OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG Fakultät für Verfahrens- und Systemtechnik

(1)

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OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG

Fakultät für Verfahrens- und Systemtechnik

Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik Prof. Dr.-Ing. K. Sundmacher ____________________________________________________________

SS 2011

Klausur im Fach Systemverfahrenstechnik 21. September 2011

Persönliche Angaben

Name, Vorname Matrikel-Nr.

Hinweise zur Klausur

• Die Bearbeitungszeit beträgt 120 min. Es sind keine Hilfsmittel erlaubt.

• Verwenden Sie lediglich die ausgeteilten Blätter! Falls die vorhandenen Blätter nicht ausreichen: Fragen Sie bei der Klausuraufsicht nach, um neue Blätter zu erhalten.

• Bitte geben Sie alle ausgeteilten Blätter wieder ab!

• Bitte beschreiben Sie Ihren Lösungsweg durch kurze Kommentare, damit er nachvollziehbar ist!

• Bitte schreiben Sie deutlich und fassen Sie sich kurz!

• Lesen Sie sich die Aufgaben sorgfältig durch!

Bewertung

Mögliche Punktzahl Erreichte Punktzahl

1. Aufgabe 15 + 2

2. Aufgabe 23,5 + 3

3. Aufgabe 17 + 1

4. Aufgabe 12,5

5. Aufgabe 14 + 2

Gesamt 82 + 8

Note:

(2)

1. Aufgabe – Allgemeines (15 P + 2 ZP)

1.1. Tensornotation (6.5 P + 2 ZP)

1.1.1. Geben Sie jeweils ein Beispiel für verfahrenstechnisch relevante Feldgrößen mit tensorieller Ordnung 0, 1 und 2 an! (1.5 P)

Antw.: L

0: Konzentration (0.5 P) 1: Impulsdichte (0.5 P) 2: Spannungstensor (0.5 P)

1.1.2. Ergänzen Sie folgende Gleichungen so, dass sie (mathematisch) Sinn ergeben. Es existiert jeweils mehr als eine Lösung. (3 P)

(i) A_ij b_i =

(ii) a_j  B_jk c_k  D_kk = 0

(iii) ∂

∂z_k ^ak  b_j  ^ ^cjk = d_jk

Antw.: M

A_ij b_i = c_j

a_j  B_jk c_k  D_kke_j = 0

∂

∂z_k ^akE_kj  b_j  ^ ^cjk = d_jk

1.1.3. Geben Sie die Operatoren für Divergenz und Gradient, die auf den Tensor ak wirken, in indizierter Ten- sornotation an. Nennen Sie jeweils ein Beispiel für eine Bilanzgleichung, in der diese Operatoren vor- kommen! (2 P)

Antw.: M

Divergenz: ∂a_k

∂zk

(0,5 P) , z.B. in der partiellen Massenbilanz ∂

∂z_k_v_{k ,} ^{(0,5 P)}

Gradient: ∂a_k

∂z_j (0,5 P) , z.B. in der Energiebilanz in substantieller Formulierung ∂v_j

∂z_k ^{(0,5 P)}

1.1.4. Zusatzaufgabe: Zeigen Sie mittels Ausschreiben der linken Seite der folgenden Gleichung (unter Ver- wendung der indizierten Tensornotation), dass folgende Beziehung gilt: (2 ZP)

p ∂v_j

∂x_k _jk=p∂v_j

∂x_j

mit _jk={^{1 für}0 für ^jj⁼≠^kk ^und j , k∈{1,2} .

(3)

Antw.: M

p ∂v_j

∂x_k_jk=p



^∂^∂v^x¹k

_1k∂v₂

∂x_k_2k



=p



^∂^∂^v^x¹1

₁₁∂v₁

∂x₂₁₂∂v₂

∂x₁₂₁∂v₂

∂x₂₂₂



=p



^∂^∂^v^x¹1

⋅1∂v₁

∂x₂⋅0∂v₂

∂x₁⋅0∂v₂

∂x₂⋅1



=p



^∂^∂^v^x¹1

∂v₂

∂x₂



⁼^p^∂^∂^v^x^jj

(je 0,5 P)

