D-MATH, D-PHYS Lineare Algebra II FS 2014 Manfred Einsiedler
MC-Fragen Serie 10
Einsendeschluss: Montag, der 05.05.2014, 17:00 Uhr
1. Seien V, W K-Vektorr¨aume, und f: V → W linear. Kreuze die richtigen Aussagen an.
√ (a) Ker(f) ist ein Untervektorraum vonV.
√ (b) Im(f) ist ein Untervektorraum vonW.
√ (c) dim(Kerf) + dim(Imf) = dimV.
Das ist der Dimensionssatz.
(d) FallsV =W, dann ist Kerf + Imf =V.
Nein! Ein Gegenbeispiel: SeiV =R2, undf(x, y) = (y,0). Dann ist:
Kerf= Imf= Kerf+ Imf=R·e1.
2. Seif:R3→R3bez¨uglich der Standardbasis gegeben durch die Matrix:
A=
1 1 2
−2 1 −1
5 1 6
.
Welche Aussagen sind korrekt?
(a) Rang(A) = 3.
Falsch. Man sieht aus der Darstellungsmatrix vonf bez¨uglich der Basen Aund B unten, dassARang 2 hat.
√ (b) Bez¨uglich der Basen
A=
1 0 0
,
0 1 0
,
1 1
−1
B=
1
−2 5
,
1 1 1
,
0 0 1
vonR3istf gegeben durch:
MBA(f) =
1 0 0 0 1 0 0 0 0
Richtig. MitA= (v1, v2, v3),B= (w1, w2, w3) ist tats¨achlichf(v1) =w1,f(v2) =w2, f(v2) = 0.
(c) Es gibt BasenC undDmitMDC(f) =I.
Falsch. Rang(MDC(f)) = rangf= 26= 3 = Rang(I).
3.Betrachte die lineare Abbildungf:R3→R2, f(x, y, z) = (3x+ 2y−z, x+y).
Kreuze die richtigen Aussagen an.
√ (a) Die Matrix vonf bez¨uglich der Standardbasen istA=
3 2 −1
1 1 0
.
(b) Die Matrix vonf bez¨uglich der Standardbasen istB =
3 1
2 1
−1 0
.
(c) dim(Kerf) + dim(Imf) = 2.
Falsch! dim(Kerf) + dim(Imf) = dimR3= 3 nach dem Dimensionssatz.
√ (d) Rang(f) = dim(Imf) = 2
Wahr. Die erste Gleichung ist die Definition des Ranges.f(e1) = (3,1)T undf(e3) = (−1,0)T erzeugenR2, somit ist dim(Imf) = 2.
(e) (1,−1,1)T ∈R3 ist ein Eigenvektor vomf zum Eigenwert 0.
Falsch. Eigenvektoren sind definiert im Falle von Selbstabbildungenf:V →V. Dies ist hier nicht der Fall.(Es liegt aber (1,−1,1) im Kern vonf.)
4. SeiA einel×k,B einem×l Matrix. Betrachte die Verkn¨upfung BA:Rk −→A Rl−→B Rm.
Welche Aussagen sind korrekt?
√ (a) Rang(BA)≤min(k, m).
BAist einem×kMatrix, die somit Rang h¨ochstens min(k, m) hat.
√ (b) Rang(BA)≤Rang(B).
Rang(BA) = dim Im(BA) = dim{BAv|v∈Rk} ≤dim{Bw|w∈Rl}= Rang(B).
√ (c) Rang(BA)≤Rang(A).
Rang(BA) = dim{BAv|v∈Rk}= dim{Bw|w∈Im(A)} ≤dim Im(A) = Rang(A).
(d) Rang(BA) = min(Rang(A),Rang(B)).
Ein Gegenbeispiel: A= 0
1
, B= 1 0
, BA= 0. Es ist Rang(A) = Rang(B) = 1 aber Rang(BA) = 0.
5. Betrachte:
A=
1 2 10
3 10 0
10 0 0
, B=
1 2 3 10
4 5 10 0
6 10 0 0
10 0 0 0
, C=
1 2 3 4 10
5 6 7 10 0
8 9 10 0 0
11 10 0 0 0
10 0 0 0 0
.
√ (a) detA=−1000.
(b) detA= 1000.
(c) detB=−10000.
√ (d) detB= 10000.
(e) detC=−100000.
√ (f) detC= 100000.
Wir k¨onnen A,B undC durch Austauschen von Spalten in obere Dreiecksma- trizen umwandeln. Dabei ¨andert sich jeweils die Determinante um einen Faktor
−1. Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diag- onaleintr¨age. F¨ur Aist eine solche Operation notwendig, somit detA=−103. F¨ur B und C sind zwei notwendig, und somit detB = (−1)2104, detC = (−1)2105.
6. Kreuze die richtigen Aussagen an.
(a) Seienp, q6= 0 zwei Polynome mit rellen Koeffizienten so, dassp(ti) =q(ti) f¨ur paarweise verschiedene t1, . . . , tn ∈R, n= degp. Dann giltp=q ∈ R[t].
