Lehrstuhl für Programmierparadigmen

Lehrstuhl für Programmierparadigmen

Sebastian Ullrich Max Wagner

sebastian.ullrich@kit.edu maximilian.wagner@kit.edu

Semantik von Programmiersprachen – SS 2019

http://pp.ipd.kit.edu/lehre/SS2019/semantik

Lösungen zu Blatt 9: Denotationale Semantik mit Fixpunktiteration Bespre- chung: 24.06.2019

1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch? (H)

(a) Die folgende Rekursionsgleichung definiert die Funktionf :N→Neindeutig:

f(n) =

(2·f ⁿ₂

fallsngerade f(n+ 1)−1 fallsnungerade

(b) Die folgende Rekursionsgleichung definiert die Funktiong:N→Neindeutig:

g(n) =

( g ⁿ₂2

fallsngerade g(n−1) fallsnungerade (c) Das FunktionalF : (Σ*Σ)→(Σ*Σ) mit

F(f) =λσ.

((f(σ[x7→42]))[y7→23] fallsσ(z)≤17

σ[z7→0] sonst

gehört zur Rekursionsgleichung Q(σ) =

((Q(σ[x7→42]))[y7→23] fallsσ(z)≤17

σ[z7→0] sonst

(d) Für das FunktionalF : (Σ*Σ)→(Σ*Σ) mit F(f) =λσ.

(f(σ[y7→12]) fallsσ(x) = 13 σ[x7→10] sonst

gilt

F⁴²(⊥)(σ) =

(⊥ fallsσ(x) = 13 σ[x7→10] sonst

(e) DJc₁; (c₂; c₃)K=DJ(c₂; c₁); c₃K

(f) DJ(if (x <= y) then z := x else z := y); skipKσ=σ[z7→min(σ(x), σ(y))]

Lösung:

(1a) Richtig. Man muss dafür zeigen, dass es eine Lösung gibt und dass die Rekursion irgendwann terminiert.

Die Identitätsfunktionid ist eine Lösung:

n=id(n) =

(2·ⁿ₂ = 2·id ⁿ₂

fallsngerade (n+ 1)−1 =id(n+ 1)−1 fallsnungerade Damit ist klar, dass die Rekursionsgleichung erfüllbar ist.

Für die Eindeutigkeit muss man nur noch beweisen, dass wennf die Gleichung für alle n erfüllt, dann giltf(n) =n für allen. Beweis per vollständiger Induktion über n:

Sei alsonbeliebig. Induktionsannahme: Für allem < ngilt: f(m) =m. Zu zeigen:f(n) =n.

• Fall n= 0: Aus der Rekursionsgleichung folgt: f(0) = 2·f ⁰₂

= 2·f(0) und damit f(0) = 0.

• Fall n= 1: Dann gilt entsprechend:f(1) =f(1 + 1)−1 = 2·f(1)−1 und damit durch Umstellen f(1) = 1.

• Fall n >1gerade: Dann ist ⁿ₂ < n, also folgt aus der Induktionsannahme mit m = ⁿ₂, dassf ⁿ₂

= ⁿ₂. Damit gilt f(n) = 2·f ⁿ₂

= 2·ⁿ₂ =n.

• Fall n >1ungerade: Dann ist ⁿ⁺¹₂ < n, also folgt aus der Induktionsannahme mitm=

n+1

2 , dassf ⁿ⁺¹₂

= ⁿ⁺¹₂ . Damit gilt:f(n) =f(n+1)−1 = 2·f ⁿ⁺¹₂

−1 = 2·ⁿ⁺¹₂ −1 =n.

Damit istid die einzige Funktion, die die Rekursionsgleichung erfüllt.

(1b) Falsch. Die konstanten Funktioneng₁(n) = 0 undg₂(n) = 1erfüllen beide die Rekursions- gleichung.

(1c) Richtig.

