Anregung und Begleitung von Lernprozessen

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Anregung und Begleitung von Lernprozessen

Lerntheorie

Konstruktivismus – Instruktion

Lern- Aneignungs- Konstruktionsphase

Ausführungs- Anwendungs- Rekonstruktionsphase Motivation

Didaktische Konzeption Didaktik der Kernideen Aufgaben – Aufträge Methodische Anregungen

Ich – Du – Wir

(2)

Christoph Hammer ISB Soltau, 31.3.2006

Anregung und Begleitung von Lernprozessen

Umwege

Rolle von Fehlern Dokumentation

Bewertung – Rückmeldung Üben

Routinisieren

Produktives Üben

Martin

Wagenschein

Fazit

Fachsystematik – Didaktisches Konzept Kompetenzorientierung – Defizitperspektive Sprache des Verstehens – Sprache des

Verstandenen

(3)

Die Didaktik der Kernideen

Nach Gallin/Ruf Kernideen

Beispiel:

T-Shirt bedrucken

Beispiel:

Rechtschreibung

Beispiel:

Multiplikation

Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik 2 Bände

(4)

Kernideen zur Multiplikation

Ausgangspunkt Klassische Einführung: Schreibweise

- Summe mit lauter gleichen Summanden - Problem: Vermischungsgefahr

- Äquivalenzumformungen

Mögliche Kernidee

Maßstäbliche Vergrößerung – Verkleinerung

- „Neue Welt“

(5)

Multiplikation vertikal vernetzt

Grundschule Einmaleins-Winkel, Malkreuz

- unterschiedliche Denkweisen - Distributivgesetz

- schriftliche Multiplikation

Sekundarstufe Rechtecksflächen

- Problem Flächeninhalte

- Multiplikation ganzer Zahlen - binomische Formeln

- quadratische Ergänzung

- Strahlensatz

(6)

4 1200 240 20 1460

7200 1440 120 8760

(7)

10 100 -20 80

-1 -10 ? -8

90 -18 72

(8)

c

d

d b c

b d

a c

a )

d c

( ) b a

( + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

c

a ⋅ b ⋅ c d

a ⋅ b ⋅ d

(9)

a

b

a 2 a ⋅ b

b

a ⋅ b ²

(10)

Aufgabenkultur

Probleme statt Aufgaben

Argumente statt Algorithmen Aufträge statt Segmentierung

(11)

Braunschweiger

Zeitung 19.5.1987

„150 Menschen mehr in jeder Minute “

Frage:

Wann lebten Adam und Eva?

exponentiell

x y

Steigung!

linear

x y

150 Menschen pro Minute

1911

(12)

Der Quader wurde aus vier Bausteinen, von denen jeder aus vier

Würfeln besteht, gebaut.

Welcher der abgebildeten Bausteine ist der schwarze?

Finde weitere gehaltvolle Aufgaben!

(13)

Bastle einen Tetraeder

Gregor Wieland, Fribourg CH

Tetraeder

Wie erhält man das Netz eines Tetraeders mit

doppeltem Volumen?

(14)

Goldgräber

9. Klasse

Goldgräber B. Lucky hat das Anrecht auf einen Claim gekauft. Er bekam sein Schürfrecht in Form eines 200m langen Seils.

Bernhard Sauermann MBG Germering

Kernidee:

Quadratische Funktionen braucht man bei Extremwertauf- gaben

Er darf sich seinen Claim am Fluss rechteckig mit dem Seil abstecken. Er möchte natürlich möglichst viel

Grund haben.

Wie soll er das Seil legen?

Fluss

(15)

Goldgräber

Einstieg

Bewerte den Vorschlag, das Seil 10m – 180m – 10m zu legen! (Skizze!) Mache mindestens noch zwei andere Versuche!

Bernhard Sauermann MBG Germering

Kern der Sache

Gib möglichst viele Möglichkeiten an, so dass du aus den Ergebnissen die optimale Lage erkennen kannst!

