Die Weil-Topologie auf messbaren Gruppen
Andreas Kreuml
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation 1
2 Rekonstruktion der Topologie aus dem Haarschen Maß 1
3 Weil-Topologie 5
3.1 Messbare Gruppen . . . 5 3.2 Konstruktion der Weil-Topologie . . . 8
1 Motivation
In dieser Arbeit werden Gruppen (G,·) betrachtet, wobeiGeine nichtleere Menge und·die Verkn¨upfung zugeh¨origer Gruppenelemente aus G darstellt; das neutrale Element wird mit e bezeichnet. Weiters schreiben wir in Folgea·bder K¨urze halber alsab;Gstehe stellvertretend f¨ur die Gruppe.
Ziel der Arbeit ist es, aus Gruppen G, die mit geeigneter Struktur versehen sind, eine Topologie T so einzuf¨uhren, dass (G,T) zu einer topologischen Gruppe wird. Dabei betrachten wir folgende zwei Situationen:
(a) Ausgehend von einer lokalkompakten topologischen Gruppe (G,T) l¨asst sich das Haarsche Maß µ und somit ein Maßraum (G,S, µ) einf¨uhren. Wir wollen aus diesem Maßraum die TopologieT rekonstruieren.
(b) Mithilfe einer messbaren Gruppe (G,S, µ) l¨asst sich in nat¨urlicher Weise eine mit den Gruppen- operationen vertr¨agliche Topologie einf¨uhren, die sogenannteWeil-Topologie.
Die Grundidee wird es sein, zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis zu ermitteln, ¨ahnlich den Epsilon- Kugeln in metrischen R¨aumen.
In beiden oben angef¨uhrten F¨allen steht ein Maßraum (G,S, µ) zur Verf¨ugung. Wir definieren die Men- genfunktionρdurch1
ρ:S×S→R:ρ(M, N) :=µ(M∆N). (1) Diese Mengenfunktion hat folgende leicht einzusehende Eigenschaften (M, N, A1, A2, A3∈S):
• ρ(M, N)≥0,
• ρ(M, M) = 0,
Die Umkehrung ”ρ(M, N) = 0 impliziertM =N” gilt i.A. nicht: Sei (G,S, µ) = (R,B, λ) der Maßraum der Borelmengen aufRversehen mit dem Lebesgue-Maßλ. Man w¨ahleM als nichtleere Lebesgue-Nullmenge (beispielsweise die einpunktige MengeM ={r} ∈B, r∈R) undN=∅.
• Symmetrie: ρ(M, N) =ρ(N, M),
• Dreiecksungleichung:ρ(A1, A3)≤ρ(A1, A2) +ρ(A2, A3).
(Zum Beweis dieser Aussage zerlege man die Menge ∪3j=1Aj disjunkt durch Mengen der Form ∩3j=1Bj, wobeiBj=AjoderBj=Acj, j= 1,2,3:
A1∆A3 = (A1\A3)∪(A3\A1) = [(A1∩Ac3∩A2)∪(A1∩Ac3∩Ac2)]∪[(A3∩Ac1∩A2)∪(A3∩Ac1∩Ac2)]⊆
⊆[(A2∩Ac3∩A1)∪(A2∩Ac3∩Ac1)]∪[(A3∩Ac2∩A1)∪(A3∩Ac2∩Ac1)]∪
∪[(A1∩Ac2∩A3)∪(A1∩Ac2∩Ac3)]∪[(A2∩Ac1∩A3)∪(A2∩Ac1∩Ac3)] =
= (A1∆A2)∪(A2∆A3).
Aus der Monotonie und der Subadditivit¨at des Maßes folgt die gew¨unschte Eigenschaft f¨urρ.) Mit diesen Eigenschaften ist die MengenfunktionρeineHalbmetrik.
In den folgenden Abschnitten werden die F¨alle (a) und (b) pr¨azisiert und untersucht; es wird sich her- ausstellen, dass f¨ur geeignete MengenM und >0 die Mengen der Bauart{x∈G:ρ(xM, M)< }eine Umgebungsbasis zuebilden.
2 Rekonstruktion der Topologie aus dem Haarschen Maß
Definition 2.1 (topologische Gruppe).
F¨ur eine GruppeGund eine TopologieT auf Gheißt (G,T) einetopologische Gruppe, falls gilt:
(G1) Die Verkn¨upfung ·: G×G→G: (x, y)7→xy ist stetig, wobeiG×G mit der Produkttopologie versehen ist.
1M∆N bezeichne die symmetrische Differenz der beiden Mengen:M∆N= (M\N)∪(N\M)
(G2) Die Inversenbildungι:G→G:x7→x−1 ist stetig.
F¨ur TeilmengenA, B⊆Gundx∈Gsetzt man:
AB:={ab:a∈A, b∈B}, xB:={xb:b∈B}.
Weiters wird das Bild einer MengeM ⊆G×Gunter der Gruppenoperation mit
•(M) :={ab: (a, b)∈M} (⊆G) bezeichnet.
Definition 2.2 (Links-, Rechtstranslation).