1.2. Bilanzierung - Grundlagen (4,5 P)

1.2.1. Geben Sie die allgemeine Bilanzgleichung als Wortgleichung wieder! (1,5 P) Antw.: L

Akkumulation = Transport ± Quelle/Senke (je 0,5 P)

1.2.2. Nennen Sie zwei Beispiele für bilanzierbare Größen in der Verfahrenstechnik! (1 P) Antw.: L

Masse, Stoffmenge (je 0,5 P)

1.2.3. Worin besteht der Unterschied zwischen lokaler („Euler“) und substantieller („Lagrange“) Formulierung?

Mit Hilfe welcher Gleichung können Bilanzen zwischen beiden Formulierungen transformiert werden?

(2P) Antw.: L

Die lokale Form geht von einem ortsfesten Beobachter aus, während die substantielle Form für einen mitbewegten Beobachter gilt (1 P)

Transformation erfolgt mit der Operatorgleichung: d d t= ∂

∂tv_k ∂

∂z_k ^{(1 P)}

1.3. Mehrphasensysteme und Modellreduktion (4 P)

1.3.1. Nennen Sie zwei typische Beispiele für Mehrphasensysteme in der Verfahrenstechnik. (1 P) Antw.: L

Kristallisation, Wirbelschichtgranulation, Destillation, … (je 0,5 P)

1.3.2. Nennen Sie jeweils ein Beispiel für eine Größe, die sich an der Phasengrenze eines Zweiphasensys- tems sprunghaft ändert bzw. nicht springt. (1 P)

Antw.: L

sprunghafte Änderung: Partialdichte, Konzentration. (0,5 P) keine sprunghafte Änderung: Druck, Temperatur. (0,5 P)

(4)

1.3.3. Nennen Sie zwei Ihnen bekannte Verfahren zur Modellreduktion und erläutern Sie kurz die Vorgehens- weise. (2P)

Antw.: L

Reduktion der Zahl der Ortskoordinaten, Reduktion von Nichtgleichgewichtsmodellen auf Gleichge- wichtsmodelle, Reduktion der Zahl der Parameter, Reduktion der Zahl der dynamischen Zustände.

2. Aufgabe – Bilanzierung (23,5 P + 3 ZP)

2.1. Materialbilanzen (6P)

2.1.1. Geben Sie die partielle Massenbilanz für eine Komponente α in lokaler Formulierung an! Wählen Sie die Formulierung, welche die Massenschwerpunktsgeschwindigkeit explizit enthält. Überführen Sie diese Gleichung in die substantielle Formulierung! (3 P)

Antw.: M

partielle MB ∂ _

∂t =− ∂

∂z_k v_k_j_{k ,}_ (1 P) mit Hilfe der Operatorgleichung d

dt= ∂

∂tv_k ∂

∂z_k ^{(1 P)}

erhält man d_

dt =−_∂v_k

∂z_k−∂ j_{k ,}

∂z_k _ . (1 P)

2.1.2. Nehmen Sie an, dass in der lokalen Form der partiellen Massenbilanz a) der Massendiffusionsstrom vernachlässigbar ist,

b) der Quellen- und Senkenterm gegeben ist durch _=−k_ , c) die Konvektionsgeschwindigkeit konstant ist,

d) ein stationäres, eindimensionales (in z) Problem vorliegt.

Lösen Sie die resultierende Differentialgleichung (analytisch) unter Verwendung der Randbedingung

_z=0=__,0 . Erläutern Sie das Ergebnis kurz! (3 P) Antw.: M

Unter Berücksichtigung der Annahmen erhält man (1,5 P): v∂ _

∂z =−k_

Die Lösung lautet (1 P) _z=__,0exp



⁻^kv z



^.

Die Lösung gibt das stationäre Profil der Partialdichte entlang der z-Koordinate an. Dieses fällt mit wach- sendem z exponentiell ab. (0,5 P)

2.2. Impulsbilanz (3 P + 3 ZP)

2.2.1. Die Impulsbilanz in lokaler Formulierung lautet:

∂

∂tv_j=− ∂

∂z_kv_kv_jP_jk∑_ f _{j ,} .

