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(1)

Mihael Bestehorn

1. Version SS 1999, 2. Version, mit Abbildungen SS 2000

(2)

Literatur

Beider folgendenListe handelt essihum eine subjektive Auswahl, daesQM-Buher

wieSandamMeergibt.ZumTeilhaben diegenanntenWerkejedohbeiderAbfassung

des Skriptes geholfen.

1. W.Nolting, Grundkurs Theoretishe Physik, Band 5.1, 5.2

Ziemlihumfassendund sehr ausfuhrlih,klareDarstellung. Noltingshweift oft

etwasweit vom Themaab.

2. F.Shwabl, Quantenmehanik, Quantenmehanik fur Fortgeshrittene

DerzweiteBandbehandeltausfuhrlihrelativistisheQM,aberauhweiterfuhren-

de Themen, die in der Vorlesung niht behandelt werden, wie z.B. 2. Quantisie-

rung und Quantenelektrodynamik.

3. D.I.Blohinzew

Alt, aber immernoh gut und lesenswert.

4. R. Feynmann, FeynmannLetures III

Genial, uberhaupt dann, wenn man QM shon kennt

5. C. Cohen-Tannoudi, Quantenmehanik 1und 2

Umfassendes modern gshriebenes Werk, mit vielen Aufgaben und Standardre-

hungen. Sehrzu empfehlen.

6. S.Gromann Funktionalanalysis

Leiht veralteter Stil, aber gut fur den mathematishen Hintegrund. Man muss

es ja niht ganz lesen.

DiemeistenAbbildungendieser Version stammenvonFrau MihaelaEnulesu. Ihrsei

andieser Stelle herzlihgedankt.

(3)
(4)

I Grundzuge der Quantenmehanik 1

1 Das Versagen der klassishen Physik 3

1.1 Der shwarze Strahler. . . 4

1.1.1 Hohlraumstrahlung . . . 4

1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz . . . 5

1.1.3 Plankshes Strahlungsgesetz . . . 6

1.1.4 Einsteins Herleitung(1916) . . . 7

1.2 Lihtquanten . . . 9

1.2.1 Der Photoeekt . . . 9

1.2.2 Der Compton-Eekt (1922) . . . 10

1.3 Teilhen und Interferenz . . . 12

1.4 Quantisierungatomarer Energiezustande, \alte" QM . . . 17

1.4.1 Die Bohrshen Postulate . . . 17

1.4.2 Die Bohrshe Quantenhypothese . . . 18

1.4.3 Das Bohrshe Korrespondenzprinzip . . . 21

1.4.4 Zusammenfassung . . . 21

1.4.5 Kritikpunkte analter QM . . . 21

2 Wellenfunktionen 23

(5)

2.1 Mathematishe Hilfsmittel . . . 23

2.1.1 Fourier-Reihen . . . 23

2.1.2 Fourier-Integral . . . 24

2.1.3 Die Dirashe Delta-Funktion . . . 26

2.2 Materiewellen . . . 27

2.3 Interpretation der Wellenfunktion . . . 28

2.4 Wellenpakete . . . 29

2.5 Erwartungswerte . . . 32

2.6 Operatoren . . . 32

3 Die Shrodingergleihung 35 3.1 Dasfreie Teilhen . . . 35

3.2 Teilhen im  aueren Potential . . . 37

3.3 Diezeitunabhangige Shrodingergleihung . . . 37

3.4 DieKontinuitatsgleihung . . . 37

3.5 AndereWellengleihungen . . . 39

3.5.1 Wellengleihung . . . 39

3.5.2 Klein-Gordon-Gleihung . . . 39

3.5.3 Quasi-klassishe Naherung . . . 40

3.6 DiePostulateder Quantenmehanik . . . 41

3.7 Feynmanshe Pfadintegrale. . . 43

3.7.1 Propagatoren . . . 43

3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral . . . 44

3.7.3 Pfadintegralim Kongurationsraum. . . 46

(6)

II Quantenmehanik im Hilbert-Raum 49

4 Raume 51

4.1 Der lineare Raum . . . 51

4.2 Der metrishe Raum . . . 52

4.3 Der normierte Raum . . . 52

4.4 Der unitare Raum. . . 52

4.5 Denitionen . . . 54

5 Vektoren im Hilbertraum 55 5.1 Orthonormalsysteme . . . 55

5.2 Darstellungen . . . 56

5.3 Uneigentlihe Hilbert-Vektoren . . . 57

5.4 Darstellungen . . . 59

6 Operatoren im Hilbert-Raum 61 6.1 Lineare Operatoren . . . 61

6.1.1 Eigenshaften . . . 61

6.1.2 Operatoren alsdyadishes Produkt zweier Zustande . . . 62

6.1.3 Darstellung von Operatoren . . . 62

6.2 Spezielle lineareOperatoren . . . 63

6.2.1 Zueinander inverse Operatoren . . . 63

6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren . . . 63

6.2.3 Unitare Operatoren . . . 64

6.2.4 Projektionsoperatoren . . . 65

6.3 Das Eigenwertproblem hermitisher Operatoren . . . 66

(7)

6.4.1 Vorbemerkungen . . . 69

6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses . . . 70

6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertragliher Observablen A und B 70 6.4.4 Kombinierte Messung zweier nihtvertragliher Observablen . . 72

6.5 DieDihtematrix, der statistishe Operator. . . 73

7 Dynamik der Quantensysteme 77 7.1 Darstellungender Shrodingergleihung . . . 77

7.2 DasShrodinger-Bild . . . 79

7.3 DasHeisenberg-Bild . . . 79

7.4 DasDira-Bild . . . 81

7.5 Zusammenfassung . . . 82

III Exakt losbare Probleme 83 8 Der harmonishe Oszillator 85 8.1 Hamiltonfunktionund Hamiltonoperator . . . 85

8.2 Ortsdarstellung . . . 87

8.3 Fokdarstellung . . . 87

8.3.1 SemidenitesSpektrum . . . 88

8.3.2 Vernihtungsoperator . . . 88

8.3.3 Grundzustand . . . 89

8.3.4 Erzeugungsoperator . . . 89

8.3.5 Eigenzustande . . . 91

8.3.6 Spektrum . . . 91

(8)

9 Das Wasserstoproblem 93

9.1 Impulsoperatorund Translation . . . 93

9.2 Drehimpuls und Rotation . . . 95

9.3 Symmetrien und Erhaltungsgroen . . . 96

9.4 Drehimpulseigenzustande . . . 98

9.4.1 Eigenwerte . . . 98

9.4.2 Leiteroperatoren . . . 99

9.4.3 Eigenzustande inder Ortsdarstellung . . . 102

9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms . . . 103

9.6 Radialproblem. . . 105

9.6.1 Hauptquantenzahl . . . 108

9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl . . . 108

9.6.3 Magnetishe Quantenzahl . . . 108

9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms . . . 109

9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrsheinlihkeit. . . 110

9.7.2 Winkelverteilung . . . 110

9.7.3 Polardiagramme. . . 111

9.7.4 Termshema . . . 111

IV Naherungsmethoden 113 10 Zeitunabhangige Storungstheorie 115 10.1 Problemstellung . . . 115

10.2 Der nihtentartete Fall . . . 116

10.3 Beispiel: Der quadratishe Stark-Eekt . . . 119

(9)

10.5 Beispiel: der lineareStark-Eekt . . . 124

10.6 Beispiel: das H + 2 -Ion . . . 125

10.7 DasBandermodelldes Festkorpers . . . 131

10.7.1 Eineindimensionales Model . . . 131

10.7.2 Berehnung der Bandstruktur . . . 132

10.7.3 Das Blohshe Theorem . . . 133

10.7.4 Anwendung des Blohshen Theorems . . . 135

10.7.5 Randbedingungen . . . 135

11 Zeitabhangige Storungstheorie 139 11.1 Problemstellung . . . 139

11.2 IterativeLosung . . . 140

11.3 Beispiel: Storung eines Atoms ... . . 142

11.4 Ein- und Ausshalten einer sonst konstanten Storung . . . 144

11.5 Periodishe Storungen . . . 147

11.6 Absorptionund stimulierteEmission vonLiht . . . 148

11.6.1 Auswahlregeln fur dieStrahlung, harmonisher Oszillator . . . . 150

11.6.2 Auswahlregeln fur dieStrahlung, Leuhtelektron . . . 151

12 Galerkin- und Variationsmethoden 153 12.1 Galerkinmethode . . . 153

12.2 Variationsmethoden . . . 154

12.2.1 Extremalprinzip. . . 154

12.2.2 Ritzshes Verfahren . . . 155

13 Elemente der Streutheorie 159

(10)

