Mihael Bestehorn
1. Version SS 1999, 2. Version, mit Abbildungen SS 2000
Literatur
Beider folgendenListe handelt essihum eine subjektive Auswahl, daesQM-Buher
wieSandamMeergibt.ZumTeilhaben diegenanntenWerkejedohbeiderAbfassung
des Skriptes geholfen.
1. W.Nolting, Grundkurs Theoretishe Physik, Band 5.1, 5.2
Ziemlihumfassendund sehr ausfuhrlih,klareDarstellung. Noltingshweift oft
etwasweit vom Themaab.
2. F.Shwabl, Quantenmehanik, Quantenmehanik fur Fortgeshrittene
DerzweiteBandbehandeltausfuhrlihrelativistisheQM,aberauhweiterfuhren-
de Themen, die in der Vorlesung niht behandelt werden, wie z.B. 2. Quantisie-
rung und Quantenelektrodynamik.
3. D.I.Blohinzew
Alt, aber immernoh gut und lesenswert.
4. R. Feynmann, FeynmannLetures III
Genial, uberhaupt dann, wenn man QM shon kennt
5. C. Cohen-Tannoudi, Quantenmehanik 1und 2
Umfassendes modern gshriebenes Werk, mit vielen Aufgaben und Standardre-
hungen. Sehrzu empfehlen.
6. S.Gromann Funktionalanalysis
Leiht veralteter Stil, aber gut fur den mathematishen Hintegrund. Man muss
es ja niht ganz lesen.
DiemeistenAbbildungendieser Version stammenvonFrau MihaelaEnulesu. Ihrsei
andieser Stelle herzlihgedankt.
I Grundzuge der Quantenmehanik 1
1 Das Versagen der klassishen Physik 3
1.1 Der shwarze Strahler. . . 4
1.1.1 Hohlraumstrahlung . . . 4
1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz . . . 5
1.1.3 Plankshes Strahlungsgesetz . . . 6
1.1.4 Einsteins Herleitung(1916) . . . 7
1.2 Lihtquanten . . . 9
1.2.1 Der Photoeekt . . . 9
1.2.2 Der Compton-Eekt (1922) . . . 10
1.3 Teilhen und Interferenz . . . 12
1.4 Quantisierungatomarer Energiezustande, \alte" QM . . . 17
1.4.1 Die Bohrshen Postulate . . . 17
1.4.2 Die Bohrshe Quantenhypothese . . . 18
1.4.3 Das Bohrshe Korrespondenzprinzip . . . 21
1.4.4 Zusammenfassung . . . 21
1.4.5 Kritikpunkte analter QM . . . 21
2 Wellenfunktionen 23
2.1 Mathematishe Hilfsmittel . . . 23
2.1.1 Fourier-Reihen . . . 23
2.1.2 Fourier-Integral . . . 24
2.1.3 Die Dirashe Delta-Funktion . . . 26
2.2 Materiewellen . . . 27
2.3 Interpretation der Wellenfunktion . . . 28
2.4 Wellenpakete . . . 29
2.5 Erwartungswerte . . . 32
2.6 Operatoren . . . 32
3 Die Shrodingergleihung 35 3.1 Dasfreie Teilhen . . . 35
3.2 Teilhen im aueren Potential . . . 37
3.3 Diezeitunabhangige Shrodingergleihung . . . 37
3.4 DieKontinuitatsgleihung . . . 37
3.5 AndereWellengleihungen . . . 39
3.5.1 Wellengleihung . . . 39
3.5.2 Klein-Gordon-Gleihung . . . 39
3.5.3 Quasi-klassishe Naherung . . . 40
3.6 DiePostulateder Quantenmehanik . . . 41
3.7 Feynmanshe Pfadintegrale. . . 43
3.7.1 Propagatoren . . . 43
3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral . . . 44
3.7.3 Pfadintegralim Kongurationsraum. . . 46
II Quantenmehanik im Hilbert-Raum 49
4 Raume 51
4.1 Der lineare Raum . . . 51
4.2 Der metrishe Raum . . . 52
4.3 Der normierte Raum . . . 52
4.4 Der unitare Raum. . . 52
4.5 Denitionen . . . 54
5 Vektoren im Hilbertraum 55 5.1 Orthonormalsysteme . . . 55
5.2 Darstellungen . . . 56
5.3 Uneigentlihe Hilbert-Vektoren . . . 57
5.4 Darstellungen . . . 59
6 Operatoren im Hilbert-Raum 61 6.1 Lineare Operatoren . . . 61
6.1.1 Eigenshaften . . . 61
6.1.2 Operatoren alsdyadishes Produkt zweier Zustande . . . 62
6.1.3 Darstellung von Operatoren . . . 62
6.2 Spezielle lineareOperatoren . . . 63
6.2.1 Zueinander inverse Operatoren . . . 63
6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren . . . 63
6.2.3 Unitare Operatoren . . . 64
6.2.4 Projektionsoperatoren . . . 65
6.3 Das Eigenwertproblem hermitisher Operatoren . . . 66
6.4.1 Vorbemerkungen . . . 69
6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses . . . 70
6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertragliher Observablen A und B 70 6.4.4 Kombinierte Messung zweier nihtvertragliher Observablen . . 72
6.5 DieDihtematrix, der statistishe Operator. . . 73
7 Dynamik der Quantensysteme 77 7.1 Darstellungender Shrodingergleihung . . . 77
7.2 DasShrodinger-Bild . . . 79
7.3 DasHeisenberg-Bild . . . 79
7.4 DasDira-Bild . . . 81
7.5 Zusammenfassung . . . 82
III Exakt losbare Probleme 83 8 Der harmonishe Oszillator 85 8.1 Hamiltonfunktionund Hamiltonoperator . . . 85
8.2 Ortsdarstellung . . . 87
8.3 Fokdarstellung . . . 87
8.3.1 SemidenitesSpektrum . . . 88
8.3.2 Vernihtungsoperator . . . 88
8.3.3 Grundzustand . . . 89
8.3.4 Erzeugungsoperator . . . 89
8.3.5 Eigenzustande . . . 91
8.3.6 Spektrum . . . 91
9 Das Wasserstoproblem 93
9.1 Impulsoperatorund Translation . . . 93
9.2 Drehimpuls und Rotation . . . 95
9.3 Symmetrien und Erhaltungsgroen . . . 96
9.4 Drehimpulseigenzustande . . . 98
9.4.1 Eigenwerte . . . 98
9.4.2 Leiteroperatoren . . . 99
9.4.3 Eigenzustande inder Ortsdarstellung . . . 102
9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms . . . 103
9.6 Radialproblem. . . 105
9.6.1 Hauptquantenzahl . . . 108
9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl . . . 108
9.6.3 Magnetishe Quantenzahl . . . 108
9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms . . . 109
9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrsheinlihkeit. . . 110
9.7.2 Winkelverteilung . . . 110
9.7.3 Polardiagramme. . . 111
9.7.4 Termshema . . . 111
IV Naherungsmethoden 113 10 Zeitunabhangige Storungstheorie 115 10.1 Problemstellung . . . 115
10.2 Der nihtentartete Fall . . . 116
10.3 Beispiel: Der quadratishe Stark-Eekt . . . 119
10.5 Beispiel: der lineareStark-Eekt . . . 124
10.6 Beispiel: das H + 2 -Ion . . . 125
10.7 DasBandermodelldes Festkorpers . . . 131
10.7.1 Eineindimensionales Model . . . 131
10.7.2 Berehnung der Bandstruktur . . . 132
10.7.3 Das Blohshe Theorem . . . 133
10.7.4 Anwendung des Blohshen Theorems . . . 135
10.7.5 Randbedingungen . . . 135
11 Zeitabhangige Storungstheorie 139 11.1 Problemstellung . . . 139
11.2 IterativeLosung . . . 140
11.3 Beispiel: Storung eines Atoms ... . . 142
11.4 Ein- und Ausshalten einer sonst konstanten Storung . . . 144
11.5 Periodishe Storungen . . . 147
11.6 Absorptionund stimulierteEmission vonLiht . . . 148
11.6.1 Auswahlregeln fur dieStrahlung, harmonisher Oszillator . . . . 150
11.6.2 Auswahlregeln fur dieStrahlung, Leuhtelektron . . . 151
12 Galerkin- und Variationsmethoden 153 12.1 Galerkinmethode . . . 153