Ordnen Sie jedem Term eine physikalische Bedeutung zu! (2 P)

(5)

Antw.: L

Impulsänderung im Kontrollvolumen (0.5 P)

konvektiver Impulstransport ins Kontrollvolumen (0.5 P)

Impulsänderung durch Druckgradienten und innere Reibung (0.5 P) Impulsänderung durch komponentenspezifische Volumenkräfte (0.5 P)

2.2.2. Wie vereinfacht sich die Besetzungsstruktur des Drucktensors Pjk für ein reibungsfreies Fluid? (1 P) Antw.: L P_jk=p_jk

2.2.3. Zusatzaufgabe: Aus der Impulsbilanz in lokaler Formulierung ist die Formel für den Schweredruck p(h) in einer stationären, ruhenden, inkompressiblen, reibungsfreien Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Tauchtiefe h herzuleiten. An der Flüssigkeitsoberfläche h0 herrscht Normaldruck p0. Skizzieren sie das Problem. (3 ZP)

Antw.: S

∑_ ^ f _{j ,}=g₃ (0.5 P) und P_jk=p_jk (0.5 P) in 0=− ∂

∂z_k P_jk∑_^ f _{j ,} (0.5 P) einsetzen

inkompressibel: =const. ^{(0.5 P)}

∫

0

h ∂p

∂z dz=∫

0 h

g dz

integrieren und RB einsetzen → p unabh. von x,y; p=p₀g h (0.5 P)

Skizze: (0.5 P)

2.3. Energiebilanz (9 P)

2.3.1. Die Bilanz der Gesamtenergie lautet:

∂

∂te



I

=− ∂

∂z_k



^^^{e v}II ^k

P_jkv_j

III

q_k'

IV



^^∑^^^^_V^f ^{j ,}^^v^{j ,} ^.

Ordnen Sie jedem Term eine physikalische Bedeutung zu! (2,5 P) Antw.: L

I.Akkumulation (0.5 P)

II.Konvektiver Transport (0.5 P) III.Arbeit der Oberflächenkräfte (0.5 P) IV.Energiestrom (0.5 P)

V.Arbeit der Volumenkräfte (0.5 P)

2.3.2. Welche Einheit hat der Energiestrom q'k und welche Beiträge zur Energiebilanz werden damit berück- sichtigt? (1,5 P)

(6)

Antw.: L

[q'k] = J/m²/s (0,5 P)

Der Energiestrom setzt sich zusammen aus Wärmeleitung (0,5 P) und Enthalpiediffusionsstrom (0,5 P).

( q'k=qk+∑jk,αhα )

2.3.3. Leiten Sie aus der Enthalpiebilanz in substantieller Formulierung die dynamische Gleichung für das Temperaturfeld T(zk,t) für ein isobares, diffusionsfreies System ohne chemische Reaktion in lokaler For- mulierung her. Kommentieren Sie die Umformungsschritte. (5 P)

d h d t −d p

d t =−∂q^'_k

∂z_k∑



f_{k ,} j_{k ,}−_jk ∂v_j

∂z_{k ,}_

Antw.: S

d h d t −d p

d t =−∂q'k

∂z_k∑



f_{k ,} j_{k ,}−_jk ∂vj

∂z_{k ,}_

mit d p

d t =0 (0.5 P) und j_{k ,}=0 (0.5 P) und q_k^'=q_k (0.5 P) folgt

d h

d t=−∂q_k

∂z_k−_jk ∂v_j

∂z_{k ,}_

totales Differential für h(T, p, wα) d h

d t =c_pdT

dt 



∂^∂^hp



T , w_=const.

dp dt∑



h_dw_ dt ^{(1 P)}

mit d p

d t =0 ^{(0.5 P)} d h

d t=c_pdT dt ∑



h_dw_

dt in Enthalpiebilanz einsetzen





^c^p^dT^dt ^^∑

h_dw_

dt



⁼⁻^∂^∂^q^z^kk

−_jk ∂v_j

∂z_{k ,}_ ^{(0.5 P)}

mit dT dt =∂T

∂t v_k ∂T

∂z_k (0.5 P) und dw_ dt =∂w_

∂t v_k∂w_

∂z_k=0 (keine chem. Reaktion) (0.5 P) ergibt sich schließlich c_p



^∂^∂^T^t ^v^k^∂^∂^T^z^k



⁼⁻^∂^∂^q^z^k^k^−^jk^∂^∂^z^v^{k ,}^j ^{(0.5 P)}

2.4. Populationsbilanzen (5,5 P)

2.4.1. Wozu verwendet man Populationsbilanzen? Geben Sie 2 mögliche Anwendungen und dabei relevante Eigenschaften an! (2.5 P)