(1d) Richtig. Es gilt:

F⁰(⊥)(σ) =⊥

F¹(⊥)(σ) =F(⊥)(σ) =

(⊥ fallsσ(x) = 13 σ[x7→10] sonst

F²(⊥)(σ) =F(F¹(⊥))(σ) =

(F¹(⊥)(σ[y7→12]) =⊥ fallsσ(x) = 13

σ[x7→10] sonst =F¹(⊥)

EntsprechendF⁴²(⊥) =F⁴¹(⊥) =. . .=F¹(⊥)

Intuitiv kann man sich als Begründung hierfür überlegen, wie ein Programm aussähe, dessen SemantikF entspricht.¹. Der Schleifenrumpf in einem solchen Programm würde lediglich y verändern, aber als Schleifenbedingung lediglich den Wert von xbenutzen. Dementsprechend kann die Semantik des rekursiven Falls (und alle Approximationen daran) nur⊥ sein, denn eine solche Schleife terminiert nie!

(1f) Richtig. Seicdas ganze Programm, if der if-Teil.

DJPKσ = (DJskipK◦ DJifK)(σ) = (id ◦ DJifK)(σ) =DJifKσ

= IF (BJx <= yK, DJz := xK, DJz := yK)σ

= IF (λσ. σ(x)≤σ(y), λσ. σ[z7→σ(y)], λσ. σ[z7→σ(y)])σ

=

(σ[z7→σ(x)] fallsσ(x)≤σ(y) σ[z7→σ(y)] sonst

=σ[z7→min(σ(x), σ(y))]

2. Fixpunktiteration (H)

Gegeben sei folgendes ProgrammP:

x := 0; i := n; while (1 <= i) do (x := x + 2 * i; i := i - 1)

(a) Geben Sie das FunktionalF an, das in der denotationellen Semantik zur Schleife gehört.

(b) Berechnen SieF⁰(⊥),F¹(⊥),F²(⊥) und F³(⊥).

(c) Geben SieFⁿ(⊥) und (ein sinnvolles) FIX (F) an (ohne Beweis).

(d) Geben Sie basierend darauf DJPKan.

Lösung:

(2a) Zuerst die Semantik des Schleifenrumpfs:

DJx := x + 2 * i; i := i - 1Kσ= (DJi := i - 1K◦ DJx := x + 2 * iK)(σ)

=DJi := i - 1K(σ[x7→σ(x) + 2·σ(i)])

=σ[x7→σ(x) + 2·σ(i), i7→σ(i)−1]

Damit ergibt sich das FunktionalF zu:

F(f)(σ) = IF (BJ1 <= iK, f ◦ DJx := x + 2 * i; i := i - 1K, id)σ

= IF (λσ.1≤σ(i), λσ. f(σ[x7→σ(x) + 2·σ(i), i7→σ(i)−1]), id)σ

=

(σ falls1> σ(i)

f(σ[x7→σ(x) + 2·σ(i), i7→σ(i)−1]) falls1≤σ(i) (2b) Seibody definiert als

body(σ) : =DJx := x + 2 * i; i := i - 1Kσ

=σ[x7→σ(x) + 2·σ(i), i7→σ(i)−1]

F⁰(⊥)(σ) =⊥

F¹(⊥)(σ) =F(F⁰(⊥))(σ) =

(σ falls1> σ(i)

F⁰(⊥)(body(σ)) =⊥ falls1≤σ(i) F²(⊥)(σ) =F(F¹(⊥))(σ) =

(σ falls1> σ(i) F¹(⊥)(body(σ)) falls1≤σ(i)

=







σ falls1> σ(i)

body(σ) falls1≤σ(i) und 1> body(σ)(i)

⊥ falls1≤σ(i) und 1≤body(σ)(i)

=







σ falls1> σ(i)

σ[x7→σ(x) + 2,i7→0] falls1 =σ(i)

⊥ falls1< σ(i)

