Investitions- und Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß

(1)

Investitions-

und Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode,

Interner Zinsfuß

Bearbeitet von

Franka Frind, Christin Klengel WI03

1. Aufgabe:

Eine geplante Investition mit Anschaffungsausgaben von 10.000,- € lässt jeweils zum Jahresende die folgenden Einnahmen erwarten:

3.000,- € im 1. Jahr, 4.000,- € im 2. Jahr, 6.000,- € im 3. Jahr, 2.000,- € im 4. Jahr und 1.000,- € im 5. Jahr. Zusätzlich sind am Ende des 3. Jahres Ausgaben von 3.500,- € zu erwarten.

a) Berechnen Sie den Kapitalwert dieser Investition bei einem Kalkulationszinsfuß

von 6%.

b) Ist diese Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft?

(2)

6. Dezember 2004 Finanzmathematik FH-Lausitz

3

Lösung: Anschaffungskosten: 10.000€ Kalkulationszinsfuß= 6 % Einnahmen Ausgaben

1. Jahr: 3.000 € 2. Jahr: 4.000 €

3. Jahr: 6.000 € 3.500 €

4. Jahr: 2.000 € 5. Jahr: 1.000 € a)

0 1

1 A P q

G

n

t

⋅

t

−

= ∑

= G…Kapitalwert

…Periodenüberschuß (Einnahmen-Ausgaben) der Periode t n…Investitionsdauer

Ao…Anschaffungsausgaben

…Abzinsfaktor für die Periode t Pt

qt

1

( ) 10000€

06 , 1

€ 1 06 1000 , 1

€ 1 06 2000 , 1

€ 1 3500

€ 06 6000 , 1

€ 1 06 4000 , 1

€ 1

3000 ⋅ + ⋅ ₂ + − ⋅ ₃ + ⋅ ₄ + ⋅ ₅ −

= G

€ 10000

€ 26 , 747

€ 19 , 1584

€ 05 , 2099

€ 99 , 3559

€ 19 ,

2830

+ + + + −

= G

€ 10000

€ 68 ,

10820 −

= G

€ 68 ,

= 820 G

b)

Die Investition ist vorteilhaft, da der Kapitalwert positiv ist.

(3)

5

2. Aufgabe

Ein Unternehmer kann für 30.000,- € eine Maschine kaufen. Diese Maschine kann 3 Jahre genutzt und danach für 3.000,- € verkauft werden. Sie bringt während der Nutzungsdauer jeweils zum Jahresende einen Periodenüberschuss (Einnahmen minus Ausgaben) von 8.000,- € im 1. Jahr, 10.000,- € im 2 Jahr und 12.000,- € im 3. Jahr. Der

Unternehmer kann sein Geld aber auch zu 6% auf dem Sparkonto anlegen.

a) Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition.

b) Ist die Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft?

€ 30000

0= A

Einnahmen

1. Jahr: 8000€

2. Jahr: 10000€

3. Jahr: 12000€ +3000€ (Verkaufspreis)

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

€ 30000 06

, 1

€ 1 15000 06

, 1

€ 1 10000 06

, 1

€ 1

8000 ⋅ + ⋅

₂

+ ⋅

₃

−

= G

€ 30000

€ 29 , 12594

€ 96 , 8899

€ 17 ,

7547 + + −

= G

€ 58 ,

− 958

= G

Lösung:

q = 1 , 06

a)

(4)

7

b)

0 € 58 , 958 <

−

Die Investition ist unvorteilhaft, da der Kapitalwert negativ ist.

3. Aufgabe:

Ein Unternehmer plant ein Investition mit Anschaffungsausgaben von 50.000,- €. Diese Investition bringt die folgenden

Periodenüberschüsse: 10.000,- € im 1. Jahr, 20.000,- € im 2. Jahr, 20.000,- € im 3. Jahr und 10.000,- € im 4. Jahr. Es wird davon ausgegangen, dass die Periodenüberschüsse jeweils zum Jahresende realisiert werden.

a) Berechnen Sie den Kapitalwert dieser Investition, wenn sie zu 8% Kreditzinsen fremdfinanziert werden soll.

b) Ist diese Investition nach der Kapitalwertmethode vorteilhaft?

(5)

9

Lösung:

€ 50000

0= A

%

= 8 en Kreditzins

t

0

t

1

t

2

t

3

t

₄

E: 10.000 € E: 20.000 € E: 20.000 € E: 10.000 €

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

€ 000 . 08 50 , 1

€ 1 000 . 08 10 , 1

€ 1 000 . 08 20 , 1

€ 1 000 .