Antw.: L

Mit Hilfe der Populationsbilanz kann die Dynamik von Eigenschaftsverteilungen modelliert werden (0,5P). Z.B. in der Kristallisation (0,5P) (Seitenlänge) (0,5P), Virusproduktion (0,5P) (Infektionsgrad) (0.5P).

2.4.2. Formulieren Sie eine allgemeine Populationsbilanz in 3 Raum- und n Eigenschaftskoordinaten.

Benennen Sie die Terme (3 P):

Antw.: M

∂f

∂t ∂v_k f 

∂zk

∂ G_j f 

∂xj

= (0.5 P)

(7)

k=1,2,3

j=1,. .., n (0.5 P)

Akkumulation (0,5P), Transport entlang der örtlichen Koordinate (0,5P), Transport entlang der Eigenschaftskoordinaten, Wachstum (0.5P), Sekundärprozesse wie Bruch und Agglomeration (0.5P)

3. Aufgabe – Konstitutive Gleichungen (17 P + 1 ZP)

3.1. Allgemeines (4.5 P)

3.1.1. Benennen Sie die drei Bausteine für ein Prozessmodell in der Verfahrestechnik und geben Sie jeweils ein Beispiel an. (3 P)

Antw.: L

Man benötigt Bilanzen (z.B. Energiebilanz), Kinetiken (z.B. Fourier'sche Wärmeleitung) und Thermody- namische Relationen (z.B. ideales Gasgesetz)

3.1.2. Benennen Sie drei Wege, auf denen konstitutive Gleichungen gewonnen werden können! (1,5 P) Antw.: M

empirische Ansätze, Irreversible TD, kinetische Theorie (je 0.5 P) 3.2. Reaktionskinetiken (6,5P)

Gegeben seien folgende Reaktionen:

AB ^k^1

k₁₋

CD B ^k^2

k₂₋

2 D DE ^k^3

k₃₋

A

3.2.1. Geben Sie Potenzansätze für die Kinetik der beiden Reaktionsraten r1 und r2 [mol/m³/s] an! Unterstellen Sie dabei, dass es sich um Elementarreaktionen handelt! (1P)

Antw.: L r₁=k_1c_Ac_B−k₁₋c_Cc_D r₂=k_2c_B−k₂₋c_D²

3.2.2. Geben Sie die Matrix der stöchiometrischen Koeffizienten an. (1,5P) Antw.: L

_ij=

[

⁻¹^{−1 0 1}^{1 2}^{0 0}^{1 0 0}^{−1 0}⁻¹⁻¹

]

(je Spalte 0.5 P)

3.2.3. Geben Sie die lokalen, massebezogenen Quelldichten σα für die Spezies C und D an! (1 P) Antw.: L

(8)

_C=M_Cr₁

_D=M_Dr₁2r₂−r₃

3.2.4. Geben Sie den Arrhenius-Ansatz an! Was beschreibt er? (1 P) Antw.: L

kT=k₀exp



^−ER T^A



^{(0.5 P)}

Der Arrhenius Ansatz beschreibt die Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeitskonstante von der Temperatur bei thermisch aktivierbaren Prozessen. (0.5 P)

3.2.5. Benennen Sie zwei weitere reaktionskinetische Ansätze neben dem Potenzansatz! Kommentieren Sie deren Bedeutung. (2 P)

Antw.: L

Die Michaelis-Menten Kinetik wird typischerweise bei enzymatisch katalysierten Reaktionen angewandt.

Langmuir-Hinshelwood Ansätze verwendet man bei Reaktionen an Oberflächen (z.B. heterogene Kata- lyse).

