Bakalaureusetöö(9EAP)Juhendaja:ToivoLeigerTartu2015 Keskväärtusteoreemidjanendegaseotudfunktsionaalvõrrandid NeleRosenberg

Tartu Ülikool

Matemaatika-informaatikateaduskond Matemaatika instituut

Nele Rosenberg

Keskväärtusteoreemid ja nendega seotud funktsionaalvõrrandid

Bakalaureusetöö (9 EAP)

Juhendaja: Toivo Leiger

Tartu 2015

Keskväärtusteoreemid ja nendega seotud funktsionaalvõrrandid

Bakalaureusetöö Nele Rosenberg

Lühikokkuvõte. Käesolevas bakalaureusetöös esitatakse Lagrange'i, Fletti ja Pompeiu keskväärtusteoreemide teadaolevad tõestused ja rakendused ning selgitatakse nende geo- meetrilist tähendust. Lagrange'i teoreemi puhul kirjeldatakse keskväärtust määrava punk- ti asümptootilist käitumist. Fletti teoreemi erinevate versioonide hulgast tõestatakse Tra- hani ja Tongi teoreemid ning kirjeldatakse nende kolme teoreemi vahekorda. Esitatakse üksikasjalikud tõestused Lagrange'i ja Pompeiu keskväärtusteoreemidega seotud aritmee- tilise ja harmoonilise keskmisega määratud funktsionaalvõrrandite lahendamisest.

Märksõnad. Lagrange'i keskväärtusteoreem, Fletti keskväärtusteoreem, Pompeiu kesk- väärtusteoreem, funktsionaalvõrrandid, aritmeetiline keskmine, harmooniline keskmine.

Mean value theorems and functional equations associated with them

Bachelor's thesis Nele Rosenberg

Abstract. In this bachelor's thesis we present proofs of Lagrange's, Flett's and Pompeiu's mean value theorems, their less known applications and explain the geometrical meaning of these theorems. The asymptotic behaviour of a point determining mean value is descri- bed in case of Lagrange's theorem. We prove two versions of Flett's theorem -Trahan's and Tong's theorems- and describe the connections between these three theorems. This thesis includes detailed solutions of functional equations determined by arithmetic or harmonic mean and associated with Lagrange's and Pompeiu's threorem.

Key words. Lagrange's mean value theorem, Flett's mean value theorem, Pompeiu's mean value theorem, functional equation, arithmetical mean, harmonic mean.

Sisukord

Sissejuhatus 4

1 Keskväärtusteoreemid 7

1.1 Lagrange'i keskväärtusteoreem . . . 7

1.1.1 Lagrange'i teoreem ja selle kaks tõestust . . . 7

1.1.2 Lagrange'i teoreemi rakendusi . . . 11

1.1.3 Näiteid Lagrange'i teoreemi rakendamisest . . . 12

1.1.4 Keskväärtust määravate punktide asümptootiline käitumine . . . . 18

1.2 Fletti tüüpi keskväärtusteoreemid . . . 20

1.2.1 Fletti teoreem, selle tõestused ja erinevad versioonid . . . 21

1.2.2 Fletti teoreemi rakendused . . . 26

1.2.3 Fletti teoreemi teisi versioone . . . 31

1.3 Pompeiu keskväärtusteoreem . . . 35

2 Keskväärtusteoreemidega seotud funktsionaalvõrrandid 38 2.1 Lagrange'i teoreemiga seotud funktsionaalvõrrand . . . 38

2.2 Pompeiu teoreemiga seotud funktsionaalvõrrand . . . 42

2.3 Harmooniliste keskmistega määratud funktsionaalvõrrandid . . . 47

Kirjandus 50

Sissejuhatus

Matemaatilise analüüsi põhikursuses tõestatakse järgmine diferentsiaalarvutuse keskväär- tusteoreem, mida nimetatakse ka Lagrange'i keskväärtusteoreemiks.

Teoreem 0.1. Olgu funktsioon f: D → R intervallis D diferentseeruv. Siis punktide x < y korral intervallist D leidub c=c(x, y) omadusega

f(y)−f(x)

y−x =f⁰(c). (1)

Üldjuhul ei õnnestu punktic(x, y)leida. Mõnedel juhtudel see siiski õnnestub, näiteks, kui funktsioon f on ruutpolünoom, siis c(x, y) = x+y

2 , s.t c(x, y) on lõigu [x, y] keskpunkt.

Sellest tulemusest lähtudes tekib järgmine küsimus. Milliste funktsioonide f: D → R korral kehtib võrrand (1), kui selles c(x, y) = x+y

2 ? Konkreetsemalt, kas iga võrrandit f(y)−f(x)

y−x =f⁰

x+y 2

(2) rahuldav funktsioon f on ruutpolünoom. Allpool näeme, et vastus sellele küsimusele on positiivne.

Seosega (2) on määratud diferentsiaalvõrrand, kuid üldjuhul vaadeldakse funktsionaalvõr- randit

f(y)−f(x)

y−x =h(c(x, y)), (3)

kus f ja h on intervallis D määratud otsitavad funktsioonid ja c: D×D →R on selline kahe muutuja funktsioon, mille väärtused kuuluvad intervalliD. Oluline on, et kehtiks tin- gimusc(x, y)∈[x, y], mistõttu eeldatakse, et funktsioonc: D×D→Ron mingi keskmine.

Denitsioon 0.2. Pidevat kahe muutuja funktsiooni c: D×D → D nimetatakse kesk- miseks, kui

1) c(x, y) = c(y, x), 2) c(x, x) = x,

3) min{x, y} ≤c(x, y)≤max{x, y}

kõikide x, y ∈D korral.

Selles bakalauseusetöös on tegemist kahe keskmisega:

1) aritmeetilise keskmisega

c: R×R→R, c(x, y) := x+y 2 ,

2) harmoonilise keskmisega

c: [0,∞)×[0,∞)→[0,∞), c(x, y) := 2xy x+y.

Aritmeetilise ja harmoonilise keskmise puhul on eespool püstitatud funktsionaalvõrrand (3) lahendatud 1989. aastal J. Aczéli ja M. Kuczma töös [1].

Lisaks Lagrange'i teoreemile käsitletakse selles bakalaureusetöös ka Fletti ja Pompeiu keskväärtusteoreeme. Pompeiu keskväärtusteoreemiga seotud funktsionaalvõrrand on sa- muti lahendatud Aczéli ja Kuczma artiklis [1]. Fletti teoreemiga seotud probleemidest ja selle rakendustest annavad hea ülevaate O. Hutníku ja J. Molnárová artiklid [2] ja [3].

Käesoleva bakalaureusetöö üheks eesmärgiks on esitada Lagrange'i ja Fletti keskväärtus- teoreemide teadaolevad tõestused ja nende teoreemide vähem tuntud rakendusi. Teiseks eesmärgiks on anda Aczéli ja Kuczma teoreemide üksikasjalikud tõestused Lagrange'i ja Pompeiu keskväärtusteoreemiga seotud funktsionaalvõrrandite lahendamisest. Bakalau- reusetöö on referatiivne ja põhineb artiklitel [1], [2], [3], [5], [6] ja raamatul [4].

Töö koosneb kahest peatükist. Esimeses peatükis keskendutakse Lagrange'i, Fletti ja Pompeiu keskväärtusteoreemide tõestustele ja nende rakendustele. Esimeses alapunktis esitatakse Lagrange'i keskväärtusteoreemi kaks erinevat tõestust. Tuuakse selle teoreemi rakendusi ja näiteid ning uuritakse keskväärtust määrava punkti asümptootilist käitumist.