13.2 Streuquershnitt, dierentieller Wirkungsquershnitt . . . 160

13.3 Stationare Streuzustande . . . 161

13.4 Asymptotishe Form von'(r), Streuamplitude . . . 161

13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungsquershnitt . . . 162

13.6 Integralgleihung fur diestationaren Streuzustande . . . 162

13.7 Die Bornshe Naherung. . . 164

13.8 Dierentieller Wirkungsquershnitt und Potential . . . 166

13.9 Besipiel: di. Wirkungsquershnitt beimYukawa-Potential . . . 168

V Magnetfeld und Spin 171 14 Geladenes Teilhen im elektromagnetishen Feld 173 14.1 Elektromagnetishe Wehselwirkung, klassish . . . 173

14.2 Elektromagnetishe Wehselwirkung, quantenmehanish . . . 174

14.3 Eihinvarianz . . . 175

14.4 Beispiel: Teilhen imhomogenen, zeitl.konstanten Magnetfeld . . . 177

14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im  aueren Magnetfeld . . . 179

15 Teilhen mit Spin 1/2 181 15.1 Experimentelle Grunde . . . 181

15.2 Spinoperatoren . . . 183

15.3 Die Pauli-Gleihung. . . 186

15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) . . . 186

15.5 Zur Addition vonDrehimpulsen . . . 187

15.6 Spin-Bahn-Kopplung und  aueresMagnetfeld . . . 193

(11)

15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung . . . 193

15.6.3 Wasserstoproblem mit  auerem Magnetfeld . . . 195

15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung. . . 196

VI Grundlagen der relativistishen Quantenmehanik 201 16 Herleitung der Dira-Gleihung 203 16.1 Erinnerungan dierelativistishe Mehanik . . . 203

16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik . . . 203

16.1.2 Eigenzeit. . . 204

16.1.3 Vierergeshwindigkeit . . . 204

16.1.4 Viererimpuls. . . 205

16.1.5 Energie-Impuls-Relation . . . 206

16.2 Quantisierung . . . 206

16.3 DieDira-Gleihung des freien Elektrons . . . 207

16.4 Dira-Gleihung und elektromagnetishes Feld . . . 209

16.5 DieDira-Matrizen . . . 210

16.6 Losungfurfreie Teilhen . . . 211

16.7 Kontinuitatsgleihung . . . 213

16.8 DiePotentialshwelle, das Kleinshe Paradoxon . . . 214

17 Elektronenspin 217 17.1 Freies Teilhen imaueren Magnetfeld . . . 217

17.2 Spinoperator. . . 219

17.3 Spin-Bahn-Kopplung . . . 219

(12)

Grundz



uge der Quantenmehanik

(13)
(14)

Das Versagen der klassishen

Physik

{historishe Entwiklung der Quantenmehanik

DieDisziplinenderklassishePhysik sinddieMehanik,Elektrodynamik,Relativitats-

theorie,Thermodynamik, Hydrodynamik, Kontinuumsmehanik

Eigenshaften der klassishen Physik:

1. Axiome sind imMakroskopishen (der realenWelt) direkt nahprufbar

2. Weitgehend anshaulih, weil Begrie aus der makroskopishen Welt verwendet

werden, z.B. Teilheneigenshaften wie Masse, Lage und Geshwindigkeit, aber

auh Felder, Wellen, et.

3. Deterministish. Aus Zustand A(t

0

) ergibt sih eindeutig A(t

1

) mit t

1

>t

0 . Be-

shreibung durh Bewegungsgleihungen, gewohnlihe Dierentialgleihungen

4. Wahrsheinlihkeitsbegrinurnotwendig,wenn nihtalleInformationenvorhan-

den sind, bzw. nihtinteressieren (Beispiel Gasmit10 23

Teilhen)

Eigenshaften der Quantenmehanik, Mikrophysik:

1. Axiome der Mikrophysik ergeben makroskopishes Verhalten. Nur dieses ist ex-

perimentellzuganglihund muanshaulih sein

Mikroskopish

Theorie

niht durhgehend

veranshaulihbar

widerspruhsfrei

!

Makroskopish

Gesamtheit der expe-

rimentellen Daten

(15)

2. Mikrophysik ist niht durh klassishe Mehanik beshreibbar, daher auh niht

unbedingtanshaulih.Darausresultierte das Dilemmader Physik um 1900

3. Teilhen-Welle-Dualismus.Mikroskopishe Objekte sind manhmal Teilhen und

manhmal Wellen.Niht anshaulih,aber esfunktioniert imSinne von1.

Beispiele: (1)Liht: Photonen, Lihtwellen

(2)Materie: Teilhen, Materiewellen

(3)aberauh Quasi-Teilhen wie Phononen, Gittershwingungen

4. QM ist niht mehr deterministish im klassishen Sinn. D.h. aus Lage und Ge-

shwindigeiten aller Teilhen zur Zeit t

0

folgen niht eindeutig Lage und Ge-

shwindigkeiten zur Zeit t

1 .

5. Wahrsheinlihkeitsdihte (r;t) als unterste Ebene der Beshreibung. Determi-

nistish, insofern da aus (r;t

0

) eindeutig (r;t

1

) folgt. Beshreibung durh

Shrodingergleihung, partielle Dierentialgleihung

6. Es gilt immer die Heisenbergshe Unsharferelation zwishen kanonish konju-

giertenVariablen,z.B. Ort-Impuls:

xp

x

h=2

Das bedeutet, da im Gegensatz zur klassishen Mehanik nurein Satz vonVa-

riablenzur eindeutigen Festlegung des Systems notwendigist.

1.1 Der shwarze Strahler

1.1.1 Hohlraumstrahlung

{Kirhho 1859

Shwarzer Korper, Hohlraummit Loh

Wande emittieren und absorbierenelektromagnetishe Warmestrahlung

EnergiedihteU(T) isttemperaturabhangig:

U(T)= Z

1

0

u(!;T)d!

u(!;T) istdiespektrale Energiedihte.

Experimentell:Wien 1896

schwarze Strahlung

L L L

u(!;T)/! 3

e b!=T

; ! !1

(16)

maximales u

max

=u(!

max

;T); !

max /T

(Wienshes Vershiebungsgesetz)

Fragestellung:Wielat sihu(!;T)aus klassisher Physik (Elektrodynamik,Thermo-

dynamik) berehnen?

Antwort: rihtiggar niht.

1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz

Versuheiner theoretishe Herleitung vonRayleigh, 1900:

Idee: elektromagnetishes Feldim Innern lasst sih in eine abzahlbarunenedlihe An-

zahl von Moden zerlegen, die alleden gleihen Energieanteiltragen.

Gleihverteilungssatz: Energie pro Freiheitsgrad (Mode) 1

2 kT

Feldenergie:Anzahl der Moden imHohlraum x 2 x 1

2 kT

Ermittlungder Anzahl der Moden in Abhangigkeit der Frequenz:

Wellengleihung (aus Maxwell-Gleihungen)

E 1

2

2

E

t 2

=0

Moden

n=1 L n=2

Losung:E(x;y;z;t)=E

0 sin(k

x

x)sin(k

y

y)sin(k

z

z)sin(!t)

k

x

=n

x

=L; n=1;2;3:::, et.

damit:

! 2

2

=k 2

x +k

2

y +k

2

z

=

2

L 2

n 2

; n

2

=n 2

x +n

2

y +n

2

z

also

n = L!

Anzahlder Moden in Kugelshale

dN = 4n

2

8

dn2=

! 2

L 3

2

3

d!

(Faktor 2wegen E und B Feld)

und damit

Kugelschale

dn

n n+dn

n n n z

y

x

u(!;T)d!=

! 2

2

3

kTd!

(17)

{Rayleigh{Jeans Formel

Problem:U(T)= R

1

0

ud! !1,divergiert,(Ultraviolettkatastrophe)

dagegen aus Experiment U(T)/T 4

(Stefan Boltzmann)

w u(w,T)

u

w ~ T

~w , Rayleigh-Jeans

~w exp(-bw/T) Wien

m m

2

3

gesuht: Formel fur alle!,inklusive Vershiebungsgesetz

1.1.3 Plankshes Strahlungsgesetz

Planksher Geniestreih(1900):Wandatome sindharmonishe Oszillatorenmitquan-

tisierten Energieniveaus:

n

=n

mitaquidistantem Abstand .