3.3. Kinetik des Stofftransports (6P + 1ZP)

3.3.1. Geben Sie den Fickschen Stofftransportansatz wieder. Kommentieren Sie wann dieser Ansatz generell gerechtfertigt ist? Erläutern Sie daran die typische Struktur einer empirischen Transport-Kinetik! (2P) Antw.: L

J_k^=−D_∂c_

∂z_k ^{(0,5 P)}

Der Ficksche Ansatz ist generell gerechtfertigt, wenn die Spezies α sehr stark verdünnt in einem Lö- sungsmittel vorliegt. (1 P)

Typische Transportkinetik als Wortgleichung (0,5 P): Fluss = (kinetischer Koeffizient) mal (Triebkraft) 3.3.2. Erläuteren Sie das Prinzip des Maxwell-Stefan-Ansatzes! (1 P)

Antw.: M

mikroskopisches Kräftegleichgewicht zwischen den verschiedenen Spezies

3.3.3. Zusatzaufgabe: Warum braucht man im Zusammenhang mit dem Maxwell-Stefan-Ansatz noch eine Schließbedingung? Geben Sie ein Beispiel für eine Schließbedingung an! (1ZP)

Antw.: S

weil die N Gleichungen für die N zu beschreibenden Massenströme linear abhängig sind (0.5 P)

0=∑_^Jk

 (0.5 P)

3.3.4. Gehen Sie vom Maxwell-Stefan-Ansatz aus:

−x_

RT



^∂^∂^zk^



T

=∑

=1

≠

N x_J_{k ,}−x_J_{k ,}

c_tD_{ }

(9)

Zeigen Sie, dass für ein stark verdünntes, ideales, binäres Gemisch der Maxwell-Stefan-Ansatz in den Fickschen Ansatz übergeht. Nehmen Sie an, dass Komponente 1 ein Lösungsmittel und Komponente 2 einen stark verdünnten Gelöststoff repräsentieren. (3 P)

Antw.: M

Für ein ideales Gemisch sind die Aktivitätskoeffizienten eins. Damit ergibt sich für das chemische Poten- tial

_j=⁰_jRTlnx_j (0,5 P)

und damit für dessen örtliche Ableitung (0,5 P)

∂_j

∂z_k =RT x_j

∂x_j

∂z_k ^.

Dann erhalten wir:

−∂x₂

∂zk

=x₁J_{k ,}₂−x₂J_{k ,1} ctD21

(1 P)

Es ist x1→1 und x2→0. Setzen wir x1=1 und x2=0, so bekommt man

J_{k ,2}=−c_tD₂₁∂x₂

∂z_k ^{(1 P),}

was dem Diffusionsansatz nach Fick entspricht.

4. Aufgabe – Charakteristiken und Laplace (12,5 P)

4.1. Methode der Charakteristiken (9 P)

4.1.1. Gegeben sei eine partielle Differentialgleichung, die die Dynamik der Massenverteilung f(t,x) einer Zell- population beschreibt (Populationsbilanz):

∂f

∂t G∂ f

∂x=−1

 f

mit f(t, x=0) = k N(t) f(t=0, x) = 0 G, Θ, k = const.

wobei x die Masse einer Zelle ist und G die Wachstumsrate einer einzelnen Zelle, θ ist die mittlere Ver- weilzeit. Die Funktion N(t) ist eine gegebene Randbedingung.

Lösen Sie die Gleichung analytisch mit Hilfe der Methode der Charakteristiken! (7 P) Antw.: M

Die charakteristischen Kurven werden in Parameterform dargestellt (Parameter s), also f(t(s),z(s)). Das totale Differential von f bzgl. s ist dann

d f ds =∂ f

∂t dt ds∂f

∂x dx ds

Vgl. mit der gegebenen Dgl. liefert

dt ds=1 dx ds =G d f ds =−1

 f

Die Lösung dieser gew. Dgln. (bis auf die Integrationskonstanten) lautet:

(10)

t=sc₁ x=Gsc₂

f =c₃e⁻

1

s

.