Sei Geine Gruppe unda∈Gfest. Die AbbildungenL(a) :G→G:L(a)x:=ax undR(a) :G→G: R(a)x:=xawerdenLinkstranslation bzw.Rechtstranslation genannt.
Es ist eine bekannte Tatsache, dass Links- und Rechtstranslationen sowie die Inversenbildung Hom¨oo- morphismen aufGsind:
Lemma 2.3. Sei(G,T) eine topologische Gruppe unda∈G:
(i) Die Linkstranslation L(a)und die RechtstranslationR(a)sind Hom¨oomorphismen auf G.
(ii) Die Inversenbildungι:G→G:ι(x) :=x−1 ist ein Hom¨oomorphismus aufG.
Beweis.
(i) Die Einbettungsabbildungen x 7→(a, x) und x 7→ (x, a) von Gnach G×G sind stetig, die Trans- lationen ergeben sich hieraus nach Anwenden der Gruppenoperation, die nach (G1) stetig ist. F¨ur die zugeh¨origen Umkehrabbildungen gilt L(a)−1 = L(a−1) und R(a)−1 = R(a−1); somit sind diese auch stetig, was die Translationen als Hom¨oomorphismen erweist.
(ii) Die Inversenbildung ist involutorisch, d.h.ι−1=ι, und hat daher nach (G2) eine stetige Umkehrab-
bildung.
Direkt aus der Definition lassen sich in einer topologischen Gruppe leicht einige Eigenschaften des Um- gebungsfilters U(e) des neutralen Elements gewinnen:
Lemma 2.4. Der Umgebungsfilter U(e)in einer topologischen Gruppe(G,T)hat folgende Eigenschaf- ten:
(U1) F¨ur x∈G, U∈ U(e)istxU x−1∈ U(e) (U2) F¨ur jede Umgebung U ∈ U(e)istU−1∈ U(e).
(U3) F¨ur jede Umgebung U ∈ U(e)existiert eine UmgebungV ∈ U(e), sodassV V ⊆U. Beweis.
Die Eigenschaften (U1) und (U2) folgen direkt aus Lemma 2.3.
Eigenschaft (U3) folgt mitee=eaus der Stetigkeit der Verkn¨upfung:
Es existiert eine UmgebungW ∈ U(e, e) in der Produkttopologie, sodass •(W) ⊆ U. Nun bilden die Mengen U1×U2 mitU1, U2∈ U(e) eine Umgebungsbasis vom UmgebungsfilterU(e, e) des Produktraums, also existieren W1, W2 ∈ U(e) mitW1×W2⊆W. MitV :=W1∩W2∈ U(e) istV V =•(V)⊆ •(W)⊆U. Lemma 2.5. SeiK⊆U ⊆GmitK kompakt undU offen; dann existiert eine UmgebungV ∈ U(e)mit V K⊆U.
Beweis.
Da jedes Elementx∈K als Ergebnis einer Rechtstranslation voneumx(R(x)e=ex=x) geschrieben werden kann, existiert aufgrund der Stetigkeit vonR(x) zu jedem dieser Elemente eine UmgebungUx∈ U(e) mitUxx⊆U. Lemma 2.4 (U3) garantiert die Existenz einer MengeVx∈ U(e), sodassVxVx⊆Ux. Nun ist (Vxx)x∈K eine offene ¨Uberdeckung der kompakten MengeK; es gibt somit endlich viele xi, i=
1, . . . , n, sodassK ⊆
n
[
i=1
Vxixi. Definiere nun V :=Tn
i=1Vxi; als endlicher Durchschnitt handelt es sich wieder um eine Umgebung voneundV K⊆Sn
i=1V Vxixi⊆Sn
i=1Uxixi⊆U.
Nun kommen wir zur Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes in lokalkompakten Hausdorff- schen topologischen Gruppen.
Definition 2.6. Sei (X,T) ein lokalkompakter Hausdorff-Raum.
(i) Die vom SystemT der offenen Teilmengen aufXerzeugteσ-AlgebraB(X) =Aσ(T) heißtσ-Algebra derBorelmengen aufX.
(ii) Ein Maßµ:B(X)→[0,+∞] heißtBorelmaß, fallsµ(K)<+∞f¨ur alle kompakten MengenK⊆X. (iii) Ein Maßµ:B(X)→[0,+∞] heißtvon innen regul¨ar, falls f¨ur alleA∈B(X) gilt:
µ(A) = sup{µ(K) :K⊆Akompakt}.
(iv) Ein Maßµ:B(X)→[0,+∞] heißtvon außen regul¨ar, falls f¨ur alleA∈B(X) gilt:
µ(A) = inf{µ(U) :U ⊇Aoffen}.
(v) Ein von innen regul¨ares Borelmaß wird alsRadonmaß bezeichnet.
(vi) Ist zus¨atzlich (X,T) eine topologische Gruppe, so heißt ein Maßµauf den BorelmengenB(X) von X linksinvariant, falls f¨ur allex∈X undM ∈B(X) gilt:
µ(xM) =µ(M).