Mittlere Energie:

=

P

n e

n=kT

n

P

n e

n

=kT

=

e

=kT

1

Wandoszillatorenin Resonanz mit el-magn.Wellen. Ersetze kT !:

u(!;T)d!=

! 2

2

3

e

=kT

1 d!

Umdas Wienshe Gesetz zu erfullen, mu/! sein:

=h!

(18)

zusammen:

u(!;T)d!=

h!

3

2

3

(e h!=kT

1)

d! Plankshes Gesetz

Stefan-Boltzmann:

R

1

0

ud! =

2

k 4

15h 3

3

T 4

Grenzfalle:

h!

3

e h!=kT

1

(

! 2

kT h!kT Rayleigh-Jeans

h !

3

e h!=kT

h!kT Wien

Problem: Das Ergebnis ist zwar rihtig, aber die Rehnung von Plank basierte auf

zwei falshen Annahmen:

n

=nh !,d.h. Vernahlassigung der Nullpunktsenergie,

eigentlih

n

=(n+1=2)h!

Annahme der Boltzmann-StatistikfurOszillatoren (eigentlih Bose-Einstein)

Dierihtige Erklarungkamdann a 16Jahre spater durh Einstein.

1.1.4 Einsteins Herleitung (1916)

betrahte 2-Niveau-Systeme (Atome).Die gesuhte Energiedihtedes Strahlungsfeldes

ist

u(!;T)=nh !

wobei n die Anzahl der Photonen mit der Energie E

p

= h! ist. Fur



Ubergange gilt

Energieerhaltung,also

E

1 E

0

=E

p

=h !

1.)Absorption

n Photonen E

B u

N , E

N , E

P

01

1 1

0 0

(19)

derEinsteinkoeÆzientB

01

folgtaus derquantenm.Rehnung.B

01

u(!;T)istdie



Uber-

gangswahrsheinlihkeit pro Zeit.

2.)Emission

B u 10 + A 10

dieEinsteinkoeÆzienten B

10

und A

10

beshreiben induzierte, bzw.spontane Emission.

3.)



Ubergangsraten

die



Ubergangsraten beshreiben die Anzahl der



Ubergange pro Zeit und sind propor-

tionalzu den jeweiligen Besetzungszahlen:

Absorption W

01

= B

01

u(!;T)N

0

Emission W

10

= (B

10

u(!;T)+A

10 )N

1

Im Gleihgewihtmussen dieRaten gleih sein:

W

01

=W

10

Fur dieBesetzung der Niveaus nimmtman eine Boltzmann-Verteilungan:

N

i /e

E

i

=kT

;

N

1

N

0

=e h!=kT

und damit

u(!;T)=

A

10

B

01 e

h!=kT

B

10

diequantenm. Rehnung ergibt A

10

und B

01

=B

10 ,also

u(!;T)= A

10

B

10 1

e h!=kT

1

Der Vergleihmitder Plankshen Formel ergibt

A

10

B

= h!

3

2

3

(20)

1.2 Lihtquanten

bis1900: Liht besteht aus elektromagnetishen Wellen.

1.2.1 Der Photoeekt

{(H. Hertz 1887)

Metall UV e-

Ablosung des Elektrons erst wenn !>!

g

, wobei !

g

materialabhangig

kin. Energie des Elektrons E

kin

/!, unabh.vonIntensitat

Anzahl der Elektronen/Zeit/ Intensitat

Klassishwurde man folgendes erwarten:

E

kin

/ Intensitat

I >I

g

, materialabh.

Erklarung Einstein 1905, Lihtquantenhypothese:

Strahlung =Ansammlung vonLihtquanten (Teilhen) mitE =h =h!

E

kin

=h! W

A

; W

A

= Austrittsarbeit, !

g

=W

A

=h

exp:

E

w w g

kin

(21)

1.2.2 Der Compton-Eekt (1922)

{Streuung von RontgenstrahlenmitFrequenz !

0

anElektronen

klassishe Interpretation: Elektron shwingt durh Welle, Abstrahlung mit!

1

=!

0 .

experimentell:

I(e)

λ ∆λ λ λ= 2π c

0 1 w

=

(1 os),

=Streuwinkel

=Compton-Wellenlange (konstant)

{nurerklarbar durh Photonen-Vorstellung

Streuproze: elastisher Sto

00 00 00 11 11

11 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111

0000000000000 1111111111111

P

P P

θ

0

1

1 ph

ph el

Energiebilanz

p

2 2 2 4

(22)

des Photons (m=0):E ph

=p= (

h!

0

vorher

h!

1

nahher

des Elektrons: E el

= (

m

0

2

vorher

q

2

(P el

1 )

2

+m 2

0

4

nahher

; m

0

= Ruhemasse El.

rel. Impuls:

des Photons:P ph

= (

P ph

0

= h!0

vorher

P ph

1

= h!1

nahher

des Elektrons: P el

= 8

<

:

0 vorher

P el

1

= m

0 v

p

1 (v=) 2

nahher

(P el

1 )

2

= h 2

2

(!

2

0 +!

2

1 2!

0

!

1 os)

m

0

2

+h!

0

= q

2

(P el

1 )

2

+m 2

0

4

+h!

1

daraus

!

1

!

0

(1 os)= m

2

h

(!

0

!

1 )

mit

!

0

!

1

!

0

!

1

= 1

2 (

1

0 )=

2

folgt:

=

h

m

0

(1 os)

Compton-Wellenlange

= h

m

0:024

A

(23)

1.3 Teilhen und Interferenz

Doppelspalt

Loh2 zu !I

1

Loh1 zu !I

2

beide auf:I

12 6=I

1 +I

2

00 00 00 11 11 11

00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11

Q

d/2

-d/2 y

I I

I

1

2

X 12

φ φ

2 1

S

Erklarung im Wellenbild:

Felder

'

i (r)/

e ikjr rij

jr r

i j

Intensitat

I

i (r

s )/j'

i (r

s j

2

/ 1

jr r

i j

2

I

12 /j'

1 +'

2 j

2

x=xs x

s d

/ I

1 +I

2 + 2

q

I

1 I

2 osk

0

y

| {z }

(24)

mitk 0

=kd=x

s

Erklarung im Teilhenbild(einzelne Photonen naheinander):

Teilhen:

Kugeln

Loh 2 zu !P

1

Loh 1 zu !P

2

beide auf: P

12

=P

1 +P

2

000 000 000 000 111 111 111 111

00 00 00 11 11 00 11

00 00 11 11 11

00 00 00 11 11 11

00 00 00 11 11 11

00 00 00 00 11 11 11 11 000 000

000 000 111 111 111 111

00 00 00 00 11 11 11 11

00 00 00 00 11 11 11 11 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000

1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111 1111111111

1

P 2

P

2 1

Kanone

Munition

Experimenteller Befund, auh bei einzelnen Photonen:

wennbeideLoheroensind,gibtesInterferenz.DagagenvershwindetdieInterferenz,

wenn dieBahn bekanntist. Also:

Interferenz istEigenshaft eines Photons

(25)

Interpretation: jAmplitudej 2

/Wahrsheinlihkeit

Erster Versuh einer Algebraisierung(Dirashe Shreibweise):

j<r

1 jr

2

>j 2

=Wahrsheinlihkeit fur Weg von r

2

nah r

1

Zweiwihtige Regeln:

1. Die Wahrsheinlihkeit fur ein Resultat ist das Betragsquadrat der Summe der

WahrsheinlihkeitsamplitudenfurdieeinzelnenWege,diezudemResultatfuhren

(parallel).

2. DieWahrsheinlihkeitsamplitudefureinenWegistdasProduktderWahrshein-

lihkeitsamplituden fur die einzelnen Shritte, aus denen der Weg besteht (se-

quentiell).

(26)

Doppelspaltmit Elektronen

Weg1

j<yj1>< 1jQ>j 2

| {z }

'

1

/P

1

Weg 2

j<yj2>< 2jQ>j 2

| {z }

'

2

/P

2

beide Loher oen:

P

12 /j'

1 +'

2 j

2

000 000 000 000 000

111 111 111 111 111

1

Quelle 2

Licht

D D

y

2 1

jetzt: Messung der Bahn,z.B. durh zwei Detektoren D

1

und D

2 .

Amplitudefur Weg 1+ Photonin D

1

:<yj1>a<1jQ>=a'

1

(27)

Amplitudefur Weg 2+ Photon inD

1

: <yj2>b<2jQ>=b'

2

Jebesser der Wegbekannt ist,desto groer wird a=b.