See alapunkt põhineb raamatul [4]. Teises alapunktis esitatakse Fletti keskväärtusteoreemi kaks tõestust, millest esimene põhineb Rolle'i ja teine Fermat' teoreemil. Tuuakse Fletti teoreemi kaks rakendust. Tõestatakse Fletti teoreemi kaks erinevat versiooni, Trahani ja Tongi teoreemid, ning selgitatakse nende kolme teoreemi vahekorda. Selle alapunkti koos- tamisel kasutatakse artikleid [2], [3], [6], [5] ja raamatut [4]. Kolmandas alapunktis, mis põhineb raamatul [4], tõestatakse Pompeiu keskväärtusteoreem.

Teine peatükk on pühendatud keskväärtusteoreemidega seotud funktsionaalvõrranditele.

Esimeses alapunktis tõestatakse teoreem, mis annab lahenduse Lagrange'i keskväärtus- teoreemiga seotud funktsionaalvõrrandile aritmeetilise keskmise korral. Teises alapunktis tõestatakse sarnane teoreem Pompeiu keskväärtusteoreemiga seotud funktsionaalvõrrandi jaoks. Kolmandas alapunktis lahendatakse harmoonilise keskmisega määratud funktsio- naalvõrrandid.

Lõpetame sissejuhatuse allpool kasutatavate väidetega matemaatilise analüüsi põhikur- susest.

Teoreem 0.3 (Cantori teoreem üksteisesse sisestatud lõikudest). Kui [a₁, b₁]⊃[a₂, b₂]⊃[a₃, b₃]⊃. . .

ja lim

n→∞(b_n−a_n) = 0, siis leidub selline punkt a, et {a}= \

n∈N

[a_n, b_n], seejuures a= lim

n→∞a_n= lim

n→∞b_n.

Teoreem 0.4 (Bolzano-Cauchy teoreem). Kui f: D → R on pidev intervallis D, siis suvaliste y₁ = f(x₁) ja y₂ = f(x₂) ning arvu A korral, mis on y₁ ja y₂ vahel, leidub a∈(x1, x2) omadusega A=f(a).

Teoreem 0.5 (Weierstrassi teoreem). Lõigus pideval funktsioonil on selles lõigus suu- rim ja vähim väärtus.

Teoreem 0.6 (Fermat' teoreem). Olgu funktsioon f: D→ R intervalli D sisepunktis c diferentseeruv ning olgu tal selles punktis lokaalne ekstreemum. Siis f⁰(c) = 0.

Teoreem 0.7 (Rolle'i teoreem). Kui funktsioon f on lõigus [x₁, x₂] pidev, vahemikus (x₁, x₂) diferentseeruv ning f(x₁) =f(x₂), siis leidub punkt c∈(x₁, x₂) nii, et f⁰(c) = 0. Teoreem 0.8 (diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreem). Olgu f lõigus [a, b]

integreeruv funktsioon. Kui funktsioon f on vahemiku (a, b) mingis punktis c pidev, siis funktsioon G, mis on deneeritud seosega G(x) :=

Z x a

f(t)dt, on punktis cdiferentseeruv ja G⁰(c) = f(c).

1 Keskväärtusteoreemid

1.1 Lagrange'i keskväärtusteoreem

Käesolevas alapunktis esitame Lagrange'i keskväärtusteoreemi ja selle kaks tõestust, too- me näiteid ja rakendusi ning uurime keskväärtust määrava punkti asümptootilist käitu- mist.

1.1.1 Lagrange'i teoreem ja selle kaks tõestust

Teoreem 1.1 (Lagrange'i teoreem). Olgu funktsioon f: [a, b] → R lõigus [a, b] dife- rentseeruv, siis leidub c∈(a, b) omadusega

f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c).

Tõestus. Deneerime funktsiooni g: [a, b]→R seosega g(x) :=f(x)− f(b)−f(a)

b−a (x−a)−f(a).

Kuna f on pidev lõigus [a, b], siis on seda ka g, seejuures g⁰(x) =f⁰(x)−f(b)−f(a)

b−a iga x∈(a, b)korral.

Paneme tähele, et

g(a) =f(a)−f(b)−f(a)

b−a (a−a)−f(a) = 0 ja

g(b) =f(b)− f(b)−f(a)

b−a (b−a)−f(a) = 0

ehkg(a) =g(b) = 0. Järelikultgrahuldab teoreemi 0.7 tingimusi, seda rakendades leiame sellise punkti c∈(a, b), et

0 = g⁰(c) = f⁰(c)− f(b)−f(a) b−a , seega

f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c), mida oligi tarvis näidata.

Lagrange'i teoreemi teise versiooni tõestuse jaoks vajame järgmist lemmat.

Lemma 1.2. Kui lim

n→∞u_n = lim

n→∞v_n=a ja 0< µ_n<1 iga n∈N korral, siis

n→∞lim(µ_nu_n+ (1−µ_n)v_n) =a.

Tõestus. Eeldame, et lemma eeldused on täidetud. Peame näitama, et

n→∞lim(µnun+ (1−µn)vn) =a.

Paneme tähele, et

n→∞lim(µ_nu_n+ (1−µ_n)v_n−a) = lim

n→∞((µ_nu_n+ (1−µ_n)v_n)−(µ_na+ (1−µ_n)a))

= lim

n→∞(µ_n(u_n−a) + (1−µ_n)(v_n−a))

= lim

n→∞µ_n(u_n−a) + lim

n→∞(1−µ_n)(v_n−a).

Kuna un→a ja vn→a ning jada (µn)on tõkestatud, siis

n→∞lim µn(un−a) + lim

n→∞(1−µn)(vn−a) = 0 + 0 = 0, s.t lim

n→∞(µ_nu_n+ (1−µ_n)v_n) =a.

Teoreem 1.3 (Lagrange'i teoreem). Olgu f: D→R diferentseeruv intervallis Dning olgu x₁, x₂ ∈D suvalised punktid, kusx₁ < x₂. Siis leidub c=c(x₁, x₂)∈[x₁, x₂] omadu- sega

f⁰(c) = f(x₂)−f(x₁) x2−x1

. Tõestus. Tähistamem:= f(x2)−f(x1)

x₂−x₁ jay:= x2+x1

2 ,s.tyon lõigu[x₁, x₂]keskpunkt.

Saame osalõigud [x₁, y] ja [y, x₂], kusjuures mõlema pikkus on h := x₂−x₁

2 . Tähistame veel

m₁ := f(y)−f(x₁)

h ja m₂ := f(x₂)−f(y) h ning paneme tähele, et

min{m₁, m₂} ≤m≤max{m₁, m₂}.

Tõepoolest, kui oletada vastuväiteliselt, et m₁ > m ja m₂ > m, s.t f(x₂)−f(x₁)

2h < f(y)−f(x₁)

h = 2(f(y)−f(x₁))

2h ,

f(x₂)−f(x₁)

2h < f(x₂)−f(y)

h = 2(f(x₂)−f(y))

2h ,

siis nende võrratuste liitmisel saame vastuolu 2(f(x₂)−f(x₁))<2(f(x₂)−f(x₁)).

Analoogiliselt, kui oletada vastuväiteliselt, et m₁ < m ja m₂ < m, s.t f(x2)−f(x1)

2h > f(y)−f(x1)

h = 2(f(y)−f(x1))

2h ,

f(x2)−f(x1)

2h > f(x2)−f(y)

h = 2(f(x2)−f(y))

2h ,

siis saame vastuolu 2(f(x₂)−f(x₁))>2(f(x₂)−f(x₁)).

Meie eesmärk on näidata, et leidub c∈[x₁, x₂]omadusega m =f⁰(c).

Deneerime funktsiooni g: [x₁, y]→R seosega

g(x) := f(x+h)−f(x)

h ,

siis g on pidev funktsioon: iga a∈[x₁, y] korral

x→alimg(x) = lim

x→a

f(x+h)−f(x) h

= 1 h

x→alimf(x+h)−lim

x→af(x)

= 1

h(f(a+h)−f(a)) =g(a).

Paneme tähele, et

g(x₁) = f(x1+h)−f(x1)

h =m₁ ja g(y) = f(y+h)−f(y)

h =m₂.