Bemerkung 2.7. Istµ:B(X)→[0,+∞] ein Radonmaß, so lassen sich Kompakta insofern von außen approximieren, dass
µ(K) = inf{µ(U) :U ⊇Koffen}
f¨ur alle kompakten MengenK⊆X; man sagt,K ist von außen regul¨ar, siehe z.B. [E].
Im weiteren Verlauf des Kapitels bezeichne von nun anBdieσ-Algebra der Borelmengen aufG.
Ein Beweis des folgenden Satzes findet man z.B. in [E], Kapitel VIII,§3.
Satz 2.8. Sei(G,T)eine lokalkompakte Hausdorffsche topologische Gruppe. Dann existiert ein linksinva- riantes RadonmaßµaufB,µ6= 0, das sogenannte linke Haar-Maß. Dieses ist bis auf eine multiplikative positive Konstante eindeutig bestimmt.
F¨ur nichtleere offene Mengen U ∈B gilt außerdem: µ(U)>0; ist U zus¨atzlich relativ kompakt, so gilt 0< µ(U)<+∞.
Analog zu Kapitel 1 definieren wir
ρ:B×B→R:ρ(M, N) :=µ(M∆N),
wobei nunµdas linke Haarsche Maß ist. Zur Konstruktion einer Umgebungsbasis des neutralen Elements ezeigen wir zun¨achst die Stetigkeit der Abbildungf mitf(x) :=ρ(xM, M):
Lemma 2.9. Sei (G,T) eine lokalkompakte Hausdorffsche topologische Gruppe mit linkem Haar-Maß µ. Die Funktion
f :G→R:f(x) =ρ(xM, M) ist f¨ur alleM ∈Bmit µ(M)<+∞stetig.
Beweis.F¨ur einε >0 l¨asst sich aufgrund der Regularit¨at von innen eine kompakte MengeK⊆M finden, sodass µ(M)−ε4 ≤µ(K). Nach Umformen ergibt sich dann µ(M)−µ(K) =µ(M\K) =ρ(M, K)≤ ε4. Schließlich ist die kompakte MengeK von außen regul¨ar und es folgt analog die Existenz einer offenen Menge U ⊃ K mit ρ(U, K) ≤ ε4. Laut Lemma 2.4 und Lemma 2.5 gibt es eine Umgebung V ∈ U(e), sodassV =V−1undV K⊆U. F¨ur zwei Gruppenelementex, y∈Gmit y−1x∈V gilt dann:
ρ(xK, yK) =µ(xK\yK) +µ(yK\xK) =
=µ(y−1xK\K) +µ(x−1yK\K)y
−1x∈V⇔x−1y∈V
≤
≤2µ(V K\K)≤2µ(U\K)≤ ε 2. Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung der Halbmetrikρfolgt:
|µ(xM∆M)−µ(yM∆M)| ≤µ((xM∆M) ∆ (yM∆M)) =µ(xM∆yM).
Zusammengefasst gilt nun
|f(x)−f(y)|=|ρ(xM, M)−ρ(yM, M)| ≤ρ(xM, yM)≤ρ(xM, xK) +ρ(xK, yK) +ρ(yK, yM)≤ε, wobei wir im vorletzten Schritt die Dreiecksungleichung f¨urρangewendet haben. Da dies f¨ur alleε >0 und allex∈yV(∈ U(y)) gilt, ist somit die Stetigkeit von f gezeigt.
Lemma 2.10. Sei(G,T)eine lokalkompakte Hausdorffsche topologische Gruppe,µdas zugeh¨orige linke Haarmaß und U ∈ U(e)eine Umgebung um das neutrale Element. Dann existiert eine Menge M ∈ B mit0< µ(M)<+∞und ein ε >0, sodass B:={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ⊆U.
Beweis.
Laut Lemma 2.4 l¨asst sich eine Umgebung V ∈ U(e) finden mit V V−1 ⊆ U; da G lokalkompakt ist, enth¨alt V eine nichtleere kompakte UmgebungK ∈B und demnach eine nichtleere offene und relativ kompakte MengeM ∈BmitM ⊆K⊆V. Daher ist 0< µ(M)<+∞nach Satz 2.8.
Nun w¨ahlen wir einε >0 so, dassε <2µ(M). Falls die MengenxM undM f¨ur einx∈Gdisjunkt sind, l¨asst sichρ(xM, M) zu
ρ(xM, M) =µ(xM∆M) =µ(xM) +µ(M) = 2µ(M)
bestimmen (die letzte Gleichheit gilt aufgrund der Translationsinvarianz vonµ), sodass gilt:
B ={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ⊆ {x∈G:xM∩M 6=∅}=∗ M M−1⊆V V−1⊆U.
Beziehung * gilt, da:
⊆: xM∩M 6=∅ ⇒ ∃y∈M :xy∈M
⇒x∈M y−1⇒x∈M M−1;
⊇: x∈M M−1⇒ ∃y∈M, z∈M−1:x=yz
⇒xz−1=y⇒y∈M ∧y∈xM.
Folgerung 2.11. Sei(G,T)eine lokalkompakte Hausdorffsche topologische Gruppe undµdas zugeh¨orige Haarmaß. Dann bilden die Mengen der Form {x ∈ G : ρ(xM, M) < ε} mit einem ε > 0 und einem M ∈B mit0< µ(M)<+∞eine Umgebungsbasis zum neutralen Element e.