12.2 Variationsmethoden . . . 154
12.2.1 Extremalprinzip. . . 154
12.2.2 Ritzshes Verfahren . . . 155
13 Elemente der Streutheorie 159
13.2 Streuquershnitt, dierentieller Wirkungsquershnitt . . . 160
13.3 Stationare Streuzustande . . . 161
13.4 Asymptotishe Form von'(r), Streuamplitude . . . 161
13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungsquershnitt . . . 162
13.6 Integralgleihung fur diestationaren Streuzustande . . . 162
13.7 Die Bornshe Naherung. . . 164
13.8 Dierentieller Wirkungsquershnitt und Potential . . . 166
13.9 Besipiel: di. Wirkungsquershnitt beimYukawa-Potential . . . 168
V Magnetfeld und Spin 171 14 Geladenes Teilhen im elektromagnetishen Feld 173 14.1 Elektromagnetishe Wehselwirkung, klassish . . . 173
14.2 Elektromagnetishe Wehselwirkung, quantenmehanish . . . 174
14.3 Eihinvarianz . . . 175
14.4 Beispiel: Teilhen imhomogenen, zeitl.konstanten Magnetfeld . . . 177
14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im aueren Magnetfeld . . . 179
15 Teilhen mit Spin 1/2 181 15.1 Experimentelle Grunde . . . 181
15.2 Spinoperatoren . . . 183
15.3 Die Pauli-Gleihung. . . 186
15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) . . . 186
15.5 Zur Addition vonDrehimpulsen . . . 187
15.6 Spin-Bahn-Kopplung und aueresMagnetfeld . . . 193
15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung . . . 193
15.6.3 Wasserstoproblem mit auerem Magnetfeld . . . 195
15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung. . . 196
VI Grundlagen der relativistishen Quantenmehanik 201 16 Herleitung der Dira-Gleihung 203 16.1 Erinnerungan dierelativistishe Mehanik . . . 203
16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik . . . 203
16.1.2 Eigenzeit. . . 204
16.1.3 Vierergeshwindigkeit . . . 204
16.1.4 Viererimpuls. . . 205
16.1.5 Energie-Impuls-Relation . . . 206
16.2 Quantisierung . . . 206
16.3 DieDira-Gleihung des freien Elektrons . . . 207
16.4 Dira-Gleihung und elektromagnetishes Feld . . . 209
16.5 DieDira-Matrizen . . . 210
16.6 Losungfurfreie Teilhen . . . 211
16.7 Kontinuitatsgleihung . . . 213
16.8 DiePotentialshwelle, das Kleinshe Paradoxon . . . 214
17 Elektronenspin 217 17.1 Freies Teilhen imaueren Magnetfeld . . . 217
17.2 Spinoperator. . . 219
17.3 Spin-Bahn-Kopplung . . . 219
Grundz
uge der Quantenmehanik
Das Versagen der klassishen
Physik
{historishe Entwiklung der Quantenmehanik
DieDisziplinenderklassishePhysik sinddieMehanik,Elektrodynamik,Relativitats-
theorie,Thermodynamik, Hydrodynamik, Kontinuumsmehanik
Eigenshaften der klassishen Physik:
1. Axiome sind imMakroskopishen (der realenWelt) direkt nahprufbar
2. Weitgehend anshaulih, weil Begrie aus der makroskopishen Welt verwendet
werden, z.B. Teilheneigenshaften wie Masse, Lage und Geshwindigkeit, aber
auh Felder, Wellen, et.
3. Deterministish. Aus Zustand A(t
0
) ergibt sih eindeutig A(t
1
) mit t
1
>t
0 . Be-
shreibung durh Bewegungsgleihungen, gewohnlihe Dierentialgleihungen
4. Wahrsheinlihkeitsbegrinurnotwendig,wenn nihtalleInformationenvorhan-
den sind, bzw. nihtinteressieren (Beispiel Gasmit10 23
Teilhen)
Eigenshaften der Quantenmehanik, Mikrophysik:
1. Axiome der Mikrophysik ergeben makroskopishes Verhalten. Nur dieses ist ex-
perimentellzuganglihund muanshaulih sein
Mikroskopish
Theorie
niht durhgehend
veranshaulihbar
widerspruhsfrei
!
Makroskopish
Gesamtheit der expe-
rimentellen Daten
2. Mikrophysik ist niht durh klassishe Mehanik beshreibbar, daher auh niht
unbedingtanshaulih.Darausresultierte das Dilemmader Physik um 1900
3. Teilhen-Welle-Dualismus.Mikroskopishe Objekte sind manhmal Teilhen und
manhmal Wellen.Niht anshaulih,aber esfunktioniert imSinne von1.
Beispiele: (1)Liht: Photonen, Lihtwellen
(2)Materie: Teilhen, Materiewellen
(3)aberauh Quasi-Teilhen wie Phononen, Gittershwingungen
4. QM ist niht mehr deterministish im klassishen Sinn. D.h. aus Lage und Ge-
shwindigeiten aller Teilhen zur Zeit t
0
folgen niht eindeutig Lage und Ge-
shwindigkeiten zur Zeit t
1 .
5. Wahrsheinlihkeitsdihte (r;t) als unterste Ebene der Beshreibung. Determi-
nistish, insofern da aus (r;t
0
) eindeutig (r;t
1
) folgt. Beshreibung durh
Shrodingergleihung, partielle Dierentialgleihung
6. Es gilt immer die Heisenbergshe Unsharferelation zwishen kanonish konju-
giertenVariablen,z.B. Ort-Impuls:
xp
x
h=2
Das bedeutet, da im Gegensatz zur klassishen Mehanik nurein Satz vonVa-
riablenzur eindeutigen Festlegung des Systems notwendigist.
1.1 Der shwarze Strahler
1.1.1 Hohlraumstrahlung
{Kirhho 1859
Shwarzer Korper, Hohlraummit Loh
Wande emittieren und absorbierenelektromagnetishe Warmestrahlung
EnergiedihteU(T) isttemperaturabhangig:
U(T)= Z
1
0
u(!;T)d!
u(!;T) istdiespektrale Energiedihte.
Experimentell:Wien 1896
schwarze Strahlung
L L L
u(!;T)/! 3
e b!=T
; ! !1
maximales u
max
=u(!
max
;T); !
max /T
(Wienshes Vershiebungsgesetz)
Fragestellung:Wielat sihu(!;T)aus klassisher Physik (Elektrodynamik,Thermo-
dynamik) berehnen?
Antwort: rihtiggar niht.
1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz
Versuheiner theoretishe Herleitung vonRayleigh, 1900:
Idee: elektromagnetishes Feldim Innern lasst sih in eine abzahlbarunenedlihe An-
zahl von Moden zerlegen, die alleden gleihen Energieanteiltragen.
Gleihverteilungssatz: Energie pro Freiheitsgrad (Mode) 1
2 kT
Feldenergie:Anzahl der Moden imHohlraum x 2 x 1
2 kT
Ermittlungder Anzahl der Moden in Abhangigkeit der Frequenz:
Wellengleihung (aus Maxwell-Gleihungen)
E 1
2
2
E
t 2
=0
Moden
n=1 L n=2
Losung:E(x;y;z;t)=E
0 sin(k
x
x)sin(k
y
y)sin(k
z
z)sin(!t)
k
x
=n
x
=L; n=1;2;3:::, et.
damit:
! 2
2
=k 2
x +k
2
y +k
2
z
=
2
L 2
n 2
; n
2
=n 2
x +n
2
y +n
2
z
also
n = L!
Anzahlder Moden in Kugelshale
dN = 4n
2
8
dn2=
! 2
L 3
2
3
d!
(Faktor 2wegen E und B Feld)
und damit
Kugelschale
dn
n n+dn
n n n z
y
x
u(!;T)d!=
! 2
2
3
kTd!
{Rayleigh{Jeans Formel
Problem:U(T)= R
1
0
ud! !1,divergiert,(Ultraviolettkatastrophe)
dagegen aus Experiment U(T)/T 4
(Stefan Boltzmann)
w u(w,T)
u
w ~ T
~w , Rayleigh-Jeans
~w exp(-bw/T) Wien
m m
2
3
gesuht: Formel fur alle!,inklusive Vershiebungsgesetz
1.1.3 Plankshes Strahlungsgesetz
Planksher Geniestreih(1900):Wandatome sindharmonishe Oszillatorenmitquan-
tisierten Energieniveaus:
n
=n
mitaquidistantem Abstand .
