, P⁰P³P⁶, P⁰P⁶P⁷, P⁰P⁷P⁸, P¹P²P³, P³P⁴P⁶, P⁴P⁵P⁶. In how many ways can these triangles be labelled with the names⁴¹,⁴²,⁴³,

4

4,⁴⁵,⁴⁶,⁴⁷so thatPiis a vertex of triangle

4i fori= 1;2;3;4;5;6;7? Justify your answer.

P⁰ P¹ P²

P³ P⁴ P⁵ P⁶ P⁷ P⁸

PROBLEM 5

For every positive integern^{, let}

h(n) = 1 + 12 + 1

3 ++ 1n:

For example,h^{(1) = 1,}h^{(2) = 1+12,}h^{(3) = 1+12+13}. Prove that forn^{= 2};³;⁴;:::

n+h(1) +h(2) +h(3) ++h(n^,1) =nh(n): {17{

PAGE 18 1973

PROBLEM 6

If A and B are xed points on a given circle not collinear with centreO of the circle, and ifXY is a variable diameter, nd the locus ofP (the intersection of the line throughAand X and the line throughB and Y).

PROBLEM 7 Observe that

11 = 1 2 +1

2; 1 2 =1

3 + 1 6; 1

3 = 1 4 + 1

12; 1 4 = 1

5 + 1 20: State a general law suggested by these examples, and prove it.

Prove that for any integerngreater than 1 there exist positive integersiandjsuch

that 1

n ^{= 1}i(i+ 1) + 1

(i+ 1)(i+ 2) + 1

(i+ 2)(i+ 3) ++ 1j(j+ 1):

Olympiade mathematique du Canada 1973

PROBL

EME 1

(i) Resoudre les inegalites simultanees,x < ⁴¹_x etx <0;c.-a-d., trouver une seule inegalite equivalente aux deux donnees.

(ii) Quel est le plus grand nombreentier qui satisfasse les deux inegalites 4x+13<0 etx^{2+ 3}x >^16?

(iii) Trouver un nombre rationel compris entre 11=24 et 6=13.

(iv) Exprimer 100000 comme un produit de deux entiers dont ni l'un ni l'autre ne soit un multiple de 10.

(v) Sans l'aide de tables logarithmiques, evaluer log1²36 + 1

log³36:

PROBL

EME 2

Trouver tous les nombres reels qui satisfont l'equation ^jx+ 3^j,jx^,1^j = x+ 1.

(Remarque: ^ja^j=asi a0;^ja^j=^,asia <0.)

PROBL

EME 3

Montrer que sipetp+2 sont tous deux des nombres premiers superieurs a 3, alors 6 est un facteur de p+ 1.

PROBL

EME 4

Le dessin ci-contre nous montre un polygone (convexe) muni de neuf sommets. Les six diagonales qui ont ete tracees decoupent notre polygone en sept triangles: P⁰P¹P³,P⁰P³P⁶,P⁰P⁶P⁷,P⁰P⁷P⁸, P¹P²P³, P³P⁴P⁶, P⁴P⁵P⁶. Combie n puisse-t'on trouver de facons de designer ces triangles sous les noms de ⁴¹, ⁴², ⁴³, ⁴⁴, ⁴⁵,

4

6,⁴⁷de sorte quePisoit un sommet du triangle

4ipour chaquei= 1;2;3;4;5;6;7? Justier votre reponse.

P⁰ P¹ P²

P³ P⁴ P⁵ P⁶ P⁷ P⁸

PROBL

EME 5

Pour chaque nombre entier positifn^{, soit} h(n) = 1 + 12 + 1

3 ++ 1n:

Par example, h(1) = 1, h(2) = 1 + ¹², h(3) = 1 + ¹² + ¹³. Montrer que pour n= 2;3;4;:::

n+h(1) +h(2) +h(3) ++h(n^,1) =nh(n): {19{

PAGE 20 1973

PROBL

EME 6

Si Aet B sont des points xes sur un cercle donne non colineaires avec le centre O du cercle, et si de plusXY est un diametre variable, trouver le lieu geometrique des pointsP (l'intersection de la droite parA etX et la droite parB etY).

