Grenzwerte

(1)

Carlo Vöst, Olivia, Spanien Illustrationen von C. Vöst

Interessant ist das Verhalten von Funktionen in Bereichen, welche nicht unmittelbar zu- gänglich sind, z. B. im Unendlichen oder in der Umgebung von Definitionslücken. Dieser Beitrag stellt den theoretischen Hintergrund vor, vertieft das Wissen der Lernenden anhand von Aufgaben und bietet Ihnen die Möglichkeit, Ihre Schüler und Schülerinnen mit einer Klassenarbeit zu testen.

© Robert Brook/The Image Bank/ Getty Images Plus

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(2)

Das Werk, einschließlich seiner Teile, ist urheberrechtlich geschützt. Es ist gemäß § 60b UrhG hergestellt und ausschließlich zur Veranschaulichung des Unterrichts und der Lehre an Bildungseinrichtungen bestimmt. Die Dr.

Josef Raabe Verlags-GmbH erteilt Ihnen für das Werk das einfache, nicht übertragbare Recht zur Nutzung für den persönlichen Gebrauch gemäß vorgenannter Zweckbestimmung. Unter Einhaltung der Nutzungsbedingun- gen sind Sie berechtigt, das Werk zum persönlichen Gebrauch gemäß vorgenannter Zweckbestimmung in Klas- sensatzstärke zu vervielfältigen. Jede darüber hinausgehende Verwertung ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Hinweis zu §§ 60a, 60b UrhG: Das Werk oder Teile hiervon dürfen nicht ohne eine solche Einwilligung an Schulen oder in Unterrichts- und Lehrmedien (§ 60b Abs. 3 UrhG) vervielfältigt, insbesondere kopiert oder eingescannt, verbreitet oder in ein Netzwerk eingestellt oder sonst öffentlich zugänglich gemacht oder wiedergegeben werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Die Aufführung abgedruckter musikalischer Werke ist ggf. GEMA-meldepflichtig.

Für jedes Material wurden Fremdrechte recherchiert und ggf. angefragt.

Dr. Josef Raabe Verlags-GmbH Ein Unternehmen der Klett Gruppe Rotebühlstraße 77

70178 Stuttgart

Telefon +49 711 62900-0 Fax +49 711 62900-60 meinRAABE@raabe.de www.raabe.de

Redaktion: Anna-Greta Wittnebel

Satz: Röser Media GmbH & Co. KG, Karlsruhe

Bildnachweis Titel: © Robert Brook/The Image Bank/ Getty Images Plus Illustrationen: Carlo Vöst, Olivia, Spanien

Lektorat: Mona Hitzenauer, Regensburg Korrektorat: Daniela Link, Mönchengladbach

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(3)

Oberstufe (grundlegend, weiterführend)

Carlo Vöst, Oliva, Spanien Illustrationen von C. Vöst

Hinweise 1

M 1 Grenzwerte für x→ ±∞ 2

M 2 Divergenz 6

M 3 Grenzwertsätze 8

M 4 Grenzwerte für x→x₀ 11

M 5 Die Regeln von de L’Hospital 14

M 6 Aufgaben 16

M 7 Klassenarbeit 18

Lösungen 19

Die Schüler lernen:

verschiedene Grenzwertbetrachtungen und Verfahren zur Berechnung in der Theorie und Praxis anhand zahlreicher Beispiele und Aufgaben kennen.

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(4)

Überblick:

Legende der Abkürzungen:

Ab = Arbeitsblatt LEK = Lernerfolgskontrolle TA = Tafelanschrift

Thema Material Methode

Grenzwerte für M 1 Ab

Divergenz M 2 Ab

Grenzwertsätze M 3 Ab, TA

Grenzwerte für M 4 Ab

Die Regeln von de L’Hospital M 5 Ab, TA

Aufgaben M 6 Ab

Klassenarbeit M 7 LEK

Erklärung zu Differenzierungssymbolen

einfaches Niveau mittleres Niveau schwieriges Niveau Dieses Symbol markiert Zusatzaufgaben.