Nein: zum Beispiel sindt2−1 und (t2−1)2beide Null in 1 und−1.
√ (b) Wennp(ti) =q(ti) f¨ur unendlich vieleti∈R, dann istp=q∈R[t].
Dann hatp−q∈R[t] unendlich viele verschiedene Nullstellen, es muss alsop−q= 0 (als Polynom!) sein.
7. Es bezeichneF7den K¨orper mit den sieben Elementen{0,1,2,3,4,5,6}und mit den folgenden Tabellen f¨ur Addition und Multiplikation:
+ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6 0
2 2 3 4 5 6 0 1
3 3 4 5 6 0 1 2
4 4 5 6 0 1 2 3
5 5 6 0 1 2 3 4
6 6 0 1 2 3 4 5
· 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6
2 0 2 4 6 1 3 5
3 0 3 6 2 5 1 4
4 0 4 1 5 2 6 3
5 0 5 3 1 6 4 2
6 0 6 5 4 3 2 1
Kreuze die richtigen Aussagen an.
√ (a) F¨ur allea∈F7 ista7=a.
Richtig. Man rechnet nach, dass f¨ura= 0, . . . ,6∈Z,a7−aein Vielfaches von 7 ist.
(b) Es istt7=t inF7[t], also Gleichheit als Polynome.
Falsch. Polynome sind durch ihre Koeffizienten definiert. Diese stimmen hier nicht
¨
uberein. (that keinen Koeffizienten im Grad 7.)
8. Kreuze die richtigen Aussagen an.
(a) Seiα∈Ceine Nullstelle vonp∈C[t], dann istαebenfalls eine Nullstelle.
Falsch. Dies gilt nur, wennpKoeffizienten inRhat.
√ (b) Jedes reelle Polynom von Grad 7 hat eine reelle Nullstelle.
Komplexe Nullstellen kommen in konjugierten Paaren vor oder sind reell. Da 7 unger- ade ist, muss eine Nullstelle reell sein.
9. Betrachte die MatrixA= 3 i
i 1
. (a) Der einzige Eigenwert ist−2.
√ (b) Der einzige Eigenwert ist 2.
√ (c) AT =A.
(d) Adiagonalisierbar.
Das charakteristische Polynom ist PA(λ) = (λ−2)2. 2 ist somit der einzige Eigenwert. Aist aber nicht diagonalisierbar: E2 = Ker
−1 −i
−i 1
=C· i
1
ist eindimensional.
Schneller: w¨areAdiagonalisierbar, dann w¨areE2=C2, aber somitA= 2·I.
10. Kreuze die richtigen Aussagen an.
(a) Jede reelle quadratische Matrix ist diagonalisierbar.
(b) Jede komplexe quadratische Matrix ist diagonalisierbar.
Ein Jordan-Block λ0λ1
ist nicht diagonalisierbar ¨uberC.
√ (c) Jede reelle symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.
(d) Jede komplexe MatrixAmitAT =Aist diagonalisierbar.
Falsch. Siehe das Beispiel oben:A= 3 i
i 1
nicht diagonalisierbar.
√ (e) Jede unit¨are Matrix ist diagonalisierbar.
√ (f) Jede hermitesche Matrix ist diagonalisierbar.
F¨ur symmetrisch reelle, hermitesche und unit¨are Matrizen gibt es sogar eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
11. SeiAeine hermitesche Matrix. Welche Aussagen sind korrekt?
√ (a) Tr(A)∈R.
Es istaii=aii∈R, und somit Tr(A) =P aii∈R
√ (b) detA∈R.
detA= detA∗= det(AT) = detA∈R
Alternativ: Die Eigenwerte λi vonAsind reell und somit auch det(A) =Q λi, und Tr(A) =P
λi.
12. Sei A eine komplexen×n Matrix mit 2 als einzigen Eigenwert. Dann ist A= 2·I.
(a) Wahr.
√ (b) Falsch.
Die Aussage ist falsch. Man betrachte zum Beispiel einen Jordanblock der L¨ange nzum Eigenwert 2.
13. SeiA eine hermitesche n×nMatrix, mit 2 als einzigen Eigenwert. Dann istA= 2·I.
√ (a) Wahr.
(b) Falsch.
Die MatrixA ist hermitesch und somit diagonalisierbar. MitD= 2·I, gibt es ein invertierbares (sogar ein unit¨ares)P mitA=P DP−1= 2·P IP−1= 2·I.
14. Seien
v1= 1
√2
−1 0 1
, v2= 1
√2
1 0 1
, v3= 1
√3
1 1 1
∈R3.
(a) (v1, v2, v3) ist eine Orthonormalbasis von R3 bez¨uglich dem Standard- skalarprodukt.