PROBL

EME 7 Observer que

11 = 1 2 +1

2; 1 2 =1

3 + 1 6; 1

3 = 1 4 + 1

12; 1 4 = 1

5 + 1 20:

Enoncer maintenant une regle generale suggeree par ces examples, et demontrer-la.

Montrer que pour chaque nombre entiernsuperieur a 1 il existe d'autres entiersi etj de telle sorte que

n1 ^{= 1}i(i+ 1) + 1

(i+ 1)(i+ 2) + 1

(i+ 2)(i+ 3) ++ 1j(j+ 1):

Canadian Mathematical Olympiad 1974

PART A

PROBLEM 1

i) Ifx= (1 +_n¹)ⁿ andy= (1 +_n¹)ⁿ⁺¹, show thaty^x=x^y. ii) Show that, for all positive integersn,

1^2,2²+ 3^2,4²++ (^,1)ⁿ(n^,1)²+ (^,1)ⁿ⁺¹n²= (^,1)ⁿ⁺¹(1 + 2 ++n):

PROBLEM 2

Let ABCDbe a rectangle withBC = 3AB. Show that if P, Qare the points on sideBC withBP =PQ=QC, then

6 DBC+⁶ DPC=⁶ DQC:

PART B

PROBLEM 3

Let f(x) =a⁰+a¹x+a²x²++anxⁿ be a polynomial with coecients satisfying the conditions:

0aia⁰; i= 1;2;::: ;n:

Letb⁰;b¹;::: ;b²n be the coecients of the polynomial

,f(x)²= (a⁰+a¹x+a²x²++anxⁿ)²

=b⁰+b¹x+b²x²++bn⁺¹xⁿ⁺¹++b²nx²ⁿ: Prove that

bn⁺¹1 2

,f(1)²:

PROBLEM 4

Letnbe a xed positive integer. To any choice ofnreal numbers satisfying 0xi1; i^{= 1};²;::: ;n;

{21{

PAGE 22 1974

there corresponds the sum () X

1i<jn

jxi^,xj^j

=^jx^1,x^2j+^jx^1,x^3j+^jx^1,x^4j++^jx^1,xn^,1j+^jx^1,xn^j

+^jx^2,x^3j+^jx^2,x^4j++^jx^2,xn^,1j+^jx^2,xn^j

+^jx^3,x^4j++^jx^3,xn^,1j+^jx^3,xn^j

++^jxn^,2,xn^,1j+^jxn^,2,xn^j

+^jxn^,1,xn^j:

LetS(n) denote the largest possible value of the sum (). FindS(n).

PROBLEM 5

Given a circle with diameter AB and a point X on the circle dierent fromAandB, letta,tband tx be the tangents to the circle at A, B and X respectively. Let Z be the point where line AX meets tb and Y the point where line BX meets ta. Show that the three linesY Z, tx andABare either concurrent (i.e., all pass through the same point) or parallel.

t_a t_b

t_x

X Z

A B Y

PROBLEM 6

An unlimited supply of 8-cent and 15-cent stamps is available. Some amounts of postage cannot be made up exactly, e.g., 7 cents, 29 cents. What is the largest unattainable amount, i.e., the amount, say n, of postage which is unattainable while all amounts larger thannare attainable? (Justify your answer.)

PROBLEM 7

Terminus P

x Q

A bus route consists of a circular road of circum- ference 10 miles and a straight road of length 1 mile which runs from a terminus to the point Q on the circular road (see diagram). It is served by two buses, each of which requires 20 minutes for the round trip. Bus No. 1, upon leaving the termi- nus, travels along the straight road, once around the circle clockwise and returns along the straight road to the terminus. Bus No. 2, reaching the terminus 10 minutes after Bus No. 1, has a simi- lar route except that it proceeds counterclockwise around the circle. Both buses run continuously

and do not wait at any point on the route except for a negligible amount of time to pick up and discharge passengers.

