Mathematik für Ingenieure
Klaus Dürrschnabel
Mathematik für Ingenieure
Eine Einführung mit Anwendungs- und Alltagsbeispielen
3. Auflage
Klaus Dürrschnabel
Informationsmanagement und Medien Karlsruhe University of Applied Sciences Karlsruhe, Deutschland
Ergänzendes Material zu diesem Buch finden Sie auf Springer Link.
ISBN 978-3-658-32230-4 ISBN 978-3-658-32231-1 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-32231-1
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Planung/Lektorat: Annika Denkert
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Vorwort zur 3. Auflage
Was ist neu in dieser Auflage?
Vor Ihnen liegt nunmehr die dritte Auflage meines Buchs
”Mathematik f¨ur Ingenieure“. Dank der erweiterten technischen M¨oglichkeiten erscheint diese Neuauflage in einem ansprechenden Layout im Vierfarbendruck, was viele neue M¨oglichkeiten zum effektiven Arbeiten mit diesem Buch und zur Visualisierung von mathematischen Sachverhalten mit sich bringt. Die Marginalienspalte erlaubt einen schnellen und zielgerichteten Zugriff auf Begriffe und Themen.
Warum dieses Buch?
Viele Studienanf¨anger haben Probleme mit Mathematik. Die abstrakten Inhalte fallen den Studie- renden zunehmend schwer. Hinzu kommt, dass angehende Ingenieure keine Studierende des Studi- enfachs Mathematik sind, sondern die unbestritten notwendige Mathematik als Servicewissenschaft einsetzen. Aus dieser Tatsache resultiert ein gewisses Motivationsproblem f¨ur dieses Fach, welches es zus¨atzlich zu ¨uberwinden gilt.
Eine weitere Schwierigkeit bilden die zunehmend heterogenen Vorkenntnisse der Studienanf¨angerin- nen und -anf¨anger. Der Mathematikunterricht in der Schule hat sich auch infolge der internationalen Studien grundlegend gewandelt. Aufgrund der ver¨anderten Unterrichtsmethoden mit Projekten und selbstentdeckendem Lernen sowie der Verk ¨urzung der Gymnasialzeit wurden die Bildungspl¨ane in- haltlich ausged ¨unnt. Themen wie Logarithmusfunktion, Kreis- und Kugelgleichung, Quotientenregel der Differenzialrechnung oder Matrizenrechnung d ¨urfen an der Hochschule nicht mehr als selbst- verst¨andlich bekannt vorausgesetzt werden.
Welches Konzept steckt hinter diesem Buch?
Dieses Buch m ¨ochte den Studienanf¨angerinnen und -anf¨angern eine Hilfe beim Einstieg in die sog.
”H¨ohere Mathematik“ bieten. Dabei orientiert sich das Vorgehen an folgender Strategie: Zun¨achst wird in Anwendungsbeispielen formuliert, wozu die neu einzuf¨uhrende Theorie ¨uberhaupt gewinn- bringend eingesetzt werden kann. Es werden Fragen aus Technik und Alltag gestellt, die es zu be- antworten gilt. In einem zweiten Schritt wird die grundlegende Idee der Theorie entwickelt, um erst anschließend die abstrakten mathematischen Definitionen und S¨atze zu formulieren. Schließlich wer- den Beispiele gerechnet und insbesondere die anfangs aufgeworfenen Fragestellungen mithilfe der entwickelten Mathematik gel¨ost. Gegebenenfalls wird die Theorie noch weiter gef¨uhrt und f¨ur spezi- elle, beispielhafte Anwendungen konkretisiert.
Die vielf¨altigen Anwendungsbeispiele kommen gew¨ohnlich nicht aus einem speziellen Ingenieurbe- reich. Vielmehr werden sie ¨uberwiegend aus dem Alltag und dem physikalischen Umfeld gew¨ahlt.
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Zum einen kann man davon ausgehen, dass diese Beispiele f¨ur die Studierenden jeder Ingenieur- richtung verst¨andlich und von Interesse sind, zum anderen sind sie sehr anschaulich und belegen, wie unser Alltag mit Mathematik durchzogen ist. So ist es sicher f¨ur viele ¨uberraschend, dass das Ph¨anomen des Regenbogens mit der Differenzialrechnung erkl¨art werden kann (Abschnitt 12.3) oder dass man mithilfe von Potenzreihen im freien Feld große Kreise in einer einfachen Weise ohne Zir- kel bestimmen kann (Abschnitt 18.4). Sehr wohl orientieren sich aber die mathematischen Inhalte an den erforderlichen mathematischen Kenntnissen, welche f¨ur das erfolgreiche Absolvieren eines Ingenieurstudiums ben ¨otigt werden.