Damit ist die gesamte Wahrsheinlihkeit ein Elektron in jy > und gleihzeitig ein

Photon inD

1

zu nden, die Summeaus beiden Prozessen:

P /ja'

1 +b'

2 j

2

Die Grenzfalle

Bahnbekannt (kurze Wellenlange) ab ! P =P

1

Bahnunbekannt (groe Wellenlange) ab ! P =P

12

sind enthalten.Daraus kann man hier shon den wihtigen Shlu ziehen:

Jede Messung



andert dieWellenfunktion

genauso wie oben lat sih \berehnen":

Weg1 + Photonin D

2

=b'

1

Weg 2+ Photon inD

2

=a'

2

DarausWahrsheinlihkeit dafur,da Elektronin jy>,aufwelhem Wegauhimmer:

P /ja'

1 +b'

2 j

2

+ja'

2 +b'

1 j

2

Die beiden Grenzfalleergeben jetzt:

Bahnbekannt (kurze Wellenlange) ab ! P =P

1 +P

2

Bahnunbekannt (groe Wellenlange) ab ! P =P

12

Darauslat sih eine weitere Regel ableiten:

beiununtersheidbaren Prozessen werden Amplituden addiert(Wellenharakter)

bei vershiedenen Prozessen werden Amplitudenquadrate addiert (Teilhenha-

(28)

1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 17

1.4 Die Quantisierung atomarer Energiezustande,

die \alte" QM

Der Erkenntnisstand um 1900: Rutherfordshes Atommodell, Kern mit Kernladungs-

zahlz,z ElektronenumkreisendenKernwieklassishe Teilhen,Zusammenhaltdurh

Coulomb-Kraft(analogPlanetensystem).VershiedeneElementewerdennurdurhver-

shiedenes z harakterisiert.

1.4.1 Die Bohrshen Postulate

Dreiklassish unlosbare Probleme:

1. Bahnformen sind beliebige Ellipsen, nur abhangig von gewissen Anfangsbedin-

gungen, daraus sollte untershiedlihes hemishes Verhalten bei gleihem z re-

sultieren.

2. Aus derElektrodynamik istbekannt,da beshleunigteLadungen strahlen. Also

muten alleElektronenbahnen instabilsein, Zerfallszeit 10 10

s

3. Eine kontinuierlihe Abstrahlung von Energie ist moglih und kann niht das

experimentellbeobahtete Linienspektrumerklaren.

experimentell:Rydberg-Serien:

1

=R

H

1

n 2

1

m 2

; m n+1

(29)

h!

mn

=E

n E

m

; E

n

= R

H h

n 2

Essieht so aus, alsob nurdiskrete Energieniveaus imAtom existieren.

\Erklarung"mitGewalt,durh NielsBohr, fuhrt zur \alten"Quantenmehanik. Man

erhalt siedurh konsequentes Anwenden der klassishen Mehanik unter Hinzunahme

der sogenannten Bohrshen Postulate:

Die Bohrshen Postulate (1913)

I Es existieren bestimmte Bahnen zu festen Energien E

n

. Auf diesen Bahnen be-

wegensihdieElektronenohne Abstrahlung.DieBahnensind deshalbstationar.

II



Ubergange zwishen stationaren Bahnen fuhren zur Abstrahlung mit der Fre-

quenz

!

mn

=E

n E

m

1.4.2 Die Bohrshe Quantenhypothese

Mathematishe Fragestellungder alten QM:Wie ndetman Energieniveaus?

Antwort: Bohrshe Quantenhypothese

Bei periodisher Bewegung kann das Phasenintegral J nur bestimmte, diskrete (ge-

quantelte) Werte annehmen:

J = 1

2 I

pdq=nh; n=1;2;3:::

1.Besipiel: Der harmonishe Oszillator

Hamiltonfunktion:H(p;q)

E =H(p;q)= p

2

2m +

1

2 m!

2

q 2

(setze m=1)daraus

p(q)= p

2E ! 2

q 2

und H

pdq= 2

! E

-q J q

q p

0 0

(30)

1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 19

E

n

=h!n

D.h., es existieren diskrete Bahnen im Phasenraum, diese gehoren zu diskreten Ener-

gieniveaus. Damit lat sih der shwarze Strahler \erklaren", d.h. auf die Bohrshe

Quantenhypothese zurukfuhren.

2.Beispiel: Das Wasserstoatom (analogzum Kepler-Problem der klassishen Meha-

nik)

{Beshreibung durh Kugelkoordinaten r;';

{kanonishkonjugierteImpulse: P

r

=mr;_ P

'

=mr 2

_ '; P

=mr 2

_

Hamiltonfunktion:

H(r;;P

r

;P

;P

' )=

1

2m

P 2

r +

1

r 2

P 2

+

1

r 2

sin 2

P

2

'

r

=E

wobei = e

2

4"

0 .

'istzyklish,also _

P

'

= H

'

=0,

daraus folgt ein 1. Integral: P

'

= onst = a

'

(Drehimpulskomp L

z

), d.h. Bewegung

ndetin einer Ebene senkreht zu L

z statt.

Hamilton-Jaobi-Formalismus:SuhekanonisheTransformationso,daalleneuenLa-

gekoordinaten q 0

1

;q 0

2

;q 0

3

zyklishsind.

SeiS(q

i

;P 0

i

) dieErzeugende, dann gilt

P

i

=S=q

i

; q

0

i

=S=P 0

i

;

Einsetzen inH ergibt diezeitunabh. Hamilton-Jaobi-Gleihung:

1

2m 2

6

6

6

6

4 S

r

!

2

+ 1

r 2

S

!

2

+ 1

r 2

sin 2

S

'

!

2

| {z }

a

' 3

7

7

7

7

5

r

=E

EinSeparationsansatz funktioniertmanhmal....:

S(r;;';P 0

i )=S

r (r;P

0

i )+S

(;P

0

i )+S

' (';P

0

i )

und damit

r 2

2m S

r

r

!

2

r Er 2

| {z }

f(r)a 2

= 1

2m 2

4 S

!

2

+ a

2

'

sin 2

3

5

| {z }

g()a 2

a 2

=Drehimpulsquadrat

(31)

Die einzelnen S folgen aus Integration der Ausdruke, dieImpulse direkt:

S

r

r

= q

2m(E+ =r) a 2

=r 2

=P

r

S

= q

a 2

a

2

'

=sin 2

=P

S

'

'

= a

'

=P

'

Nahdem man die Impulse bestimmt hat, lassen sih die drei Phasenintegrale bereh-

nen:

J

r

= 1

2 I

P

r

dr=a

+

2 s

2m

E

J

= 1

2 I

P

d =a

a

'

J

'

= 1

2 I

P

'

d'=a

'

auosen nah der Energie:

E =

h 2

E

R

(J

r +J

+J

' )

2

mitder Abkurzung (Rydberg-Energie)

E

R

= me

4

8"

2

0 h

2

13:6eV

Quantenhypothese: fur diedrei Phasenintegrale giltunabhangig:

J

r

=n

r

h; J

=n

h; J

'

=n

' h

und endlih

E

n

= E

R

n 2

; n=n

r +n

+n

'

mit n als Hauptquantenzahl. Als Grundzustandsenergie ergibt sih dann E

1

= E

R ,

wasmit den experimentellen Daten



ubereinstimmt.

{Bestatigung durh Frank-Hertz-Versuh (1914)

k

Hg-Dampf

+

- u -

G A

I

+ 4.9 eV 9.8 eV

I

U

(32)

1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUSTANDE,\ALTE" QM 21

1.4.3 Das Bohrshe Korrespondenzprinzip

Die Ergebnisse der Quantentheorie gehen fur groe Quantenzahlen in die der klass.

Theorieuber.

Beispiel Wasserstoatom: Aus der klass. Mehanik (Kepler-Problem) kennt man die

Umlaurequenz !

kl

des Elektrons:

!

kl

= 8"

0

e 2

s

2

m ( E)

3=2

Laut Bohrmugelten:

!

B

=!

n;n+1

= 1

h

(E

n+1 E

n )

n1

1

h

dE

n

dn

= 2

h

1

p

E

R ( E

n )

3=2

Einsetzen ergibt!

B

=!

kl .

1.4.4 Zusammenfassung

DiskretisierungdurhWirkungsquantum. Wirkung J muVielfahes vonhsein.

Neue(niht-klassishe)Phanomene,wennJ indieNahevonhkommt.FurJ h

erhaltman dieErgebnisse der klass.Mehanik

1.4.5 Kritikpunkte an alter QM

ad-hoAnsatze imRahmenklass.Vorstellungen,nurdurhdasrihtige Ergebnis

begrundbar.