10 ⋅ + ⋅

₂

+ ⋅

₃

+ ⋅

₄

−

= G

€ 000 . 50

€ 30 , 350 . 7

€ 65 , 876 . 15

€ 78 , 146 . 17

€ 26 , 259 .

9 + + + −

= G

€ 01 ,

− 367

= G

a)

b)

0 € 01 , 367 <

−

Die Investition ist unvorteilhaft, da der Kapitalwert negativ ist.

(6)

11

4. Aufgabe:

Ein Unternehmer steht vor folgenden drei Investitionsalternativen:

Alternative I: Anschaffungsausgaben von 25.000,- €;

Periodenüberschüsse von 8.000,- €, 12.000,- €, 6.000,- € und 4.000,- € in den Jahren 1 bis 4.

Alternative II: Anschaffungsausgaben von 25.000,- €;

Periodenüberschüsse von 21.500,- € im Jahre 2 und 9.500,- € im Jahre 4.

Alternative III: Anschaffungsausgaben von 25.000,- €;

Periodenüberschüsse von 5.000,- € im Jahre 1 und 26.100,- € im Jahre 3.

Von diesen 3 Alternativen möchte der Unternehmer eine auswählen.

Welche sollte dies nach der Kapitalwertmethode bei einem Kalkulationszinsfuß von 8% sein?

Alternative 1: Kalkulationszinsfuß= 8%

Einnahmen

1. Jahr: 8.000 €

2. Jahr: 12.000 €

3. Jahr: 6.000 €

4. Jahr: 4.000 €

€ 000 .

0=

25

A

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

€ 000 . 08 25 , 1

€ 1 000 . 08 4 , 1

€ 1 000 . 08 6 , 1

€ 1 000 . 08 12 , 1

€ 1 000 .

8 ⋅ + ⋅

₂

+ ⋅

₃

+ ⋅

₄

−

= G

€ 000 . 25

€ 12 , 940 . 2

€ 99 , 762 . 4

€ 07 , 288 . 10

€ 41 , 407 .

7 + + + −

G =

€ 59 ,

= 398

G

(7)

13

Einnahmen

1. Jahr: 0 €

2. Jahr: 21.500 €

3. Jahr: 0 €

4. Jahr: 9.500 €

€ 000 .

0=

25

A

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

€ 000 . 08 25 , 1

€ 1 500 . 08 9 , 1

€ 1 08 0 , 1

€ 1 500 . 08 21 , 1

€ 1

0 ⋅ + ⋅

₂

+ ⋅

₃

+ ⋅

₄

−

= G

€ 000 . 25

€ 78 , 982 . 6

€ 0

€ 78 , 432 . 18

€

0 + + + −

G =

€ 56 ,

= 415 G

Einnahmen

1. Jahr: 5.000 €

2. Jahr: 0 €

3. Jahr: 26.100 €

4. Jahr: 0 €

€ 000 .

0=

25

A

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

€ 000 . 08 25 , 1

€ 1 08 0 , 1

€ 1 100 . 08 26 , 1

€ 1 08 0 , 1

€ 1 000 .

5 ⋅ + ⋅

₂

+ ⋅

₃

+ ⋅

₄

−

= G

€ 000 . 25

€ 0

€ 02 , 719 . 20

€ 0

€ 63 , 629 .

4 + + + −

G =

€ 65 ,

= 348

G

(8)

15

348,65 € 3

415,56 € 2

398,59 € 1

Kapitalwert Alternative

Es sollte die Alternative mit dem höchsten Kapitalwert gewählt werden.

In diesem Fall wäre das die 2. Alternative.

5. Aufgabe:

Ein Bürger schenkt seiner Vaterstadt zum Bau eines Kinderspielplatzes 25.000,- €, die erst nach dem Tod Verwendung finden sollen. Die Stadtverwaltung legt das Geld zum Betriebskapital ihres

Fuhrunternehmens, damit es besser „arbeite“. 10 Jahre später stirbt der Wohltäter. Die Stadt verfügt nunmehr über insgesamt 54.000,- €.

a) Welche Rendite hat die Stadt während dieser zeit mit ihrem Fuhrunternehmen erzielt?

b) Wäre es für die Stadt besser gewesen, das Geld zu 7,5% bei der Stadtsparkasse anzulegen?

(9)

17

Lösung:

K

₀

= 25 . 000 € K

_n

= 54 . 000 €

n=10 Jahre

1

0

−

=

ⁿ ⁿ

K i K

a)

€ 1 000 . 25

€ 000 .