Beweis.
Lemma 2.9 impliziert wegen der Stetigkeit der dort definierten Funktionf, dass die Mengen {x∈ G: ρ(xM, M)< ε}als Urbilder offener Mengen offen und somit Umgebungen sind, Lemma 2.10 garantiert
die Basiseigenschaft dieser Mengen.
3 Weil-Topologie
3.1 Messbare Gruppen
In Analogie zu topologischen Gruppen, in denen die Stetigkeit der Gruppenoperationen gefordert wird, k¨onnen messbare Gruppen definiert werden:
Definition 3.1 (messbare Gruppe). Sei G eine Gruppe und (G,S, µ) ein σ-endlicher Maßraum mit nicht verschwindendem Maßµ6= 0. (G,S, µ) heißtmessbare Gruppe, falls:
(MG1)Sundµsind linksinvariant, d.h ausM ∈S undx∈Gfolgt xM∈Sundµ(xM) =µ(M).
(MG2) Die Verkn¨upfung· :G×G→G: (x, y)7→xy sowie die Inversenbildung ι :G→G:x7→x−1 sind messbare Abbildungen.
Ein Beispiel einer messbaren Gruppe bildet der aus der topologischen Gruppe (G,T) gebildete Maßraum (G,B, µ) mit der Borel-Sigma-AlgebraBund dem linken Haarschen Maßµ(vgl. Kapitel 2), falls dieses σ-endlich ist; die Messbarkeit der Gruppenoperationen folgt hierbei sofort aus der Stetigkeit.
F¨ur die folgenden Ausf¨uhrungen erweist es sich als sinnvoll, spezielle Transformationen einzuf¨uhren:
R:G×G→G×G: (x, y)7→(y, x) bijektiv, mit InverserR−1=R S :G×G→G×G: (x, y)7→(x, xy) bijektiv, mit InverserS−1(a, b) = (a, a−1b) T :=R−1SR:T(x, y) = (yx, y) bijektiv, mit InverserT−1(a, b) = (b−1a, b) Q:=S−1RS:Q(x, y) = (xy, y−1) bijektiv, mit InverserQ−1=S−1R−1S=Q F¨ur eine MengeM ⊆G×Gdefinieren wir den Schnitt in xalsMx:={y ∈G: (x, y)∈M} und den Schnitt in yalsMy:={x∈G: (x, y)∈M}.
Den folgenden Ergebnissen bis zum Ende des Kapitels wird eine messbare Gruppe (G,S, µ) zugrunde gelegt.
Lemma 3.2. (Eigenschaften der Transformationen)
(i) Alle Transformationen R, S, T, Q sowie deren Inversen sind, aufgefasst als Abbildungen von (G× G,S⊗S) in sich selbst, messbar.
(ii) F¨ur M ⊆G×Gund x, y∈Ggilt:
S(M)x=xMx, T(M)y =yMy.
(iii) Mit den messbaren Gruppen(G,S, µ)und(G,S, ν)werden die AbbildungenS undT zu maßtreuen Transformationen auf(G×G,S⊗S, µ⊗ν). Weiters istQmaßtreu auf(G×G,S⊗S, µ⊗µ).
(iv) F¨urA, B ⊆Gund x, y∈Ggilt:
Q(A×B)x−1=xA∩B−1, Q(A×B)y−1=
(Ay, y∈B
∅, y /∈B. Beweis.
(i) Klar, da die einzelnen Komponentenfunktionen der AbbildungenRundSnach (MG2) messbar sind undT undQsich aus RundS zusammensetzen.
(ii) Wir betrachten die Indikatorfunktion zur MengeS(M):1S(M)(x, y) =1M(x, x−1y). Somit folgt:
(x, y)∈S(M)⇔(x, x−1y)∈M ⇔x−1y∈Mx⇔y∈xMx. F¨urT geht der Beweis analog.
(iii) Mit der Darstellung des Produktmaßesµ⊗ν nach dem Satz von Fubini und der Linksinvarianz von
ν folgt f¨urM ∈S⊗S:
(µ⊗ν)(S(M)) = Z
ν(S(M)x)dµ(x)(i)= Z
ν(xMx)dµ(x) =
= Z
ν(Mx)dµ(x) = (µ⊗ν)(M).
F¨urT geht der Beweis analog.
Durch die ReflexionRwerden die Koordinaten der Punkte vertauscht:
R(M) ={(y, x)∈G×G: (x, y)∈M}. F¨ur den Schnitt in der zweiten Koordinate gilt somitR(M)x= {y∈G: (x, y)∈M}=Mx. Zusammenfassend ergibt sich
(µ⊗µ)(Q(M)) = (µ⊗µ)(S−1RS(M))Smaßtreu= (µ⊗µ)(RS(M)) = Z
µ(RS(M)y)dµ(y) =
= Z
µ(S(M)y)dµ(y) = (µ⊗µ)(M).