Mittlere Energie:
=
P
n e
n=kT
n
P
n e
n
=kT
=
e
=kT
1
Wandoszillatorenin Resonanz mit el-magn.Wellen. Ersetze kT !:
u(!;T)d!=
! 2
2
3
e
=kT
1 d!
Umdas Wienshe Gesetz zu erfullen, mu/! sein:
=h!
zusammen:
u(!;T)d!=
h!
3
2
3
(e h!=kT
1)
d! Plankshes Gesetz
Stefan-Boltzmann:
R
1
0
ud! =
2
k 4
15h 3
3
T 4
Grenzfalle:
h!
3
e h!=kT
1
(
! 2
kT h!kT Rayleigh-Jeans
h !
3
e h!=kT
h!kT Wien
Problem: Das Ergebnis ist zwar rihtig, aber die Rehnung von Plank basierte auf
zwei falshen Annahmen:
n
=nh !,d.h. Vernahlassigung der Nullpunktsenergie,
eigentlih
n
=(n+1=2)h!
Annahme der Boltzmann-StatistikfurOszillatoren (eigentlih Bose-Einstein)
Dierihtige Erklarungkamdann a 16Jahre spater durh Einstein.
1.1.4 Einsteins Herleitung (1916)
betrahte 2-Niveau-Systeme (Atome).Die gesuhte Energiedihtedes Strahlungsfeldes
ist
u(!;T)=nh !
wobei n die Anzahl der Photonen mit der Energie E
p
= h! ist. Fur
Ubergange gilt
Energieerhaltung,also
E
1 E
0
=E
p
=h !
1.)Absorption
n Photonen E
B u
N , E
N , E
P
01
1 1
0 0
derEinsteinkoeÆzientB
01
folgtaus derquantenm.Rehnung.B
01
u(!;T)istdie
Uber-
gangswahrsheinlihkeit pro Zeit.
2.)Emission
B u 10 + A 10
dieEinsteinkoeÆzienten B
10
und A
10
beshreiben induzierte, bzw.spontane Emission.
3.)
Ubergangsraten
die
Ubergangsraten beshreiben die Anzahl der
Ubergange pro Zeit und sind propor-
tionalzu den jeweiligen Besetzungszahlen:
Absorption W
01
= B
01
u(!;T)N
0
Emission W
10
= (B
10
u(!;T)+A
10 )N
1
Im Gleihgewihtmussen dieRaten gleih sein:
W
01
=W
10
Fur dieBesetzung der Niveaus nimmtman eine Boltzmann-Verteilungan:
N
i /e
E
i
=kT
;
N
1
N
0
=e h!=kT
und damit
u(!;T)=
A
10
B
01 e
h!=kT
B
10
diequantenm. Rehnung ergibt A
10
und B
01
=B
10 ,also
u(!;T)= A
10
B
10 1
e h!=kT
1
Der Vergleihmitder Plankshen Formel ergibt
A
10
B
= h!
3
2
3
1.2 Lihtquanten
bis1900: Liht besteht aus elektromagnetishen Wellen.
1.2.1 Der Photoeekt
{(H. Hertz 1887)
Metall UV e-
Ablosung des Elektrons erst wenn !>!
g
, wobei !
g
materialabhangig
kin. Energie des Elektrons E
kin
/!, unabh.vonIntensitat
Anzahl der Elektronen/Zeit/ Intensitat
Klassishwurde man folgendes erwarten:
E
kin
/ Intensitat
I >I
g
, materialabh.
Erklarung Einstein 1905, Lihtquantenhypothese:
Strahlung =Ansammlung vonLihtquanten (Teilhen) mitE =h =h!
E
kin
=h! W
A
; W
A
= Austrittsarbeit, !
g
=W
A
=h
exp:
E
w w g
kin
1.2.2 Der Compton-Eekt (1922)
{Streuung von RontgenstrahlenmitFrequenz !
0
anElektronen
klassishe Interpretation: Elektron shwingt durh Welle, Abstrahlung mit!
1
=!
0 .
experimentell:
I(e)
λ ∆λ λ λ= 2π c
0 1 w
=
(1 os),
=Streuwinkel
=Compton-Wellenlange (konstant)
{nurerklarbar durh Photonen-Vorstellung
Streuproze: elastisher Sto
00 00 00 11 11
11 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111
0000000000000 1111111111111
P
P P
θ
0
1
1 ph
ph el
Energiebilanz
p
2 2 2 4
des Photons (m=0):E ph
=p= (
h!
0
vorher
h!
1
nahher
des Elektrons: E el
= (
m
0
2
vorher
q
2
(P el
1 )
2
+m 2
0
4
nahher
; m
0
= Ruhemasse El.
rel. Impuls:
des Photons:P ph
= (
P ph
0
= h!0
vorher
P ph
1
= h!1
nahher
des Elektrons: P el
= 8
<
:
0 vorher
P el
1
= m
0 v
p
1 (v=) 2
nahher
(P el
1 )
2
= h 2
2
(!
2
0 +!
2
1 2!
0
!
1 os)
m
0
2
+h!
0
= q
2
(P el
1 )
2
+m 2
0
4
+h!
1
daraus
!
1
!
0
(1 os)= m
2
h
(!
0
!
1 )
mit
!
0
!
1
!
0
!
1
= 1
2 (
1
0 )=
2
folgt:
=
h
m
0
(1 os)
Compton-Wellenlange
= h
m
0:024
A
1.3 Teilhen und Interferenz
Doppelspalt
Loh2 zu !I
1
Loh1 zu !I
2
beide auf:I
12 6=I
1 +I
2
00 00 00 11 11 11
00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11
Q
d/2
-d/2 y
I I
I
1
2
X 12
φ φ
2 1
S
Erklarung im Wellenbild:
Felder
'
i (r)/
e ikjr rij
jr r
i j
Intensitat
I
i (r
s )/j'
i (r
s j
2
/ 1
jr r
i j
2
I
12 /j'
1 +'
2 j
2
x=xs x
s d
/ I
1 +I
2 + 2
q
I
1 I
2 osk
0
y
| {z }
mitk 0
=kd=x
s
Erklarung im Teilhenbild(einzelne Photonen naheinander):
Teilhen:
Kugeln
Loh 2 zu !P
1
Loh 1 zu !P
2
beide auf: P
12
=P
1 +P
2
000 000 000 000 111 111 111 111
00 00 00 11 11 00 11
00 00 11 11 11
00 00 00 11 11 11
00 00 00 11 11 11
00 00 00 00 11 11 11 11 000 000
000 000 111 111 111 111
00 00 00 00 11 11 11 11
00 00 00 00 11 11 11 11 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111
1
P 2
P
2 1
Kanone
Munition
Experimenteller Befund, auh bei einzelnen Photonen:
wennbeideLoheroensind,gibtesInterferenz.DagagenvershwindetdieInterferenz,
wenn dieBahn bekanntist. Also:
Interferenz istEigenshaft eines Photons
Interpretation: jAmplitudej 2
/Wahrsheinlihkeit
Erster Versuh einer Algebraisierung(Dirashe Shreibweise):
j<r
1 jr
2
>j 2
=Wahrsheinlihkeit fur Weg von r
2
nah r
1
Zweiwihtige Regeln:
1. Die Wahrsheinlihkeit fur ein Resultat ist das Betragsquadrat der Summe der
WahrsheinlihkeitsamplitudenfurdieeinzelnenWege,diezudemResultatfuhren
(parallel).
2. DieWahrsheinlihkeitsamplitudefureinenWegistdasProduktderWahrshein-
lihkeitsamplituden fur die einzelnen Shritte, aus denen der Weg besteht (se-
quentiell).
Doppelspaltmit Elektronen
Weg1
j<yj1>< 1jQ>j 2
| {z }
'
1
/P
1
Weg 2
j<yj2>< 2jQ>j 2
| {z }
'
2
/P
2
beide Loher oen:
P
12 /j'
1 +'
2 j
2
000 000 000 000 000
111 111 111 111 111
1
Quelle 2
Licht
D D
y
2 1
jetzt: Messung der Bahn,z.B. durh zwei Detektoren D
1
und D
2 .
Amplitudefur Weg 1+ Photonin D
1
:<yj1>a<1jQ>=a'
1
Amplitudefur Weg 2+ Photon inD
1
: <yj2>b<2jQ>=b'
2
Jebesser der Wegbekannt ist,desto groer wird a=b.