Das mathematische Kalk ¨ul ist in diesem Buch bewusst knapp gehalten, es wird weitgehend auf den mathematischen Formalismus verzichtet. Die Mathematiker m ¨ogen mir verzeihen, dass in mathema- tischen S¨atzen die ben ¨otigten Voraussetzungen nicht alle exakt formuliert, sondern die Inhalte auf die zentralen Aussagen reduziert sind. In Anbetracht der Zielgruppe erscheint mir dieses Vorgehen legi- tim. Es werden dar¨uber hinaus nur die unbedingt notwendigen und in den Ingenieurwissenschaften allgemein verwendeten mathematischen Zeichen und Symbole eingef¨uhrt. Wo immer m ¨oglich, habe ich stattdessen eine Beschreibung mittels Alltagssprache gew¨ahlt.
Digitale Hilfsmittel halten vermehrt Einzug in den Schul- und Hochschulbereich. Den neuen M¨oglichkeiten dieser Programmsysteme wird in diesem Buch Rechnung getragen, indem Beispie- le und Aufgaben auch mit Computeralgebrasystemen gel¨ost und mathematische Sachverhalte damit visualisiert werden. Gerade der Einsatz von derartigen Systemen erlaubt es auch, gewisse rechenin- tensive Inhalte und Themen abzuk ¨urzen. So wurde z. B. das Thema Differenzialgleichungen auf das unbedingt erforderliche Maß beschr¨ankt.
Die einzelnen Abschnitte werden durch Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit abgerundet, deren L¨osungen als PDFs im Anhang der Kapitel auf Springer Link (link.springer.com) zu finden sind. Auf diese L¨osungen haben auch Leserinnen und Leser des gedruckten Buches Zugriff. Auf vielfachen Wunsch wurden zudem ausf¨uhrliche L¨osungen erstellt, welche als Zusatzmaterial vom Autor bereit- gestellt werden, Sie finden den entsprechenden Link auf der Produktseite zum Buch auf der Website des Verlags.
Danke!
Zum Schluss m ¨ochte ich mich bei verschiedenen Personen bedanken, die mich w¨ahrend der Erstel- lung dieses Buches unterst¨utzt haben. Hier sind zuerst die Studierenden sowie die Leserinnen und Leser zu nennen, die dieses Buch dankbar angenommen und mich auf einige Unzul¨anglichkeiten in den ersten beiden Auflagen hingewiesen haben. Explizit m ¨ochte ich Jean-Marie Wittwer erw¨ahnen, der mir etliche Hinweise gegeben hat und mit dem ich in einem anregenden Austausch stehe. Ein herzliches Dankesch ¨on geht auch an Fabian G¨artner, der etliche Fotos zu diesem Buch beigesteuert hat. Die Zusammenarbeit mit dem Verlag verlief reibungslos, Annika Denkert und Anja Groth hatten immer ein offenes Ohr f¨ur meine Probleme. Nicht zuletzt m ¨ochte ich mich bei meiner Frau Simone und meinen Kindern bedanken, die w¨ahrend der Erstellung des Buches und der ¨Uberarbeitung zu Neuauflagen etliche Entbehrungen in Kauf nehmen mussten.
Karlsruhe, im November 2020 Klaus D¨urrschnabel
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlenbereiche 1
1.1 Mengen . . . 2
1.2 Nat¨urliche, ganze und rationale Zahlen . . . 4
1.3 Reelle Zahlen . . . 5
1.4 Komplexe Zahlen . . . 10
Aufgaben . . . 23
2 Funktionen 27 2.1 Funktionen als Modelle der Wirklichkeit . . . 28
2.2 Der Funktionsbegriff . . . 31
2.3 Eigenschaften von Funktionen . . . 35
Aufgaben . . . 49
3 Elementare Funktionen 53 3.1 Signum- und Betragsfunktion . . . 54
3.2 Ganze rationale Funktionen . . . 56
3.3 Gebrochene rationale Funktionen . . . 73
3.4 Allgemeine Potenz- und algebraische Funktionen . . . 75
3.5 Trigonometrische Funktionen . . . 78
3.6 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . 91
Aufgaben . . . 108
vii
viii
4 Lineare Gleichungssysteme 117
4.1 Problemstellung . . . 118
4.2 Das Gauß’sche Eliminationsverfahren . . . 121
Aufgaben . . . 135
5 Vektorrechnung 139 5.1 Vektorielle Gr¨oßen in Alltag und Technik . . . 140
5.2 Vektoren im Anschauungsraum . . . 142
5.3 Allgemeine Vektorr¨aume . . . 152
5.4 Lineare Abh¨angigkeit und Unabh¨angigkeit . . . 157
5.5 Basis und Dimension . . . 163
Aufgaben . . . 167
6 Produkte von Vektoren 173 6.1 Das Skalarprodukt . . . 174
6.2 Das Vektorprodukt . . . 180
6.3 Das Spatprodukt . . . 189
Aufgaben . . . 194
7 Analytische Geometrie 197 7.1 Probleme im Raum . . . 198
7.2 Parameterdarstellung von Geraden . . . 201
7.3 Parameterdarstellung von Ebenen . . . 204
7.4 Hyperebenen in Gleichungsform . . . 209