(iv) Aus1A×B(x, y) =1A(x)·1B(y) und1A∩B(x) =1A(x)·1B(x) folgt:
1Q(A×B)(x−1, y) =1A×B(x−1y, y−1) =1A(x−1y)·1B(y−1) =
=1xA(y)·1B−1(y) =1xA∩B−1(y),
alsoQ(A×B)x−1 =xA∩B−1. Ebenso ist
1Q(A×B)(x, y−1) =1A×B(xy−1, y) =1A(xy−1)·1B(y) = 1Ay(x)·1B(y),
d.h. (x, y−1)∈Q(A×B)⇔x∈Ay∧y∈B.
Lemma 3.3.
(i) SeiM ∈S. Dann sind auchM a∈S f¨ur allea∈GundM−1∈S.
(ii) Ist das Maß einer MengeM ∈S positiv, d.h.µ(M)>0, so ist auchµ(M a)>0 f¨ur allea∈Gund µ(M−1)>0.
(iii) F¨ur eine messbare Funktionf :G→Rund einM ∈Smit positivem Maßµ(M)>0 ist die durch g:G→R:g(x) := f(xµ(M x)−1)
definierte Funktiong messbar.
Beweis.
(i) Man kann leicht einsehen, dass aufgrund der Eigenschaft (MG2) von messbaren Gruppen die Recht- stranslation R(a)x = xa sowie deren Inverse messbare Abbildungen sind. Daraus folgt M a ∈ S. Die Inversenbildungιist messbar und eine Involution, somitM−1=ι(M) =ι−1(M)∈S.
(ii) Fallsµ(M)>0, gilt aufgrund der Darstellung des Produktmaßes und der Maßtreue vonQ
0< µ(M)2= (µ⊗µ)(M ×M) = (µ⊗µ)(Q(M×M)) = Z
µ(Q(M×M)x)dµ(x) =
= Z
µ(x−1M∩M−1)dµ(x).
Da das Integral positiv ist, muss der Integrand an mindestens einer Stellex0∈Gpositiv sein; wir haben eine Menge N := x−10 M ∩M−1 ∈ S gefunden, sodass N ⊆ M−1 und daher 0 < µ(N) ≤ µ(M−1).
Hiermit ist der zweite Teil der Behauptung bewiesen.
F¨ur ein beliebigesa∈Ggilt wiederum, dassa−1N ⊆a−1M−1und wegen der Linkstranslations-Invarianz des Maßesµ(a−1N) =µ(N)>0. Wendet man die gleiche Argumentation wie zuvor auf die Mengea−1N an, folgt die Existenz einer Menge O ∈ S mit O ⊆(a−1N)−1 ⊆(a−1M−1)−1 = M a und 0 < µ(O).
Insgesamt folgt mit 0< µ(O)≤µ(M a) die erste Behauptung.
(iii) Die Funktion ˆf :=f◦ι, fˆ(x) =f(x−1) ist als Zusammensetzung von messbaren Funktionen messbar.
Definiere die Funktionen
m:G→R: m(y) :=µ(Q(M×G)y), ˆ
m:=m◦ι, m(y) =ˆ m(y−1) =µ(M y)·1G(y) =µ(M y).
Wie aus der Maßtheorie bekannt, sindmals Maß eines Schnittes und somit auch ˆm, m1ˆ =µ(M y)1 undg
als Zusammensetzung messbar.
Lemma 3.4. F¨ur zwei messbare MengenM, N ∈S seien Funktionenm1,mˆ1, m2:G→R durch m1(x) :=µ(x−1M ∩N),
ˆ
m1(x) := (m1◦ι)(x) =m1(x−1), m2(x) :=µ(xM∆N)
definiert.
(i) m1 sowiemˆ1 sind messbar undR
m1 dµ=µ(M)µ(N−1).
(ii) Ist zus¨atzlichµ(M)<+∞und ε >0, sodass ε < µ(M) +µ(N), so ist die Menge {x∈G:m2(x)< ε} messbar.
Beweis.
(i) Laut Lemma 3.2 istm1(x) =µ(Q(M ×N−1)x) undm1 ist damit als Maß eines Schnittes messbar.
Das Integral wird mit den Formeln f¨ur Produktmaße unter Beachtung der Maßtreue vonQumgeformt:
Z
m1(x)dµ(x) = Z
µ(Q(M ×N−1)x)dµ(x) = (µ⊗µ)(Q(M×N−1)) =
= (µ⊗µ)(M×N−1) =µ(M)µ(N−1).
(ii) Durch die Endlichkeit vonµ(xM∩N) ergibt sich folgende Darstellung f¨urm2: m2(x) =µ(xM∆N) =µ(xM\(xM∩N)) +µ(N\(xM∩N)) =
=µ(xM) +µ(N)−2µ(xM∩N).
Dieser Ausdruck wird nun kleiner alsε, falls
µ(xM∩N) = ˆm1(x)>1
2(µ(M) +µ(N)−ε)
Die Menge{x∈G:m2(x)< ε}={x∈G: ˆm1(x)> 12(µ(M) +µ(N)−ε)}ist als Urbild einer Menge
aus der Borel-σ-Algebra unter einer messbaren Funktion messbar.