Falsch.hv2, v3i 6= 0
√ (b) Es gibt eine reelle 3×3 MatrixA mit Eigenvektorenvk zuλk =k, k= 1,2,3.
Dievksind eine Basis vonR3. SeiP = (v1|v2|v3) die Matrix mit Spaltenvk, dann hatA=Pdiag(1,2,3)P−1die gew¨unschten Eigenschaften.
(c) Das gleiche mitAsymmetrisch.
Falsch. Die Eigenr¨aume vonAm¨ussten dann orthogonal sein, es sind aberv2 undv3
nicht orthogonal.
√ (d) FallsAsymmetrisch ist und die Eigenvektorenvkhat, dann liegenv2und v3im gleichen Eigenraum.
Wahr. Die Eigenr¨aume einer symmetrischen Matrix sind zueinander orthogonal. v2
undv3 aber nicht, also liegen sie im gleichen Eigenraum.
15. Sei A eine orthogonale 7×7 Matrix. Dann gilt allgemein:
(a) 1 ist ein Eigenwert von A.
Betrachte zum Beispiel−I, mit−1 als einzigen Eigenwert.
√ (b) detAist ein Eigenwert vonA.
Wahr. BringeA in K¨astenform. Es hat dann eine ungerade Anzahl Eigenvektoren 1 und−1 in der Diagonale, und die Determinante ist das Produkt dieser Elemente (die 2×2 K¨astchen haben Determinante 1). Ist die Determinante±1 so ist±1 ein Diagonalelement.
√ (c) Die Spur vonAist zwischen−7 und 7.
Als komplexe Matrix betrachtet istAunit¨ar. Die komplexen Eigenwerte haben daher Norm 1, und|Tr(A)|=|P
λi| ≤P
|λi| ≤7.
√ (d) Die Determinante vonAist 1 oder−1.
detA−1= detAT= detA. 1 = detAdetA−1= (detA)2, somit detA∈ {1,−1}.
(e) Es gibt eine Orthonormalbasis vonRndie aus Eigenvektoren von A besteht.
Falsch. Dann w¨areAdiagonalisierbar. Siehe die K¨astchenform f¨ur Orthogonale Ma- trizen. Zum Beispiel die Matrix mit einem 2×2 K¨astchen zu einem Drehwinkelφ6=±π, und sonst 5 Einsen in der Diagonalen ist nicht diagonalisierbar.
16. SeienA, B komplexe, selbstadjungierten×n Matrizen,λ∈C. Dann gilt allgemein:
√ (a) A+B ist selbstadjungiert.
(A+B)∗=A∗+B∗=A+B.
(b) λAist selbstadjungiert.
Mitλ=iist (iA)∗=−iA∗=−iAnicht selbstadjungiert.
√ (c) λAist normal.
SeiB=λA.B∗B=λA∗λA=|λ|2AA=BB∗.
17. SeienA, B komplexe, selbstadjungierten×n Matrizen,λ∈C. Dann gilt allgemein:
(a) ABist selbstadjungiert.
(AB)∗=B∗A∗=BA. Ein Gegenbeispiel ist:A= 1 0
0 −1
,B= 0 i
−i 0
.
√ (b) AB+BAist selbstadjungiert.
(AB+BA)∗=B∗A∗+A∗B∗=BA+AB.
√ (c) AB−BAist normal.
(AB−BA)∗=B∗A∗−A∗B∗=−(AB−BA). Also:
(AB−BA)∗(AB−BA) = (AB−BA) (AB−BA)∗=−(AB−BA)2.
√ (d) ABAist selbstadjungiert.
(ABA)∗=A∗B∗A∗=ABA.
18. SeisA folgende Bilinearform aufR2: sA(x, y) =xTAy, wobei A=
3 −2
−2 5
.
√ (a) sAist eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
(b) Die Signatur vonsAist (1,1).
√ (c) Die Signatur vonsAist (2,0).
(d) Die Signatur vonsAist (0,2).
Spur und Determinante vonAsind strikt positiv, so sind beide Eigenwerte strikt positiv. Die Signatur ist somit (2,0) und sAist nicht ausgartet.
19. SeisB folgende Bilinearform auf R2: sB(x, y) =xTBy, wo B=
4 6 6 9
.
(a) sB ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
(b) Die Signatur vonsB ist (1,1).
√ (c) Die Signatur vonsB ist (1,0).
(d) Die Signatur vonsB ist (0,1).
Die Eigenwerte vonBsind 0 und 13, so hatsBSignatur (1,0) und ist ausgeartet.
20. Seisdie Bilinearform aufR3gegeben durch
s((x, y, z),(x0, y0, z0)) =xx0+yy0−zz0. Welches der folgenden Bilder ist eine Darstellung der Quadrik
C0={v∈R3|s(v, v) = 0}?
(a) .
√ (b) .
(c) .
C0∩ {z = z0} ist ein Kreis mit Radius r = |z0| in der {z = z0} Ebene. So bekommen wir Bild 2.