Kunamin{m₁, m₂} ≤m≤max{m₁, m₂}, siis lause 0.4 kohaselt leidub sellinez₁ ∈(x₁, y), et g(z₁) =m. Tähistame

a₁ :=z₁ ja b₁ :=z₁+h, siis h=b₁−a₁ ja x₁ ≤a₁ < b₁ ≤x₂, seejuures

m =g(z₁) = f(a1+h)−f(a1)

h = f(b1)−f(a1)

h .

Kordame eelnevat mõttekäiku, asendades lõigu [x₁, x₂] lõiguga [a₁, b₁]. Sel juhul saame lõigu[a₂, b₂]⊂[a₁, b₁] nii, etm= f(b₂)−f(a₂)

b₂ −a₂ . Niimoodi jätkates jõuame lõikude jadani [x₁, x₂]⊃[a₁, b₁]⊃[a₂, b₂]⊃. . . ,

kus

n→∞lim (b_n−a_n) = lim

n→∞

h 2ⁿ = 0.

Lause 0.3 kohaselt leidub üheselt määratud punkt c omadusega c∈ \

n∈N

[a_n, b_n], seejuures c= lim

n→∞a_n = lim

n→∞b_n.

Jääb veenduda, et f⁰(c) = f(x₂)−f(x₁) x₂−x₁ .

Eelneva arutelu põhjal on võimalik, et con mingi lõigu[a_N, b_N]vasakpoolne otspunkt, s.t c=a_N mingiN ∈N korral, siis c=a_n iga n≥N puhul. Sel juhul

m= f(b_n)−f(a_n)

b_n−a_n = f(b_n)−f(c) b_n−c , seega

m= lim

n→∞

f(b_n)−f(c)

b_n−c = lim

x→c

f(x)−f(c)

x−c =f⁰(c).

Analoogiliselt, cvõib olla ka mingi lõigu[a_N, b_N]parempoolne otspunkt, s.tc=b_N mingi N ∈N korral, siis c=b_n iga n ≥N puhul. Sel juhul

m = f(b_n)−f(a_n)

b_n−a_n = f(c)−f(a_n) c−a_n , seega

m = lim

n→∞

f(c)−f(a_n) c−an

= lim

x→c

f(c)−f(x)

c−x =f⁰(c).

Kui an < c < bn mingist indeksist N alates, siis deneerime µn := c−a_n

b_n−a_n ja paneme tähele, et

0< µ_n<1, sest a_n < c < b_n, 1−µ_n = 1− c−a_n

bn−an

= b_n−a_n−c+a_n bn−an

= b_n−c bn−an

, µ_nf(c)−f(a_n)

c−a_n + (1−µ_n)f(b_n)−f(c) b_n−c =

= c−a_n bn−an

·f(c)−f(a_n) c−an

+ b_n−c cn−an

·f(b_n)−f(c) bn−c =

= 1

b_n−a_n(f(c)−f(a_n) +f(b_n)−f(c)) =

= f(b_n)−f(a_n) b_n−a_n =m

igan ≥Nkorral. Rakendame lemmat 1.2 juhul, kuiu_n= f(c)−f(an)

c−a_n jav_n = f(bn)−f(c) b_n−c . Kuna

n→∞lim u_n = lim

n→∞

f(c)−f(an)

c−a_n = lim

x→c

f(c)−f(x)

c−x =f⁰(c) ja

n→∞lim v_n= lim

n→∞

f(b_n)−f(c) b_n−c = lim

x→c

f(x)−f(c)

x−c =f⁰(c),

siis lemma 1.2 kohaselt m= lim

n→∞

µ_nf(c)−f(a_n)

c−a_n + (1−µ_n)f(b_n)−f(c) b_n−c

=f⁰(c).

Teoreem on tõestatud.

On lihtne näha, et teoreemi 1.3 väide järeldub vahetult teoreemist 1.1. Seetõttu teoreemis 1.3 asub punkt cvahemikus (a, b). See on asjaolu, mis teoreemi 1.3 tõestusest ei ilmne.

Lagrange'i teoreemi geomeetriline tähendus. Diferentseeruva funktsiooni f määra- mispiirkonnas kseeritud lõigu[x1, x2]korral saab vähemalt ühes graaku punktis(c, f(c)) võtta puutuja, mis on paralleelne läbi graaku punktide (x₁, f(x₁))ja(x₂, f(x₂))tõmma- tud lõikajaga.

x y

x₁ c x₂

Joonis 1. Lagrange'i keskväärtusteoreemi geomeetriline tähendus.

1.1.2 Lagrange'i teoreemi rakendusi

Järgmised laused, mis tõestatakse matemaatilise analüüsi põhikursuses, demonstreerivad, kuidas Lagrange'i keskväärtusteoreemi rakendatakse funktsioonide käitumise uurimisel.

Tähistame intervalli D korral sümboliga D^◦ hulga D sisepunktide hulka.

Lause 1.4. Kui funktsioon f: D→R on pidev ja f⁰(x) = 0 iga x∈D^◦ korral, siis f on intervallis D konstantne funktsioon.

Tõestus. Oletame vastuväiteliselt, et leiduvad sellised punktid x₁ ja x₂ intervallis D, et f(x₁)6=f(x₂), olgu x₁ < x₂. Teoreemi 1.3 kohaselt leidub c∈(x₁, x₂) omadusega

f⁰(c) = f(x₂)−f(x₁) x₂ −x₁ 6= 0,

kuid see on vastuolus meie eeldusega, et f⁰(x) = 0 iga x∈D^◦ korral.

Lause 1.5. Olgu funktsioonid f: D→R ja g: D→R intervallis D pidevad ning hulgas D^◦ diferentseeruvad. Kui f⁰(x) =g⁰(x) iga x∈ D^◦ korral, siis f ja g erinevad intervallis D vaid konstandi poolest.

Tõestus. Olgu h := f −g, siis h⁰(x) = 0 iga x ∈ D^◦ korral. Lause 1.4 põhjal h(x) = c kõikide x ∈ D puhul, kus c on mingi konstant. Seega oleme saanud, et f ja g erinevaid vaid konstandi poolest.

Lause 1.6. Olgu funktsioon f: D → R intervallis D pidev ja hulgas D^◦ diferentseeruv.

Kui f⁰(x) > 0 iga x ∈ D^◦ korral, siis f on rangelt kasvav funktsioon intervallis D. Kui f⁰(x)<0 iga x∈D^◦ korral, siis f on rangelt kahanev funktsioon intervallis D.

Tõestus. Eeldame, et f⁰(x) > 0 iga x ∈ D^◦ korral, olgu x₁ < x₂. Teoreemi 1.3 kohaselt leidub c∈(x₁, x₂) omadusega

f(x₂)−f(x₁)

x₂−x₁ =f⁰(c),

seejuures f⁰(c)>0. Seega f(x₂)> f(x₁), s.t f on rangelt kasvav funktsioon.

Lause teise väite tõestus on analoogiline.

1.1.3 Näiteid Lagrange'i teoreemi rakendamisest Järgnevad näited on võetud raamatust [4].

Näide 1.7. Näitame, et kui x >−1, siis iga n∈N korral kehtib Bernoulli võrratus (1 +x)ⁿ ≥1 +nx.

Vaatleme kõigepealt juhtu x≥0. Deneerime funktsiooni f: R→Rseosega f(t) = (1 +t)ⁿ.

Kuna funktsioon f on hulgas R diferentseeruv, siis ta rahuldab teoreemi 1.3 eeldusi, mistõttu leidub c∈(0, x) omadusega

f(x)−f(0) = (x−0)f⁰(c) ehk

(1 +x)ⁿ−1 =xn(1 +c)ⁿ⁻¹ > nx, s.t kehtib Bernoulli võrratus.

Olgu nüüd −1< x <0. Teoreemi 1.3 kohaselt leidub c∈(x,0)omadusega f(0)−f(x) = (0−x)f⁰(c).