Folgendes Resultat spielt bei der Konstruktion der Weil-Topologie eine wichtige Rolle:
Lemma 3.5. SeienM, N ∈S Mengen mit positivem Maß. Dann existieren Elementex1, y1, x2, y2∈G und Mengen C1, C2∈S mit positivem Maß derart, dass
x1C1⊆M, y1C1⊆N; C2x2⊆M, C2y2⊆N.
Beweis.
Ausµ(N)>0 folgt mit Lemma 3.3µ(N−1)>0 und hiermit mit dem vorangegangenen Lemma µ(M)µ(N−1) =
Z
µ(x−1M∩N)dµ(x)>0.
Der Integrand muss an wenigstens einer Stellex1∈Ggr¨oßer als Null sein. Unter der Festsetzung C1:=x−11 M∩N ∈Sundy1:=eals neutrales Element istC1nicht leer und die Bedingungen x1C1⊆M undy1C1⊆N sind erf¨ullt. Dieselbe Argumentation angewandt auf die Mengen M−1, N−1∈Sliefert Stellen ˆx1,yˆ1∈Gund eine nichtleere Menge ˆC1∈S, sodass
ˆ
x1Cˆ1⊆M−1, yˆ1Cˆ1⊆N−1gilt. Durch Invertieren auf beiden Seiten werden die Operanden der Gruppenverkn¨upfung vertauscht undC2:= ˆC1−1, x2:= ˆx−11 undy2:= ˆy1−1 liefern das Gew¨unschte.
3.2 Konstruktion der Weil-Topologie
Zu Beginn des Kapitels wird ein Satz vorgestellt, der bestimmte Mengensysteme als Erzeuger von topologischen Gruppen klassifiziert. Auf diesem Satz beruht die Konstruktion der Weil-Topologie.
Satz 3.6. SeiGeine Gruppe und U ⊆ P(G)ein System aus Teilmengen vonG, welches die folgenden Bedingungen erf¨ullt:
(a) Der Durchschnitt aller Mengen ausU besteht lediglich aus dem neutralen Element:
T
U∈UU ={e}.
(b) F¨ur U, V ∈ U existiert eine MengeW ∈ U, sodass W ⊆U∩V. (c) F¨ur U ∈ U existiert ein V ∈ U mitV V−1⊆U.
(d) F¨ur jedes Elementx∈Gund jede Menge U ∈ U existiert ein V ∈ U mitx−1V x⊆U. (e) F¨ur jede MengeU ∈ U und jedesa∈U existiert ein V ∈ U mitV a⊆U.
Dann l¨asst sich aufGgenau eine Topologie T einf¨uhren, sodass (G,T)zu einer topologischen Gruppe wird undU eine Umgebungsbasis des neutralen Elementsedarstellt.
Beweis.Zun¨achst sei bemerkt, dass ein MengensystemB ⊆ P(G) mit
(B1) AusU, V ∈ B, x∈U ∩V folgt die Existenz einesW ∈ Bmit x∈W ⊆U ∩V. (B2) [
U∈B
U =G
eine Basis der erzeugten TopologieT(B) bildet (siehe z.B. [Ka]). Um alle Elemente der Gruppe zu erreichen, definiere
U˜:={U x:U ∈ U, x∈G}
Per definitionem erf¨ullt ˜U die Eigenschaft (B2), da das neutrale Elementein jedemU ∈ U liegt.
Ist nuny∈U xf¨ur einU ∈ U und einx∈G, so ist dies ¨aquivalent zuyx−1∈U und aus Bedingung (e) folgt die Existenz einesV ∈ U mitV yx−1⊆U.
Betrachte nunU1x1, U2x2∈U˜ mit y∈U1x1∩U2x2. Laut obiger ¨Uberlegung gibt es MengenV1, V2∈ U mitV1y⊆U1x1 undV2y⊆U2x2 und wegen Bedingung (b) einW ∈ U mitW ⊆V1∩V2. Insgesamt ist alsoy∈W y⊆U1x1∩U2x2 und f¨ur das System ˜U gilt demnach auch (B1).
F¨ur die erzeugte TopologieT( ˜U) ist ˜U also eine Basis. F¨ur eine UmgebungU ∈ U(e) gibt es hiermit ein V x∈U˜mit e∈V x⊆U. Wendet man die Bedingung (d) f¨urx−1∈V an, so erh¨alt man einW ∈ U mit W x−1⊆V. WegenW ⊆V x⊆U und daW ∈ U automatisch das neutrale Element enth¨alt, istU eine Umgebungsbasis vonU(e).
Die Konstruktion der Topologie muss noch auf die Stetigkeitsforderungen einer topologischen Gruppe gepr¨uft werden:
Seienx, y∈Gbeliebig undV xy−1∈U˜ aus der Umgebungsbasis vonxy−1. Nach (c) gibt es einUx∈ U mitUxUx−1⊆V; nach (d) wiederum existiert einUy∈ U mitxy−1Uyyx−1⊆Ux, oder anders
ausgedr¨uckt:xy−1Uy−1⊆Ux−1xy−1. Zusammengefasst ist nun
Uxx(Uyy)−1=Uxxy−1Uy−1⊆UxUx−1xy−1⊆V xy−1
und somit sind die Gruppenoperation sowie Inversenbildung stetig.