Damit ist die gesamte Wahrsheinlihkeit ein Elektron in jy > und gleihzeitig ein
Photon inD
1
zu nden, die Summeaus beiden Prozessen:
P /ja'
1 +b'
2 j
2
Die Grenzfalle
Bahnbekannt (kurze Wellenlange) ab ! P =P
1
Bahnunbekannt (groe Wellenlange) ab ! P =P
12
sind enthalten.Daraus kann man hier shon den wihtigen Shlu ziehen:
Jede Messung
andert dieWellenfunktion
genauso wie oben lat sih \berehnen":
Weg1 + Photonin D
2
=b'
1
Weg 2+ Photon inD
2
=a'
2
DarausWahrsheinlihkeit dafur,da Elektronin jy>,aufwelhem Wegauhimmer:
P /ja'
1 +b'
2 j
2
+ja'
2 +b'
1 j
2
Die beiden Grenzfalleergeben jetzt:
Bahnbekannt (kurze Wellenlange) ab ! P =P
1 +P
2
Bahnunbekannt (groe Wellenlange) ab ! P =P
12
Darauslat sih eine weitere Regel ableiten:
beiununtersheidbaren Prozessen werden Amplituden addiert(Wellenharakter)
bei vershiedenen Prozessen werden Amplitudenquadrate addiert (Teilhenha-
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 17
1.4 Die Quantisierung atomarer Energiezustande,
die \alte" QM
Der Erkenntnisstand um 1900: Rutherfordshes Atommodell, Kern mit Kernladungs-
zahlz,z ElektronenumkreisendenKernwieklassishe Teilhen,Zusammenhaltdurh
Coulomb-Kraft(analogPlanetensystem).VershiedeneElementewerdennurdurhver-
shiedenes z harakterisiert.
1.4.1 Die Bohrshen Postulate
Dreiklassish unlosbare Probleme:
1. Bahnformen sind beliebige Ellipsen, nur abhangig von gewissen Anfangsbedin-
gungen, daraus sollte untershiedlihes hemishes Verhalten bei gleihem z re-
sultieren.
2. Aus derElektrodynamik istbekannt,da beshleunigteLadungen strahlen. Also
muten alleElektronenbahnen instabilsein, Zerfallszeit 10 10
s
3. Eine kontinuierlihe Abstrahlung von Energie ist moglih und kann niht das
experimentellbeobahtete Linienspektrumerklaren.
experimentell:Rydberg-Serien:
1
=R
H
1
n 2
1
m 2
; m n+1
h!
mn
=E
n E
m
; E
n
= R
H h
n 2
Essieht so aus, alsob nurdiskrete Energieniveaus imAtom existieren.
\Erklarung"mitGewalt,durh NielsBohr, fuhrt zur \alten"Quantenmehanik. Man
erhalt siedurh konsequentes Anwenden der klassishen Mehanik unter Hinzunahme
der sogenannten Bohrshen Postulate:
Die Bohrshen Postulate (1913)
I Es existieren bestimmte Bahnen zu festen Energien E
n
. Auf diesen Bahnen be-
wegensihdieElektronenohne Abstrahlung.DieBahnensind deshalbstationar.
II
Ubergange zwishen stationaren Bahnen fuhren zur Abstrahlung mit der Fre-
quenz
!
mn
=E
n E
m
1.4.2 Die Bohrshe Quantenhypothese
Mathematishe Fragestellungder alten QM:Wie ndetman Energieniveaus?
Antwort: Bohrshe Quantenhypothese
Bei periodisher Bewegung kann das Phasenintegral J nur bestimmte, diskrete (ge-
quantelte) Werte annehmen:
J = 1
2 I
pdq=nh; n=1;2;3:::
1.Besipiel: Der harmonishe Oszillator
Hamiltonfunktion:H(p;q)
E =H(p;q)= p
2
2m +
1
2 m!
2
q 2
(setze m=1)daraus
p(q)= p
2E ! 2
q 2
und H
pdq= 2
! E
-q J q
q p
0 0
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 19
E
n
=h!n
D.h., es existieren diskrete Bahnen im Phasenraum, diese gehoren zu diskreten Ener-
gieniveaus. Damit lat sih der shwarze Strahler \erklaren", d.h. auf die Bohrshe
Quantenhypothese zurukfuhren.
2.Beispiel: Das Wasserstoatom (analogzum Kepler-Problem der klassishen Meha-
nik)
{Beshreibung durh Kugelkoordinaten r;';
{kanonishkonjugierteImpulse: P
r
=mr;_ P
'
=mr 2
_ '; P
=mr 2
_
Hamiltonfunktion:
H(r;;P
r
;P
;P
' )=
1
2m
P 2
r +
1
r 2
P 2
+
1
r 2
sin 2
P
2
'
r
=E
wobei = e
2
4"
0 .
'istzyklish,also _
P
'
= H
'
=0,
daraus folgt ein 1. Integral: P
'
= onst = a
'
(Drehimpulskomp L
z
), d.h. Bewegung
ndetin einer Ebene senkreht zu L
z statt.
Hamilton-Jaobi-Formalismus:SuhekanonisheTransformationso,daalleneuenLa-
gekoordinaten q 0
1
;q 0
2
;q 0
3
zyklishsind.
SeiS(q
i
;P 0
i
) dieErzeugende, dann gilt
P
i
=S=q
i
; q
0
i
=S=P 0
i
;
Einsetzen inH ergibt diezeitunabh. Hamilton-Jaobi-Gleihung:
1
2m 2
6
6
6
6
4 S
r
!
2
+ 1
r 2
S
!
2
+ 1
r 2
sin 2
S
'
!
2
| {z }
a
' 3
7
7
7
7
5
r
=E
EinSeparationsansatz funktioniertmanhmal....:
S(r;;';P 0
i )=S
r (r;P
0
i )+S
(;P
0
i )+S
' (';P
0
i )
und damit
r 2
2m S
r
r
!
2
r Er 2
| {z }
f(r)a 2
= 1
2m 2
4 S
!
2
+ a
2
'
sin 2
3
5
| {z }
g()a 2
a 2
=Drehimpulsquadrat
Die einzelnen S folgen aus Integration der Ausdruke, dieImpulse direkt:
S
r
r
= q
2m(E+ =r) a 2
=r 2
=P
r
S
= q
a 2
a
2
'
=sin 2
=P
S
'
'
= a
'
=P
'
Nahdem man die Impulse bestimmt hat, lassen sih die drei Phasenintegrale bereh-
nen:
J
r
= 1
2 I
P
r
dr=a
+
2 s
2m
E
J
= 1
2 I
P
d =a
a
'
J
'
= 1
2 I
P
'
d'=a
'
auosen nah der Energie:
E =
h 2
E
R
(J
r +J
+J
' )
2
mitder Abkurzung (Rydberg-Energie)
E
R
= me
4
8"
2
0 h
2
13:6eV
Quantenhypothese: fur diedrei Phasenintegrale giltunabhangig:
J
r
=n
r
h; J
=n
h; J
'
=n
' h
und endlih
E
n
= E
R
n 2
; n=n
r +n
+n
'
mit n als Hauptquantenzahl. Als Grundzustandsenergie ergibt sih dann E
1
= E
R ,
wasmit den experimentellen Daten
ubereinstimmt.
{Bestatigung durh Frank-Hertz-Versuh (1914)
k
Hg-Dampf
+
- u -
G A
I
+ 4.9 eV 9.8 eV
I
U
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 21
1.4.3 Das Bohrshe Korrespondenzprinzip
Die Ergebnisse der Quantentheorie gehen fur groe Quantenzahlen in die der klass.
Theorieuber.
Beispiel Wasserstoatom: Aus der klass. Mehanik (Kepler-Problem) kennt man die
Umlaurequenz !
kl
des Elektrons:
!
kl
= 8"
0
e 2
s
2
m ( E)
3=2
Laut Bohrmugelten:
!
B
=!
n;n+1
= 1
h
(E
n+1 E
n )
n1
1
h
dE
n
dn
= 2
h
1
p
E
R ( E
n )
3=2
Einsetzen ergibt!
B
=!
kl .
1.4.4 Zusammenfassung
DiskretisierungdurhWirkungsquantum. Wirkung J muVielfahes vonhsein.
Neue(niht-klassishe)Phanomene,wennJ indieNahevonhkommt.FurJ h
erhaltman dieErgebnisse der klass.Mehanik
1.4.5 Kritikpunkte an alter QM
ad-hoAnsatze imRahmenklass.Vorstellungen,nurdurhdasrihtige Ergebnis
begrundbar.