Nur deterministishe Dynamikmoglih.Spontane Emission?

Nur anwendbar auf periodishe Bewegungen

Versagt shon bei etwas komplizierterenProblemen (He,H +

2 ,...)

Deshalb: Auf zu neuen Ufern!

(33)
(34)

Wellenfunktionen

Bohr:klassishe Beshreibung durhTeilhen (q(t);p(t))+Quantisierungsvorshriften

Quantenmehanik: Beshreibung durh Wellenfunktion (q;t)

Teilhen (klassish) ! gewohnlihe DGL furq(t);p(t)

Wellenfunktion !partielleDGL !Randbedingungen !Quantisierungsvorshrift

2.1 Mathematishe Hilfsmittel

2.1.1 Fourier-Reihen

Sei (x) im Intervall L

2

x

L

2

mit Dirihlet-Bedingungen (stukweise stetig, an

Unstetigkeitstellen Mittelwert)

Satz:Die Funktionen

1

p

L e

ik

n x

; k

n

= 2

L

n; n=0;1;2:: (2.1)

bilden ein VONS (vollstandiges, orthonormiertes Funktionensystem) zur Klasse der

stukweise stetigen Funktionen(x) mitPeriode L.

Entwiklungssatz:

(x) = 1

X

n= 1

n e

ik

n x

(2.2)

wobeidieKoeÆzienten

n

gegeben sind durh die

Umkehrrelation:

n

= 1

L Z

L=2

L=2 dx

0

(x 0

)e ik

n x

0

(2.3)

(35)

Vollstandigkeitssrelation:

Einsetzen von(2.3) in (2.2) ergibt:

(x)= Z

L=2

L=2 dx

0

(x 0

)Æ(x x 0

)

mitder Abkurzung

Æ(x x 0

)= 1

L 1

X

n= 1 e

ikn(x x 0

)

(2.4)

Der Ausdruk (2.4) ist gerade eine Denition der Dirashen Delta-Funktion (siehe

weiterunten).ErdruktauhdieVollstandigkeitdesSystems(2.1)ausundwirddaher

alsVollstandigkeitsrelationbezeihnet.

Orthonormierungsbedingung:

Andererseits erhalten wir durh einsetzen von(2.2) in (2.3)

n

= 1

X

n 0

= 1 Æ

nn 0

n 0

mitder Abkurzung

Æ

nn 0

= 1

L Z

L=2

n= L=2 e

ix(k

n 0

k

n )

dx (2.5)

Der Ausdruk (2.5) stellt das Kroneker-Symbol dar und wird alsOrthonormierungs-

bedingung des Systems(2.1) bezeihnet.

Parsevalshe Gleihung:

SeiendieEntwiklungskoeÆzienten von(x)gegebenals

n

,dievon (x) alsb

n ,dann

giltdieParsevalshe Gleihung

Z

L=2

n= L=2 dx

(x) (x)=L 1

X

n= 1 b

n

n

2.1.2 Fourier-Integral

Anshaulih: Grenzubergang L ! 1, damit wird k

n

kontinuierlih, k

n

! k, und die

FourierkoeÆzienten gehen in die Fouriertransformierte



uber. Im weiteren sollen die

Funktionen(x) L

2

-normierbar (quadratintegrabel)sein, d.h. esgilt

Z

1

1

dxj(x)j 2

<1

wegen

n

/1=Lverwenden wir alsFouriertransformierte

a(k)=a(k

n )=

L

p

n

(36)

Ausgehend von (2.2) formulieren wir den Entwiklungssatz fur kontinuierlihes k:

(x)= 1

X

n= 1

n e

iknx

= p

2

L 1

X

n= 1 a(k

n )e

iknx

n

mit

n

=1= L

2

k. Damit

(x) = 1

p

2 1

X

n= 1 a(k

n )e

iknx

k

ergibtnah dem Grenzubergangk !0 den

Entwiklungssatz:

(x)= 1

p

2 Z

1

1

dka(k)e ikx

(2.6)

Aus(2.3) folgt sofortdie

Umkehrrelation:

a(k)= 1

p

2 Z

1

1 dx

0

(x 0

)e ikx

0

(2.7)

Einsetzen von(2.7) in (2.6)ergibt wieder

(x) = Z

1

1 dx

0

(x 0

)Æ(x x 0

)

mitder

Vollstandigkeitssrelation:

Æ(x x 0

)= 1

2 Z

1

1 dke

ik(x x 0

)

Einsetzen von(2.6) in (2.7)liefert

a(k)= Z

1

1 dk

0

a(k 0

)Æ(k k 0

)

mitder

Orthonormierungsbedingung:

Æ(k k 0

)= 1

Z

1

dxe ix(k k

0

)

(37)

Ausder Parsevalshen Gleihung wird

Z

1

1 dx

(x) (x)= Z

1

1 dka

(k)b(k)

Der Spezialfall

Z

1

1

dxj(x)j 2

= Z

1

1

dkja(k)j 2

bedeutet die Erhaltung der Normierung unter Fouriertransformationen.

2.1.3 Die Dirashe Delta-Funktion

Æ(x) isteine uneigentlihe Funktion,die nurunter dem Integral deniert ist:

Æ(x)=0 wenn x6=0; und Z

b

a

dxÆ(x)=1 ;a<0; b >0

und auerdem

Z

b

a

dxÆ(x )f(x)=f() ;a<<b

Die Æ-Funktion alsGrenzwert stetig dierenzierbarer Funktionen:

Vorbemerkung: esgiltimmer

lim

!0 Z

1

1 dxÆ

(x a)f(x)=f(a)

wobeierst das Integral, dann der Limesausgewertet werden mu.

1. Æ

(x)=

1

2 R

1=

1=

e ikx

dk= 1

sin(

x

)

x

2. Æ

(x)=

1

x 2

+ 2

; Lorentz-Kurve

3. Æ

(x)=

1

e

x 2

2

; Gau-Kurve

4. Æ

(x)=

1

sin(x=)

x=

2

(38)

Æ(x) = Æ( x)

Æ(x) = d

dx

(x); (x) = Stufenfunktion

xÆ(x) = 0

Æ(ax) = 1

jaj Æ(x)

Æ(f(x)) = X

i 1

df

dx

x

i

Æ(x x

i

); f(x

i )=0

2jxjÆ(x 2

) = Æ(x)

x dÆ(x)

dx

= Æ(x)

Æ 3

(r) = Æ(x)Æ(y)Æ(z)

2.2 Materiewellen

DerWelle/Teilhen-DualismuswurdezuerstfurPhotonen vorgeshlagen.Welleneigen-

shaften sind ! und k, Teilheneigenshaften E und p. Einsteinfand dieRelationen

E = h!

p = hk (2.8)

aus dem Photoeekt 1905. Wegen E =jpj ergibt sih dieDispersionsrelation

!(k)=jkj

in



Ubereinstimmung mit den Wellengleihungen der Elektrodynamik (aus Maxwell-

Gl.).

deBroglie(1924):DieRelationen(2.8)geltenauhfurMaterieteilhenmitRuhemasse!

DieDispersionsrelation(niht-relativistish)lautet jetzt

!(k)= hk

2

2m

Wiesieht dieWellengleihung dazu aus?

Durhdiede BroglieshenBeziehungen(2.8)lat sihdieBohrshe Quantenhypothese

motivieren.BetrahteElektron auf Kreisbahn mitRadius R :

J

'

= 1

2 Z

2

d'p

'

=R p=nh

(39)

de Broglie:p=hk=2h= ergibt

2R=n

also nur stehende Wellen auf Umfang. Alle anderen Wellenlangen loshen sih durh

Interferenz aus und kommen somit niht vor.

Ananlog zur E-Dynamik konnen wir jetzteine Wellenfunktion fur Materieteilhen de-

nieren(ebene Wellen):

EW

(r;t)=A(k)e

i(kr !(k)t)

; !(k)= hk

2

2m

(2.9)

Phase

x Fl chen konstanter

k y

.. a

2.3 Interpretation der Wellenfunktion

Teilhen = Welle?

Gibt wenig Sinn, da ein Teilhen irgendwie lokalisiert sein sollte. Man wei aber aus

Interferenzexperimenten das gilt

I /P /j j 2

Das legt nahe, diepositiv deniteGroe

2 3 3

(40)

als Wahrsheinlihkeit aufzufassen, ein Teilhen zur Zeit t bei r im Volumenelement

d 3

r zu nden.