Nun müssen mit Hilfe der Rand-, bzw. Anfangsbedingungen (bzw. 1.AB und 2.AB) die Integrationskon- stanten bestimmt werden.

a) Zunächst parametrieren wir die Anfangsbedingung (d.h. t=0) mit x(s=0)=ξ , d.h. ξ>0 . Die Integrations- konstanten erhält man aus den Anfangsbedingungen für s=0

t=sc₁ ^t=0,s⁼⁰ c₁=0 x=Gsc₂ ^x=^,s=0 c₂=

f =f t=0,x=0=c₃e⁻

1

s s=0

c₃=0

dann ergibt sich

t=s x=Gs

f =0

bzw. in x-t Koordinaten mit s=t, ξ=x-Gt:

f=0

Der Gültigkeitsbereich bekommt man mit ξ>0 : t<x/G .

b) Jetzt untersuchen wir charakteristische Kurven, die von der Randbedingung aus starten, d.h. x=0 und parametrieren die Randbedigung mit t=ξ . Die Integrationskonstanten erhält man wieder am Ursprung der Charakteristiken (s=0)

t=sc₁ ^t=^{, s=0} c₁=

x=Gsc₂ ^x=0,s=0 c₂=0 f =f t , x=0=kNt=c₃e⁻

1 theta⋅s

s=0,t=

c₃=k N

Invertierung liefert:

=t−x G s=x

G

f=k Nt−x/Ge⁻

1 theta

x G

Der Gültigkeitsbereich ist mit ξ>0 und ξ=t-x/G : t>x/G .

4.1.2. Skizzieren Sie den Verlauf der Lösung f x ,t für Nt=N₀⋅Ht−Ht−t₁ , wobei H die Heavisidesche Sprungfunktion ist und tt₁0 . (2 P)

Antw.: M

Achsenbeschriftung (0.5 P), Hülle (0.5 P), Lösungskurve (0.5 P), Randbedingung (0.5 P)

(11)

4.2. Laplace (3,5 P)

4.2.1. Welche PDEs können mit der Methode der Charakteristiken gelöst werden? Welche PDEs können mit Hilfe der Laplace-Transformation gelöst werden?(2 P)

Antw.: L

Laplace Charakteristiken

Lineare Dgl. 0,5 P Quasilineare Dgl. 0,5 P PDE nter Ordnung 0,5 P PDE 1. Ordnung 0,5 P

4.2.2. Erläutern Sie in wenigen Stichworten die Lösung von partiellen Differentiagleichungen mit Hilfe der Laplacetransformation! (1.5 P)

Antw.: L

Transformation der Gleichungen in den Bildbereich (0.5 P)

Dies ergibt ODEs im Bildbereich, die dort gelöst werden können (0.5 P)

Die Lösung wird vom Bildbereich wieder zurück in den Zeitbereich transformiert (0.5 P)

(12)

5. Aufgabe – Finite-Volumen-Methode (14 P + 2 ZP)

5.1. Nennen Sie jeweils einen Vor- und Nachteil der Finite-Volumen-Methode. (1P) Antw.: L

Vorteil: konservative Methode (Erhaltungsgleichungen werden exakt erfüllt), Lösung nichtlinearer Pro- bleme möglich.

Nachteil: nicht exakt, z.B. numerische Diffusion

5.2. In einem Kristallisationsprozess sollen Kristalle mit dem Volumen V hergestellt werden. Dabei wird Kris- tallwachstum mit der konstanten Wachstumsrate G und Keimbildung (Nukleation) betrachtet. Die kon- stante Keimbildungsrate B wurde in die Randbedingung eingearbeitet. Die resultierende Populationsbi- lanz lautet

∂ f

∂t =−G∂ f

∂V ^(I)

mit der Anfangsbedingung f 0,V=f⁰V ^{für alle} V∈[V_nuc, V_max]

und der Randbedingung f t , V_nuc=B für alle t0

5.2.1. Diskretisieren Sie die Gleichung (I) termweise mit Hilfe der Finite-Volumen-Methode für ein inneres Kon- trollvolumen. Gehen Sie von einem äquidistanten Gitter aus. Verwenden Sie eine vollständig beschrifte- te Skizze und benennen Sie die jeweils notwendigen Rechenregeln und Annahmen. (7P)