Kompetenzprofil:

Inhalt: Grenzwertbegriff, Grenzwerte x→ ±∞, Grenzwerte x→x₀, Konvergenz, bestimmte und unbestimmte Divergenz, Grenzwertsätze, Regeln von de L’Hospital

Medien: GTR/CAS

Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathe- matik umgehen (K5)

x→ ±∞

x→x0

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(5)

RAABE UNTERRICHTS-MATERIALIEN Analysis Sek. II

Hinweise zum Beitrag Grenzwerte

Niveau:

Die Materialien M 1, M 2 und M 4 haben grundlegendes und M 3 sowie M 5 ein erhöhtes Niveau. Die Aufgaben in M 6 sind gemischt, wobei insbesondere die Aufgaben 1 – 5 sowohl ein erhöhtes Niveau aufweisen als auch innerhalb der Niveaustufe besonders herausfordernd sind. Die Aufgaben 6 – 12 sind von grundlegendem Niveau und eignen sich auch für leistungsschwächere Jugendliche.

Hinweise zu den Materialien:

Die Materialien M 1, M 2 und M 4 bieten sich als Einstieg oder als Wiederholung des Themas Grenzwerte an. Sie sind auch für das Selbststudium geeignet. Beim Material M 3 werden die Grenzwertsätze aufgezeigt und bewiesen. Die Beweise dienen in erster Linie als Tafelanschrift, Sie sollten sie nach Möglichkeit mit Ihrer Klasse eingehend besprechen.

Auch die Regeln und Beweise von de L’Hospital in M 5 erarbeiten Sie am besten gemein- sam mit den Lernenden.

Differenzierungsmöglichkeiten:

Falls die Regeln von de L’Hospital (M 5) nicht in Ihrem Lehrplan vorkommen, können Sie sie trotzdem besonders interessierten und leistungsstarken Schüle- rinnen und Schülern¹ zum Eigenstudium aushändigen, damit diese gefordert werden. Bei den Aufgaben in M 6 haben Sie die Möglichkeit der Differenzierung. Orientieren Sie sich dabei an den entsprechenden Icons (vgl. Überblick).

Niveau der einzelnen Aufgaben von M 6

Aufg.-Nr. 1 2 3 4 5 6

Niveau

Aufg.-Nr. 7 8 9 10 11

Niveau

1 Aus Gründen der besseren Lesbarkeit wird im weiteren Verlauf nur noch „Schüler“ verwendet.

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(6)

M 1 Grenzwerte für x → ±∞

Anmerkung: Die Schreibweise x→ ±∞ bedeutet, dass man das Verhalten der Funk- tionswerte ^{f x}

( )

^{für x}→ +∞ und auch für x→ −∞ betrachtet, also für immer größer werdende positive und negative Werte von x.

Wir verschaffen uns zunächst anhand eines Funktionsbeispiels mit einer Wertetabelle einen Überblick für x-Werte von –1 000 000 bis +1 000 000 über das Verhalten der Funktionswerte.

Beispiel:

( )

f ,max

{ }

f x 2x 5; D \ 3

x 3

= + = −

+



^.

x f(x) x f(x) x f(x)

–1 000 000 2,0000 –3,4 4,5000 2 1,8000

–100 000 2,0000 –3,3 5,3333 3 1,8333

–10 000 2,0001 –3,2 7,0000 5 1,8750

–5000 2,0002 –3,1 12,0000 6 1,8889

–2000 2,0005 –3,01 102,0000 7 1,9000

–1000 2,0010 –3,001 1002,0000 10 1,9231

–500 2,0020 –2,999 –998,0000 20 1,9565

–200 2,0051 –2,99 –98,0000 30 1,9697

–100 2,0103 –2,9 –8,0000 40 1,9767

–50 2,0213 –2,8 –3,0000 50 1,9811

–40 2,0270 –2,7 –1,3333 100 1,9903

–30 2,0370 –2,6 –0,5000 200 1,9951

–20 2,0588 –2,5 0,0000 300 1,9967

–10 2,1429 –2 1,0000 400 1,9975

–9 2,1667 –1,5 1,3333 500 1,9980

–8 2,2000 –1 1,5000 1000 1,9990

–7 2,2500 –0,5 1,6000 2000 1,9995

–6 2,3333 0 1,6667 5000 1,9998

–5 2,5000 0,5 1,7143 10 000 1,9999

–4 3,0000 1 1,7500 100 000 2,0000

–3,5 4,0000 1,5 1,7778 1 000 000 2,0000

ⅅ

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(7)