Saame, et

(1 +x)ⁿ−1 =xn(1 +c)ⁿ⁻¹ > nx, s.t kehtib Bernoulli võrratus.

Näide 1.8. Veendume, et Lagrange'i keskväärtusteoreemi saab rakendada võrratuse x≥1 + lnx

tõestamiseks iga x >0korral.

Olgu f: (0,∞)→Rdeneeritud seosega

f(t) = lnt.

Kuna f on intervallis (0,∞) diferentseeruv, siis iga b >1korral rahuldab ta teoreemi 1.3 tingimusi, seega leidub c∈(1, b)omadusega

f(b)−f(1) = (b−1)f⁰(c), mistõttu

lnb = b−1 c . Kuna 1< c < b, siis

b−1

b < b−1

c < b−1 1 seega

1− 1

b <lnb < b−1.

Vasakpoolsest võrratusest näeme, et

1 + ln1 b < 1

b <1.

Võttes x= 1

b, jõuame seoseni x >1 + lnx kõikide x∈(0,1) korral.

Parempoolsest võrratusest lnb < b−1 saame, et x >1 + lnx iga x >1 korral.

Seega oleme näidanud, et range võrratus x > 1 + lnx kehtib kõikide x ∈ (0,1) ja x > 1 korral. Järelikult, võrratus x≥1 + lnxkehtib iga x∈(0,∞) puhul.

Näide 1.9. Tõestame Lagrange'i keskväärtusteoreemi abil võrratuse

a^α<(aα+b(1−α))b^α−1, (4) kus a ja b on positiivsed reaalarvud ning α∈(0,1).

Fikseeritud α∈(0,1)puhul deneerime funktsiooni f: (0,∞)→R seosega f(t) =t^α.

Teoreemi 1.3 kohaselt leidub c∈(a, b) omadusega f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c)

ehk b^α−a^α

b−a =αc^α−1. (5)

Kuna c∈(a, b)ja α−1<0, siis

c^α−1 > b^α−1 ning

αc^α−1 > αb^α−1. (6)

Võrduse (5) ja võrratuse (6) põhjal

b^α−a^α =αc^α−1(b−a)> αb^α−1(b−a), seega

a^α < b^α−αb^α−1(b−a) =b^α−1(b−αb+αa) = (αa+b(1−α))b^α−1, mida oligi tarvis näidata.

Lemma 1.10. Olgu g: D →R funktsioonide f: D→ E ja ϕ: E → R liitfunktsioon, s.t g =ϕ◦f. Kui ϕ ja g on rangelt kasvavad funktsioonid, siis on ka f rangelt kasvav. Kui ϕ ja g on rangelt kahanevad funktsioonid, siis on ka f rangelt kahanev.

Tõestus. Olgu g ja ϕ rangelt kasvavad funktsioonid. Oletame vastuväiteliselt, et f ei ole rangelt kasvav funktsioon, s.t leiduvad x₁, x₂ ∈D nii, etx₁ < x₂ ja

f(x₁)≥f(x₂).

Sel juhul, kuna ϕon rangelt kasvav funktsioon,

g(x₁) = ϕ(f(x₁))≥ϕ(f(x₂)) =g(x₂), mis on vastuolus eeldusega, et g on rangelt kasvav.

Lause teise väite tõestus on analoogiline.

Näide 1.11. Olgu

f₁(x) :=

1 + 1

x x

ja f₂(x) :=

1 + 1

x x+1

,

kus x >0. Näitame, et funktsioon f₁: (0,∞)→ R on rangelt kasvav ja f₂: (0,∞) → R rangelt kahanev.

Veendume kõigepealt, etf₁on rangelt kasvav. Deneerime veel funktsiooniϕ: (0,∞)→R seosega

ϕ(x) := lnx,

siis liitfunktsioon g :=ϕ◦f₁: (0,∞)→R on määratud seosega g(x) := ln

x+ 1 x

x

. Funktsiooni ϕ diferentseeruvusest järeldub, et suvalise x > 0 korral leidub selline punkt c(x)∈(x, x+ 1) omadusega

ϕ(x+ 1)−ϕ(x) =f⁰(c(x)), seetõttu

ln(x+ 1)−lnx= 1

c(x) (7)

iga x >0 korral.

Kuna

g⁰(x) = d dx

ln

1 + 1

x x

= d

dx[x(ln(x+ 1)−lnx)]

= ln(x+ 1)−lnx+x 1

x+ 1 − 1 x

= ln(x+ 1)−lnx− 1 x+ 1

= 1

c(x)− 1

x+ 1 >0(vt (7)),

siis g: (0,∞) → R on rangelt kasvav funktsioon. Ka logaritmfunktsioon ϕ: (0,∞) → R on rangelt kasvav, seega lemma 1.10 põhjal on funktsioon f₁ rangelt kasvav.

Analoogiliselt, kui g =ϕ◦f₂, siis g⁰(x) = d

dx

"

ln

1 + 1 x

x+1#

= d

dx[(x+ 1)(ln(x+ 1)−lnx)]

= ln(x+ 1)−lnx+ (x+ 1) 1

x+ 1 − 1 x

= ln(x+ 1)−lnx− 1 x

= 1 c(x)− 1

x <0,

seega g on rangelt kahanev ning lemma 1.10 põhjal on seda ka funktsioon f₂. Näide 1.12. Keskväärtusteoreemi saab kasutada tuntud võrduse

Z b 0

x^αdx= b^α+1 α+ 1

tõestamiseks, kui α ≥0ja b >0.

Deneerime funktsiooni ϕ: R→R seosega

ϕ(t) = t^α+1 α+ 1.

Kuna ϕon diferentseeruv, siis iga k >0 korral leidub punkt c∈(k−1, k) omadusega k^α+1

α+ 1 − (k−1)^α+1

α+ 1 =c^α. (8)

Kuna c∈(k−1, k), siis

(k−1)^α < c^α < k^α. (9) Asendades võrdusest (8) c^α võrratusse (9), jõuame seosteni

(k−1)^α< k^α+1

α+ 1 − (k−1)^α+1 α+ 1 < k^α, seega suvalise n ∈Nkorral

n

X

k=1

(k−1)^α < n^α+1 α+ 1 <

n

X

k=1

k^α ehk

1 n^α+1

n

X

k=1

k^α−n^α

!

< 1

α+ 1 < 1 n^α+1

n

X

k=1

k^α

! . Vasakpoolsest võrratusest saame, et

1 n^α+1

n

X

k=1

k^α< 1

α+ 1 + 1 n, seega

1

α+ 1 < 1 n^α+1

n

X

k=1

k^α < 1

α+ 1 + 1 n, mistõttu

n→∞lim 1 n^α+1

n

X

k=1

k^α = 1

α+ 1. (10)

Vaatleme lõigus [0, b] mingit alajaotust

0 =x₀ < x₁ <· · ·< x_n =b,

võtame suvaliselt ξ_k ∈[xk−1, x_k]iga k= 1, . . . , nkorral. Riemanni integraali denitsiooni põhjal

Z b 0

f(x)dx= lim

λ(T)→0 n

X

k=1

f(ξ_k)∆x_k,

kus ∆x_k := x_k−x_k−1 on lõigu [x_k−1, x_k] pikkus ja λ(T) := max{∆x_k

k = 1, . . . , n} . Kui

x₀ = 0, x₁ = b

n, x₂ = 2b

n, x₃ = 3b

n, . . . , x_k = kb

n , . . . , x_n =b ning ξ_k := kb

n , siis juhul f(x) = x^α saame seosest (10), et Z b

0

x^αdx= lim

n→∞

n

X

k=1

f(ξ_k)∆x_k = lim

n→∞

n

X

k=1

k^αb^α n^α · b

n = lim

n→∞

b^α+1 n^α+1

n

X

k=1

k^α

=b^α+1 lim

n→∞

1 n^α+1

n

X

k=1

k^α = b^α+1 α+ 1, mida oligi tarvis tõestada.