A man plans to wait at a pointP which isxmiles (0x <12) from the terminus along the route of Bus No. 1 and travel to the terminus on one of the buses.

CANADIAN MATHEMATICAL OLYMPIAD PAGE 23

Assuming that he chooses to board that bus which will bring him to his destination at the earliest moment, there is a maximum timew(x) that his journey (waiting plus travel time) could take.

Findw(2); ndw(4).

For what value ofxwill the timew(x) be the longest?

Sketch a graph ofy=w(x) for 0x <12.

Olympiade mathematique du Canada 1974

PARTIE A

PROBL

EME 1

i) Six= (1 + ¹_n)ⁿ ety= (1 +_n¹)ⁿ⁺¹, montrer quey^x=x^y. ii) Montrer que, pour tout entier positifn^,

1^2,2²+ 3^2,4²++ (^,1)ⁿ(n^,1)²+ (^,1)ⁿ⁺¹n²= (^,1)ⁿ⁺¹(1 + 2 ++n):

PROBL

EME 2

SoitABCDun rectangle dontBC= 3AB. Montrer que siP,Qsont les points sur le c^oteBC pour lesquelsBP =PQ=QC, alors

6 DBC⁺⁶ DPC⁼⁶ DQC:

PARTIE B

PROBL

EME 3

Soit f⁽x^{) =}a⁰⁺a¹x⁺a²x²⁺⁺anxⁿ un polyn^ome dont les coecients satisfont les conditions:

0aia⁰; i= 1;2;::: ;n:

Posonsb⁰;b¹;::: ;b²n les coecients du polyn^ome

,f⁽x^{)2= (}a⁰⁺a¹x⁺a²x²⁺⁺anxⁿ⁾²

=b⁰+b¹x+b²x²++bn⁺¹xⁿ⁺¹++b²nx²ⁿ: Montrer que

bn⁺¹1 2

,f⁽¹⁾²:

PROBL

EME 4

Soitnun nombre entier quelconque. A tout choix dennombres reels satisfaisant 0xi1; i^{= 1};²;::: ;n;

{24{

OLYMPIADE MATHEMATIQUE DU CANADA PAGE 25

on fait correspondre la somme () X

1i<jn

jxi^,xj^j

=^jx^1,x^2j+^jx^1,x^3j+^jx^1,x^4j++^jx^1,xn^,1j+^jx^1,xn^j

+^jx^2,x^3j+^jx^2,x^4j++^jx^2,xn^,1j+^jx^2,xn^j

+^jx^3,x^4j++^jx^3,xn^,1j+^jx^3,xn^j

++^jxn^,2,xn^,1j+^jxn^,2,xn^j

+^jxn^,1,xn^j:

PosonsS(n) la plus grande des valeurs de la somme (). TrouverS(n).

PROBL

EME 5

Etant donne un cercle de diametreABet un point X sur le cercle mais dierent deA^etB, on denote parta,tb ettxles tangentes au cercle enA, B et X respectivement. Soit de plus Z le point ou la droiteAX rencontretb etY le point ou la droite BX rencontre ta. Montrer que les trois droites Y Z,tx etAB sont ou bien concourantes (c.-a-d., elles passent toutes par le m^eme point) ou sont alors paralleles.

t_a t_b

t_x

X Z

A B Y

PROBL

EME 6

Un inventaire sans limite de timbres de 8 et 15 sous nous est disponible. Certaines valeurs de timbres ne peuvent pas ^etre exactement obtenues,p.ex., 7 sous, 29 sous.

Quelle est la plus grande valeur qui ne puisse ^etre obtenue, c.-a-d., la valeur de timbre, disons n, qui n'est pas obtenable mais dont toutes les valeures superieures ansoient par contre obtenable? (Justier votre reponse.)

