Dr. Robert Resel, GRg Wien 22 Heustadelgasse L ÖSUNGSVORSCHLAGZU A UFGABE 4 DER 48.IMO(26.7.2007)

L ÖSUNGSVORSCHLAG ZU A UFGABE 4 DER 48. IMO (26. 7. 2007) Dr. Robert Resel, GRg Wien 22 Heustadelgasse

Aufgabenstellung:

Beweisvariante:

Wir benutzen den (hier ohne Beweis angegebenen) "Südpolsatz" und wählen für die Eckpunkte des Dreiecks ∆ABC die Darstellungen C(0|0), A(2b|0) und B(2λ(1–k²)|4λk)¹, wobei hier o.B.d.A. b>0, k>0 sowie λ>0 vorausgesetzt werden darf. Demnach ist R einfach der Schnittpunkt von w_γ mit m_AB:

( ) ( ( ) ) [ ( ) ] ^{6 4 4} ( ^{4 4 7 ( ) 4} ) ^{4 4 4 8}

2 2 2

2 k 1

b

2 2 2

2 2 2 2

AB 2

AB 2

k 4 1 k b

ky 2 x 1 k b : m k 2 k 1 b M k ,

2 1 k BA b

+ λ

−

λ

−

− λ

−

= λ

−

⋅

− λ +

⇒ λ

− λ

 +

 



λ

−

− λ +

{ } ^{R :} [ ^b ( ^{k 1} ) ] ^{x b} ( ^{k 1} ) ^{x b} ( ^{k 1} ) ^{y bk k} ( ^{k 1} )

m

w

_γ

∩

_AB

= − λ

²

+ =

²

− λ

^{2 2}

+

²

⇒

_R

= + λ

²

+ ⇒

_R

= + λ

²

+

Für L bzw. Q ergibt sich automatisch L(b|0) sowie Q(b|bk), was für den Flächeninhalt µ(∆RQL) demnach

( ^RQL )

2

^bk ( ^k

²

¹ )

1

⋅ ⋅ λ ⋅ +

=

∆ µ

impliziert.

P ist der Schnittpunkt von w_γ mit mBC:

( ) ( ( ) ) ( ) ⁶ ( ^{4 4 4 ( ) 7} ) ^{4 4 4 8}

2 2

2k 1

2 2 2

2 2 2

BC 2

BC 2

k 4 k 1 ky 2 x k 1 : m k 2 k 1 M k , 2

k CB 1

+ λ

λ +

− λ

= λ +

⋅

− λ

⇒ λ

−

 λ



 



 λ

− λ

{ } ^{P :} ( ^{k 1} ) ^x ( ^{k 1} ) ^x ( ^{k 1} ) ^{y k} ( ^{k 1} )

m

w

_γ

∩

_BC

= λ

²

+ = λ

^{2 2}

+

²

⇒

_P

= λ

²

+ ⇒

_P

= λ

²

+

Für den Flächeninhalt µ(∆PRK) gilt dann

^µ ( ^∆ ) ^{= ⋅} ( ) ^{= ⋅} _ ^ _λ ⁻ ₍ ^λ ₋

2

_{) } ^{ =}

^bλ2k

^⋅ _ ^{ −} ₋

²

_ ^

2

2 1 2

1

k 1 k

k 2 det 1

k 1 k bk

k 2 det b

PK , PR det

PRK

, ergo

( ) ( )

2

(

²

)

k 2 b 2 2

k

b

1 k 2 k 1 k

PRK = ⋅ − + = ⋅ +

∆

µ

^{λ λ} , was dem obigen Resultat für µ(∆RQL) gleicht, qu. e. d.

Bemerkung: Aus den durch Schnittoperationen berechneten Darstellungen von P, Q und R sowie den für die Berechnung von µ(∆PRK) vereinfachten Vektoren

PR

und

PK

lassen sich über die eigentliche Aufgabenstellung hinausgehend überdies die folgenden beiden Zusammenhänge [wobei sich die durch Einsetzen von 2) in 1) resultierende Gleichung

CP : CQ = CB : BA

auch unmittelbar aus dem Strahlensatz ergibt!] sehr deutlich erkennen:

1)

CP : PR = CB : BA

2)

CQ = PR

___________________________________________________________________________________________

1: Die Idee hinter dieser Darstellung ist die Folgende: Da die Seite CA auf der x-Achse liegt, schließt die Winkelsymmetrale w_γ mit der x-Achse den Winkel ₂^γ ein, für den mit dem Ansatz w_γ: y = kx dann

tan

₂^γ

= k

gilt. Wegen

2 2

2

tan 1

tan

tan

2 _γ

γ

=

−

γ

ergibt sich für B die obige Darstellung.