Abb. 1, Grafik: Carlo Vöst

Wenn wir die Wertetabelle oder auch den Verlauf des Graphen betrachten, vermuten wir Folgendes:

Wenn x immer größer und größer wird, d. h.: x→ +∞, dann gehen die Funktionswerte

( )

f x gegen 2 (von unten), d. h.: ^{f x}

( )

^→²⁻⁰; Symbolik:

( )

xlim f x 2 0

→∞ = − .

Wenn x immer kleiner und kleiner wird, d. h.: x→ −∞, dann gehen die Funktionswerte

( )

f x gegen 2 (von oben), d. h.: ^{f x}

( )

^→²⁺⁰; Symbolik: _x^{lim f x}_→−∞

( )

⁼²⁺⁰^.

Wenn x immer mehr gegen –3 von rechts geht, d. h.: x→ − +3 0, dann werden die Funk- tionswerte ^{f x}

( )

immer kleiner und kleiner, d. h.: ^{f x}

( )

→ −∞; Symbolik: _x_{→− +}^{lim f x}_{3 0}

( )

^{= −∞}^.

Wenn x immer mehr gegen –3 von links geht, d. h.: x→ − −3 0, dann werden die Funk- tionswerte ^{f x}

( )

immer größer und größer, d. h.: ^{f x}

( )

→ +∞; Symbolik: _x_{→− +}^{lim f x}_{3 0}

( )

^{= +∞.}

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(8)

Wenn wir uns zuerst dem ersten Teil der Vermutung widmen (also: _x^{lim f x}_→∞

( )

⁼²⁻⁰^),

dann ist dies gleichbedeutend mit folgender graphischen Vorstellung:

Gf verläuft ab einer ,,bestimmten Stelle“ x₀ vollständig innerhalb eines Streifens mit einer gewissen Breite b um die Gerade mit der Gleichung y 2= und kommt nie mehr heraus!

Dass dies in vorliegendem Beispiel der Fall ist, lässt sich algebraisch folgendermaßen zeigen:

Wir betrachten die betragsmäßige Abweichung des Funktionswertes an einer Stelle x₀ von 2 (entspricht graphisch dem Abstand zur Streifenmitte):

( )

^{2x 5} ^{2x 5 2x 6} ¹ ¹

f x 2 2

x 3 x 3 x 3 x 3

+ + − − −

− = − = = =

+ + + +

Da x sehr groß ist, ist 1 x 3 0

− <

+ .

Die betragsmäßige Abweichung der Funktionswerte vom Wert 2 wird also für zunehmende x0-Werte immer kleiner, da 1

x 3→0

+ . Bzw.

x

lim 1 0

x 3

→∞

  =

 + 

  .

Man könnte jetzt z. B. folgende Frage stellen: Ab welchem x-Wert für x> −3 ist die be- tragsmäßige Abweichung der Funktionswerte vom Wert y 2= kleiner als 0,1?

( )

x 3

f x 2 1 0,1

x 3

1 0,1x 0,3 0,1x 0,7 x 7

>−

− = <

+

⇒ < + ⇔ > ⇔ >

Antwort: für alle x 7> .