Nur deterministishe Dynamikmoglih.Spontane Emission?
Nur anwendbar auf periodishe Bewegungen
Versagt shon bei etwas komplizierterenProblemen (He,H +
2 ,...)
Deshalb: Auf zu neuen Ufern!
Wellenfunktionen
Bohr:klassishe Beshreibung durhTeilhen (q(t);p(t))+Quantisierungsvorshriften
Quantenmehanik: Beshreibung durh Wellenfunktion (q;t)
Teilhen (klassish) ! gewohnlihe DGL furq(t);p(t)
Wellenfunktion !partielleDGL !Randbedingungen !Quantisierungsvorshrift
2.1 Mathematishe Hilfsmittel
2.1.1 Fourier-Reihen
Sei (x) im Intervall L
2
x
L
2
mit Dirihlet-Bedingungen (stukweise stetig, an
Unstetigkeitstellen Mittelwert)
Satz:Die Funktionen
1
p
L e
ik
n x
; k
n
= 2
L
n; n=0;1;2:: (2.1)
bilden ein VONS (vollstandiges, orthonormiertes Funktionensystem) zur Klasse der
stukweise stetigen Funktionen(x) mitPeriode L.
Entwiklungssatz:
(x) = 1
X
n= 1
n e
ik
n x
(2.2)
wobeidieKoeÆzienten
n
gegeben sind durh die
Umkehrrelation:
n
= 1
L Z
L=2
L=2 dx
0
(x 0
)e ik
n x
0
(2.3)
Vollstandigkeitssrelation:
Einsetzen von(2.3) in (2.2) ergibt:
(x)= Z
L=2
L=2 dx
0
(x 0
)Æ(x x 0
)
mitder Abkurzung
Æ(x x 0
)= 1
L 1
X
n= 1 e
ikn(x x 0
)
(2.4)
Der Ausdruk (2.4) ist gerade eine Denition der Dirashen Delta-Funktion (siehe
weiterunten).ErdruktauhdieVollstandigkeitdesSystems(2.1)ausundwirddaher
alsVollstandigkeitsrelationbezeihnet.
Orthonormierungsbedingung:
Andererseits erhalten wir durh einsetzen von(2.2) in (2.3)
n
= 1
X
n 0
= 1 Æ
nn 0
n 0
mitder Abkurzung
Æ
nn 0
= 1
L Z
L=2
n= L=2 e
ix(k
n 0
k
n )
dx (2.5)
Der Ausdruk (2.5) stellt das Kroneker-Symbol dar und wird alsOrthonormierungs-
bedingung des Systems(2.1) bezeihnet.
Parsevalshe Gleihung:
SeiendieEntwiklungskoeÆzienten von(x)gegebenals
n
,dievon (x) alsb
n ,dann
giltdieParsevalshe Gleihung
Z
L=2
n= L=2 dx
(x) (x)=L 1
X
n= 1 b
n
n
2.1.2 Fourier-Integral
Anshaulih: Grenzubergang L ! 1, damit wird k
n
kontinuierlih, k
n
! k, und die
FourierkoeÆzienten gehen in die Fouriertransformierte
uber. Im weiteren sollen die
Funktionen(x) L
2
-normierbar (quadratintegrabel)sein, d.h. esgilt
Z
1
1
dxj(x)j 2
<1
wegen
n
/1=Lverwenden wir alsFouriertransformierte
a(k)=a(k
n )=
L
p
n
Ausgehend von (2.2) formulieren wir den Entwiklungssatz fur kontinuierlihes k:
(x)= 1
X
n= 1
n e
iknx
= p
2
L 1
X
n= 1 a(k
n )e
iknx
n
mit
n
=1= L
2
k. Damit
(x) = 1
p
2 1
X
n= 1 a(k
n )e
iknx
k
ergibtnah dem Grenzubergangk !0 den
Entwiklungssatz:
(x)= 1
p
2 Z
1
1
dka(k)e ikx
(2.6)
Aus(2.3) folgt sofortdie
Umkehrrelation:
a(k)= 1
p
2 Z
1
1 dx
0
(x 0
)e ikx
0
(2.7)
Einsetzen von(2.7) in (2.6)ergibt wieder
(x) = Z
1
1 dx
0
(x 0
)Æ(x x 0
)
mitder
Vollstandigkeitssrelation:
Æ(x x 0
)= 1
2 Z
1
1 dke
ik(x x 0
)
Einsetzen von(2.6) in (2.7)liefert
a(k)= Z
1
1 dk
0
a(k 0
)Æ(k k 0
)
mitder
Orthonormierungsbedingung:
Æ(k k 0
)= 1
Z
1
dxe ix(k k
0
)
Ausder Parsevalshen Gleihung wird
Z
1
1 dx
(x) (x)= Z
1
1 dka
(k)b(k)
Der Spezialfall
Z
1
1
dxj(x)j 2
= Z
1
1
dkja(k)j 2
bedeutet die Erhaltung der Normierung unter Fouriertransformationen.
2.1.3 Die Dirashe Delta-Funktion
Æ(x) isteine uneigentlihe Funktion,die nurunter dem Integral deniert ist:
Æ(x)=0 wenn x6=0; und Z
b
a
dxÆ(x)=1 ;a<0; b >0
und auerdem
Z
b
a
dxÆ(x )f(x)=f() ;a<<b
Die Æ-Funktion alsGrenzwert stetig dierenzierbarer Funktionen:
Vorbemerkung: esgiltimmer
lim
!0 Z
1
1 dxÆ
(x a)f(x)=f(a)
wobeierst das Integral, dann der Limesausgewertet werden mu.
1. Æ
(x)=
1
2 R
1=
1=
e ikx
dk= 1
sin(
x
)
x
2. Æ
(x)=
1
x 2
+ 2
; Lorentz-Kurve
3. Æ
(x)=
1
e
x 2
2
; Gau-Kurve
4. Æ
(x)=
1
sin(x=)
x=
2
Æ(x) = Æ( x)
Æ(x) = d
dx
(x); (x) = Stufenfunktion
xÆ(x) = 0
Æ(ax) = 1
jaj Æ(x)
Æ(f(x)) = X
i 1
df
dx
x
i
Æ(x x
i
); f(x
i )=0
2jxjÆ(x 2
) = Æ(x)
x dÆ(x)
dx
= Æ(x)
Æ 3
(r) = Æ(x)Æ(y)Æ(z)
2.2 Materiewellen
DerWelle/Teilhen-DualismuswurdezuerstfurPhotonen vorgeshlagen.Welleneigen-
shaften sind ! und k, Teilheneigenshaften E und p. Einsteinfand dieRelationen
E = h!
p = hk (2.8)
aus dem Photoeekt 1905. Wegen E =jpj ergibt sih dieDispersionsrelation
!(k)=jkj
in
Ubereinstimmung mit den Wellengleihungen der Elektrodynamik (aus Maxwell-
Gl.).
deBroglie(1924):DieRelationen(2.8)geltenauhfurMaterieteilhenmitRuhemasse!
DieDispersionsrelation(niht-relativistish)lautet jetzt
!(k)= hk
2
2m
Wiesieht dieWellengleihung dazu aus?
Durhdiede BroglieshenBeziehungen(2.8)lat sihdieBohrshe Quantenhypothese
motivieren.BetrahteElektron auf Kreisbahn mitRadius R :
J
'
= 1
2 Z
2
d'p
'
=R p=nh
de Broglie:p=hk=2h= ergibt
2R=n
also nur stehende Wellen auf Umfang. Alle anderen Wellenlangen loshen sih durh
Interferenz aus und kommen somit niht vor.
Ananlog zur E-Dynamik konnen wir jetzteine Wellenfunktion fur Materieteilhen de-
nieren(ebene Wellen):
EW
(r;t)=A(k)e
i(kr !(k)t)
; !(k)= hk
2
2m
(2.9)
Phase
x Fl chen konstanter
k y
.. a
2.3 Interpretation der Wellenfunktion
Teilhen = Welle?
Gibt wenig Sinn, da ein Teilhen irgendwie lokalisiert sein sollte. Man wei aber aus
Interferenzexperimenten das gilt
I /P /j j 2
Das legt nahe, diepositiv deniteGroe
2 3 3
als Wahrsheinlihkeit aufzufassen, ein Teilhen zur Zeit t bei r im Volumenelement
d 3
r zu nden.