Normierung (Wahrsh., das Teilhen irgendwoin V zu nden =1):

Z

V d

3

rj (r;t)j 2

=1

d.h. furTeilhen, die durh ebene Wellen (2.9) beshrieben werden, gilt

EW

= 1

V

d.h.es handeltsihum einen vollstandig delokalisiertenZustand (grotmogliheOrts-

unsharfe).

2.4 Wellenpakete

Die Normierbarkeit bedeutet, da die QM eine lineare Theorie sein mu. D.h. es gilt

auhdasSuperpositionsprinzip.Aus(2.9)lassensihWellenpaketemitbeliebigenA(k)

shnuren (hier nur ineiner Dimension):

(x;t)= 1

p

2 Z

1

1

dkA(k)e

i(kx !(k)t)

(2.10)

und (Normierung)

Z

1

1

dkjA(k)j 2

=1

z.B.Gau-Kurve:

A(k)

k 0 k

LokalisierteZustande

SeiA(k)hauptsahlihum k

0

lokalisiert,dann lat sih entwikeln:

!(k)!(k

0 )+

d!

dk

k

0

| {z }

vg

(k k

0 )+

1

2 d

2

!

dk 2

k

0

(k k

0 )

2

+::::

(41)

Seizunahst d

2

!

dk 2

=0, dann giltfur dieWahrsheinlihkeitsdihte

(x;t) =j j 2

= 1

2 Z Z

dkdk 0

A(k)A

(k 0

)e i(k k

0

)(x vgt)

=

0 (x v

g t)

wobei

0

(x) = (x;t = 0) die Anfangsverteilung bezeihnet. Das Wellenpaket bewegt

sihalso mitder Gruppengeshwindigkeit

v

g

= d!

dk

k0

ohne dabei seine Form zu

 andern.

d 2

!

dk 2

=0 !!/k; z.B. beiLihtwellen

Materiewellen:

d 2

!

dk 2

= h

m 6=0:

Wellenpakete aus Materiewellen zerieen

ρ

x t=t 0

ρ

x t>t

0

Teilhen = Wellenpaket?

Auhniht,daWellenpaket zeriet. Wieder j j 2

Wahrsheinlihkeitsdihte, das Teil-

hen zu nden. Dann bedeutet \zerieen", da die Unsiherheit



uber den Ort zu-

nimmt.

Beispiel: Gau-Kurve:

(x;t)= s

b(0)

2 3=2

Z

1

1 dk e

b(0) 2

2 (k k

0 )

2

| {z }

/A(k) e

i(kx !(k)t)

und daraus

(x;t)=j j 2

= 1

p

e (x

hk

0

m t)

2

=b(t) 2

(42)

wobei

b(t) = v

u

u

t

b(0) 2

+ 1

b(0) 2

h

m t

!

2

dieBreitedes Pakets beshreibt. Wegen db=dt>0 ietdas Paket auseinander.

A(k)

k k 0

∆k 1

1/e

Unsharfe imk-Raum:

k= 2

b(0)

Esgilt

xk 4 t0

ρ( t)

∆ x x

1

1/e

Unsharfe im Ortsraum:

x =2b(t)

Anshaulih:TeilhenbestehtausWellenmitvershiedenen(unsharf)Phasengeshwin-

digkeiten.Dadurhlauftesauseinander.Durhde BrogliekommtdiePhysik insSpiel.

Mitk =p=h erhalt man dieUnsharferelation:

(43)

Unsharferelation isteine Konsequenz der Welle-Teilhen-Beshreibung.

Bohrshes Komplementaritatsprinzip

Komplementare Variable(klassish:kanonish konjugiert), z.B.:

(p;q); (E;t)

sindprinzipiellgleihzeitignursogenaubestimmbar,wieinEinklangmitderUnsharfe-

relation

2.5 Erwartungswerte

{statistishe Deutung der Wellenfunktion

BeispielWurfel:(N)=1=6, N =1::6

Erwartungswert =Mittlere Augenzahl (beiunendlih vielen Wurfen):

<N >=

6

X

N=1

N (N)

|{z }

Gewihtung

=3:5

Im Kontinuierlihen: z.B.Groenverteilung (h):

Erwartungswert =mittlere Groe

<h>=

Z

hmax

0

dhh(h);

Z

hmax

0

dh(h)=1

Aus der Wellenfunktion(Ortsdarstellung) lat sih leiht der mittlere Ort (eines Teil-

hens) ausrehnen:

<r(t)>=

Z

1

1 d

3

rr(r;t)= Z

1

1 d

3

r

(r;t)r (r;t)

2.6 Operatoren

Wielat sih der Erwartungswert von <p> berehnen?

<p(t)>=

Z

1

d 3

p p (p;~ t)

(44)

Fur ebene Wellen haben wir p =hk. Versuh: Identiziere den Impulsraummit dem

k-Raum (Fourier-Raum).Also:

~

(p;t)h 3=2

A(p=h) =

1

(2h) 3=2

Z

1

1 d

3

r e i

h

pr

(r;t)

(r;t) =

1

(2h) 3=2

Z

1

1 d

3

p e i

h

pr

~

(q;t)

Einsetzen:

<p(t)>=

1

(2h) 3

Z

1

1 d

3

r (r;t) Z

1

1 d

3

r 0

(r 0

;t) Z

1

1 d

3

p pe i

h

(r r 0

)p

| {z }

=J

Dasletzte Integral ergibt:

J =ih r

r Z

1

1 d

3

p e i

h

(r r 0

)p

=(2h) 3

ih r

r

Æ(r r 0

)

Damit

<p(t) > = ih Z

1

1 d

3

r 0

(r 0

;t) Z

1

1 d

3

r (r;t)r

r

Æ(r r 0

)

= ih Z

1

1 d

3

r 0

(r 0

;t) 8

>

>

>

<

>

>

>

:

(r;t)Æ(r r 0

)

1

1

| {z }

=0

Z

1

1 d

3

r Æ(r r 0

)r (r;t) 9

>

>

>

=

>

>

>

;

wobeidas letzteIntegral partiellintegriert wurde.

Zusammengefat ergibt sih fur die Erwartungswerte des Ortes und des Impulses im

Ortsraum (inder Ortsdarstellung):

<p(t)> = Z

1

1 d

3

r

(r;t)( ihr) (r;t)

<r(t)> = Z

1

1 d

3

r

(r;t)r (r;t)

Dasgilt auh furbeliebige Funktionen:

<g(p)> = Z

1

1 d

3

r

g( ihr)

<f(r)> = Z

1

d 3

r

f(r)

(45)

z.B. furdie kinetishe Energie:

<E

kin

>=

<p 2

>

2m

= Z

1

1 d

3

r

h 2

2m

!

Andererseits lassen sih die Erwartungswerte auh im Impulsraum(in der Impulsdar-

stellung) ausdruken:

<p(t)> = Z

1

1 d

3

p

~

(p;t)p

~

(p;t)

<r(t)> = Z

1

1 d

3

p

~

(p;t)(ihr

p )

~

(p;t)

FolgendevorlaugeAussagen lassen sih mahen:

Erwartungswerte lassen sih invershiedenen Darstellungen (Raumen) formulie-

ren.

Denklassishen Observablen(messbareGroen)werden(lineare)Operatorenzu-

geordnet:

<X >=

Z

d

()

^

X ()

Speziell furdie Ortsdarstellung geltendie Jordanshen Regeln:

^r = r

^

p = ih r

Beispiele (Ortsdarstellung):

Drehimpuls L=rp

^

L= ih rr

kinetishe Energie T = p

2

2m

^

T = h 2

2m

potentielle Energie V(r)

^

V(r)=V(r)

(46)

Die Shr



odingergleihung

Fragestellung:Wie entwikeln sih Zustande inder Zeit?

(0) ! (t) ?

Forderungen(empirish):

1. (r;t) soll eindeutig bestimmt sein aus (r;0), es mu sih um eine partielle

DGL 1.Ordnung int handeln.

2. Surerpositionsprinzip (Interferenz) und Normierbarkeit fuhren auf eine lineare

PDGL.

3. Ebene Wellen sollen Losung sein (freies Teilhen) mit der Dispersionsrelation

!(k)= hk

2

2m

4. Im Raum darf eskeine Vorzugsrihtung geben (Isotropie des Raumes)

Damitzunahst:

0 _

=+ +

wegen (t)=0 wenn (0)=0folgt sofort=0.

