Fabian Bos (fb@tp4.rub.de), Mike Kroll (mike.kroll@rub.de)

Allgemeine Relativit¨ atstheorie SoSe 16 Marlene Doert (mdoert@tp4.rub.de), Mario H¨ orbe (mario@tp4.rub.de),

Fabian Bos (fb@tp4.rub.de), Mike Kroll (mike.kroll@rub.de)

Ubungsblatt H2 ¨ Abgabe: 31.05. im Zettelkasten, NB7 Nord

H2.1 Kovariante Maxwellgleichungen

Zeige, dass die Maxwellgleichungen

∇ · ~ E ~ = ρ

∇ · ~ B ~ = 0

∇ × ~ E ~ = − ∂ ~ B

∂t

∇ × ~ B ~ = µ

~j + 1 c

∂ ~ E

∂t

(1)

in der Indexnotation die Gestalt

∂

F

= J

∂

F

≡ ∂

F

+ ∂

F

+ ∂

F

= 0 (2) annehmen. Gehe dabei wie folgt vor:

(a) Setze c = 1. Welche vereinfachende Wahl f¨ ur µ

und

bietet sich dadurch an?

(b) Dr¨ ucke die entsprechenden, in den Maxwellgleichungen stehenden, Gr¨ oßen als Eintr¨ age des Vierer- stroms aus:

J

= (ρ, j

, j

, j

)

. (3)

(c) Finde je einen Index-Ausdruck f¨ ur den Divergenz- und den Rotationsoperator. Nutze f¨ ur letzteren den Levi-Civita-Tensor

ε

= ε

= ε

= ε

= ... =



 

 

1 f¨ ur gerade Permutationen von i, j, k

−1 f¨ ur ungerade Permutationen von i, j, k 0 sonst

. (4)

(d) Bringe die sich aus (b) und (c) ergebenen Gleichungen mit dem elektromagnetischen Feldst¨ arketensor

F

=









0 −E

−E

−E

E

0 B

−B

E

−B

0 B

E

B

−B

0









= −F

(5)

in Verbindung und zeige, dass deine Ergebnisse mit den Gleichungen aus (2) identisch sind.

(e) Zu welchem Zweck ist welche Formulierung des Elektromagnetismus von besonderem Vorteil?

1

H2.2 Magnetismus als relativistisches Ph¨ anomen

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass die SRT bereits bei kleinen Geschwindigkeiten makroskopisch messbare Effekte hervorruft; so ist z.B. Magnetismus ein Effekt der SRT. In stromdurchflossenen Lei- tern wird ein Magnetfeld durch sich bewegende Elektronen erzeugt, deren Wegstrecke innerhalb des Leiters aufgrund ihrer (wenn auch kleinen) Geschwindigkeit l¨ angenkontrahiert wird. Die Geschwindigkeit der Elektronen liegt dabei bei wenigen mm/s. Bringe die SRT wie folgt mit dem Ph¨ anomen des Mag- netismus in Verbindung:

Gegeben sei ein beliebig langer Leiter durch den in −x-Richtung ein Strom I fließe (die Elektronen bewegen sich also mit einer Geschwindigkeit u in x-Richtung). Außerhalb des Leiters befinde sich eine negative Testladung im Abstand R. Diese Testladung beewge sich mit ~ v = v e ˆ

.

(a) Welche Ladungsdichte ρ

der sich im Leiter befindlichen Elektronen ergibt sich im Inertialsystem der Testladung? Welche Ladungsdichte ρ

ergibt sich f¨ ur die ruhenden Atomr¨ umpfe im Leiter?

Verwende f¨ ur die jeweiligen Ladungsdichten den Ansatz ρ

= ∆q

(∆l)

. (6)

(b) Berechne, ausgehend von der Gesamtladungsdichte ρ

= ρ

+ ρ

, die auf die Testladung wirkende Coulombkraft.

(c) Berechne die auf die Testladung wirkende “klassische” Lorentzkraft F ~ = q

c

~ v × B ~

. (7)

und verlgeiche den sich ergebenden Ausdruck mit dem Ergebnis aus (b). F¨ ur welche N¨ aherung sind die beiden Ausdr¨ ucke ¨ aquivalent?

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