Abteilung f¨ur Mathematische Stochastik Prof. Dr. Angelika Rohde
Wintersemester 2019/2020 Johannes Brutsche, M.Sc.
Ubungen zur Vorlesung ¨
“Analysis III“
Blatt 3
Abgabetermin: Montag, 11.11.2019, bis 10.00 Uhr in den Briefk¨asten im Math. Institut (Geben Sie auf jedem L¨osungsblatt Ihren Namen und Ihre ¨Ubungsgruppe an.
Sie d¨urfen maximal zu zweit abgeben.)
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei Ω eine endliche Menge, sei|Ω|gerade und≥4. Setze D:={D⊂Ω| |D|ist gerade}. Zeigen Sie, dassDein Dynkin-System, aber keine σ-Algebra ist.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
F¨ur die Funktionf :R→R bezeichne
Df :={x∈R|f ist unstetig in x}
die Menge der Unstetigkeitsstellen von f. Zeigen Sie, dass Df ein Element der Borel’schen σ-Algebra ¨uber Rist.
Hinweis:Zeigen Sie zun¨achst, dassAk,n= x∈R
∃y, z ∈ x−n1, x+n1
mit|f(y)−f(z)|> 1k offen ist.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Es sei Ω eine ¨uberabz¨ahlbare Menge und
A:={A⊂Ω|Aoder Acist abz¨ahlbar}.
(a) Zeigen Sie, dassAeine σ-Algebra ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Mengenfunktion µ:A −→R≥0
A7→
(0 fallsA abz¨ahlbar ist, 1 fallsAcabz¨ahlbar ist.
ein Maß auf (Ω,A) ist.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
(Ω,A, µ) sei ein Maßraum. Zeigen Sie:
(a) Aµ:={A∪N :A∈ A, es ex. einM ∈ Amitµ(M) = 0 undN ⊂M}ist eineσ-Algebra.
(b) Durch ˜µ(A∪N) :=µ(A) f¨urA∪N ∈ Aµwird ein wohldefiniertes Maß ˜µaufAµdefiniert.
(c) Der Maßraum (Ω,Aµ,µ) ist˜ vollst¨andig, d.h. alle Teilmengen von Mengen mit Maß 0 liegen inAµ (d.h. f¨ur alle ˜A,B˜ mit ˜A∈ Aµ, ˜B ⊂A, ˜˜ µ( ˜A) = 0 gilt ˜B∈ Aµ).
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