3.1 Das freie Teilhen

Losungebene Wellen:

=Ae

ikr i!(k)t

(47)

damit

0 ihk

2

2m

= k

2

Freies Teilhen: =0

Eine Moglihkeit:

0

=ih , = h 2

2m , also

ih

t

(r;t)= h 2

2m

(r;t)

hat als Losung ebene Wellen und Wellenpakete. Es handeltsih um eine PDGL, d.h.

man benotigt Randbedingungen. Diese fuhren zwanglos zu einer Quantisierungsvor-

shrift

Beispiel: Teilhen im1D-Potentialtopf(oder: das fast freieTeilhen)

x=0 x=L

Ψ 2 Ψ 3

E 1 E 2

E 3

V= 8 V=0 V=

Ψ 1

8

Randbedingungen: (0)= (L) =0

Losung:

n

(x;t)=Asink

n xe

i!(kn)t

; k

n

=

L n

daraus:

E

n

=h!(k

n )=

h 2

k 2

=

2

h 2

2 n

2

(48)

3.2. TEILCHENIM AUSSERENPOTENTIAL 37

3.2 Teilhen im



aueren Potential

Klassish:K(r)= rU(r)

H(r;p)=T(p)+U(r)= p

2

2m

+U(r)

freiesTeilhen: ih

t

=

^

T

Idee: ersetze

^

T !

^

T +

^

U(r)

^

H = Hamilton-Operator,Hamiltonian

Einteilhen-Shrodingergleihung (Ortsraum, Ortsdarstellung)damit:

ih

t

(r;t)=

"

h 2

2m

+U(r)

#

(r;t)

FurN wehselwirkende Teilhen ergibt sih ganz analog:

ih

t (r

1 :::r

N

;t)=

"

N

X

n h 2

2m

n

r

n

+U(r

1 ::r

N )

#

(r

1 ::r

N

;t)

3.3 Die zeitunabh



angige Shr



odingergleihung

erhaltman durhden Separationsansatz:

(r;t)=(r)e i

E

h t

Sielautet

E(r)=

^

H(r)

undist zugleihdieEigenwertgleihungzum Hamiltonoperator

^

H mitdemEigenwert-

spektrum E. DieWerte E sind reell, weil

^

H selbstadjungiertist.

3.4 Die Kontinuitatsgleihung

(49)

globaleBilanzgleihung:

d

dt Z

V d

3

r (r;t)

| {z }



Anderung der Gesamtmasse +

Z

F(V) d

2

f j(r;t)

| {z }

Stromdurh Oberahe

= 0

mitj alsStromdihte. Anwendung des Gaushen Satzes:

Z

F(V) d

2

f j(r;t)= Z

V d

3

r divj(r;t)

ergibt dieKontinuitatsgleihung(lokale Bilanzgleihung):

_

(r;t)+divj(r;t)=0 (3.1)

Wirbringen jetztdie Shrodingergleihung indie Form:

_

= h

2mi +

U

ih

Dannerhalten wir aus (3.1)

_ =

_

+ _

= h

2mi (

)

oder

_ +

h

2mi div(

r r

)=0

und damit

j= h

2mi (

r r

)

alsStromdihte. DasliefertgleihzeitigdieErhaltungderNormierungder Wahrshein-

lihkeit:

d

dt Z

v dV

| {z }

=1

= Z

v _ dV =

Z

V

divjdV Gau

= Z

F(V) jd

2

f =0

(50)

3.5 Andere Wellengleihungen

BisherigesErfolgsrezept: Die Jordanshen Regeln:

p ! p^ = ih r

E !

^

E =ih

t

ergeben, angewandt aufE =H(p;r) ,dieShrodingergleihung.

3.5.1 Wellengleihung

FurPhotonen (m

0

=0) giltE =jpj,oder E 2

=p 2

2

.

Jordanshe Regeln hierauf:

"

1

2

2

t 2

#

=0

Wellengleihung aus Maxell-Gl.

3.5.2 Klein-Gordon-Gleihung

Furrelativistishe Teilhen mitRuhemasse m

0

giltdieEnergie-Impuls-Beziehung

E = q

m 2

0

4

+p 2

2

QuadrierenundAnwendungderJordanshenRegelnergibtdieKlein-Gordon-Gleihung

"

1

2

2

t 2

#

= m

2

0

2

h 2

Siebeshreibt z.B. Mesonen(Teilhen mitRuhemasse, aberohne Spin).

AndereMoglihkeit:Dira-Gleihungzurrel.Beshreibung vonSpin-1/2Teilhen(z.B.

(51)

3.5.3 Quasi-klassishe Naherung

{Formaler



Ubergang zwishen Mehanik und Quantenmehanik.

Einfuhrungeiner Wirkung S(r;t).

(r;t)=e i

h

S(r;t)

Einsetzten inShrodingergl.:

S

t

= 1

2m (rS)

2

+U(r) ih

2m S

Entwikle S nah h (semi-klassish):

S(r;t)= X

n (ih)

n

S

n (r;t)

inniedrigster Ordnung h 0

:

S

0

t

= 1

2m (rS

0 )

2

+U(r)

{Hamilton-Jaobi-Gleihung,Eikonalgleihung.

{wegen p=rS

0

verlaufen dieTeilhenbahnen senkreht zu den Flahen S

0

= onst.

(Beispiel: freiesTeilhen, p =p

0

= onst. S

0

=p

0

r Et)

Bewegung der Fronten der

Wirkwellen:

S

0

=onst, dS

0

=0:

dS

0

=rS

0

|{z}

=p0 dr+

S

t

|{z}

= E

dt=0

p

0 u=E

juj= E

jp

0 j

u=dr=dt,Phasengeshw. der

Wirkwellen.

u

p 0

S 0 = const

(52)

3.6 Die Postulate der Quantenmehanik

1. Posatulat

(I) Ein physikalishes System wird durh eine Zustandsfunktion

(q;t) beshrieben. Der Ausdruk j (q;t)j 2

d N

q gibt die Wahr-

sheinlihkeit an, das System zur Zeit t im Volumenelement d N

q

um q zu nden.

2.Postulat

(II) DenMegroen (Observablen)der klassishen Physik entspre-

hen in der Quantenmehanik Operatoren (

^

A).

3.Postulat

Die Mittelwerte der Operatoren im Zustand (r;t) sind gegeben durh

<A(t)>=

Z

V d

3

r

(r;t)

^

A (r;t)

die mittlerequadratishe Abweihung (Varianz) istdeniert durh:

(A) 2

<(<A> A) 2

>=<(<A>

2

2A<A>+A 2

)>=<A 2

> <A>

2

Der Ausdruk A ist proportional zur prinzipiellen (d.h. niht durh die Me-

tehnik bedingten) Unsharfe einer Messungder zu

^

A gehorenden Observablen.

(III) Das Ergebnis einer prazisen Messung (A=0) von A ist ein

Eigenwert von

^

A.

Erganzung:

Eigenwertgleihung von

^

A:

^

A'

;

=a

'

;

mit'

;

=Eigenfunktion, a

=Eigenwert, = Entartungsindex.

Sei '

;

einVONSin der Ortsdarstellung.

Entwiklungssatz:

(r;t)= X

; (t)'

; (r)

(53)

Dannist

<A(t) >=

X

;;

0

; 0

; (t)

0

; 0(t)

Z

V d

3

r '

; (r)

^

A'

0

; 0(r)

| {z }

=a

0

'

0

; 0

= X

;;

0

; 0

; (t)

0

; 0

(t)a

0

Æ

; 0

Æ

; 0

= X

; j

; (t)j

2

a

X

(t)a

Wobei

(t)=

X

j

; (t)j

2

dieWahrsheinlihkeitangibt, bei Messungvon A den Mewert a

zu nden.

4. Postulat

(IV) Die zeitlihe Entwiklung eines Zustandes wird durh die

Shrodingergleihung beshrieben:

ih

t

(t)=

^

H (t) (3.2)

Formallat sihein Zeitentwiklungsoperator

^

U(t) einfuhren,so da:

(t

1 )=

^

U(t

1 t

0 ) (t

0 )

gilt.Die formale Integration von (3.2) liefertandererseits(wenn

t

^

H =0gilt):

(t

1 )=e

i

h

^

H(t

1 t

0 )

| {z }

=

^

U(t1 t0) (t

0 )

auerdem gilt:

^

U(t

1 +t

2 )=

^

U(t

1 )

^

U(t

2 )

(54)

3.7 Feynmanshe Pfadintegrale

{mehr intuitiver Zugangzur QM

{Pfadintegrale, Wegintegrale,Propagator

3.7.1 Propagatoren

BetrahteTeilhen imZustand jx

a

>zur Zeit t

a

, z.B. inder Ortsdarstellung

<xjx

a

>=Æ(x x

a )

mitwelher Wahrsheinlihkeitist es zur Zeit t

e

bei jx

e

> ?