Im weiteren Verlauf des Kapitels seien (G,S, µ) eine messbare Gruppe undρdie erweitert reellwertige Mengenfunktion vonS×SnachR,
ρ(M, N) :=µ(M∆N).
Weiters definiere man die Mengensysteme
M:={M M−1:M ∈S,0< µ(M)<+∞},
undU sei das System aller Mengen der Bauart{x∈G:ρ(xM, M)< ε}mit einemM ∈S, sodass 0< µ(M)<+∞und 0< ε <2µ(M). Dies sind in der Tat g¨unstige Bedingungen an die MengenM, da hiermit nach einem vorangegangenem Resultat (Lemma 3.4) alle Mengen ausU messbar sind.
Wir werden zeigen, dassU alle Bedingungen aus Satz 3.6 erf¨ullt.
Lemma 3.7. SeiU ={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ∈ U und A∈S mit0< µ(A). Dann enth¨alt A eine TeilmengeB ∈Smit positivem und endlichem Maß, sodass BB−1⊆U. Insbesondere enth¨alt jede Menge ausU eine Menge ausM.
Beweis.
Aufgrund derσ-Endlichkeit des Maßraumes gen¨ugt es, die Aussage f¨ur MengenA∈Smit endlichem Maß zu zeigen.
Die TransformationT(x, y) := (yx, y) aufG×Gaus Kapitel 3.1 liefert die messbare MengeT(M ×A) mit endlichem Maß. Nun l¨asst sich der Approximationssatz auf diese Menge anwenden (vergleiche [Ku], Satz 4.23): Es existiert eine MengeR⊆G×G, welche als endliche Vereinigung von Rechtecken
darstellbar ist, und
ε
4µ(A)> ρ(T(M ×A), R).
Die rechte Seite der Ungleichung ist nach Fubini als Doppelintegral darstellbar:
ρ(T(M ×A), R) = Z Z
|1T(M×A)(x, y)−1R(x, y)|dµ(x)dµ(y)≥
≥ Z
A
Z
|1M(y−1x)−1R(x, y)|dµ(x)
| {z }
=µ(yM∆Ry)=ρ(yM,Ay)
dµ(y).
Nun setze manC:={y∈G:R
|1M(y−1x)−1R(x, y)|dµ(x)≥ ε2}und verkleinere den Integrationsbereich des ¨außeren Integrals durch Schnitt mitC, was auf die Absch¨atzung
ε
4µ(A)>ε2µ(A∩C) und in weiterer Folge aufµ(A\C)> 12µ(A)>0 f¨uhrt.
Isty∈A\C, so muss nach Wahl der MengeC gelten:
ρ(yM, Ry) = Z
|1M(y−1x)−1R(x, y)|dµ(x)< ε 2.
DaRaus dem von den messbaren Rechtecken erzeugten Ring stammt, l¨asst sich der SchnittRy als disjunkte Vereinigung endlich vielerRi∈S, i= 1, . . . , ndarstellen. Nach obigen ¨Uberlegungen und mit dieser Darstellung lassen sich die bisherigen Resultate zusammenfassen durch
A\C⊆
n
[
i=1
ny∈G:ρ(yM, Ri)< ε 2
o.
Weil bereits ε2< µ(M) gilt, erweisen sich alle Mengen der Vereinigung auf der rechten Seite nach Lemma 3.4 als messbar. Wegenµ(A\C)>0 gibt es einen Indexi∈ {1, . . . , n}, sodass die messbare Menge
B˜ := (A\C)∩n
y∈G:ρ(yM, Ri)< ε 2 o
positives und als Teilmenge vonAendliches Maß hat. Nun wollen wir dieU definierende Eigenschaft nachweisen und w¨ahleny1, y2∈B˜−1:
ρ(y1y−12 M, M) =ρ(y−12 M, y−11 M)≤
≤ρ(y−12 M, Ri) +ρ(y−11 M, Ri)< ε;
hiermit ist ˜B−1B˜ ⊆U. Mitµ(A)>0 ist auchµ(A−1)>0 (Lemma 3.3 (ii)!) und wendet man die Konstruktion aufA−1an, so ist eine MengeB mit der gew¨unschten Eigenschaft gefunden.
Es gilt auch eine in gewisser Hinsicht ¨ahnliche Umkehrung:
Lemma 3.8. SeiA=M M−1∈ Mund 0< ε <2µ(M). Dann ist die MengeU ⊆G, die durch U :={x∈G:ρ(xM, M)< ε}
definiert ist, im Mengensystem U enthalten und es giltU ⊆A.
Beweis.
Offensichtlich giltU ∈ U. Wegenε <2µ(M) gilt f¨ur jedesx∈U, dassxM mitM nichtleeren Schitt hat
und damitU ⊆ {x∈G:xM∩M 6=∅}=M M−1.
Lemma 3.9. F¨ur A, B∈ Mexistiert eine MengeP ∈S mit0< µ(P)<+∞, sodass P P−1⊆A∩B.
Beweis.