Antw.: 2L+5M Skizze (1,5P)

äquidistantes Gitter → DVi = DV (0,5P) Akkumulationsterm: (2P)

∫

V_i Vi1

∂ f

∂t dV^(a)= d d t ∫

V_i Vi1

f dV^(b)= d f_i d t V Konvektionsterm: (2,5P)

∫V_i Vi1

G∂f

∂V dV^(c),(d)= G ^f^∣Vi1−f∣_V_i^(e)⁼^G ^fi−f_i−1

Alles zusammengesetzt: d f_i d t =−G

V ^fi−f_i−1 ^(0,5P)

mit (a) Leibniz-Regel, (b) stückweise konstant, (c) G = const., (d) HDI, (e) Upwind-Schema.

5.2.2. Welche Besetzungsstruktur hat die Jacobimatrix des resultierenden ODE-Systems? Wie viele Diagona- len sind besetzt? Welche? (1P)

Antw.: M

2 besetzte Diagonalen: Hauptdiagonale und 1. untere Nebendiagonale

J=

[

^*^{* *}^{⋱ ⋱}^{* *}^{* *}

]

^.

5.2.3. Zusatzaufgabe: Wie viele Diagonalen sind in der strukturellen Jacobimatrix des ODE-Systems besetzt, wenn zur Berechnung des konvektiven Terms anstelle des Upwind-Schemas ein Polynom 2. Ordnung als Profilannahme verwendet wird? Begründen Sie! (2P)

f_i f_i+1 f_i-1

Vi V

i+1

∆V

(13)

Antw.: S

4 besetzte Diagonalen. (1P)

Polynom 2. Ordnung → 3 Stützstellen je Grenze → 4 Stützstellen je KV. (1P)

5.3. Welchen Vorteil haben Flux-Limiter-Methoden gegenüber dem klassischen Upwind-Schema bei der Be- rechnung konvektiver Terme? (1P)

Antw.: M

Numerische Diffusion wird weitgehend unterdrückt.

5.4. In einem Rohrreaktor reagiert eine Komponente A zu einem Produkt. Die örtliche Verteilung der Kom- ponente A wird in axialer und radialer Richtung betrachtet. Die Konzentration der Komponente A wird durch die partielle Differentialgleichung

∂c_A

∂t =−vr∂c_A

∂z D r

∂

∂r



^r^∂∂^cr^A



⁻^{k c}³^A^/²

beschrieben. Dabei ist v(r) die radiusabhängige Geschwindigkeit in z-Richtung, D der Diffusionskoeffizi- ent in radialer Richtung und k die Reaktionsgeschwindigkeitskonstante. Der Reaktor habe die Länge L und den Radius R.

5.4.1. Formulieren Sie (physikalisch sinnvolle) Anfangs- und Randbedingungen!

Antw.: S

Anfangsbedingung c_At=0,r , z=c_A⁰ (0,5P). Randbedingung in axialer Richtung → Konzentration im Zulauf c_At , r , z=0=c_Aⁱⁿ (0,5P). 2 Randbedingungen in radialer Richtung: im Mittelpunkt des Reaktors aus Symmetriegründen ∂c_A

∂r

∣

_r=0⁼⁰ (0,5P), am Rand des Reaktors kein Stoffstrom durch die Wand ∂c_A

∂r

∣

_r=R⁼⁰ ^(0,5P).

5.4.2. Was muss bei der Diskretisierung mit Hilfe der FVM im Vergleich zu örtlich eindimensionalen Systemen beachtet werden?

Antw.: S

Die Kontrollvolumen sind hier zweidimensionale Bereiche, es muss also zwei mal integriert werden (über r und z), es müssen Profilannahmen in beiden Richtungen getroffen werden. (1P)

5.4.3. Wie viele gekoppelte (gewöhnliche) Differentialgleichungen erhalten Sie wenn Sie eine Diskretisierung von nr = 20 Kontrollvolumina in radialer Richtung und nz = 100 Kontrollvolumina in axialer Richtung unterstellen? (4P)

Antw.: S

→ 20 * 100 = 2000 gekoppelte ODEs. (1P)