Sommersemester2007 BernhardBeckert GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI Vorlesung

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Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 1 / 112

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Dank

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

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Teil II Terminologie

1 Sprache, Grammatik

2 Warum Sprachen?

3 Die Chomsky-Hierarchie

4 Probleme über Sprachen

5 Endlich, unendlich und dann?

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Inhalt von Teil II

In den folgenden Abschnitten führen wir die Begriffe Sprache

Grammatik ein.

Wir untersuchen insbesondere

1 wie man Probleme aus der Mathematik, Graphentheorie, Logik als Probleme über Sprachenformulieren kann.

2 wie man Klassen von Grammatiken von steigendem Schwierigkeitsgrad definiert:Chomsky-Hierarchie.

3 wievieleGrammatiken und Sprachenes überhaupt gibt

(soviele wie natürliche Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen?)

(5)

Grammatik ein.

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Grammatik ein.

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Grammatik ein.

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Teil II Terminologie

1 Sprache, Grammatik

2 Warum Sprachen?

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Teil II Terminologie

1 Sprache, Grammatik

2 Warum Sprachen?

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Sprache, Grammatik SS 2007 51 / 112

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Alphabete, Wörter

Definition 6.1 (Alphabet)

EinAlphabetist eine Menge von Zeichen/Buchstaben

Grundlage einer Sprache (die zur Verfügung stehenden Zeichen) Meist endlich

Definition 6.2 (Wort)

EinWort(über einem AlphabetΣ) ist eine endliche Folge von Zeichen ausΣ

|w| bezeichnet Länge eines Wortesw ε bezeichnet dasleere Wort

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Alphabete, Wörter

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Alphabete, Wörter

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Alphabete, Wörter

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Alphabete, Wörter

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Alphabete, Wörter

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Alphabete, Wörter

|w| bezeichnet Länge eines Wortesw ε bezeichnet das leere Wort

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Alphabete, Wörter

Operationen auf Wörtern Verknüpfung (Konkatenation):

w◦w⁰

assoziativ, oft geschrieben alsww⁰

i-te Potenz:

w⁰=ε, wⁱ⁺¹=wwⁱ

Reverse:

w^R=das Wortwrückwärts

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Alphabete, Wörter

w◦w⁰

assoziativ, oft geschrieben alsww⁰ i-te Potenz:

Reverse:

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Alphabete, Wörter

w◦w⁰

assoziativ, oft geschrieben alsww⁰ i-te Potenz:

Reverse:

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Sprache

Definition 6.3 (Sprache)

Eine SpracheL(über einem AlphabetΣ) ist eine Menge von Wörtern überΣ.

Operationen auf Sprachen Konkatenation:

L◦M={w◦w⁰ |w∈L,w⁰∈M} i-te Potenz:

L⁰={ε}, Lⁱ⁺¹:=LLⁱ Reverse:

L^R={w^R: w∈L}

(21)

Sprache

L^R={w^R: w∈L}

(22)

Sprache

L^R={w^R: w∈L}

(23)

Sprache

L^R={w^R: w∈L}

(24)

Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . . Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

Σ^∗bezeichnet die Menge aller Wörter überΣ

Genau genommen besteht ein Unterschied:

ein Buchstabe 6= Wort, das nur aus dem einen Buchstaben besteht Darum istΣselbst keine Sprache überΣ

(Oft wird über diesen Unterschied hinweggesehen)

(25)

Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . .

Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

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Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . .

Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

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Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . .

Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

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Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . .

Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

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Sprache

Kleene-Hülle

L^∗=L⁰∪L¹∪L²∪. . .

Variante:

L⁺=LL^∗=L¹∪L²∪. . .

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Reguläre Ausdrücke

Definition 6.4 (Reguläre Ausdrücke)

MengeReg_Σderregulären Ausdrücke(überΣ) ist definiert durch:

1 0 ist ein regulärer Ausdruck

2 Für jedesa∈Σistaein regulärer Ausdruck

3 Sindrundsreguläre Ausdrücke, so auch (r+s) (Vereinigung),

(rs) (Konkatenation), (r^∗) (Kleene Stern)

Klammern können weggelassen werden, dann

∗hat Vorrang vor Konkatenation

Konkatenation hat Vorrang vor+

(31)

Reguläre Ausdrücke

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Reguläre Ausdrücke

(33)

Reguläre Ausdrücke

(34)

Reguläre Ausdrücke

(35)

Reguläre Ausdrücke

∗hat Vorrang vor Konkatenation Konkatenation hat Vorrang vor+

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Reguläre Ausdrücke

Definition 6.5 (Semantik regulärer Ausdrücke)

Ein regulärer Ausdruckrstellt eine SpracheI(r)überΣwie folgt dar:

I(0) := 0/

I(a) := {a} füra∈Σ I(r+s) := I(r)∪I(s)

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

Wir benutzen auch das Makro . . .

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(37)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(38)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(39)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(40)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(41)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(42)

Reguläre Ausdrücke

I(0) := 0/

I(r s) := I(r)I(s) I(r^∗) := I(r)^∗

1 := 0^∗

Es gilt: I(1) ={ε}

(43)

Reguläre Ausdrücke

Übung

Welche Sprachen werden durch die folgenden regulären Ausdrücke dargestellt?

aa (a+b)^∗ aa^∗+bb^∗

(44)

Reguläre Ausdrücke

Übung

(45)

Reguläre Ausdrücke

Übung