Normierung (Wahrsh., das Teilhen irgendwoin V zu nden =1):
Z
V d
3
rj (r;t)j 2
=1
d.h. furTeilhen, die durh ebene Wellen (2.9) beshrieben werden, gilt
EW
= 1
V
d.h.es handeltsihum einen vollstandig delokalisiertenZustand (grotmogliheOrts-
unsharfe).
2.4 Wellenpakete
Die Normierbarkeit bedeutet, da die QM eine lineare Theorie sein mu. D.h. es gilt
auhdasSuperpositionsprinzip.Aus(2.9)lassensihWellenpaketemitbeliebigenA(k)
shnuren (hier nur ineiner Dimension):
(x;t)= 1
p
2 Z
1
1
dkA(k)e
i(kx !(k)t)
(2.10)
und (Normierung)
Z
1
1
dkjA(k)j 2
=1
z.B.Gau-Kurve:
A(k)
k 0 k
LokalisierteZustande
SeiA(k)hauptsahlihum k
0
lokalisiert,dann lat sih entwikeln:
!(k)!(k
0 )+
d!
dk
k
0
| {z }
vg
(k k
0 )+
1
2 d
2
!
dk 2
k
0
(k k
0 )
2
+::::
Seizunahst d
2
!
dk 2
=0, dann giltfur dieWahrsheinlihkeitsdihte
(x;t) =j j 2
= 1
2 Z Z
dkdk 0
A(k)A
(k 0
)e i(k k
0
)(x vgt)
=
0 (x v
g t)
wobei
0
(x) = (x;t = 0) die Anfangsverteilung bezeihnet. Das Wellenpaket bewegt
sihalso mitder Gruppengeshwindigkeit
v
g
= d!
dk
k0
ohne dabei seine Form zu
andern.
d 2
!
dk 2
=0 !!/k; z.B. beiLihtwellen
Materiewellen:
d 2
!
dk 2
= h
m 6=0:
Wellenpakete aus Materiewellen zerieen
ρ
x t=t 0
ρ
x t>t
0
Teilhen = Wellenpaket?
Auhniht,daWellenpaket zeriet. Wieder j j 2
Wahrsheinlihkeitsdihte, das Teil-
hen zu nden. Dann bedeutet \zerieen", da die Unsiherheit
uber den Ort zu-
nimmt.
Beispiel: Gau-Kurve:
(x;t)= s
b(0)
2 3=2
Z
1
1 dk e
b(0) 2
2 (k k
0 )
2
| {z }
/A(k) e
i(kx !(k)t)
und daraus
(x;t)=j j 2
= 1
p
e (x
hk
0
m t)
2
=b(t) 2
wobei
b(t) = v
u
u
t
b(0) 2
+ 1
b(0) 2
h
m t
!
2
dieBreitedes Pakets beshreibt. Wegen db=dt>0 ietdas Paket auseinander.
A(k)
k k 0
∆k 1
1/e
Unsharfe imk-Raum:
k= 2
b(0)
Esgilt
xk 4 t0
ρ( t)
∆ x x
1
1/e
Unsharfe im Ortsraum:
x =2b(t)
Anshaulih:TeilhenbestehtausWellenmitvershiedenen(unsharf)Phasengeshwin-
digkeiten.Dadurhlauftesauseinander.Durhde BrogliekommtdiePhysik insSpiel.
Mitk =p=h erhalt man dieUnsharferelation:
Unsharferelation isteine Konsequenz der Welle-Teilhen-Beshreibung.
Bohrshes Komplementaritatsprinzip
Komplementare Variable(klassish:kanonish konjugiert), z.B.:
(p;q); (E;t)
sindprinzipiellgleihzeitignursogenaubestimmbar,wieinEinklangmitderUnsharfe-
relation
2.5 Erwartungswerte
{statistishe Deutung der Wellenfunktion
BeispielWurfel:(N)=1=6, N =1::6
Erwartungswert =Mittlere Augenzahl (beiunendlih vielen Wurfen):
<N >=
6
X
N=1
N (N)
|{z }
Gewihtung
=3:5
Im Kontinuierlihen: z.B.Groenverteilung (h):
Erwartungswert =mittlere Groe
<h>=
Z
hmax
0
dhh(h);
Z
hmax
0
dh(h)=1
Aus der Wellenfunktion(Ortsdarstellung) lat sih leiht der mittlere Ort (eines Teil-
hens) ausrehnen:
<r(t)>=
Z
1
1 d
3
rr(r;t)= Z
1
1 d
3
r
(r;t)r (r;t)
2.6 Operatoren
Wielat sih der Erwartungswert von <p> berehnen?
<p(t)>=
Z
1
d 3
p p (p;~ t)
Fur ebene Wellen haben wir p =hk. Versuh: Identiziere den Impulsraummit dem
k-Raum (Fourier-Raum).Also:
~
(p;t)h 3=2
A(p=h) =
1
(2h) 3=2
Z
1
1 d
3
r e i
h
pr
(r;t)
(r;t) =
1
(2h) 3=2
Z
1
1 d
3
p e i
h
pr
~
(q;t)
Einsetzen:
<p(t)>=
1
(2h) 3
Z
1
1 d
3
r (r;t) Z
1
1 d
3
r 0
(r 0
;t) Z
1
1 d
3
p pe i
h
(r r 0
)p
| {z }
=J
Dasletzte Integral ergibt:
J =ih r
r Z
1
1 d
3
p e i
h
(r r 0
)p
=(2h) 3
ih r
r
Æ(r r 0
)
Damit
<p(t) > = ih Z
1
1 d
3
r 0
(r 0
;t) Z
1
1 d
3
r (r;t)r
r
Æ(r r 0
)
= ih Z
1
1 d
3
r 0
(r 0
;t) 8
>
>
>
<
>
>
>
:
(r;t)Æ(r r 0
)
1
1
| {z }
=0
Z
1
1 d
3
r Æ(r r 0
)r (r;t) 9
>
>
>
=
>
>
>
;
wobeidas letzteIntegral partiellintegriert wurde.
Zusammengefat ergibt sih fur die Erwartungswerte des Ortes und des Impulses im
Ortsraum (inder Ortsdarstellung):
<p(t)> = Z
1
1 d
3
r
(r;t)( ihr) (r;t)
<r(t)> = Z
1
1 d
3
r
(r;t)r (r;t)
Dasgilt auh furbeliebige Funktionen:
<g(p)> = Z
1
1 d
3
r
g( ihr)
<f(r)> = Z
1
d 3
r
f(r)
z.B. furdie kinetishe Energie:
<E
kin
>=
<p 2
>
2m
= Z
1
1 d
3
r
h 2
2m
!
Andererseits lassen sih die Erwartungswerte auh im Impulsraum(in der Impulsdar-
stellung) ausdruken:
<p(t)> = Z
1
1 d
3
p
~
(p;t)p
~
(p;t)
<r(t)> = Z
1
1 d
3
p
~
(p;t)(ihr
p )
~
(p;t)
FolgendevorlaugeAussagen lassen sih mahen:
Erwartungswerte lassen sih invershiedenen Darstellungen (Raumen) formulie-
ren.
Denklassishen Observablen(messbareGroen)werden(lineare)Operatorenzu-
geordnet:
<X >=
Z
d
()
^
X ()
Speziell furdie Ortsdarstellung geltendie Jordanshen Regeln:
^r = r
^
p = ih r
Beispiele (Ortsdarstellung):
Drehimpuls L=rp
^
L= ih rr
kinetishe Energie T = p
2
2m
^
T = h 2
2m
potentielle Energie V(r)
^
V(r)=V(r)
Die Shr
odingergleihung
Fragestellung:Wie entwikeln sih Zustande inder Zeit?
(0) ! (t) ?
Forderungen(empirish):
1. (r;t) soll eindeutig bestimmt sein aus (r;0), es mu sih um eine partielle
DGL 1.Ordnung int handeln.
2. Surerpositionsprinzip (Interferenz) und Normierbarkeit fuhren auf eine lineare
PDGL.
3. Ebene Wellen sollen Losung sein (freies Teilhen) mit der Dispersionsrelation
!(k)= hk
2
2m
4. Im Raum darf eskeine Vorzugsrihtung geben (Isotropie des Raumes)
Damitzunahst:
0 _
=+ +
wegen (t)=0 wenn (0)=0folgt sofort=0.