SchreibeA=M M−1undB=N N−1mit M, N ∈Sund 0< µ(M), µ(N)<+∞. Durch Anwendung von Lemma 3.5 aufM undN erh¨alt man Elementex, y∈Gund eine Menge P ∈Smit positivem Maß, sodass
P x⊆M, P y⊆N.
Schlussendlich gilt f¨ur die MengeAfolgende Inklusionskette (f¨ur B genauso, ersetzexdurchy):
P P−1= (P x)(P x)−1⊆M M−1⊆A,
und hiermitP P−1⊆A∩B.
Die vorangegangenen Lemmata sind wichtige Hilfsmittel f¨ur den Beweis des folgenden Satzes zur Weil-Topologie. Um Bedingung (a), d.h.T
U∈UU ={e}, sicherzustellen, ben¨otigt man den Begriff der separierten messbaren Gruppe:
Definition 3.10(separiert). Eine messbare Gruppe (G,S, µ) heißtsepariert, falls es zu jedem Elementx∈G, x6=eeine Menge M ∈S mit 0< µ(M)<+∞gibt, sodassρ(xM, M)>0.
Satz 3.11. Sei(G,S, µ)eine separierte messbare Gruppe. Das System U erf¨ullt die Bedigungen (a)-(e) aus Satz 3.6 und somit wird T :=T(U)mit Gzu einer topologischen Gruppe, welcheU als Umgebungsbasis von ebesitzt. Diese Topologie T heißt Weil-Topologie.
Beweis.
Wir ¨uberpr¨ufen alle Bedingungen aus Satz 3.6:
(a) Klarerweise ist in allen Mengen ausU das neutrale Elementeenthalten, daρ(eM, M) = 0. Falls nun x∈Gmit x6=e, so existiert eine MengeM ∈S,0< µ(M)<+∞, sodassρ(xM, M)>0, da die messbare Gruppe separiert ist. F¨ur ein εmit 0< ε < ρ(xM, M) gilt automatisch auch ε <2µ(M) undU :={y∈G:ρ(yM, M)< ε} ∈ U, jedochx /∈U.
(b) SeienU, V ∈ U, so existieren Mengen A, B∈ MmitA⊆U undB⊆V. In dieser Situation gibt es wiederum eine MengeC∈ M, sodass C⊆A∩B; mitC=M M−1 f¨ur ein M ∈Smit positivem, endlichem Maß und 0< ε <2µ(M) ist die MengeW :={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ∈ U in C enthalten, somitW ⊆U∩V.
(c) SeiU ={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ∈ U und setzeV :={x∈G:ρ(xM, M)< ε2}. Offensichtlich ist V ein Element vonU und es gilt ferner f¨urx, y∈V:
ρ(xy−1M, M)≤ρ(y−1M, M)
| {z }
=ρ(yM,M)
+ρ(x−1M, M)
| {z }
=ρ(xM,M)
< ε
Daher istV V−1⊆U.
(d) SeiU ∈ U undx∈G, so existiert einM ∈S, sodassM M−1∈ Mund weitersM M−1⊆U. Andererseits ist mit 0< ε <2µ(M) die MengeV :={y∈G:ρ(yxM, xM)< ε} ∈ U derart, dass
V ⊆(xM)(xM)−1=xM M−1x−1⊆xU x−1 Durch abschließende Umformung ist auch (d) erf¨ullt.
(e) SeiU ={x∈G:ρ(xM, M)< ε} ∈ U unda∈U, d.h.ρ(aM, M)< ε. Es mussε <2µ(M) gelten;
zieht man auf beiden Seiten der Absch¨atzungρ(aM, M)≥0 ab, so ergibt sich 0< ε−ρ(aM, M)<2 µ(M)
| {z }
=µ(aM)
−ρ(aM, M)≤2µ(aM).
Die MengeV :={x∈G:ρ(xaM, aM)< ε−ρ(aM, M)} ist daher Element vonU und erf¨ullt die Bedingung: Ist n¨amlichx∈V, so liefert die Dreiecksungleichung f¨urρ
ρ(xaM, M)≤ρ(xaM, aM) +ρ(aM, M)<
<(ε−ρ(aM, M)) +ρ(aM, M) =ε
und die Menge{x∈G:ρ(xaM, M)< ε} entspricht via ¨Aquivalenzumformung der Menge {xa−1∈G:ρ(xM, M)< ε}=U a−1. Somit gilt f¨urx∈V, dassx∈U a−1, und hiermit die
InklusionV a⊆U.
Literatur
[E] Elstrodt, J¨urgen:Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011 [H] Halmos, Paul R.:Measure Theory, Springer-Verlag, New York, 1974
[Ka] Kaltenb¨ack, Michael:Analysis 2 f¨ur Technische Mathematik, Vorlesungsskriptum, Wien, 2012 (http://asc.tuwien.ac.at/funkana/skripten/ANA_II.pdf)
[Ku] Kusolitsch, Norbert:Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie: Eine Einf¨uhrung, Springer-Verlag, Wien, 2011
[P] Pontryagin, Lew S.:Selected Works, Volume 2: Topological Groups, Gordon and Breach Science Publishers, Montreux, 1986