F³(⊥)(σ) =F(F²(⊥))(σ) =

(σ falls1> σ(i) F²(⊥)(body(σ)) falls1≤σ(i)

=















σ falls1> σ(i)

body(σ) falls1≤σ(i)und 1> body(σ)(i) body(σ)[x7→body(σ)(x) + 2,i7→0] falls1≤σ(i)und 1 =body(σ)(i)

⊥ falls1≤σ(i)und 1< σ⁰(i)

=















σ falls1> σ(i)

σ[x7→σ(x) + 2,i7→0] falls1 =σ(i) σ[x7→σ(x) + 6,i7→0] falls2 =σ(i)

⊥ falls2< σ(i)

(2c)

Fⁿ(⊥)(σ) =







σ falls1> σ(i)

σ[x7→σ(i)·(σ(i) + 1) +σ(x),i7→0] fallsσ(i)∈ {1, . . . , n}

⊥ fallsn < σ(i)

FIX (F)σ =

(σ falls1> σ(i)

σ[x7→σ(i)·(σ(i) + 1) +σ(x),i7→0] falls1≤σ(i) (2d) Seiw=while (1 <= i) do (x := x + 2 * i; i := i - 1)

DJPKσ = (DJwK◦ DJi := nK◦ DJx := 0K)(σ) = (DJwK◦ DJi := nK)(σ[x7→0])

(b) Zeigen oder widerlegen Sie:

DJ{ var z = x; x := y; y := z }K=DJx := x + y; y := x - y; x := x - yK Lösung:

(3a) Letztendlich ist ein Block nichts anderes als die Zuweisung des Startwerts anx, der Ausfüh- rung vonc und einer erneuten Zuweisung (des ursprünglichen Werts von x) anx. Damit ergibt sich:

DJ{ var x = a; c }Kσ = ((λσ⁰. σ⁰[x7→σ(x)]◦ DJcK◦(λσ⁰. σ⁰[x7→ AJaKσ]))(σ)

= (DJcK(σ[x7→ AJaKσ]))[x7→σ(x)]

wobei das äußere Zustandsupdate Undefiniertheit propagieren soll. Die denotationale Seman- tik bleibt dadurch kompositional, da nur die BedeutungenAJaKundDJcKder Teileaundc verwendet werden.

(3b) Beweis:

DJ{ var z = x; x := y; y := z }Kσ

= (DJx := y; y := zK(σ[z7→σ(x)]))[z7→σ(z)]

= (DJy := zK◦ DJx := yK)(σ[z7→σ(x)]))[z7→σ(z)]

= (DJy := zK(σ[z7→σ(x), x7→(σ[z7→σ(x)])(y)]))[z7→σ(z)]

= (DJy := zK(σ[z7→σ(x), x7→σ(y)]))[z7→σ(z)]

=σ[z7→σ(x), x7→σ(y), y7→(σ[z7→σ(x), x7→σ(y)])(z), z7→σ(z)]

=σ[x7→σ(y), y7→σ(x),z7→σ(z)] =σ[x7→σ(y), y7→σ(x)]

DJx := x + y; y := x - y; x := x - yKσ

= (DJx := x - yK◦ DJy := x - yK◦ DJx := x + yK)σ

= (DJx := x - yK◦ DJy := x - yK)(σ[x7→σ(x) +σ(y)])

=DJx := x - yK(σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→(σ[x7→σ(x) +σ(y)])(x)−(σ[x7→σ(x) +σ(y)])(y)])

=DJx := x - yK(σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→(σ(x) +σ(y))−σ(y)])

=DJx := x - yK(σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→σ(x)])

=σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→σ(x),

x7→(σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→σ(x)])(x)−(σ[x7→σ(x) +σ(y), y7→σ(x)])(y)]

=σ[y7→σ(x), x7→(σ(x) +σ(y))−σ(x)] =σ[y7→σ(x), x7→σ(y)]