PROBL

EME 7

Terminus P

x Q

Une ligne d'autobus consiste en une route circu- laire de circonference 10 milles et une route droite de longueur 1 mille qui provient du terminus jusqu'au point Q sur la route circulaire (voir le diagramme). Deux autobussont sur la m^emeligne, chacune necessitant 20 minutes pour faire le trajet aller retour. En partant du terminus, l'autobus no. 1 parcoure la route droite, puis contourne le cercle une fois dans le sens des aiguilles d'une mon- tre et nalement reprend la route droite jusqu'au terminus. L'autobus no. 2 parcoureun trajet semblable mais contourne le cercle dans le sens

contraire des aiguilles d'une montre et rejoint le terminus 10 minutes apres l'autobus

PAGE 26 1974

no. 1. Les deux autobus parcourent de plus leur trajet sans interruption sinon pour un temps negligeable lors de l'embarquement et debarquement des passagers.

Un individu qui se situe au pointP^ax^{milles (0}x <12) du terminus par la route de l'autobus no. 1 se propose de se rendre au terminus par l'une des autobus. Si on suppose bien s^ur que cet individu choisira l'autobus qui l'apportera au terminus dans le temps le plus court, il y a necessairement un temps maximumw(x) que ce voyage (le temps d'attente en plus du trajet) prendra.

Trouver w(2); trouverw(4).

Pour quelle valeur dexce tempsw(x) sera-t-il le plus long?

Tracer le graphe dey=w(x) pour 0x <12.

Canadian Mathematical Olympiad 1975

PROBLEM 1 Simplify

124 + 248 ++n2n4n 139 + 2618 ++n3n9n

1=³:

PROBLEM 2

A sequence of numbersa¹;a²;a³;::: satises (i) a^{1= 12,}

(ii) a¹+a²++an=n²an (n1).

Determine the value ofan (n1).

PROBLEM 3

For each real numberr, [r] denotes the largest integer less than or equal tor,e.g., [6] = 6, [] = 3, [^,1:5] =^,2. Indicate on the (x;y)-plane the set of all points (x;y) for which [x]²+ [y]²= 4.

PROBLEM 4

For a positive number such as 3.27, 3 is referred to as the integral part of the number and .27 as the decimal part. Find a positive number such that its decimal part, its integral part, and the number itself form a geometric progression.

PROBLEM 5

A,B,C, D are four \consecutive" points on the circumference of a circle and P, Q, R, S are points on the circumference which are respectively the midpoints of the arcsAB,BC,CD,DA. Prove that PRis perpendicular toQS.

PROBLEM 6

(i) 15 chairs are equally placed around a circular table on which are name cards for 15 guests. The guests fail to notice these cards until after they have sat down, and it turns out that no one is sitting in the correct seat. Prove that the table can be rotated so that at least two of the guests are simultaneously correctly seated.

(ii) Give an example of an arrangement in which just one of the 15 guests is correctly seated and for which no rotation correctly places more than one person.

PROBLEM 7

A functionf(x) isperiodic if there is a positive numberpsuch thatf(x+p) =f(x) for all x. For example, sinx is periodic with period 2. Is the function sin(x²) periodic? Prove your assertion.

{27{

PAGE 28 1975

PROBLEM 8

Letk be a positive integer. Find all polynomials P(x) =a⁰+a¹x++anxⁿ; where theai are real, which satisfy the equation

P^,P⁽x^)=fP⁽x^)gk:

Olympiade mathematique du Canada 1975

PROBL

EME 1

Simplier l'expression suivante:

124 + 248 ++n²n⁴n 139 + 2618 ++n3n9n

1=³:

PROBL

EME 2

Une suite de nombresa¹;a²;a³;::: satisfait (i) a^{1= 12,}

(ii) a¹+a²++an=n²an (n1).

Determiner les valeurs desan (n^1).