10

54 −

= i

1 16 , 2

10

−

= i

1 08 ,

1 −

= i

08 ,

= 0

i p

_int

= 8 %

b)

% 8

% 5 , 7

int

=

= p p

_a

Invest ist vorteilhaft, wenn:

p a

p _int >

Die Anlage bei der Sparkasse wäre nicht besser gewesen.

% 5 , 7

%

8 >

(10)

19

6. Aufgabe:

Eine Investition verlangt Anschaffungsausgaben von 10.000,- € und erbringt während der zweijährigen Investitionsdauer einen

Periodenüberschuss von 6.000,- € am Ende des 1. Jahres und 5.500,-

€ am Ende des 2. Jahres.

Wie hoch ist die Rendite (der interne Zinsfuß) dieser Investition?

Lösung:

Periodenüberschüsse

1. Jahr: 6.000 €

2. Jahr: 5.500 €

€ 000 .

0

= 10 K

Kn nicht bekannt

n n

q K K

=

⋅

=

0 0

DISKONT aller Kapitalwerte

∑

=

⋅

=

ⁿ

t t t

P q K

1 0

1

0

ˆ A

K =

1 ⎞ − = 0

⎛ ⋅

∑

ⁿ

^P ^A

(11)

21

0 € 000 . 1 10

€ 000 . 1 6

€ 500 .

5 ⋅

₂

+ ⋅ − =

q q

€ 0 000 . 10

€ 000 . 6

€ 000 . 5

2

=

⋅

−

⋅ +

q

q q

Umformung:

q

2

⋅ 0

€ 000 . 5

€ 000 . 6

€ 000 .

10 ⋅

²

+ ⋅ + =

− q q

( ) ( )

( )

²

2 2

,

1 4 10.000€

€ 000 . 5

€ 000 . 10 4

€ 000 . 6

€ 000 . 10 2

€ 000 . 6

−

⋅

−

⋅

± −

−

− ⋅

= q

1 , 1

5 , 0

2 1

=

−

= q q

Rendite= 10%

7. Aufgabe:

Ein Unternehmen kann zwischen zwei Investitionsalternativen wählen:

Alternative I: Anschaffungsausgaben von 10.000,- €,

Periodenüberschuss von 11.881€ nach dem 2 Jahr. Alternative II:

Anschaffungsausgaben von 10.000,- €, Periodenüberschüsse von 5.000,- € nach dem 1. Jahr und von 6.600,- € nach dem 2. Jahr.

Welche Rendite besitzen die Alternativen I und II?

Welche Alternative sollte der Unternehmer wählen, wenn er sein Geld auch zu 11% anderweitig anlegen könnte?

(12)

23

Alternative 1:

2. Jahr: 11.881 €

€ 000 .

0

= 10 A

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

1881 , 1

€ 881 . 11

€ 000 . 10

0 € 881 . 11

€ 000 . 10

€ 0 000 . 10

€ 881 . 11

0 € 000 . 1 10

€ 881 . 11

2

2 2 2

2 2

=

−

=

⋅

−

= +

⋅

−

⋅ =

−

=

−

⋅

q

q q q

q q

09 , 1 09 , 1

2 1

−

=

= q

q Rendite= 9 %

Alternative 2:

1. Jahr: 5.000 €

2. Jahr: 6.600 €

€ 000 .

0

= 10 A

0 1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

0 € 881 . 11

€ 000 . 5

€ 000 . 10

€ 0 000 . 10

€ 000 . 5

€ 000 . 6

0 € 000 . 1 10

€ 000 . 1 5

€ 000 . 6

2 2

= +

⋅ +

⋅

−

⋅ =

−

⋅ +

=

−

⋅ +

⋅

q q

q

q q

(

5.000€

)

± 5.000€²−4⋅

(

−10.000€

)

⋅6.600€

−

= q

6 ,

1 0

=

−

= q

(13)

25

%

= 11 p

a

10 % 2

9 % 1

Alternative p int

p

a

p

_int₁

< ^p

_int₂

^< ^p

_a

Invest ist vorteilhaft, wenn:

p a

p _int >

Keine der beiden Alternativen wäre in diesem Fall vorteilhaft.

8. Aufgabe:

Bestimmen Sie näherungsweise den internen Zinsfuß der in der Aufgabe 3 genannten Investition und beurteilen Sie die Vorteilhaftigkeit dieser Investition bei einem Kalkulationsfuß von 7%.

