Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Reelle Zahlen
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Heronverfahren
1. Niveau:
I
a) Berechnung einzelner Folgenglieder nach Anleitung
I
b) Annäherung an den Flächeninhalt des Quadrats über Rechtecke auch zeichnerisch
2. Niveau:
Interaktive Lernumgebungen:
www.zum.de (Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet für alle Fächer) bzw. direkt über www.mathematik-digital.de
3. Niveau:
I
a) Welche Zahl kann man mit folgender Iterationsvorschrift von Heron bestimmen?
x =
1(2x +
35)
Neunerperiode
0, 9 = 1
Neunerperiode
Inhaltliche Argumentation 1:
0, 1 = 1 9 0, 2 = 2 9
...
0, 8 = 8 9
0, 9 = 9 9
9. Klasse: Neunerperiode
Inhaltliche Argumentation 2:
I : 10 · 0, 9 = 9, 99999999999...
II : 1 · 0, 9 = 0, 99999999999...
I - II : 9 · 0, 9 = 9
⇐⇒ 0, 9 = 1
9. Klasse: Neunerperiode
Problem:
Prozessorientierte Sicht: 0, 9 entsteht aus 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Produktorientierte Sicht: 0, 9 ist gleich 1
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Angenommen, es sei 0, 9 6= 1.
I Dann muss es einen Abstand d zwischen 0, 9 und 1 geben.
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Angenommen, es sei 0, 9 6= 1.
I Dann muss es einen Abstand d zwischen 0, 9 und 1 geben.
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Wo liegt jede Zahl 0, 999 ...
|{z}
(n)
9 mit n ∈ N , also jede Zahl mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma? links von 0, 9
I Nenne nun eine Zahl für d. z.B. d sei ein Millionstel, 10 −6 .
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Wo liegt jede Zahl 0, 999 ...
|{z}
(n)
9 mit n ∈ N , also jede Zahl mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma? links von 0, 9
I Nenne nun eine Zahl für d. z.B. d sei ein Millionstel, 10 −6 .
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Wo liegt jede Zahl 0, 999 ...
|{z}
(n)
9 mit n ∈ N , also jede Zahl mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma? links von 0, 9
I Nenne nun eine Zahl für d. z.B. d sei ein Millionstel, 10 −6 .
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Wo liegt jede Zahl 0, 999 ...
|{z}
(n)
9 mit n ∈ N , also jede Zahl mit endlich vielen Neunen hinter dem Komma? links von 0, 9
I Nenne nun eine Zahl für d. z.B. d sei ein Millionstel, 10 −6 .
9. Klasse: Indirekter Beweis für 0, 9 = 1
I Dann finde ich stets eine Zahl, die kleiner ist als d:
z. B. ein Zehnmillionstel 10 −7
I Die Zahl mit dem Abstand Zehnmillionstel, also 10 −7 , müsste dann rechts von 0, 9 liegen.
Widerspruch!
Indirekter Beweis für 0, 9 = 1 Kurz:
I Es existiere eine positive Zahl d := 1 − 0, 9.
I Dann gibt es ein n ∈ N mit 10 1
n< d, woraus wegen 1 − 0, 999 ...
|{z}
(n)
9 = 10 1
n< d = 1 − 0, 9 folgt:
0, 9 < 0, 999 ...
|{z}
(n)
9. Widerspruch
Mögliche Klausuraufgaben
1. Die Betrachtung von √
2 ist das schulische Standardbeispiel für die Irrationalität einer Zahl und die Durchführung des Beweises.
Mit ähnlichen Mitteln lassen sich viele weitere Zahlen
untersuchen. Untersuchen Sie die Seitenlängen eines Quadrates des Inhaltes 3 bzw. 6.
Beschreiben Sie, wie man die entsprechenden Quadrate konstruiert.
2. a) Beweisen Sie, dass 0, 9 = 1 gilt.
b) Ein Schüler behauptet schlichtweg das Gegenteil.
Stellen Sie dar, wie Sie ihn mit einer anderen Argumentation als
Ihrem Beweis überzeugen können.
Hausaufgaben für den 2.5.2011
I Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz oder Divergenz.
Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
(a n ) = 1 n (b n ) = √
n10 (c n ) = 4n+2n n
2 2(d n ) = ( 1 2 ) n (e n ) = 2 n (f n ) = n+1 n
2(g n ) = cos(n) (h n ) = − (−1) n
n+ 1 n (i n ) = (1 + 1 n ) n
I Erklären Sie auf für Schüler verständliche Weise, dass die Reihe (s n ) mit s n =
∞
X
n=1
1
n unbeschränkt ist und deshalb divergiert.
I Veranschaulichen Sie ikonisch, dass (t ) mit t =
∞
X 1
Frohe Ostern!
x2
32