Wie viele Versuche brauchst du?

Fällt an den Ergebnissen etwas auf?

Rampe

Könntest du den Fall auch lösen, wenn das Seil 225m lang wäre?

Wie bekommt man allgemein die beste Lösung?

200m: 50m-100m-50m 225m: 56,25m-112,5m-56,25m

(16)

Aufgabe - Auftrag

Typische

Lehrbuchaufgabe

Zeichne zwei Punkte A und B mit = 6 cm. Bestimme die Menge der Punkte P, für die gleichzeitig gilt:

= 3 cm und = 5 cm;

Geschichte

Idee:

Franz Anneser, Dingolfing

Stelle dir vor, du bist Rettungsflieger und sollst mit deinem Hubschrauber einen Verletzten abholen.

Leider sind die Angaben über den Aufenthaltsort des Verletzten relativ ungenau:

Ein Spaziergänger hat sich ein Bein gebrochen. Er gibt per Handy durch, dass er Sicht auf zwei bestimmte Kirchtürme hat und glaubt, vom einen etwa 3 km und vom anderen etwa 5 km entfernt zu sein.

AB

PA PB

(17)

Variation - Rampe

Umkehrung Du hast in einem Park einen Gegenstand versteckt. Zeichne einen Plan des Parks und gib Hinweise wie der Gegenstand gefunden werden kann.

Deine Hinweise müssen eindeutig sein.

Mache es dem Suchenden so schwer wie möglich!

Für Spezialisten

Idee: A. Beutelspacher Wozu braucht man bei GPS vier Satelliten?

(18)

Von einem Würfel kann man gleichzeitig nur drei

Seitenflächen sehen. Welches ist die kleinste, welches die größte Augensumme, die man auf einen Blick

erfassen kann?

Einstieg

Augensummen

Begründe, weshalb die Augensumme 8 nicht auf einen Blick erfasst werden kann.

Kern der Sache

Welche Summen sind auf einen Blick sichtbar?

Rampe

mathbu.ch 7, Klett und Balmer Zug, ISBN 3-264-83384-0

(19)

Singuläre Dimension

Reguläre Dimension

Zwei Dimensionen

Frage Lösung

Ich Wir Du

ICH mache das so!

Wie machst DU es?

Das machen WIR ab.

(20)

Dialogisches Lernen

Kern- idee

Lernta- gebuch

Auftrag Normen

Rück- meldung

Kreislauf des Dialogischen Lernens

(21)

Aus Fehlern lernt man nicht

Erfahrungen mit HA- und Prüfungsbesprechungen

(A- und B- Probe; Konfrontation mit eigenem Versagen)

Trotz Prävention wiederholen sich typische Fehler Demotivierende Wirkung der Defizitorientierung

80% Fehler mit Regelhaftigkeit

Gerster, 1982

(22)

(23)

Fehler mit Regelhaftigkeit

erlaubt nicht erlaubt

b a b

a⋅ = ⋅ a +b = a + b

(

^a^⋅^b

)

² ⁼ ^a² ^⋅^b²

(

^a⁺^b

)

² ⁼ ^a² ⁺^b²

(

^a ⁺^b

) ( ) ( )

⁼ ⁻^a ⁺ ⁻^b

− ⁻

(

^a^⋅^b

) ( ) ( )

⁼ ⁻^a ^⋅ ⁻^b

(

^b ^c

)

^a ^b ^a ^c

a⋅ + = ⋅ + ⋅ ^a^⋅

(

^b^⋅^c

) (

⁼ ^a^⋅^b

) (

^⋅ ^a^⋅^c

) (

^b ^c

)

^a ^b ^a ^c

a⋅ − = ⋅ − ⋅ _a^b⁻^c ₌ _a^b ₋_a^c

(24)

Fehlerursachen ^(Auswahl)

Schlamperei; Defizite; Defekte

Mathematikschädigung (Selbstkonzept)

Didaktische Probleme Wunschdenken

Ängstlichkeit („Formelsucht“)

Malle, 1993

(25)

Probleme mit Flächen (Volumina)

Erste Größe, die (im Alltag) nicht direkt gemessen wird.

