Cauchys Theorem

Cauchys Theorem

F¨ur ein beschr¨anktes GebietD, das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt

”links“) st¨uckweise stetig differenzierbare Kurven Ck berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt

Z

C

f(z)dz = 0 mit C =P

kC_k.

Insbesondere ist das komplexe Kurvenintegral von f ¨uber geschlossene Wege Null, die ein Teilgebiet von D beranden. Allgemeiner verschwindet R

Cf(z)dz f¨ur jeden Weg, der in D zu einem Punkt homotop ist.

Cauchys Theorem 1-1

Beweis:

(i) Spezialfall eines Rechtecks R und einer in einer Umgebung von R analytischen Funktion f:

definiere

s(R) = Z

C

f dz

mit Randkurve C =∂R mathematisch positiv orientiert

R

R^′ R^′′

R^′′′ R^′′′′

Aufteilung von R in vier kongruente Rechtecke R⁰,R⁰⁰,R⁰⁰⁰ und R⁰⁰⁰⁰

f¨ur mindestens ein Teil-RechteckR₁ vonR =R₀ gilt

|s(R₁)| ≥ 1 4|s(R)|

Iteration des Unterteilungsprozesses R =R0⊃R1 ⊃ · · · mit

|s(Rj)| ≥ 1

4|s(R_j−1)| ≥ · · · ≥4^−j|s(R0)|

R_j →Punkt z_?, d.h.

∀δ >0 ∃j(δ) : R_j ⊂ {z :|z−z_?|< δ} f¨ur j >j(δ) f komplex differenzierbar =⇒

∀ε >0 ∃δ(ε) : |f(z)−f(z?)−f⁰(z?)(z−z?)|< ε|z−z?|, |z−z_?|< δ

Cauchys Theorem 2-2

Existenz von Stammfunktionen f¨ur die Monome =⇒ Z

C_j

f(z_?)dz = Z

C_j

f⁰(z_?)(z−z_?)dz= 0, C_j =∂R_j

j >j(δ(ε)) =⇒

|s(R_j)|= Z

Cj

f(z)−f(z_?)−f⁰(z_?)(z−z_?)dz

≤ε Z

Cj

|z−z_?|dz≤εd_jL_j

wobei d_j die L¨ange der Diagonale und L_j die L¨ange des Randes von R_j bezeichnet

d_j = 2^−jd0, L_j = 2^−jL0 =⇒

|s(R0)| ≤4^j|s(Rj)| ≤ε(4^jdjLj) =εd0L0

(ii) Beweisidee im allgemeinen Fall:

analoger Beweis f¨ur ein Dreieck

Approximation von ∂D durch einen polygonalen, ganz inD enthaltenen Rand

Triangulierung eines polygonalen Gebietes;

Aufhebung der Integrale ¨uber innere Kanten Reduktion auf den Fall eines Dreiecks

Cauchys Theorem 2-4

Beispiel:

illustriere Cauchys Theorem f¨ur den Kreis

C : z(t) =a+re^it, 0≤t≤2π (i) f(z) = (z−a)ⁿ (n6=−1):

Z

C

f dz =

2π

Z

0

(z(t)−a)ⁿz⁰(t)dt =

2π

Z

0

rⁿe^intrie^itdt

=

rⁿ⁺¹ 1

n+ 1e^i(n+1)t 2π

0

= 0 im Einklang mit Cauchys Theorem

(ii) f(z) = e^z2:

keine explizite Stammfunktion

nicht analytisch berechenbares Kurvenintegral

2π

Z

0

e^(a+reit)2rie^itdt

Cauchys Theorem =⇒ R

Cf dz = 0

Cauchys Theorem 3-2

Beispiel:

reelle Darstellung des Kurvenintegrals R

Cf dz Z

C

(u+iv)(dx+idy) = Z

C

(udx −vdy) +i Z

C

(udy +vdx)

Satz von Green, R

∂D

ϕdx+ψdy =RR

D

ψ_x−ϕ_ydxdy =⇒ Z

C

f dz =− Z

D

(u_y +v_x)dxdy +i Z

D

(u_x−v_y)dxdy, C =∂D

Null aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Voraussetzung: Stetigkeit der partiellen Ableitungen vonu und v

Deshalb keine einfache Beweisalternative, da ¨ublicherweise die Stetigkeit