Näide 1.13. Teatud eeldustel saab Lagrange'i keskväärtusteoreemi rakendada liitfunkt- siooni diferentseerimisreegli tõestamisel. Olgu funktsioon f: [a, b] → R diferentseeruv punktis c∈(a, b). Olguϕ diferentseeruv intervallis, mis sisaldab hulka

D:={f(c+h)

|h|< δ}

mingi δ >0korral, eeldame, et ϕ⁰ on pidev kohal f(c). Veendume, et liitfunktsioon ϕ◦f on diferentseeruv punktis c ja

(ϕ◦f)⁰(c) =ϕ⁰(f(c))f⁰(c).

Funktsioon ϕ on diferentseeruv hulgas D, järelikult Lagrange'i keskväärtusteoreemi ko- haselt leidub θ(h), mis on punktide f(c) ja f(c+h) vahel nii, et

ϕ(f(c+h))−ϕ(f(c)) =ϕ⁰(θ(h))[f(c+h)−f(c)].

Kuna f on diferentseeruv punktis c, siis

h→0lim

f(c+h)−f(c)

h =f⁰(c).

Funktsiooni f pidevuse tõttu punktis c kehtib võrdus lim

h→0f(c+h) = f(c), mistõttu

h→0limθ(h) = f(c), sest θ(h) on punktide f(c) ja f(c+ h) vahel. Kasutades tuletise ϕ⁰ pidevust punktis f(c), saame, et

h→0limϕ⁰(θ(h)) =ϕ⁰

h→0limθ(h)

=ϕ⁰(f(c)).

Seetõttu

ϕ⁰(f(c))f⁰(c) = lim

h→0ϕ⁰(θ(h)) lim

h→0

f(c+h)−f(c) h

= lim

h→0ϕ⁰(θ(h))

f(c+h)−f(c) h

= lim

h→0

ϕ(f(c+h))−ϕ(f(c)) h

= (ϕ◦f)⁰(c),

mida oligi tarvis tõestada.

1.1.4 Keskväärtust määravate punktide asümptootiline käitumine

Alustame kahe näitega diferentseeruvatest funktsioonidest, mille puhul keskväärtust mää- rav punkt c(x)∈(a, x) läheneb protsessisx→a+ asümptootiliselt lõigu [a, x]keskpunk- tile, s.t

x→a+lim

c(x)−a x−a = 1

2.

Seejärel tõestame teoreemi, mis kseerib selliste funktsioonide klassi, milles niisugune keskväärtust määrava punkti asümptootiline käitumine omane on.

Näide 1.14. Vaatleme funktsiooni f: R→R, mis on deneeritud seosega f(t) := t².

Kunaf on lõigus[1,2]diferentseeruv, siis Lagrange'i keskväärtusteoreemi kohaselt leidub iga x∈(1,2)korral punkt c(x)∈(1, x)omadusega

f(x)−f(1)

x−1 =f⁰(c), s.t

2c= x² −1

x−1 =x+ 1 ehk

c= 1

2(x+ 1).

Järelikult

x→1+lim c−1

x−1 = lim

x→1+

1

2(x+ 1)−1 x−1 = 1

2.

Näide 1.15. Vaatleme funktsiooni f: R→R, mis on määratud seosega f(t) =e^t.

Funktsioon f on lõigus[0,2]diferentseeruv, järelikult Lagrange'i keskväärtusteoreemi ko- haselt leidub iga x∈(0,2) korral punkt c(x)∈(0, x) omadusega

f(x)−f(0)

x−0 =f⁰(c(x)) ehk

e^c(x) = e^x−1 x , s.t

c(x) = lne^x−1 x .

Teatavasti iga z ∈R korral

e^z =

∞

X

k=0

z^k k!, seetõttu

e^x−1

x =

∞

X

k=1

x^k−1 k!

ehk

c(x) = ln

∞

X

k=1

x^k−1 k!

iga x∈(0,2]korral. Tähistame s(x) :=

∞

X

k=1

x^k−1

k! ja vaatleme piirväärtust

x→0+lim

c(x)−0

x−0 = lim

x→0+

lns(x)

x . (11)

Kuna astmerea summa s on pidev selle astmerea koonduvusvahemikus (−∞,∞), siis

x→0+lim s(x) = lim

x→0+

∞

X

k=1

x^k−1 k! =

∞

X

k=1 x→0+lim

x^k−1 k! = 1, seega logaritmfunktsiooni pidevuse tõttu

ln lim

x→0+s(x) = lim

x→0+lns(x) = ln 1 = 0.

Piirväärtuse (11) korral on tegemist määramatusega 0

0, niisiis võime rakendada selle arvu- tamiseks l'Hospitali reeglit. Kuna astmerida võib igas tema koonduvusvahemiku punktis liikmeti diferentseerida, siis

x→0+lim

lns(x)

x = lim

x→0+

s⁰(x) s(x) =

x→0+lim s⁰(x)

x→0+lim s(x) = lim

x→0+s⁰(x) = lim

x→0+

∞

X

k=2

(k−1)x^k−2 k!

= lim

x→0+

1 2+

∞

X

k=3

(k−1)x^k−2 k!

!

= 1 2.

Teoreem 1.16. Olgu funktsioon f pidevalt diferentseeruv lõigus [a, b] ning kaks korda diferentseeruv punktis a, olgu f⁰⁰(a)6= 0. Siis seosega

f(x)−f(a)

x−a =f⁰(c(x)) (12)

määratud punkt c(x) rahuldab tingimust

x→a+lim

c(x)−a x−a = 1

2.

Tõestus. Eeldame, et teoreemi eeldused on täidetud. Leiame

x→a+lim

f(x)−f(a)−(x−a)f⁰(a)

(x−a)² .

Esiteks, Lagrange'i keskväärtusteoreemi kohaselt saame seosest (12), et

x→a+lim

f(x)−f(a)−(x−a)f⁰(a)

(x−a)² = lim

x→a+

(x−a)f⁰(c(x))−(x−a)f⁰(a) (x−a)²

= lim

x→a+

f⁰(c(x))−f⁰(a) x−a

= lim

x→a+

f⁰(c(x))−f⁰(a) c(x)−a lim

x→a+

c(x)−a x−a

=f⁰⁰(a) lim

x→a+

c(x)−a x−a . Teiseks, kuna

x→a+lim (f(x)−f(a)−(x−a)f⁰(a)) =f(a)−f(a) = 0 tänu funktsiooni f pidevusele ja

x→a+lim (x−a)² = 0, saame rakandada l'Hospitali reeglit:

x→a+lim

f(x)−f(a)−(x−a)f⁰(a)

(x−a)² = lim

x→a+

f⁰(x)−f⁰(a) 2(x−a) = 1

2f⁰⁰(a).

Järelikult punktide c(x)∈(a, x)jaoks kehtib võrdus f⁰⁰(a) lim

x→a+

c(x)−a x−a = 1

2f⁰⁰(a), ning kuna f⁰⁰(a)6= 0, siis

x→a+lim

c(x)−a x−a = 1

2.

1.2 Fletti tüüpi keskväärtusteoreemid

Selles alapunktis tõestame Fletti keskväärtusteoreemi kahel viisil ja esitame selle kaks rakendust. Tõestame Fletti teoreemiga sarnased teoreemid, Trahani ja Tongi teoreemid, ning selgitame nende kolme teoreemi vahekorda.

1.2.1 Fletti teoreem, selle tõestused ja erinevad versioonid Alustame Lagrange'i keskväärtusteoreemi tuntud rakendusega.

Lause 1.17 (integraalarvutuse keskväärtusteoreem). Kui g: [a, b] → R on pidev funktsioon, siis leidub selline c∈(a, b) omadusega

g(c) = 1 b−a

Z b a

g(x)dx.

Tõestus. Olgu funktsioon f: [a, b]→Rdeneeritud seosega f(x) :=

Z x a

g(t)dt.

Diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreemi põhjal on f lõigus [a, b] diferentseeruv ning f⁰(x) = g(x) iga x ∈ [a, b] korral. Lagrange'i keskväärtusteoreemi kohaselt leidub punkt c∈(a, b) omadusega

f⁰(c) = Rb

ag(t)dt−Ra a g(t)dt

b−a = 1

b−a Z b

a

g(t)dt.

Niisiis, g(c) = 1 b−a

Z b a

g(x)dx.

Järgnev arutelu on lähtekohaks Fletti keskväärtusteoreemiga seotud probleemiasetustele.

Eeldame lisaks funktsiooni g: [a, b]→R pidevusele veel, et g(a) = 0 ja Z b

a

g(x)dx= 0, ning vaatleme funktsiooni

ϕ: [a, b]→R, ϕ(x) :=





 1 x−a

Z x a

g(t)dt, kui x∈(a, b],

0, kui x=a.

See funktsioon on pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, seejuures ϕ(a) = ϕ(b) = 0, mistõttu Rolle'i teoreemi kohaselt ϕ⁰(c) = 0 mingi c∈(a, b)korral. Kuna

ϕ⁰(c) = 1

c−a Z c

a

g(t)dt ⁰

=− 1

(c−a)² Z c

a

g(t)dt+ g(c) c−a, siis

g(c) = 1 c−a

Z c a

g(t)dt.

Kui tähistada

f(x) :=

Z x a

g(t)dt

iga x∈[a, b]korral, siis võrdus f⁰(x) =g(x) saab punktis x=c kuju f⁰(c) = 1

c−a Z c

a

g(t)dt = Rc

ag(t)dt−Ra a g(t)dt

c−a = f(c)−f(a) c−a . Üldisemalt kirjeldab seda tüüpi seoseid järgmine keskväärtusteoreem.

Teoreem 1.18 (Fletti teoreem). Kui f: [a, b]→ R on diferentseeruv ja f⁰(a) =f⁰(b), siis leidub selline c∈(a, b), et

f⁰(c) = f(c)−f(a) c−a .

Me esitame selle teoreemi kaks tõestust, mis on toodud Hutníku ja Molnárová ülevaatear- tiklites [2] ja [3]. Esimene on originaaltõestus, mis põhineb Rolle'i teoreemil, teine kasutab Fermat' teoreemi.

Alustame esimese tõestusega.

Tõestus. 1. Kõigepealt vaatleme juhtu, kus f⁰(a) =f⁰(b) = 0. Olgu g: [a, b]→Rdenee- ritud seosega

g(x) :=







f(x)−f(a)

x−a , kui x∈(a, b], f⁰(a), kui x=a.

(13) On selge, et g on pidev poollõigus (a, b], kuid kuna lim

x→a+g(x) = f⁰(a) = g(a), siis g on kogu lõigus [a, b] pidev. Poollõigus(a, b] ong diferentseeruv funktsioon:

g⁰(x) =

f(x)−f(a) x−a

0

= f⁰(x)(x−a)−f(x) +f(a)

(x−a)² = f⁰(x)

x−a − f(x)−f(a)

(x−a)² . (14) Teoreemi tõestuseks piisab näidata, et leidub punkt c∈(a, b) omadusega g⁰(c) = 0. Vaatleme kolme võimalikku juhtu. Esiteks, olgu g(b) = 0. Kuna g(a) = f⁰(a) = 0, siis Rolle'i teoreemi põhjal g⁰(c) = 0 mingic∈(a, b) korral.

Teiseks, kui g(b)>0, siis seose (14) tõttu g⁰(b) = f⁰(b)

b−a −f(b)−f(a)

(b−a)² =−f(b)−f(a)

(b−a)² =− g(b)

b−a <0. (15) Saame leida x₁ ∈ (a, b) nii, et g(x₁) > g(b): kui oletada vastuväiteliselt, et g(x) ≤ g(b) kõikide x∈(a, b) korral, siis

g⁰(b) = lim

x→b−

g(b)−g(x) b−x ≥0,

mis on vastuolus tingimusega (15). Niisiis, g(a) = 0 < g(b) < g(x₁). Tänu funktsiooni g pidevusele saame lõigus [a, x₁] talle rakendada Bolzano-Cauchy teoreemi: leidub punkt

x₀ ∈ [a, x₁] omadusega g(x₀) = g(b). Nüüd saame samale funktsioonile lõigus [x₀, b]

rakendada Rolle'i teoreemi, mille kohaselt leidub selline c∈(x₀, b)⊂(a, b), et g⁰(c) = 0. Kolmandaks, kui g(b)<0, siis seose (14) põhjal

g⁰(b) = − g(b)

b−a >0. (16)

Nagu eelneval juhul, leiame punkti x₁ ∈ (a, b) omadusega g(x₁) < g(b), siis kehtivad seosedg(x₁)< g(b)<0 = g(a). Rakendades funktsioonileg lõigus[a, x₁]Bolzano-Cauchy teoreemi, tänu funktsiooni g pidevusele saame leida sellise x₀ ∈ [a, x₁], et g(x₀) = g(b). Rolle'i teoreemi kohaselt eksisteerib selline c∈(x₀, b)⊂(a, b), et g⁰(c) = 0.

Oleme näidanud, et Fletti teoreem kehtib eelduse f⁰(a) =f⁰(b) = 0 korral.

2. Vaatleme nüüd juhtu, kui f(a) = f(b)6= 0. Olgu funktsioon h: [a, b]→R deneeritud seosega

h(x) :=f(x)−xf⁰(a).

Märkame, et h⁰(x) =f⁰(x)−f⁰(a)iga x∈[a, b] korral, seetõttuh⁰(a) = f⁰(a)−f⁰(a) = 0, lisaks sellele, kuna f(a) = f(b), siis ka h⁰(b) = f⁰(b)−f⁰(a) = 0. Tõestuse esimese osa põhjal leidub punkt c∈(a, b)omadusega h⁰(c) = h(c)−h(a)

c−a . Seega f⁰(c) =f⁰(a) +h⁰(c) = f⁰(a) + h(c)−h(a)

c−a

=f⁰(a) + f(c)−cf⁰(a)−f(a) +af⁰(a) c−a

=f⁰(a)− (c−a)f⁰(a)

c−a + f(c)−f(a) c−a

= f(c)−f(a) c−a . Teoreem on tõestatud.

Esitame Fletti teoreemi teise tõestuse.

Tõestus. Olgu funktsioon g: [a, b] → R deneeritud seosega (13). Kuna g on pidev, siis Weierstrassi teoreemi põhjal on tal lõigus[a, b]suurim ja vähim väärtus. Meie eesmärk on näidata, et ühe neist väärtustest saavutab ta mingis sisepunktisc∈(a, b), sel juhul Fermat' teoreemi kohaselt kehtib võrdus g⁰(c) = 0, mis, nagu veendusime eelnevas tõestuses, on samaväärne tõestatava seosega f⁰(c) = f(c)−f(a)

c−a .

Oletame vastuväiteliselt, et funktsioon g saavutab oma ekstremaalsed väärtused lõigu otspunktides ajab. Olgu konkreetsuse mõttesg(a)≤g(x)≤g(b)iga x∈[a, b]korral, siis teisest võrratusest saame, et

g(x) = f(a)−f(x)

a−x ≤g(b),

s.t f(x)≤f(a) + (x−a)g(b), seetõttu igax∈(a, b) korral f(b)−f(x)

b−x ≥ f(b)−f(a)−(x−a)g(b) b−x

= f(b)−f(a)

b−a · b−a

b−x −x−a b−xg(b)

=g(b)b−a−x+a

b−x =g(b).

Järelikult

f⁰(b) = lim

x→b−

f(b)−f(x)

b−x ≥g(b),

mistõttu g(a) =f⁰(a) =f⁰(b)≥ g(b). Seega oleme saanud, et g(a)≥g(b) ja g(a)≤ g(b), s.tg(a) =g(b)ehkg on konstantne funktsioon lõigus[a, b]. Kuid sel juhul saavutabg igas punktis c∈(a, b)oma ekstremaalse väärtuse. Saadud vastuolu kinnitab, et funktsioonil g on ekstremaalne väärtus lõigu sisepunktis.