Es lässt sich nun zeigen, dass die betrachtete betragsmäßige Abweichung der Funktions- werte vom Wert 2 kleiner wird als jede noch so kleine vorgegebene positive Zahl ε (und dann auch nie mehr größer wird!), wenn man x nur entsprechend groß wählt:

sei ε >0 beliebig:

( )

¹ ^x ³ ^{1 3}

f x 2 1 x 3 x 1 3 x : S

x 3

>−

ε

− < ε ⇔ < ε ⇒ < ε + ε ⇔ ε > − ε ⇔ > − ε =

+ ε

Dies zeigt: ∀ε > ∃ ∈ ∀ >^{0 S}ε R ^{x S : f x}ε

( )

− < ε²

In Worten: „Für alle

( )

^∀ Epsilon größer Null

(

^{ε >}⁰

)

gilt, dass eine Schranke S_ε existiert

( )

∃^Sε aus den reellen Zahlen

(

^∈

)

, dass für alle

( )

^∀ x größer als dieses S_ε die betrags- mäßige Abweichung der Funktionswerte ^{f x}

( )

von 2 kleiner als ε ist.“

( )

⁼ ₊⁺ ⁼

_ { }

⁻

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(9)

Wenn man dies zeigen kann, sagt man:

Die Funktionswerte konvergieren für x→ +∞ zum Grenzwert 2 oder die Funktion be- sitzt für x→ +∞ den Grenzwert 2. Es liegt hier also eine (bestimmte) Konvergenz vor.

Die genaue Definition des Grenzwerts lautet:

Sei f eine Funktion mit rechtsseitig unbeschränkter Definitionsmenge. Eine Zahl a∈R heißt Grenzwert von f für x→ +∞, wenn man zu jeder (vorgegebenen) positiven Zahl ε eine Zahl S_ε angeben kann, sodass für alle x S> _ε der Betrag der Abweichung der Funktionswerte von a kleiner als ε ist.

In Zeichen:

( ) ( )

xlim f x a 0 S_ε x S : f x_ε a

→∞ = ⇔ ∀ε > ∃ ∈ ∀ >R − < ε

(Analog lässt sich der 2. Teil der Vermutung untersuchen und begründen.)

( )

⁼ ₊⁺ ⁼

 { }

⁻

( )

⁼ ₊⁺ ⁼

_ { }

⁻

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(10)

M 2 Divergenz

Falls die Funktion f für x→ ±∞ keinen Grenzwert hat, also die Grenzwerte

( )

xlim f x

→±∞

nicht existieren, d. h., dass es keine eindeutig bestimmte reelle Zahl ist, spricht man von Divergenz.

Genauer unterscheidet man die bestimmte Divergenz und die unbestimmte Divergenz.

Z. B. zeigt die Funktion ^{f x}

( )

^x² ^3x ¹^x ⁷ ⁷

2x 1 2 4 8x 4

= − = − +

+ + für x→ +∞

bestimmte Divergenz, da die Funktionswerte immer größer werden, wenn x immer größer wird: ^{f x}

( )

^{→ ∞} ^{für x}^{→ ∞} (siehe Abbildung).

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(11)

Beispiele für unbestimmte Divergenz:

( ) ( )

1 2

f x =sinx f x = ⋅x sinx, (siehe Abbildung) Oder: 3

( )

1 für x f x 1 für x \

 ∈

= − ∈



 R

In allen drei Beispielen gibt es keinen Grenzwert für x→ ±∞. Die Funktionen sind also divergent. Die Funktionswerte der Sinusfunktionen schwanken hin und her, sie laufen also im unendlichen nicht gegen plus oder minus unendlich. Damit sind die Sinusfunk- tionen unbestimmt divergent. Auch die Funktionswerte von f₃ springen ständig zwischen 1 und –1 hin und her, streben also auch nicht gegen plus oder minus unendlich.

( )

⁼ ⁺ ⁼

{ }

⁻

+ 

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(12)

M 3 Grenzwertsätze

1. Es gilt _x^lim ^c_n ^{0 c}

(

^{; n}

)

x

→∞ = ∈ ∈

Beweis:

Ansatz: c_n

0 ; 0

x − < ε ε >

1. Fall: c 0= : klar;

2. Fall: c_n ⁿ ⁿ c ⁿ c

c 0 : c x x x q.e.d.

< − x < ε ⇒ − < ε ⇔ > − ⇔ > −

ε ε

3. Fall analog

Anmerkung: Die Abkürzung q. e. d. steht für „quod erat demonstrandum“ und be- deutet auf Latein „was zu beweisen war“. Sie wird gerne am Ende eines mathemati- schen Beweises gesetzt.