PROBL

EME 3

Pour chaque nombre reelron denote par [r] le plus grand entier plus petit ou egal ar,p.ex., [6] = 6, [] = 3, [^,1:5] =^,2. Indiquer sur le plan (x;y) l'ensemble des points (x;y) pour lesquels [x]²+ [y]²= 4.

PROBL

EME 4

Pour un nombre positif tel que 3.27, le nombre 3 est appele sa partie entiere. et .27 sa partie decimale. Trouver un nombre positif tel que sa partie decimale, sa partie entiere et le nombre lui-m^eme forment une progression geometrique.

PROBL

EME 5

A^,B^,C^,Detant quatre points \consecutifs" sur la circonference d'un cercle etP^, Q^,R^,S etant respectivement les points milieux des arcsAB^,BC^,CD^,DA^{sur la} circonference du cercle, montrer quePRest perpendiculaire aQS.

PROBL

EME 6

(i) 15 chaises sont placees autours d'une table ronde sur laquelle on a pose des cartes pour 15 invites. Ces h^otes n'ont pourtant pas remarques les cartes avant qu'ils soient tous assis, et malheureusement aucun ne se trouve assis au bon endroit. Montrer pourtant qu'il est possible de tourner la table an qu'au moins deux des invites soient simultanement assis au bon endroit.

(ii) Donner un arrangement autour de la table pour lequel un des 15 invites soit correctement assis mais dont aucune rotation ne produise plus d'une des personnes assises au bon endroit.

PROBL

EME 7

Une fonctionf(x) est diteperiodiques'il existe un nombre positifptel quef(x+p) = f(x) pour tout x. Par example, sinx est periodique de periode 2. La fonction sin(x²) est-elle pourtant periodique? Demontrer votre enonce.

{29{

PAGE 30 1975

PROBL

EME 8

Soitkun nombre entier positif. Trouver tous les polyn^omes P(x) =a⁰+a¹x++anxⁿ; dont les coecientsai sont reels, et qui satisfassent l'equation

P^,P⁽x^)=fP⁽x^)gk:

Canadian Mathematical Olympiad 1976

PROBLEM 1

Given four weights in geometric progression and an equal arm balance, show how to nd the heaviest weight using the balance only twice.

PROBLEM 2 Suppose

n(n+ 1)an⁺¹=n(n^,1)an^,(n^,2)an^,1

for every positive integern1.

Given thata^{0= 1,}a^{1= 2, nd} a⁰ a^{1 +}a¹

a^{2 +}a²

a^{3 ++}a⁵⁰ a⁵¹:

PROBLEM 3

Two grade seven students were allowed to enter a chess tournament otherwise com- posed of grade eight students. Each contestant played once with each other con- testant and received one point for a win, one half point for a tie and zero for a loss. The two grade seven students together gained a total of eight points and each grade eight student scored the same number of points as his classmates. How many students from grade eight participated in the chess tournament? Is the solution unique?

PROBLEM 4

Let AB be a diameter of a circle,C be any xed point betweenA andB on this diameter, andQ be a variable point on the circumference of the circle. LetP be the point on the line determined by Q^and C^{for which AC}_CB ^{= QC}_CP. Describe, with proof, the locus of the pointP^.

PROBLEM 5

Prove that a positive integer is a sum of at least two consecutive positive integers if and only if it is not a power of two.

PROBLEM 6

If A,B,C,D are four points in space, such that

6 ABC=⁶ BCD=⁶ CDA=⁶ DAB==2; prove thatA,B,C,Dlie in a plane.

{31{

PAGE 32 1976

PROBLEM 7

Let P(x;y) be a polynomial in two variablesx, y such thatP(x;y) = P(y;x) for everyx,y(for example, the polynomialx^2,2xy+y²satises this condition). Given that (x^,y) is a factor of P(x;y), show that (x^,y)²is a factor of P(x;y).