Fletti teoreemi geomeetriline tähendus. Olgu funktsioon f: D → R diferentsee- ruv intervallis D, olgu a, b ∈ D sellised punktid, et f⁰(a) = f⁰(b). Seega on funktsioo- ni graakule punktides (a, f(a)) ja (b, f(b)) tõmmatud puutujad omavahel paralleelsed.

Fletti teoreem väidab, et graakul on punkt (c, f(c)), milles võetud puutuja läbib punkti (a, f(a)).

x y

a c b

y=f(a) +f⁰(c)(x−a)

Joonis 1. Fletti keskväärtusteoreemi geomeetriline tähendus.

Näide 1.19. Olgu f(x) :=x³, leiame sellise c∈R, et joonele f(x) =x³ punktis (c, f(c)) tõmmatud puutuja läbib punkti (−2,−8). Paneme tähele, et f(x) on diferentseeruv oma määramispiirkonnas R, ning kuna f⁰(x) = 3x² on paarisfunktsioon, siis saame intervallis [−2,2]rakendada Fletti teoreemi. Selle kohaselt eksisteerib punkt c∈(−2,2) omadusega

3c² = c³−(−2)³ c−(−2) . Selle leidmiseks peame lahendama võrrandi

3c²(c+ 2) =c³+ 2

ehk (peame silmas, et c6=−2)

c²+c−2 = 0,

mille meile sobivaks lahendiks on c = 1. Niisiis, kuupfunktsiooni f(x) = x³ graakul punktis (1,1)võetud puutuja läbib punkti (−2,8).

Järgmine teoreem ütleb, et Fletti teoreemi eeldustel leidub funktsiooni graakul ka selline punkt, milles võetud puutuja läbib graaku teist otspunkti (b, f(b)).

Teoreem 1.20. Kuif: [a, b]→Ron diferentseeruv ja f⁰(a) = f⁰(b), siis leidubd∈(a, b) omadusega

f⁰(d) = f(b)−f(d) b−d . Tõestus. Deneerime funktsiooni

g: [a, b]→R, g(x) :=f(a+b−x), siis g⁰(x) =−f⁰(a+b−x) iga x∈[a, b] korral. Paneme tähele, et

g(a) = f(a+b−a) =f(b) ja g(b) = f(a+b−b) =f(a), kusjuures

g⁰(a) =−f⁰(b) ja g⁰(b) = −f⁰(a).

Kuna eelduse põhjalg⁰(a) =−f⁰(b) = −f⁰(a) = g⁰(b), siis saame funktsioonilegrakendada Fletti teoreemi, mille kohaselt leidub punkt c∈(a, b)omadusega

g⁰(c) = g(c)−g(a)

c−a = f(a+b−c)−f(b) c−a

ehk

−f⁰(a+b−c) = f(a+b−c)−f(b)

c−a .

Tähistades d:=a+b−c, saame, et

−f⁰(d) = f(d)−f(b)

c−a = f(d)−f(b)

c−a+b−b = f(d)−f(b) b−d s.t f⁰(d) = f(b)−f(d)

b−d . Teoreem on tõestatud.

Allpool leiame tingimusestf⁰(a) = f⁰(b)erinevaid eeldusi, mis garanteerivad Fletti teoree- mi väite kehtivuse. Järgmine näide ütleb, et selle kehtivuseks ei ole ka diferentseeruvuse tingimus vajalik.

Näide 1.21. Vaatleme funktsiooni f: [−1,1]→ R, kus f(x) := |x|. Funktsioon f ei ole kohal 0 diferentseeruv, sellest hoolimata kehtib iga c∈[−1,0)korral võrdus

f⁰(c) = (|c|)⁰ =−1 = −c−1

c+ 1 = f(c)−f(−1) c−(−1) .

Seega ei ole funktsiooni f diferentseeruvus üldjuhul tarvilik tingimus selleks, et kehtiks võrdus f⁰(c) = f(c)−f(a)

c−a mingi ckorral.

1.2.2 Fletti teoreemi rakendused

Järgmised Fletti teoreemi rakendused on pärit Hutníku ja Molnárová artiklitest [2] ja [3].

1. Näitame, et kui pidev funktsioon f: [0,1]→R rahuldab tingimust Z 1

0

f(x)dx= Z 1

0

xf(x)dx, siis leidub c∈(0,1) omadusega

f(c) = 1 c²

Z c 0

xf(x)dx.

Veendume kõigepealt, et leidub r ∈ (0,1) omadusega Z r 0

xf(x)dx = 0. Moodustame abifunktsiooni g: [0,1]→R, mis on deneeritud seosega

g(s) :=





 1 s²

Z s 0

xf(x)dx, kui s∈(0,1], f(0)

2 , kui s= 0.

Paneme tähele, et funktsioon g on poollõigus(0,1] pidev ning kuna

s→0+lim g(s) = lim

s→0+

Rs

0 xf(x)dx

s² = lim

s→0+

sf(s)

2s = f(0)

2 =g(0), siis järelikult on g pidev ka punktis 0. Vaatleme funktsiooni ϕ: [0,1]→R, kus

ϕ(t) :=

Z t 0

g(s)ds,

ning märkame, et ϕon diferentseeruv lõigus [0,1]. Lisaks sellele ϕ(0) = 0 ja ϕ(1) =

Z 1 0

g(s)ds= lim

ε→0+

Z 1 ε

g(s)ds

= lim

ε→0+

Z 1 ε

1 s²

Z s 0

xf(x)dx

ds

= lim

ε→0+

−1 s

Z s 0

xf(x)dx

1 ε+

Z 1 ε

1

ssf(s)ds

=− Z 1

0

xf(x)dx+ lim

ε→0+

1 ε

Z ε 0

xf(x)dx+ Z 1

0

f(x)dx

= lim

ε→0+

Rε

0 xf(x)dx

ε = lim

ε→0+

εf(ε) 1 = 0.

Rolle'i teoreemi põhjal leidub selline punkt r ∈(0,1), et ϕ⁰(r) = 0, s.t 0 = ϕ⁰(r) =

Z r 0

g(s)ds 0

=g(r) = 1 r²

Z r 0

xf(x)dx, järelikult Z r

0

xf(x)dx= 0.

Deneerime funktsiooni G: [0,1]→Rseosega G(t) =

Z t 0

xf(x)dx,

diferentsiaal-integraalarvutuse põhiteoreemi kohaselt G⁰(t) = tf(t) iga t ∈ [0,1] korral.

Paneme tähele, et G(0) = 0 ning, nagu eelnevalt veendusime, leidub selline r ∈(0,1), et G(r) =

Z r 0

xf(x)dx= 0. Seega Rolle'i teoreemi põhjalG⁰(u) = 0 mingi u∈(0, r) korral.

Kuna G⁰(0) = 0 = G⁰(u), siis Fletti teoreemi kohaselt saame leida punkti c ∈ (0, u) omadusega G⁰(c) = G(c)−G(0)

c−0 ehk

cG⁰(c) = c²f(c) = Z c

0

xf(x)dx, s.t f(c) = 1

c² Z c

0

xf(x)dx.

2. Järgmine esitatav tõestus on täiendatud versioon Hutníku ja Molnárová artiklites [2]

ja [3] esitatud tõestustest.

Teoreem 1.22 (Pawlikowska teoreem). Olgu funktsioon f: [a, b] → R n korda dife- rentseeruv ja olgu f⁽ⁿ⁾(a) =f⁽ⁿ⁾(b). Siis leidub punkt c∈(a, b) nii, et

f(c)−f(a) c−a =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c).