2. Wenn die Grenzwerte

( )

xlim f x

→∞ und

( )

xlim g x

→∞ existieren und gleich a bzw. b sind, dann

gilt:

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

xlim f x g x xlim f x xlim g x a b

→∞ + = →∞ + →∞ = +

Beweis:

xlim f x

( )

a

→∞ = bedeutet: ∀ε > ∃0 S_ε(1): f x

( )

− < εa

x

( )

lim g x b

→∞ = bedeutet: ∀ε > ∃0 S_ε(2): g x

( )

− < εb

Wählt man z. B. ε =0,001, so kann die Ungleichung ^{f x}

( )

^{− <}^a ^0,001 schon für x 1200> gelten, die Ungleichung ^{g x}

( )

^{− <}^b ^0,001 jedoch erst für x 1800> , d. h. wir wählen immer die größere der beiden Zahlen S_ε₍₁₎ und S_ε₍₂₎ und bezeichnen sie mit S_ε.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) )

^{( )}

( ) ( )

f x g x a b ?

f x g x a b f x a g x b

f x a g x b f x a g x b 2 für x S

∗

ε

+ − + < ε

+ − + = − + −

⇒ − + − ≤ − + − < ε + ε = ε >

Da mit ε auch 2ε beliebig klein gemacht werden kann, ergibt sich die Behauptung.

(*): hier wird die sog. Dreiecksungleichung benötigt:

r s+ ≤ +r s, denn: ^{− ≤ ≤}^r ^r ^r ^{∧ − ≤ ≤}^s ^s ^s ^{⇔ −}

(

^r ⁺ ^s

)

^{≤ + ≤ +}^{r s} ^r ^s

1. Fall: r s 0+ ≥ ⇒ + = + ≤ +r s r s r s 2. Fall: ^{r s 0}+ < ⇒ + = − + ≥ −^{r s} ^{r s}

(

^r + ^s

)

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(13)

( )

xlim f x

→∞ und

( )

xlim g x

→∞ existieren und gleich a bzw. b sind, dann

gilt:

( ( ) ( ) ) ( ) ( )

xlim f x g x xlim f x xlim g x a b

→∞ − = →∞ − →∞ = − .

Beweis:

( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

f x g x a b f x a g x b

f x a b g x f x a b g x 2 ; q.e.d.

− − − = − − −

⇒ − + − ≤ − + − = ε + ε = ε

( )

xlim f x

→∞ und

( )

xlim g x

→∞ existieren und gleich a bzw. b sind, dann gilt: _xlim f x g x

( ( ) ( ) )

_xlim f x lim g x

( )

_x

( )

a b

→∞ ⋅ = →∞ ⋅ →∞ = ⋅ .

Beweis:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

0

f x g x a b f x g x f x b f x b a b

f x g x b b f x a f x g x b b f x a

f x g x b b f x a M b M b

=

⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ − + ⋅ − ≤ ⋅ − + ⋅ −

= ⋅ − + ⋅ − < ⋅ ε + ⋅ ε = ε +



Da ^{f x}

( )

^{für x}→ ∞ konvergent und demnach durch ein gewisses M „beschränkt“ ist, ergibt sich als Folgerung: _x^{lim c f x}_→∞

(

^⋅

( ) )

^{= ⋅}^{c lim f x}_x_→∞

( )

^.

( )

xlim f x

→∞ und

( )

xlim g x

→∞ existieren und gleich a bzw. b sind, dann gilt:

( )

x

( )

x

lim f x lim f x

g x lim g x

→∞

= , wobei ^{g x}

( )

^≠⁰^gelte.