PROBLEM 8

Each of the 36 line segments joining 9 distinct points on a circle is coloured either red or blue. Suppose that each triangle determined by 3 of the 9 points contains at least one red side. Prove that there are four points such that the 6 segments connecting them are all red.

Olympiade mathematique du Canada 1976

PROBL

EME 1

Etant donnes quatre poids formant une progression geometrique et une balance a bras egaux, montrer comment trouver le poids le plus lourd en se servant de la balance deux fois au plus.

PROBL

EME 2 Supposons que

n(n+ 1)an⁺¹=n(n^,1)an^,(n^,2)an^,1

pour tout nombre entier positif n^1.

Si de plus a⁰= 1,a¹= 2, trouver a⁰ a^{1 +}a¹

a^{2 +}a²

a^{3 ++}a⁵⁰ a⁵¹:

PROBL

EME 3

Deux etudiants de 7annee ont obtenus l'autorisation de prendre part a un tournoi d'echecs reserve habituellement aux etudiants de 8 annee. Chaque participant joue une fois contre chaque autre joueur et recoit un point pour une victoire, un demi point pour une partie nulle et aucun point pour une perte. Les deux joueurs de 7 annee ont amassees ensemble un total de huit points et tous les joueurs de 8 annee ont remportes le m^eme nombre de points. Combien alors y avait-il de joueurs de 8 annee presents au tournoi? Est-ce une solution unique?

PROBL

EME 4

Soit AB le diametre d'un cercle, C un point quelconque entre A et B sur ce diametre, etQun point variable sur la circonference du cercle. Soit maintenantP le point sur la droite determinee par QetC pour lequel ^AC_CB = ^QC_CP. Decrire, avec demonstration, le lieu geometrique du point P.

PROBL

EME 5

Montrer qu'un nombre entier positif est la somme d'au moins deux entiers positifs successifs si et seulement s'il n'est pas une puissance de deux.

PROBL

EME 6

Si A,B, C,D sont quatre points dans l'espace, tels que

6 ABC=⁶ BCD=⁶ CDA=⁶ DAB==2; montrer queA,B,C,Dse situent tous dans un m^eme plan.

{33{

PAGE 34 1976

PROBL

EME 7

SoitP(x;y) un polyn^ome a deux variablesx,ytel queP(x;y) =P(y;x) pour tout x,y (par example, le polyn^omex^2,2xy+y²satisfait ces hypotheses). Etant donne de plus que (x^,y) soit un facteur deP(x;y), montrer que (x^,y)² est egalement un facteur deP(x;y).

PROBL

EME 8

Chacun des 36 segments de droite joignant 9 points distincts d'un cercle donne est colore rouge ou bleu. Supposons maintenant que tout triangle forme de trois des 9 points donnes contient au moins un c^ote de couleur rouge. Montrer alors qu'il existe quatre points dont les 6 segments les rejoignant un a l'autre soient tous rouges.

Canadian Mathematical Olympiad 1977

PROBLEM 1

Iff(x) =x²+x, prove that the equation 4f(a) =f(b) has no solutions in positive integersaandb.

PROBLEM 2

LetO be the centre of a circle andAa xed inte- rior point of the circle dierent fromO. Determine all pointsPon the circumferenceof the circle such that the angleOPAis a maximum.

O A P

PROBLEM 3

N is an integer whose representation in baseb is 777. Find the smallest positive integerbfor whichN is the fourth power of an integer.

PROBLEM 4 Let

p(x) =anxⁿ+an^,1x^n,1++a¹x+a⁰ and

q(x) =bmx^m+bm^,1x^m,1++b¹x+b⁰

be two polynomials with integer coecients. Suppose that all the coecients of the productp(x)q(x) are even but not all of them are divisible by 4. Show that one of p(x) and q(x) has all even coecients and the other has at least one odd coecient.

PROBLEM 5

A right circular cone of base radius 1 cm and slant height 3 cm is given. P is a point on the circumference of the base and the shortest path from P around the cone and back toP is drawn (see diagram). What is the minimum distance from{35{