Wie viel Platz braucht der Mensch?

Kernidee

Verbindung mit Multiplikation

(26)

Probleme mit Variablenbegriff

Unterschied Variable - Benennung 3 P + 4 K = 7 B

Günter Malle

Gleichartige – ungleichartige Terme a²+ b² = c² a + b = c

Variable sind Boxen

Kernidee

(27)

Fehler gehören zum Prozess

Lerntheorie: gemäßigter Konstruktivismus

Kinder denken anders

Selter/Spiegel, 2003

Fehler als Lerngelegenheit ....

BLK-Expertise

Kompetenzorientierung (Dialogisches Lernen) ....setzt offene Lernumgebungen voraus

(28)

Kinder denken anders

Der Apotheker füllt 1,750 kg Salmiakpastillen in Tüten zu je 50 g. Wie viele Tüten erhält er?

1,750 kg : 50 g 2 · 7 = 14 1 · 1 = 1 2 · 10 = 20

35

Annika

ISBN 3-7800-5238-5

(29)

Kinder denken anders….

….. als wir Erwachsenen denken.

….. als wir es möchten.

….. als andere Kinder.

….. als sie selbst.

(30)

Wir lernen aus

^(Schüler-)

Fehlern

Fehleranalyse

Diagnose („Markerpunkte“)

zählendes Rechnen; Zahlbegriff Flächen- Raumvorstellung

Funktionsbegriff

Rechenstörungen ISBN 3-403-

02716-3

Tests - Vergleichsarbeiten

Bildungs- standards

Vorkenntnisermittlung - Fehlvorstellungen

(31)

Leitideen zur Bewertung

Beate Sunder- mann, Christoph Selter; 2006

kompetenzorientiert beobachten zieltransparent herausfordern differenziert feststellen

angemessen beurteilen lernförderlich rückmelden

(32)

Üben

Training Automatisieren

Routine

Abrufbarkeit (Repertoire): Ergebnisse, Wissen, Strategien

Mathematisieren

Produktives Üben Argumentieren Begründen

Darstellen

M. Schmassmann, E. Ch. Wittmann u. a.

(33)

ANNA - Zahlen

Welche Aufgabe passt nicht in die Reihe?

7447 6336 4114 8558

- 4774 - 3663 - 1414 - 5885

2673 2673 2700 2673

Anna Susanne Steinweg

Untersuche weitere Beispiele. Welche Ergebnisse sind möglich?

Dividiere die Ergebnisse durch 891.

(34)

Lösung, operativer Beweis

Anna Susanne

Steinweg

T H Z E

(35)

Lösung, operativer Beweis

Anna Susanne Steinweg

Verschiebung um 1: 1001 – 110 = 891

T H Z E

+1000 - 100

+1 - 10

Allgemeiner: Vielfache von 891

(36)

Schreibe in die unterste Reihe drei selbst gewählte Zahlen und berechne den Deckstein.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Zahl im Deckstein und der Mittelzahl der untersten Reihe?

Zusammenstellung nach Anneser/Matz Dingolfing/Fürth

(37)

Ergänze die Zahlenmauer. Was stellst du fest?

Ergänze die Zahlenmauer durch weitere Schichten.

Gilt deine Feststellung auch für Mauern mit 5, 6, 7, … Grundsteinen?

1 1

2 1

3 1

6 1

1 1

2 1

3 1

4 1

(38)

Lösung

1 1

2 1

3 1

6 1

1

2 1

3 1

6 1

3 1 2

1

4 1

4 1 12

1 12

1

(39)

36 3 6

Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

Wie gehst du vor?

(40)

9

²

2

²

7

²

Ergänze die Zahlenmauer.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Deckstein und Mittelstein der Grundschicht?