Beweis:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ) ^{( ) ( )} ( )

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

f x b f x g x f x g x g x a f x a f x b g x a

g x b g x b g x b

f x b g x g x f x a f x b g x g x f x a

g x b g x b g x b

f x g x b f x a M

g x b b g x b b *

=

⋅ − + − ⋅

⋅ − ⋅

− = =

⋅ ⋅

⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ≤ +

⋅ ⋅ ⋅

⋅ − − ⋅ ε ε

= + < +

⋅ ⋅



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(14)

Es gibt ein Sε, ab dem ^{g x}

( )

^b ^;

> 2 sei S_ε die größte der Zahlen S , S , Sε₍₁₎ ε₍₂₎ ε, dann gilt:

( )

^* ^M ₂ ² ^{2M b}₂

b b b

 + 

⋅ ε ⋅ ε  

< + = ε ⋅ 

; q. e. d.

6. _x^lim_→∞ ^{f x}

( )

⁼ _x^{lim f x}_→∞

( )

^{, falls}^{f x}

( )

^≥⁰ für alle x,

( )

xlim f x

→∞ existiert und

x

( )

a : lim f x 0

= →∞ ≥

Beweis: zu zeigen: ∀ε > ∃0 S : x S :_ε ∀ > _ε f x

( )

− a < ε;

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

( ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{( )}

f x a f x a f x a

f x a *

f x a

− + −

− = =

+ +

Verwenden Sie nun: f konvergent für ^x^{→ ∞ ⇒}^{( )}^∗∗ ^{f x}

( )

beschränkt

( )

⇒ f x beschränkt^⇒ ^{f x}

( )

⁺ ^a beschränkt

( )

1 2 1 2

C ,C 0 : C f x a C ;

⇒ ∃ > ≤ + ≤ dann ist:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

f x a f x a

f x a

* : f x a f x a C C

− −

− = ≤ < ε

+ +

x

( )

da lim f x a für alle x S_ε

→∞ = >

Da mit ε auch C1

ε beliebig klein gewählt werden kann, folgt die Behauptung.

Beweis von (**):

Sei f konvergent für x→ ∞ mit Grenzwert a, dann gilt:

( )

0 S_ε x S : f x_ε a

∀ε > ∃ ∀ > − < ε

speziell gibt es also zu ε =1 ein S_ε, so dass für alle x S> _ε gilt ^{f x}

( )

^{− <}^a ¹^.

( ) ( ( ) ) ( )

( ) ( )

f x f x a a f x a a 1 a

f x 1 a 1 a f x 1 a f ist beschränkt!

= − + ≤ − + < +

< + ⇔ − − < < + ⇒

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(15)

M 4 Grenzwerte für x → x

₀

Beispiel: Funktion f mit

( )( )

( )( ) { }

2 2 f

x 3 x 2 x x 6

f(x) D \ 2; 1

x x 2 x 1 x 2

− +

= − − = = −

+ − − +



Eine Wertetabelle liefert folgenden Graph:

ⅅ

f

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(16)

Wir vermuten:

x 2

lim f(x) 5 3

→− = .

Weil die Grenzwertsätze (siehe M 3) für die Grenzwerte mit x→x₀ entsprechend gelten, kann man diese Vermutung folgendermaßen nachweisen:

( )( )

2 2

x 2 x 2

x 2

x x 6 0 x 3 x 2 x x 6 x 3 x 2

x x 2 0 x 1 x 2 x x 2 x 1 x 2

(x 3)(x 2)

lim f(x) lim x 2, da x 2

(x 1)(x 2)

x 3 5 5

lim x 1 3 3

→− →−

→−

− − = ⇒ = ∨ = − ⇒ − − = − +

+ − = ⇒ = ∨ = − ⇒ + − = − +

− +

= ≠ − → −

− +

− −

⇒ = =

− −

Eine andere Berechnungsmöglichkeit ist die sogenannte „h-Methode“:

Man verwendet:

( ) ( )

xlim f x2 hlimf h 20

→− = → − :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

x 2 h 0 h 0

h 2 h 2 6 h 4h 4 h 2 6

f h 2

h 4h 4 h 2 2

h 2 h 2 2

h h 5

h 5h h 5

h 3h h h 3 h 3

h 5 5 lim f x limf h 2 lim

h 3 3

→− → →

− − − − − + − + −

− = =

− + + − −

− + − −

− − −

= = =

− − −

= − = − =

− Wenn der Grenzwert

( )

xlim f xx0 a

→ = ∈ existiert, bedeutet das auf der einen Seite, dass sich im Graphen G_f ein sogenannter Lochpunkt LoP x a

(

0

)

befindet, und auf der anderen Seite, dass die Funktion f „stetig fortsetzbar“ ist:

( ) ( )

f ,max

{ }

0

f x für x D \ x f x a für x x

∈

=  =

 .

