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Darstellungsformen  von  Funktionen

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Academic year: 2022

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Darstellungsformen  von  Funktionen

(2)

X

Y f (x)

Abb.  1:  Konzept  einer  Funktion  f (x):  Abbildung  einer        Menge  auf  die  andere

Die Situation, dass verschiedene Größen durch eine Gleichung in Zusammenhang stehen, die nicht von der Form y = f(x)  ist, tritt sehr häufig auf. Es stellt sich die Frage, unter welchen Umständen durch eine solche Gleichung eine Funktion definiert wird, die eine Größe auf eine andere abbildet. In einem solchen Fall sagen wir, dass die Funktion durch die Gleichung implizit definiert wird.

(3)

Analytische  Darstellung:   

Analytische  Darstellung:    Implizite  Darstellung Implizite  Darstellung

Eine Funktion ist in impliziter Form gegeben, wenn die Funktionsgleichung nach keiner der beiden Variablen x und y aufgelöst ist. So ist beispielsweise

2 xy  1 = 0

die implizite Form einer linearen Funktion. Die Gleichung y2x − 2 = 0

stellt keine Funktionsgleichung y  =  f (x) dar, denn wenn diese Gleichung nach der abhängigen Variablen y aufgelöst wird, ergibt sich keine eindeutige Zuordnungsvorschrift:

y = ±

x 2

An diesem Beispiel werden wir uns wesentliche Aspekte bei der impliziten Definition einer Funktion klarmachen.

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Implizite  Darstellungsform Implizite  Darstellungsform

Abb.  2­1:   Graphische   Darstellung   der   durch  die  Gleichung  F (x, y) =       y² – x – 2 = 0  implizit  gegebenen  Funktion

x

y y² – x – 2 = 0

Durch die Gleichung y² – x – 2 = 0 ist eine Teilmenge aller Punkte der x,y-Ebene definiert, die diese Gleichung erfüllen. Beispiele sind (­2, 0),  (4, √6) oder (1,  ­√3).

(5)

Abb.  2­2:   In  der  Abbildung  der  implizit  gegebenen  Funktion  F (x, y) = y² – x – 2 = 0        werden  zwei  Bereiche  vergrößert

x y

A

B

y² – x – 2 = 0

Im Folgenden werden zwei Bereiche mit den Mittelpunkten A und B vergrößert und analysiert.

Implizite  Darstellungsform

Implizite  Darstellungsform

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A

Abb.  2­3:   Der  vergrößerte  Bereich  von  F(x, y) =   y² – x – 2 = 0       in  der  Umgebung  des  Punktes  A

Wir betrachten die Umgebung des Punktes A = (-2, 0). In dieser Dar- stellung haben wir es sicher nicht mit einer Funktion y = f(x) zu tun.

Die Kurve verläuft so, dass manchen x zwei verschiedene y-Werte zu- geordnet sind.

Implizite  Darstellungsform

Implizite  Darstellungsform

(7)

B

Abb.  2­4:   Der  vergrößerte  Bereich  von  F(x, y) =   y² – x – 2 = 0        in  der  Umgebung  des  Punktes  B

Wenn man die Vergrößerung der Umgebung des Punktes B = (4, √6) betrachtet, könnte man davon ausgehen, dass man den Graphen einer Funktion vor sich hat.

Implizite  Darstellungsform

Implizite  Darstellungsform

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Implizit definierte Funktionen und Relationen werden im Allgemeinen durch eine Gleichung vom Typ

Fx , y = 0

Beispiele:

Fx , y = x2y2 − 4 = 0 Kreis:

Fx , y = x2y22 − 2 a2x2y2 = 0 Lemniskate:

Fx , y = x2

a2y2

b2 − 1 = 0 Ellipse:

Implizite  Darstellungsform Implizite  Darstellungsform

gegeben.

(9)

Lemniskate  von  Bernoulli Lemniskate  von  Bernoulli

Jakob Bernoulli (1655-1705)

Eine Lemniskate ist die Figur, die als Symbol für Unendlichkeit und Unbegrenztheit bekannt ist. Mit dem Begriff “Lemniskate” wird meist nicht das Unendlichkeitssymbol, sondern eine geometrisch de- finierte Lemniskatenkurve bezeichnet. Die bekanntes- te dieser Kurven ist die Lemniskate von Bernoulli.

(10)

Abb.  3:   Graphische  Darstellung  einer  Lemniskate

A

B

x y

O

Die Lemniskate von Bernoulli ist eine spezielle ebene, algebraische Kurve 4. Ordnung mit den Gleichungen:

Kartesische Koordinaten:

Parametergleichung:

x2y22 = 2a2x2y2

Lemniskate  von  Bernoulli

Lemniskate  von  Bernoulli

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Implizite  Darstellung:   

Implizite  Darstellung:    Beispiel  1 Beispiel  1

x y

x0 y0

y0

Abb.  4­1:   Graphische  Darstellung  eines  Kreises  mit  dem  Radius  2

An der graphischen Darstellung erkennt man, dass die Zuordnung x   y→ nicht eindeutig ist. Durch die Gleichung sind implizit zwei Funktionen erklärt, was wir im Folgenden zeigen.

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Implizite  Darstellung:   

Implizite  Darstellung:    Beispiel  1 Beispiel  1

x y

Abb.  4­2:   Darstellung  eines  Kreises  durch  zwei  Wurzelfunktionen  g (x)  und  h (x)

← g (x)

← h (x)

gx =

4 x2 : [−2, 2] [0, 2]

(13)

Implizite  Darstellung:   

Implizite  Darstellung:    Beispiel  2 Beispiel  2

Abb.  5­1:   Graphische  Darstellung  einer  Funktion  y² = x + 2

x y

An der graphischen Darstellung erkennt man, dass die Zuordnung x   y→ nicht eindeutig ist. Durch die Gleichung sind implizit zwei Funktionen erklärt, was wir im Folgenden zeigen.

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Implizite  Darstellung:   

Implizite  Darstellung:    Beispiel  2 Beispiel  2

Abb.  5­2:   Darstellung  der  Gleichung  y² = x + 2  durch  zwei  Wurzelfunktionen  g (x)  und  h (x)

gx =

x 2 : [2, ) [ 0, )

h x

x 2 : −2, , 0

g (x) →

h (x) →

x y

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Explizite   Darstellung Explizite   Darstellung

Funktionen werden nach Möglichkeit explizit dargestellt, das heißt, die Glieder mit und ohne Funktionsvariablen stehen auf der einen Seite der Funktionsgleichung und der Funktionswert auf der anderen Seite. Man spricht dann von explizit definierten Funktionen.

y steht isoliert auf einer Seite der Funktionsgleichung y = fx

Beispiele:

y = x3  3 x − 7 y = 3 sin x  2 y = x e x

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Explizite  Darstellung:   

Explizite  Darstellung:    Aufgabe 1 Aufgabe 1

Wandeln Sie, wenn möglich, die folgenden implizit definierten Funktionen oder Relationen in eine ex- plizite Darstellung um

a ) Fx , y = 2 x  3 y − 6 = 0

b ) x4 = − x2⋅ln

y

c ) x2 − 6 y  8 = 0 d ) ex = x y

g ) ln y = x2

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Explizite  Darstellung:   

Explizite  Darstellung:    Lösung  1 Lösung  1

a ) y = − 2

3 x  2 b ) y = e−2 x2

x2 = ln

y x2 = 1

2 ln y

c ) y = x2

6  4

3 d ) y = ex

x , x ≠ 0 e ) y = ex2

−2 x2 = ln yy = e−2 x2

Referenzen

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