Tõestus. Moodustame iga k = 1, . . . , n korral abifunktsiooni ϕ_k: [a, b]→R, ϕ_k(x) :=

k

X

i=0

(−1)ⁱ⁺¹

i! (k−i)(x−a)ⁱf^(n−k+i)(x) +xf^(n−k+1)(a).

Seega

ϕ1(x) =−f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +xf⁽ⁿ⁾(a) ja ϕ⁰₁(x) = −f⁽ⁿ⁾(x) +f⁽ⁿ⁾(a),

mistõttu ϕ⁰₁(a) =−f⁽ⁿ⁾(a) +f⁽ⁿ⁾(a) = 0 jaϕ⁰₁(b) = −f⁽ⁿ⁾(b) +f⁽ⁿ⁾(a) = 0. Kunaϕ⁰₁(a) = ϕ⁰₁(b), siis Fletti teoreemi kohaselt leidub punkt c₁ ∈(a, b) omadusega

ϕ⁰₁(c₁) = ϕ₁(c₁)−ϕ₁(a) c₁−a

ehk

−f⁽ⁿ⁾(c₁) +f⁽ⁿ⁾(a) = −f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁) +c₁f⁽ⁿ⁾(a) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)−af⁽ⁿ⁾(a) c₁−a

=−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

c₁−a +(c₁−a)f⁽ⁿ⁾(a) c₁−a

=−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

c₁−a +f⁽ⁿ⁾(a), s.t

f⁽ⁿ⁾(c₁) = f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

c₁−a . (17)

Kirjutame veel välja

ϕ₂(x) =

2

X

i=0

(−1)ⁱ⁺¹

i! (2−i)(x−a)ⁱf^(n−2+i)(x) +xf^(n−2+1)(a)

= (−1)

0! (2−0)(x−a)⁰f^(n−2+0)(x) + (−1)²

1! (2−1)(x−a)¹f^(n−2+1)(x) +xf^(n−2+1)(a)

=−2f⁽ⁿ⁻²⁾(x) + (x−a)f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +xf⁽ⁿ⁻¹⁾(a) ja

ϕ⁰₂(x) =−2f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + (x−a)f⁽ⁿ⁾(x) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

=−f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + (x−a)f⁽ⁿ⁾(x) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a), seega

ϕ⁰₂(a) =−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) + (a−a)f⁽ⁿ⁾(a) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) = 0 ning

ϕ⁰₂(c₁) =−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁) + (c₁−a)f⁽ⁿ⁾(c₁) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) ehk

ϕ⁰₂(c₁)

c₁−a =−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

c₁−a +(c₁−a)f⁽ⁿ⁾(c₁) c₁−a

=−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₁)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

c₁−a +f⁽ⁿ⁾(c₁) = 0

tänu seosele (17). Niisiis, ϕ⁰₂(c₁) = 0. Kuna ϕ⁰₂(a) = 0 = ϕ⁰₂(c₁), siis Fletti teoreemi

kohaselt leidub punkt c₂ ∈(a, c₁)⊂(a, b)omadusega ϕ⁰₂(c₂) = ϕ₂(c₂)−ϕ₂(a) c₂−a ehk

−f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₂) + (c₂−a)f⁽ⁿ⁾(c₂) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)

= −2f⁽ⁿ⁻²⁾(c₂) + (c₂−a)f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₂) +c₂f⁽ⁿ⁻¹⁾(a) c₂−a

+2f⁽ⁿ⁻²⁾(a)−(a−a)f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)−af⁽ⁿ⁻¹⁾(a) c₂−a

=−2(f⁽ⁿ⁻²⁾(c₂)−f⁽ⁿ⁻²⁾(a))

c₂−a +(c₂−a)f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₂) +c₂f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)−af⁽ⁿ⁻¹⁾(a) c₂−a

=−2(f⁽ⁿ⁻²⁾(c2)−f⁽ⁿ⁻²⁾(a))

c₂−a +(c2−a)(f⁽ⁿ⁻¹⁾(c2) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)) c₂−a

=−2(f⁽ⁿ⁻²⁾(c₂)−f⁽ⁿ⁻²⁾(a))

c2−a +f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₂) +f⁽ⁿ⁻¹⁾(a), seega oleme jõudnud võrduseni

f⁽ⁿ⁻²⁾(c₂)−f⁽ⁿ⁻²⁾(a)

c₂−a =f⁽ⁿ⁻¹⁾(c₂)− 1

2(c₂−a)f⁽ⁿ⁾(c₂).

Analoogiliselt jätkates saame pärast n−1sammu valemi f⁰(cn−1)−f⁰(a)

cn−1 −a =

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (cn−1−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁺¹⁾(cn−1). (18) Vaatleme funktsiooni ϕ_n(x) =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (n−i)(x−a)ⁱf⁽ⁱ⁾(x) +xf⁰(a), siis ϕ⁰_n(x) =−nf⁰(x) +

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (n−i) i(x−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(x) + (x−a)ⁱf⁽ⁱ⁺¹⁾(x)

+f⁰(a)

=−nf⁰(x) + (n−1)f⁰(x) + (n−1)(x−a)f⁰⁰(x)− 1

2!(n−2)·2(x−a)f⁰⁰(x)

− 1

2!(n−2)(x−a)²f⁰⁰⁰(x) + 1

3!(n−3)·3(x−a)²f⁰⁰⁰(x) + 1

3!(n−3)(x−a)³f⁽⁴⁾(x)− 1

4!(n−4)·4(x−a)³f⁽⁴⁾(x) +. . . + (−1)ⁿ

(n−1)!(n−n+ 1)(x−2)ⁿ⁻²f⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + (−1)ⁿ

(n−1)!(n−n+ 1)(x−a)⁽ⁿ⁻¹⁾f⁽ⁿ⁾(x) +f⁰(a)

=−f⁰(x) + (x−a)f⁰⁰(x)− 1

2!(x−a)²f⁰⁰⁰(x) + 1

3!(x−a)³f⁽⁴⁾(x) +. . . + (−1)ⁿ

(n−1)!(x−a)ⁿ⁻¹f⁽ⁿ⁾(x) +f⁰(a).

Kokkuvõttes oleme saanud, et ϕ⁰_n(x) =

n−1

X

i=0

(−1)ⁱ⁺¹

i! (x−a)ⁱf⁽ⁱ⁺¹⁾(x) +f⁰(a), seejuures ϕ⁰_n(a) =−f⁰(a) +f⁰(a) = 0. Paneme tähele, et

ϕ⁰_n(cn−1)

cn−1−a =−f⁰(cn−1)−f⁰(a) cn−1−a +

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (cn−1 −a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁺¹⁾(cn−1) = 0

vastavalt tingimusele (18), järelikult ϕ⁰_n(cn−1) = 0. Kuna ϕ_n: [a, cn−1] → R on dife- rentseeruv ja ϕ⁰_n(a) = 0 = ϕ⁰_n(c_n−1), siis Fletti teoreemi kohaselt leidub selline punkt c∈(a, cn−1)⊂(a, b), et ϕ⁰_n(c) = ϕ_n(c)−ϕ_n(a)

c−a . Seejuures ϕ⁰_n(c) =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

(i−1)!(c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c) +f⁰(a), mistõttu

ϕn(c)−ϕn(a)

c−a =−nf(c)−f(a) c−a +

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (n−i)(c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c) +f⁰(a).

Viimasest seosest avaldame

−nf(c)−f(a)

c−a = ϕ_n(c)−ϕ_n(a)

c−a −

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (n−i)(c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c)−f⁰(a)

=

n

X

i=1

(−1)ⁱ

(i−1)!(c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c) +f⁰(a)

−

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹ (i−1)!

(n−i)

i (c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c)−f⁰(a)

=

n−1

X

i=1

(−1)ⁱ (i−1)!

1 + n−i i

(c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c)

=n

n

X

i=1

(−1)ⁱ

i! (c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c), olemegi saanud, et

f(c)−f(a) c−a =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i! (c−a)ⁱ⁻¹f⁽ⁱ⁾(c).