D. h. f stimmt mit f überein und ist zusätzlich an der Definitionslücke x₀ definiert.

An der Stelle x 1= existiert der Grenzwert nicht, hier divergiert f:









x 1 x 1 x 1

2 2

x 1 0 x 1 0

0 0

(x 3)(x 2) x 3

limf(x) lim lim wegen x 2, da x 1

(x 1)(x 2) x 1

x 3 x 3

lim lim

x 1 x 1

→ → →

→− →−

→ + → −

→+ →−

− + −

= = ≠ − →

− + −

− −

⇒ = −∞ ∧ = +∞

− −

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(17)

Oder mit der h-Methode:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

h 1 h 1 6 h 2h 1 h 1 6 h h 6

f h 1

h 2h 1 h 1 2 h 3h

h 1 h 1 2

+ − + − + + − − − + −

+ = = =

+ + + + − +

+ + + −

( ) ( )

6 2

x 1 h 0 h 0 2

6 6

2 2

h 0 0 h 0 0

0 0

h h 6 limf x limf h 1 lim

h 3h

h h 6 h h 6

lim lim

h 3h h 3h

→−

→ → →

→− →−

→ + → −

→+ →−

= + = + −

+

+ − + −

⇒ = −∞ ∧ = +∞

+ +



 

 

Man nennt in solch einem Fall

(

^{−∞ +∞}^/

)

die Stelle x 1= Polstelle ungerader Ordnung;

bei

(

^{+∞ +∞}^/

)

^oder

(

^{−∞ −∞}^/

)

: hieße die Stelle Polstelle gerader Ordnung.

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VORSC

HAU

(18)

M 5 Die Regeln von de L’Hospital

(Guillaume-Francois-Antoine de L’Hospital, 1661–1704, Lehrbuch der Differentialrechnung, 1696)

Regel 1

Wenn zwei an einer Stelle x₀ stetige Funktionen f und g mit f x

( )

0 =0 und g x

( )

0 =0 in einer gemeinsamen Umgebung von x₀ differenzierbar sind und der Grenzwert

( ) ( )

x x0

lim f x g x

→

′

′ existiert, so gilt:

( )

( ) ( )

( )

0 0

x x x x

f x f x

lim lim

g x g x

→ →

= ′

′ . Beweis:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ^{( )} ^{( )}

0

0 0

0 0 0 1 0 1

x x h 0 h 0 h 0

0 0 0 2 0 2

0 1 0

x x x x

0 2 0

f x f x h f x h f x h f x h

lim lim lim lim

g x g x h g x h g x h g x h

f x x x f x

lim lim

g x x x g x

→ → → →

→ →

′ ′

+ + ⋅ + ϑ + ϑ

= = =

′ ′

+ + ⋅ + ϑ + ϑ

′ + ϑ − ′

= =

′ + ϑ − ′

Regel 2

Wenn zwei Funktionen f und g mit

( ) ( )

xlim f x xlim g x 0

→∞ = →∞ = in einem gemeinsamen rechtsseitig unbeschränkten Intervall

] [

^k;∞ differenzierbar sind und der Grenzwert

( ) ( )

x

lim f x g x

→∞

′

( )

( ) ( )

( )

x x

f x f x

lim lim

g x g x

→∞ →∞

= ′

′ . Regel 3

Wenn zwei Funktionen f und g mit f x

( )

→ ∞ für x →x0 und g x

( )

→ ∞ für x →x0 in einer gemeinsamen Umgebung von x₀ differenzierbar sind und der Grenzwert

( )

x x0

lim f x g x

→

′

( )

( ) ( )

( )

0 0

x x x x

f x f x

lim lim

g x g x

→ →

= ′

′ .