(a+b)

²

a

²

b

²

(41)

9

²

=81

2

²

=4 7

²

=49

Lösung: Mittelstein Grundschicht (81 – 4 – 49):2

(a+b)

²

a

²

a·b b

²

a² + a·b b² + a·b

14=2·7

18 63

(42)

Finde weitere solche Beispiele.

Gibt es eine Gesetzmäßigkeit?

18 2 8

(43)

Praktische Vorteile des produktiven Übens

Die Kinder können sich innerhalb eines Aufgaben- Musters selbst eine Fülle von Aufgaben stellen.

Sie können Muster in den Ergebnissen entdecken und beschreiben.

Es entstehen Anlässe zum Argumentieren.

Störungen der Muster weisen auf Fehler hin.

Die Kinder können Aufgaben-Muster selbstständig variieren.

(44)

Kontakt

ch.hammer@isb.bayern.de 089-2170-2164

http://www.isb.bayern.de http://www.sinus-transfer.de

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Anregung und Begleitung von Lernprozessen

Anregung und Begleitung von Lernprozessen

Anregung und Begleitung von Lernprozessen

Die Didaktik der Kernideen

Kernideen zur Multiplikation

- Summe mit lauter gleichen Summanden - Problem: Vermischungsgefahr

- Äquivalenzumformungen

- „Neue Welt“

Multiplikation vertikal vernetzt

- unterschiedliche Denkweisen - Distributivgesetz

- schriftliche Multiplikation

- Problem Flächeninhalte

- Multiplikation ganzer Zahlen - binomische Formeln

- quadratische Ergänzung

- Strahlensatz

4 1200 240 20 1460

7200 1440 120 8760

10 100 -20 80

-1 -10 ? -8

90 -18 72

c

d

d b c

b d

a c

a )

d c

( ) b a

( + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

c

a ⋅ b ⋅ c d

a ⋅ b ⋅ d

a

b

a 2 a ⋅ b

b

a ⋅ b 2

Aufgabenkultur

„150 Menschen mehr in jeder Minute “

Wann lebten Adam und Eva?

Der Quader wurde aus vier Bausteinen, von denen jeder aus vier

Würfeln besteht, gebaut.

Welcher der abgebildeten Bausteine ist der schwarze?

Finde weitere gehaltvolle Aufgaben!

Bastle einen Tetraeder

Tetraeder

Wie erhält man das Netz eines Tetraeders mit

doppeltem Volumen?

Goldgräber

Goldgräber B. Lucky hat das Anrecht auf einen Claim gekauft. Er bekam sein Schürfrecht in Form eines 200m langen Seils.

Er darf sich seinen Claim am Fluss rechteckig mit dem Seil abstecken. Er möchte natürlich möglichst viel

Grund haben.

Wie soll er das Seil legen?

Goldgräber

Bewerte den Vorschlag, das Seil 10m – 180m – 10m zu legen! (Skizze!) Mache mindestens noch zwei andere Versuche!

Gib möglichst viele Möglichkeiten an, so dass du aus den Ergebnissen die optimale Lage erkennen kannst!

Wie viele Versuche brauchst du?

Fällt an den Ergebnissen etwas auf?

Könntest du den Fall auch lösen, wenn das Seil 225m lang wäre?

Wie bekommt man allgemein die beste Lösung?

Aufgabe - Auftrag

Variation - Rampe

Von einem Würfel kann man gleichzeitig nur drei

Seitenflächen sehen. Welches ist die kleinste, welches die größte Augensumme, die man auf einen Blick

erfassen kann?

Augensummen

Begründe, weshalb die Augensumme 8 nicht auf einen Blick erfasst werden kann.

Welche Summen sind auf einen Blick sichtbar?

Zwei Dimensionen

Dialogisches Lernen

Aus Fehlern lernt man nicht

Fehler mit Regelhaftigkeit

(

)

(

)

(

) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

a ⋅ b ²

Fehlerursachen ^(Auswahl)