7.5 Schnittprobleme . . . 213
7.6 Abstandsberechnungen . . . 221
7.7 Winkelberechnungen . . . 229
7.8 Kreis und Kugel . . . 234
Aufgaben . . . 241 Inhaltsverzeichnis
ix
8 Matrizen 249
8.1 Transformationen in der Ebene und im Raum . . . 250
8.2 Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation . . . 252
8.3 Invertieren von Matrizen . . . 263
8.4 Koordinatentransformation . . . 268
8.5 Abbildungen . . . 272
8.6 Determinanten . . . 283
Aufgaben . . . 293
9 Eigenwerte 299 9.1 Problemstellungen in der Anwendung . . . 300
9.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . 306
Aufgaben . . . 313
10 Grenzwerte 315 10.1 Folgen . . . 316
10.2 Der Grenzwertbegriff bei Folgen . . . 319
10.3 Die Euler’sche Zahle . . . 326
10.4 Der Grenzwertbegriff bei Funktionen . . . 331
10.5 Stetigkeit . . . 339
Aufgaben . . . 344
11 Differenzialrechnung 349 11.1 Der Ableitungsbegriff . . . 350
11.2 Ableitungsregeln . . . 360
11.3 Mittelwertsatz und stetige Differenzierbarkeit . . . 387
Aufgaben . . . 390 Inhaltsverzeichnis
x
12 Anwendungen der Differenzialrechnung 395
12.1 Monotonieuntersuchungen . . . 396
12.2 Extremwertprobleme . . . 398
12.3 Der Regenbogen . . . 409
12.4 Wendepunkte und Kurvendiskussion . . . 415
12.5 Regel von Bernoulli-de l’Hospital . . . 421
12.6 Das Newton-Verfahren . . . 427
Aufgaben . . . 432
13 Unbestimmtes Integral 437 13.1 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral . . . 438
13.2 Integrationsmethoden . . . 442
Aufgaben . . . 457
14 Bestimmtes Integral 459 14.1 Fl¨acheninhaltsproblem und bestimmtes Integrals . . . 460
14.2 Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung . . . 466
14.3 Uneigentliche Integrale . . . 476
Aufgaben . . . 481
15 Numerische Integration 483 15.1 Problemstellung . . . 484
15.2 Trapezregel . . . 486
15.3 Kepler-Fassregel und Simpson-Regel . . . 490
Aufgaben . . . 495 Inhaltsverzeichnis
xi
16 Anwendungen der Integralrechnung 497
16.1 Fl¨achenberechnungen . . . 498
16.2 Volumina von Rotationsk ¨orpern . . . 503
16.3 Physikalische Anwendungen . . . 507
16.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . 514
Aufgaben . . . 518
17 Reihen 521 17.1 Der Reihenbegriff . . . 522
17.2 Konvergenzkriterien . . . 529
Aufgaben . . . 541
18 Potenzreihen 543 18.1 Der Begriff der Potenzreihe . . . 544
18.2 Potenzreihen und Funktionen – Satz von Taylor . . . 551
18.3 Wichtige Potenzreihenentwicklungen . . . 556
18.4 Anwendungen . . . 568
Aufgaben . . . 579
19 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 583 19.1 Trigonometrische Reihen . . . 584
19.2 Fourier-Reihen . . . 587
19.3 Komplexe Schreibweise der Fourier-Reihen . . . 598
19.4 Fourier-Transformation . . . 606
Aufgaben . . . 613 Inhaltsverzeichnis
xii
20 Differenzialrechnung von Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher 617
20.1 Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher . . . 618
20.2 Der Stetigkeitsbegriff . . . 622
20.3 Partielle Ableitungen . . . 624
20.4 Totales Differenzial . . . 630
20.5 Richtungsableitung . . . 642
20.6 Partielle Ableitungen h ¨oherer Ordnung . . . 647
20.7 Divergenz und Rotation . . . 650
Aufgaben . . . 655
21 Extrema bei Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher 663 21.1 Extrema ohne Nebenbedingungen . . . 664
21.2 Anwendung: Lineare Regression . . . 674
21.3 Extrema mit Nebenbedingungen . . . 678
Aufgaben . . . 690
22 Bereichsintegrale 695 22.1 Bereichsintegrale . . . 696
22.2 Bereichsintegrale ¨uber Normalbereichen . . . 699
22.3 Polar-, Zylinder und Kugelkoordinaten . . . 706
Aufgaben . . . 715
23 Allgemeine Kurven 717 23.1 Der Kurvenbegriff . . . 718
23.2 Tangentenvektor und Tangente . . . 723
23.3 Bogenl¨ange und Bogenl¨angenparametrisierung . . . 728
23.4 Die Kr¨ummung . . . 738
23.5 Das allgemeine Kurvenintegral . . . 747
Aufgaben . . . 751 Inhaltsverzeichnis
xiii
24 Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen 757
24.1 Der Begriff der Differenzialgleichung . . . 758
24.2 Explizite Differenzialgleichung erster Ordnung . . . 761
24.3 Schwingungsdifferenzialgleichung . . . 780
Aufgaben . . . 789
Sachverzeichnis 791
Inhaltsverzeichnis