3.1 Das freie Teilhen
Losungebene Wellen:
=Ae
ikr i!(k)t
damit
0 ihk
2
2m
= k
2
Freies Teilhen: =0
Eine Moglihkeit:
0
=ih , = h 2
2m , also
ih
t
(r;t)= h 2
2m
(r;t)
hat als Losung ebene Wellen und Wellenpakete. Es handeltsih um eine PDGL, d.h.
man benotigt Randbedingungen. Diese fuhren zwanglos zu einer Quantisierungsvor-
shrift
Beispiel: Teilhen im1D-Potentialtopf(oder: das fast freieTeilhen)
x=0 x=L
Ψ 2 Ψ 3
E 1 E 2
E 3
V= 8 V=0 V=
Ψ 1
8
Randbedingungen: (0)= (L) =0
Losung:
n
(x;t)=Asink
n xe
i!(kn)t
; k
n
=
L n
daraus:
E
n
=h!(k
n )=
h 2
k 2
=
2
h 2
2 n
2
3.2. TEILCHENIM AUSSERENPOTENTIAL 37
3.2 Teilhen im
aueren Potential
Klassish:K(r)= rU(r)
H(r;p)=T(p)+U(r)= p
2
2m
+U(r)
freiesTeilhen: ih
t
=
^
T
Idee: ersetze
^
T !
^
T +
^
U(r)
^
H = Hamilton-Operator,Hamiltonian
Einteilhen-Shrodingergleihung (Ortsraum, Ortsdarstellung)damit:
ih
t
(r;t)=
"
h 2
2m
+U(r)
#
(r;t)
FurN wehselwirkende Teilhen ergibt sih ganz analog:
ih
t (r
1 :::r
N
;t)=
"
N
X
n h 2
2m
n
r
n
+U(r
1 ::r
N )
#
(r
1 ::r
N
;t)
3.3 Die zeitunabh
angige Shr
odingergleihung
erhaltman durhden Separationsansatz:
(r;t)=(r)e i
E
h t
Sielautet
E(r)=
^
H(r)
undist zugleihdieEigenwertgleihungzum Hamiltonoperator
^
H mitdemEigenwert-
spektrum E. DieWerte E sind reell, weil
^
H selbstadjungiertist.
3.4 Die Kontinuitatsgleihung
globaleBilanzgleihung:
d
dt Z
V d
3
r (r;t)
| {z }
Anderung der Gesamtmasse +
Z
F(V) d
2
f j(r;t)
| {z }
Stromdurh Oberahe
= 0
mitj alsStromdihte. Anwendung des Gaushen Satzes:
Z
F(V) d
2
f j(r;t)= Z
V d
3
r divj(r;t)
ergibt dieKontinuitatsgleihung(lokale Bilanzgleihung):
_
(r;t)+divj(r;t)=0 (3.1)
Wirbringen jetztdie Shrodingergleihung indie Form:
_
= h
2mi +
U
ih
Dannerhalten wir aus (3.1)
_ =
_
+ _
= h
2mi (
)
oder
_ +
h
2mi div(
r r
)=0
und damit
j= h
2mi (
r r
)
alsStromdihte. DasliefertgleihzeitigdieErhaltungderNormierungder Wahrshein-
lihkeit:
d
dt Z
v dV
| {z }
=1
= Z
v _ dV =
Z
V
divjdV Gau
= Z
F(V) jd
2
f =0
3.5 Andere Wellengleihungen
BisherigesErfolgsrezept: Die Jordanshen Regeln:
p ! p^ = ih r
E !
^
E =ih
t
ergeben, angewandt aufE =H(p;r) ,dieShrodingergleihung.
3.5.1 Wellengleihung
FurPhotonen (m
0
=0) giltE =jpj,oder E 2
=p 2
2
.
Jordanshe Regeln hierauf:
"
1
2
2
t 2
#
=0
Wellengleihung aus Maxell-Gl.
3.5.2 Klein-Gordon-Gleihung
Furrelativistishe Teilhen mitRuhemasse m
0
giltdieEnergie-Impuls-Beziehung
E = q
m 2
0
4
+p 2
2
QuadrierenundAnwendungderJordanshenRegelnergibtdieKlein-Gordon-Gleihung
"
1
2
2
t 2
#
= m
2
0
2
h 2
Siebeshreibt z.B. Mesonen(Teilhen mitRuhemasse, aberohne Spin).
AndereMoglihkeit:Dira-Gleihungzurrel.Beshreibung vonSpin-1/2Teilhen(z.B.
3.5.3 Quasi-klassishe Naherung
{Formaler
Ubergang zwishen Mehanik und Quantenmehanik.
Einfuhrungeiner Wirkung S(r;t).
(r;t)=e i
h
S(r;t)
Einsetzten inShrodingergl.:
S
t
= 1
2m (rS)
2
+U(r) ih
2m S
Entwikle S nah h (semi-klassish):
S(r;t)= X
n (ih)
n
S
n (r;t)
inniedrigster Ordnung h 0
:
S
0
t
= 1
2m (rS
0 )
2
+U(r)
{Hamilton-Jaobi-Gleihung,Eikonalgleihung.
{wegen p=rS
0
verlaufen dieTeilhenbahnen senkreht zu den Flahen S
0
= onst.
(Beispiel: freiesTeilhen, p =p
0
= onst. S
0
=p
0
r Et)
Bewegung der Fronten der
Wirkwellen:
S
0
=onst, dS
0
=0:
dS
0
=rS
0
|{z}
=p0 dr+
S
t
|{z}
= E
dt=0
p
0 u=E
juj= E
jp
0 j
u=dr=dt,Phasengeshw. der
Wirkwellen.
u
p 0
S 0 = const
3.6 Die Postulate der Quantenmehanik
1. Posatulat
(I) Ein physikalishes System wird durh eine Zustandsfunktion
(q;t) beshrieben. Der Ausdruk j (q;t)j 2
d N
q gibt die Wahr-
sheinlihkeit an, das System zur Zeit t im Volumenelement d N
q
um q zu nden.
2.Postulat
(II) DenMegroen (Observablen)der klassishen Physik entspre-
hen in der Quantenmehanik Operatoren (
^
A).
3.Postulat
Die Mittelwerte der Operatoren im Zustand (r;t) sind gegeben durh
<A(t)>=
Z
V d
3
r
(r;t)
^
A (r;t)
die mittlerequadratishe Abweihung (Varianz) istdeniert durh:
(A) 2
<(<A> A) 2
>=<(<A>
2
2A<A>+A 2
)>=<A 2
> <A>
2
Der Ausdruk A ist proportional zur prinzipiellen (d.h. niht durh die Me-
tehnik bedingten) Unsharfe einer Messungder zu
^
A gehorenden Observablen.
(III) Das Ergebnis einer prazisen Messung (A=0) von A ist ein
Eigenwert von
^
A.
Erganzung:
Eigenwertgleihung von
^
A:
^
A'
;
=a
'
;
mit'
;
=Eigenfunktion, a
=Eigenwert, = Entartungsindex.
Sei '
;
einVONSin der Ortsdarstellung.
Entwiklungssatz:
(r;t)= X
; (t)'
; (r)
Dannist
<A(t) >=
X
;;
0
; 0
; (t)
0
; 0(t)
Z
V d
3
r '
; (r)
^
A'
0
; 0(r)
| {z }
=a
0
'
0
; 0
= X
;;
0
; 0
; (t)
0
; 0
(t)a
0
Æ
; 0
Æ
; 0
= X
; j
; (t)j
2
a
X
(t)a
Wobei
(t)=
X
j
; (t)j
2
dieWahrsheinlihkeitangibt, bei Messungvon A den Mewert a
zu nden.
4. Postulat
(IV) Die zeitlihe Entwiklung eines Zustandes wird durh die
Shrodingergleihung beshrieben:
ih
t
(t)=
^
H (t) (3.2)
Formallat sihein Zeitentwiklungsoperator
^
U(t) einfuhren,so da:
(t
1 )=
^
U(t
1 t
0 ) (t
0 )
gilt.Die formale Integration von (3.2) liefertandererseits(wenn
t
^
H =0gilt):
(t
1 )=e
i
h
^
H(t
1 t
0 )
| {z }
=
^
U(t1 t0) (t
0 )
auerdem gilt:
^
U(t
1 +t
2 )=
^
U(t
1 )
^
U(t
2 )
3.7 Feynmanshe Pfadintegrale
{mehr intuitiver Zugangzur QM
{Pfadintegrale, Wegintegrale,Propagator
3.7.1 Propagatoren
BetrahteTeilhen imZustand jx
a
>zur Zeit t
a
, z.B. inder Ortsdarstellung
<xjx
a
>=Æ(x x
a )
mitwelher Wahrsheinlihkeitist es zur Zeit t
e
bei jx
e
> ?