Feynmann:Summierung



uber alleWege, dievonx

a

nah x

e

fuhren.

e a

t e

x

a t x

x

t



UbergangswahrsheinlihkeitfurAusbreitung = Propagator:

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a

)=<x

e j

^

U(t

e t

a )jx

a

>

Zur naherungsweisen Berehnung: fuhre Zwishenpunkte x

2 :::x

N 1

ein, an denen das

Teilhen zur Zeit t ist(Zeitgitterung):

(55)

t t e e

3

x N-1

x

N-1

∆ t

t a t 2 t 3 x xa

x 2

x

...

t

3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral

Der Kurzzeitpropagator beshreibt die



Ubergangswahrsheinlihkeitvoneinem Punkt

aufden benahbarten:

P(x

n+1

;t

n+1

;x

n

;t

n

)=<x

n+1 j

^

U(t)jx

n

>=<x

n+1 je

i

h

^

Ht

jx

n

>

damit ergibtsih das Wegintegral

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a )=

Z

dx

N 1 dx

N 2 :::dx

2 P(x

N

;t

N

;x

N 1

;t

N 1 )P(x

N 1

;t

N 1

;x

N 2

;t

N 2

)::::P(x

2

;t

2

;x

1

;t

1 )

Berehnung der einzelnen Kurzzeitpropagatoren:

<x

n+1 je

i

h

^

Ht

jx

n

> = Z

dxÆ(x x

n+1 )e

i

h

t(T(^p)+V(xn))

Æ(x x

n )

Z

dxÆ(x x

n+1 )e

i

h

tT(^p)

Æ(x x

n )

| {z }

= 1

2h R

dpne i

h p

n (x x

n )

e i

h

tV(xn)

= 1

2h Z

dx Z

dp

n

Æ(x x

n+1 )e

i

h

[pn(x xn) H(pm;xn)t℄

= 1

2h Z

dp

n e

i

h h

pn x

n+1 xn

t

H(pm;xn) i

t

(3.3)

Der Limes t!0fuhrt inder ekigen KlammerimExponent auf

[:::℄ =p x_ H(p ;x )=L(P ;x )

(56)

alsoauf dieklassishe Lagrange-Funktion. Damitergibtsih furden Kurzzeitpropaga-

toralsoendgultig der einfahe Ausdruk:

P(x

n+1

;t

n+1

;x

n

;t

n )

t!0

= 1

2h Z

dp

n e

i

h

L(pn;xn)t

Furden gesammten Prozess von x

a

nah x

e

erhalten wir damitdas Pfadintegral

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a

)= lim

N!1 Z

dx

2 dx

3 :::dx

N 1 Z

dp

1 dp

2 dp

3 :::dp

N 1 e

i

h R

t

e

t

a

L(p;x)dt

wobeidas Integral imExponenten einFunktional des Weges vonx

a

nahx

b

(klassish

alsox(t);p(t)) ist.

FurdieVielfah-(eigentlihUnendlihfah-)Integraleverwendetmanoftdieabgekurz-

teNotation

lim

N!1 Z

dx

2 dx

3 :::dx

N 1

Z

Dx

und

lim

N!1 1

(2h) N 1

Z

dp

1 dp

2 dp

3 :::dp

N 1

Z

Dp

2h

oder

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a )=

Z

Dx Z

Dp

2h exp

i

h

Z

t

e

ta

L(p;x)dt

(3.4)

Die anshaulihe Erklarung des Pfadintegrales ist die, da man



uber alle Wege im

Phasenraum (x;p), die von x

a

nah x

b

fuhren, aufsummiert und die einzelnen Wege

mitdem Ausdruk

exp

i

h

Z

t

e

ta

L(p;x)dt

gewihtet. Dabeiistentsheidend, da der Wegamstarksten zur Summebeitragt, bei

dem der Exponentextremal wird, also

Z

Ldt=Extr.

Das ist aber gerade der Weg, den ein Teilhen gehen wurde, da der klassishen Me-

hanik folgt. Die Wege, bei denen der Exponent bezuglih benahbarter Wege stark

(57)

a t t x a

e

Variation Variation schwache

starke klassischer Weg

t x e

x

3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum

In der Form (3.4) ist das Pfadintegral im Phasenraum dargestellt. Die ursprunglihen

Arbeiten von Feynman verwendeten das Pfadintegral im Kongurationsraum. Man

gelangtzu dieserDarstellung durh ausintegrieren der Impulse. Sei

^

H =

^ p 2

2m

+U(x)

dann lasst sih (3.3)shreiben als:

<x

n+1 je

i

h

^

Ht

jx

n

>=e i

h

U(x

n )t

1

2h Z

dp

n e

i

h h

p

n x

n+1 xn

t pn

2m i

t

| {z }

=J

Der Ausdruk J lasst sihquadratish erganzenzu

J = 1

2h e

i

h

m

2

x

n+1 xn

t

2

t Z

dp

n e

i

h

1

2m

pn x

n+1 xn

t m

2

t

Das letzte Integral (komplexes Gau-Integral, Fresnel-Integral) lasst sih ausrehnen.

Fur den Kurzzeitpropagator erhalten wir insgesamt

<x

n+1 je

i

h

^

Ht

jx

n

>=

r

m

e i

h

m

2

x

n+1 x

n

t

2

U(xn)

t

(58)

und shlielih fur das Wegintegral inder Ortsdarstellung wie in3.7.2

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a

)= lim

N!1 Z

dx

2 dx

3 :::dx

N 1

m

2hit

N 1

2

e i

h R

t

e

ta

L(_x ;x)dt

(3.5)

wobeijetzt alsonur noh uberWege imOrtsraum integriertwird.

3.7.4 Beispiel: das freie Teilhen

AlsAnwendung wollen wir den Propagator fur das freie Teilhen berehnen:

U(x)=0; L(x )_ = m

2 _ x 2

Ausgehend von (3.5) erhalten wir

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a

)= lim

N!1

m

2hit

N 1

2 Z

dx

2 dx

3 :::dx

N 1 e

im

2ht P

N 1

n=1 (x

n+1 xn)

2

(3.6)

wobei x

1

= x

a

und x

N

= x

e

festgehalten werden. Im folgenden verwenden wir die

Hilfsformel(Faltungzweier Gau-Funktionen):

Z

1

1 e

(x a) 2

e (x b)

2

= s

+ e

+ (a b)

2

Zunahst werten wir das erste Integral, zusammen miteinemVorfaktor m

2hit

in (3.6)

aus. Mitder Hilfsformelergibt sih

m

2hit Z

dx

2 e

im

2h t (x

2 x

1 )

2

e im

2h t (x

3 x

2 )

2

= s

m

2hi(2t) e

im

2h(2t) (x

1 x

3 )

2

D.h.eine Integration liefertdieVorshrift,imVorfaktorundim Exponenten tdurh

2tzu ersetzen und imExponenten

(x

2 x

1 )

2

+(x

3 x

2 )

2

!(x

1 x

3 )

2

zu ersetzen. Wenn wir allex

n

ausintegrieren, mussen wir deshalb dieSubstitutionen

t !(N 1)t=t t

(59)

und

N 1

X

n=1 (x

n+1 x

n )

2

!(x

a x

e )

2

durhfuhren. Damitlautet das Wegintegral furdas freieTeilhen endlih:

P(x

e

;t

e

;x

a

;t

a )=

s

m

2hi(t

e t

a )

exp

"

i

h

m

2 (x

e x

a )

2

t

e t

a

#

Bemerkenswert ist dabei,dass diePhase genau der Wirkung entspriht, die der klas-

sishe Weg des freien Teilhens ergibt:

S

KL

= Z

t

e

ta

Ldt= m

2 Z

t

e

ta _ x 2

dt = m

2 Z

t

e

ta

x

e x

a

t

e t

a

2

dt = m

2 (x

e x

a )

2

t

e t

a

Die Wahrsheinlihkeitsdihte, das Teilhen nah der Zeit t =t

e t

a

zu nden ergibt

sihdann zu

=jPj 2

/ 1

t

analogzu dem ErgebnisfurWellenpakete.

(60)

Quantenmehanik im Hilbert-Raum

(61)

Referenzen

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