(14)

27 0

1

* 1 A P q

G

n

t

t t

−

= ∑

=

0 € 000 . 10

€ 000 . 20

€ 000 . 10

€ 000 . 50

0 € 000 . 50

€ 000 . 10

€ 000 . 20

€ 000 . 10

€ 0 000 . 50

€ 000 . 10

€ 000 . 20

€ 000 . 10

0 € 000 . 1 50

€ 000 . 1 10

€ 000 . 1 20

€ 000 . 10

2 3

4

4 3

2 4

4 3

2 2 3

4

= +

⋅ +

⋅

−

=

⋅

−

⋅ +

⋅ =

−

⋅ +

=

−

⋅ +

⋅

q q

q

q q

→Lösung über Näherungsverfahren:

a) nach linearer Interpolation b) nach Newtonverfahren

a) Nach linearer Interpolation:

Probieren durch Einsetzen:

33 , 499

% 8

63 , 1008

% 7

31 , 2458

% 6

94 , 3850

% 5

−

=

→d. h., der Interne Zinsfluß muss zwischen 7% und 8% liegen

u o

o u o

o

p p

p p G G

G

−

= −

−

( )

p p

p

⋅

−

=

−

⋅

−

=

−

= −

−

95 , 1507 68

, 10555 63

, 1008

95 , 1507 7

63 , 1008

8 7 7 33 , 499 63

, 1008

63 ,

1008

(15)

29

b) Nach Newton-Verfahren:

( ) ( )

( ) 600 . 000 € 60 . 000 € 40 . 000 €

€ 000 . 20

€ 000 . 40

€ 000 . 30

€ 000 . 200

€ 000 . 10

€ 000 . 20

€ 000 . 10

€ 000 . 50

2

2 3

4

+

⋅ +

⋅

−

=

′′

+

⋅ +

⋅

−

′ =

+

⋅ +

⋅

−

=

q q

q f

q q

f

q q

q f

Grenzen:

08 , 1

ˆ . 07 ,

1

₁

=

→

=

o u

q

Startpkt q

q

( )

( ) ( ) 1 , 07 582 . 740 6 , 861 . 147 07

, 1

63 , 1008 07 , 1

−

′′ =

−

′ =

= f f f

( ) ( ) ( )

₁ ¹

1

q f

q f q f

′

⋅ ′′ ₍ ₎

( 147 . 861 , 6 ) ⁰ ^, ⁰²⁷ ⁰ ^, ⁰²⁷

740 . 582 63 , 008 .

1

= − =

−

⋅

1 027 ,

0 <

→Startpunkt geeignet gewählt

1. Iteration:

( ) ( )

1 1 1

2 f q

q q f

q = − ′

(

147.861,6

)

63 , 07 1008 ,

2=1 − −

q

₂

= 1 , 0768

6 , 151852 )

´(

37 , 10 ) (

2 2

−

=

−

= q f

q f

)

´(

) (

2 2 2

3

f q

q q f

q = −

weiter c

q

f ´( ² ) < ⇒

2. Iteration

( )

( 151852 , 6 )

37 , 0768 10

, 1

3

−

− −

=

q q

³

= 1 , 0767

151761 )

´(

82 , 4 ) (

3 3

−

=

= q f

q

f f ´( q

³

) < c ⇒ weiter

(16)

31

3. Iteration

)

´(

) (

3 3 3

4

f q

q q f

q = − q

⁴

= ¹ ^, ⁰⁷⁶⁷ − ( − ¹⁵¹⁷⁶¹ ⁴ ^, ⁸² ) q

4

= 1 , 0767

i q = 1 +

0767 ,

0 1 0767 ,

1 1

=

−

=

−

= i i

q

→ i

% 67 ,

= 7

⇒ p

9. Aufgabe:

Für eine Investitionsmöglichkeit werden die folgenden Zahlungsgrößen prognostiziert: Anschaffungsausgaben von 40.000,- €; Einnahmen von 25.000,- €, 28.000,- €, 37.000,- € und 35.000,- € in den Jahren 1 bis 4;

Ausgaben von 17.500,- €, 16.500,- €, 22.000,- € und 20.000,- € in den Jahren 1 bis 4. Zusätzlich sind Gewinnsteuerzahlungen zu

berücksichtigen. Dies führt pro Jahr zu Steuerausgaben von 30% auf die Differenz „Einnahmen – Ausgaben – Abschreibung“. Sofern diese Differenz durch die Berücksichtigung der Abschreibungen negativ wird und folglich ein Verlust ausgewiesen wird, wird eine „Steuereinnahme“

(Verlustausgleich mit andren Einkünften) erzielt.

a) Ist diese Investitionsmöglichkeit nach der Kapitalwertmethode bei einem Kalkulationszinsfuß von 6% (nach Steuern) bei linearer Abschreibung vorteilhaft?

b) Ändert das sich unter a) errechnete Ergebnis, wenn aus konjunkturellen Gründen die Möglichkeit einer Sofort-