Feynmann:Summierung
uber alleWege, dievonx
a
nah x
e
fuhren.
e a
t e
x
a t x
x
t
UbergangswahrsheinlihkeitfurAusbreitung = Propagator:
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a
)=<x
e j
^
U(t
e t
a )jx
a
>
Zur naherungsweisen Berehnung: fuhre Zwishenpunkte x
2 :::x
N 1
ein, an denen das
Teilhen zur Zeit t ist(Zeitgitterung):
t t e e
3
x N-1
x
N-1
∆ t
t a t 2 t 3 x xa
x 2
x
...
t
3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral
Der Kurzzeitpropagator beshreibt die
Ubergangswahrsheinlihkeitvoneinem Punkt
aufden benahbarten:
P(x
n+1
;t
n+1
;x
n
;t
n
)=<x
n+1 j
^
U(t)jx
n
>=<x
n+1 je
i
h
^
Ht
jx
n
>
damit ergibtsih das Wegintegral
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a )=
Z
dx
N 1 dx
N 2 :::dx
2 P(x
N
;t
N
;x
N 1
;t
N 1 )P(x
N 1
;t
N 1
;x
N 2
;t
N 2
)::::P(x
2
;t
2
;x
1
;t
1 )
Berehnung der einzelnen Kurzzeitpropagatoren:
<x
n+1 je
i
h
^
Ht
jx
n
> = Z
dxÆ(x x
n+1 )e
i
h
t(T(^p)+V(xn))
Æ(x x
n )
Z
dxÆ(x x
n+1 )e
i
h
tT(^p)
Æ(x x
n )
| {z }
= 1
2h R
dpne i
h p
n (x x
n )
e i
h
tV(xn)
= 1
2h Z
dx Z
dp
n
Æ(x x
n+1 )e
i
h
[pn(x xn) H(pm;xn)t℄
= 1
2h Z
dp
n e
i
h h
pn x
n+1 xn
t
H(pm;xn) i
t
(3.3)
Der Limes t!0fuhrt inder ekigen KlammerimExponent auf
[:::℄ =p x_ H(p ;x )=L(P ;x )
alsoauf dieklassishe Lagrange-Funktion. Damitergibtsih furden Kurzzeitpropaga-
toralsoendgultig der einfahe Ausdruk:
P(x
n+1
;t
n+1
;x
n
;t
n )
t!0
= 1
2h Z
dp
n e
i
h
L(pn;xn)t
Furden gesammten Prozess von x
a
nah x
e
erhalten wir damitdas Pfadintegral
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a
)= lim
N!1 Z
dx
2 dx
3 :::dx
N 1 Z
dp
1 dp
2 dp
3 :::dp
N 1 e
i
h R
t
e
t
a
L(p;x)dt
wobeidas Integral imExponenten einFunktional des Weges vonx
a
nahx
b
(klassish
alsox(t);p(t)) ist.
FurdieVielfah-(eigentlihUnendlihfah-)Integraleverwendetmanoftdieabgekurz-
teNotation
lim
N!1 Z
dx
2 dx
3 :::dx
N 1
Z
Dx
und
lim
N!1 1
(2h) N 1
Z
dp
1 dp
2 dp
3 :::dp
N 1
Z
Dp
2h
oder
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a )=
Z
Dx Z
Dp
2h exp
i
h
Z
t
e
ta
L(p;x)dt
(3.4)
Die anshaulihe Erklarung des Pfadintegrales ist die, da man
uber alle Wege im
Phasenraum (x;p), die von x
a
nah x
b
fuhren, aufsummiert und die einzelnen Wege
mitdem Ausdruk
exp
i
h
Z
t
e
ta
L(p;x)dt
gewihtet. Dabeiistentsheidend, da der Wegamstarksten zur Summebeitragt, bei
dem der Exponentextremal wird, also
Z
Ldt=Extr.
Das ist aber gerade der Weg, den ein Teilhen gehen wurde, da der klassishen Me-
hanik folgt. Die Wege, bei denen der Exponent bezuglih benahbarter Wege stark
a t t x a
e
Variation Variation schwache
starke klassischer Weg
t x e
x
3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum
In der Form (3.4) ist das Pfadintegral im Phasenraum dargestellt. Die ursprunglihen
Arbeiten von Feynman verwendeten das Pfadintegral im Kongurationsraum. Man
gelangtzu dieserDarstellung durh ausintegrieren der Impulse. Sei
^
H =
^ p 2
2m
+U(x)
dann lasst sih (3.3)shreiben als:
<x
n+1 je
i
h
^
Ht
jx
n
>=e i
h
U(x
n )t
1
2h Z
dp
n e
i
h h
p
n x
n+1 xn
t pn
2m i
t
| {z }
=J
Der Ausdruk J lasst sihquadratish erganzenzu
J = 1
2h e
i
h
m
2
x
n+1 xn
t
2
t Z
dp
n e
i
h
1
2m
pn x
n+1 xn
t m
2
t
Das letzte Integral (komplexes Gau-Integral, Fresnel-Integral) lasst sih ausrehnen.
Fur den Kurzzeitpropagator erhalten wir insgesamt
<x
n+1 je
i
h
^
Ht
jx
n
>=
r
m
e i
h
m
2
x
n+1 x
n
t
2
U(xn)
t
und shlielih fur das Wegintegral inder Ortsdarstellung wie in3.7.2
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a
)= lim
N!1 Z
dx
2 dx
3 :::dx
N 1
m
2hit
N 1
2
e i
h R
t
e
ta
L(_x ;x)dt
(3.5)
wobeijetzt alsonur noh uberWege imOrtsraum integriertwird.
3.7.4 Beispiel: das freie Teilhen
AlsAnwendung wollen wir den Propagator fur das freie Teilhen berehnen:
U(x)=0; L(x )_ = m
2 _ x 2
Ausgehend von (3.5) erhalten wir
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a
)= lim
N!1
m
2hit
N 1
2 Z
dx
2 dx
3 :::dx
N 1 e
im
2ht P
N 1
n=1 (x
n+1 xn)
2
(3.6)
wobei x
1
= x
a
und x
N
= x
e
festgehalten werden. Im folgenden verwenden wir die
Hilfsformel(Faltungzweier Gau-Funktionen):
Z
1
1 e
(x a) 2
e (x b)
2
= s
+ e
+ (a b)
2
Zunahst werten wir das erste Integral, zusammen miteinemVorfaktor m
2hit
in (3.6)
aus. Mitder Hilfsformelergibt sih
m
2hit Z
dx
2 e
im
2h t (x
2 x
1 )
2
e im
2h t (x
3 x
2 )
2
= s
m
2hi(2t) e
im
2h(2t) (x
1 x
3 )
2
D.h.eine Integration liefertdieVorshrift,imVorfaktorundim Exponenten tdurh
2tzu ersetzen und imExponenten
(x
2 x
1 )
2
+(x
3 x
2 )
2
!(x
1 x
3 )
2
zu ersetzen. Wenn wir allex
n
ausintegrieren, mussen wir deshalb dieSubstitutionen
t !(N 1)t=t t
und
N 1
X
n=1 (x
n+1 x
n )
2
!(x
a x
e )
2
durhfuhren. Damitlautet das Wegintegral furdas freieTeilhen endlih:
P(x
e
;t
e
;x
a
;t
a )=
s
m
2hi(t
e t
a )
exp
"
i
h
m
2 (x
e x
a )
2
t
e t
a
#
Bemerkenswert ist dabei,dass diePhase genau der Wirkung entspriht, die der klas-
sishe Weg des freien Teilhens ergibt:
S
KL
= Z
t
e
ta
Ldt= m
2 Z
t
e
ta _ x 2
dt = m
2 Z
t
e
ta
x
e x
a
t
e t
a
2
dt = m
2 (x
e x
a )
2
t
e t
a
Die Wahrsheinlihkeitsdihte, das Teilhen nah der Zeit t =t
e t
a
zu nden ergibt
sihdann zu
=jPj 2
/ 1
t
analogzu dem ErgebnisfurWellenpakete.
Quantenmehanik im Hilbert-Raum