Munich Personal RePEc Archive
Theorem of existence of ruptures in the probability scale
Harin, Alexander
- ,
8 February 2010
Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/20593/
MPRA Paper No. 20593, posted 09 Feb 2010 10:28 UTC
1
Теоремаосуществованииразрывоввшкалевероятностей АлександрХарин
Московскийфизико-техническийинститут СовременнаяГуманитарнаяАкадемия
В статье доказаны теоремы о существовании разрывов у границконечныхинтерваловиуграницшкалывероятностей.
Содержание
Введение………. 1 Общаясхемадоказательства ……… 2 1. Предварительныезамечания………. 3
1.1. Общиеусловия, допущенияиобозначения
1.2. Максимальновозможнаявеличинацентральногомомента дляограниченногоинтервала
2. Общаятеоремаосуществованииразрывов ……… 4 2.1. Общаялеммаостремлениикнулюцентральныхмоментов 2.2. Общаятеоремаосуществовании разрывов
дляматематическогоожидания 3. Теоремаосуществованииразрывов
вшкалевероятностей………. 5 3.1. Общиезамечания
3.2. Леммаостремлениикнулюцентральныхмоментов плотностиоценкивероятности
3.3. Теоремаосуществованииразрывов дляоценкивероятности
3.4. Теоремаосуществованииразрывов вшкалевероятностей
4. Примерразрывоввшкалевероятностей………... 6 4.1. Условия
4.2. Результаты 4.3. Вывод
5. Применениятеоремы. Экономика. Прогнозирование…… 7 Заключение……… 7 Литература……… 7 ПриложенияП1-П5 ………... 8
Введение
В настоящей статье, в развитие Harin (2009), доказываются простые, но принципиальные теоремы о существовании разрывов у границ конечных интерваловиуграницшкалывероятностей.
2
Общаяупрощеннаясхемадоказательства Предварительноезамечание
Максимально возможная величина конечного центрального момента E(X-M)n для конечного интервала [A, B] не превышает соответствующей конечнойстепени n величины (B-A) этогоинтервала, т.е. конечна
∞
<
−
=
−
≤
−
≡
−
∫ ∫
B nA n B
A
n
n x M f x dx B A f x dx B A
M X
E( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( )
| .
Общаялемма
Если математическое ожидание M стремится к границе A конечного интервала [A, B], токонечныецентральныемоментыстремятсяк 0, вт.ч.
) 0 (
) 2(
) (
| ) (
| ⎯⎯ →⎯
−
× −
−
≤
− n n M→A
A B
A A M
B M
X
E .
Общаятеорема
Если, на конечном диапазоне, какой-либо конечный центральный момент не может приближаться к нулю ближе, чем на ненулевую величину r1>0, то математическое ожидание тоже не может приближаться к границе этогодиапазонаближе, чемнаненулевуювеличину r2>0, вт.ч.
) (
) 2(
) (
| ) (
|
0 1
A B
A A M
B M
X E
r n n
−
× −
−
≤
−
≤
< ⇒
⇒ ( )
) (
0 2 2 1 1 M A
A B
r r n ≤ −
≡ −
< − .
Другими словами, если, для функции, заданной на конечном диапазоне, существует ненулевой разрыв (rupture) r1>0 между ее конечным центральным моментом и нулем, то между ее математическим ожиданием и границамидиапазонатожесуществуютненулевыеразрывы r2>0.
Теоремадляоценкивероятности
Если на диапазоне [0, 1] для оценки вероятности, частоты F≡M существует ненулевой разрыв r1>0 между еедисперсией инулем, то между F играницамидиапазонатожесуществуютненулевыеразрывы r2>0, вт.ч.
F r M
r ≡ ≤ =
< 2
0 2 1 .
Теоремадлявероятности
Если вероятность P является пределом, к которому стремится оценка вероятности, частота F при стремлении количества испытаний K к бесконечности, и существуют ненулевые разрывы r2>0 между F и границами шкалы вероятностей, то между P и границами шкалы вероятностейсуществуюттакиежененулевыеразрывы r2>0, вт.ч.
P
F⎯K⎯ →→⎯∞ и 0<r2≤F ⇒
⇒ 0<r2 ≤P.
3
1. Предварительныезамечания
1.1. Общиеусловия, допущенияиобозначения
Пустьдалее, наинтервале X=[A, B] : 0<(B-A)<∞, определены: f(x) : для x<A и x>B справедливо f(x)≡0 идлялюбой F(x)
∫
∫
=∞
∞
−
B
A
dx x f x F dx x f x
F( ) ( ) ( ) ( ) , адля A≤x≤B справедливо f(x)≥0;
интеграл
0 )
( = 1≠
∫
B f x dx ConstA
;
начальныймоментпервогопорядка, математическоеожидание M
dx x Const xf
EX
B
A
∫
≡= 1 ( )
1
;
и, для n : 1<n<∞, центральныймомент n-гопорядка
∫
−=
− B
A
n
n x M f x dx
Const M
X
E 1 ( ) ( )
) (
1
.
Безограничения общности, f(x) можно нормировать так, что Const1=1.
В основном тексте статьи и в приложениях записи выполняются в общей нормировке. В общей схеме доказательства, для простоты и наглядности, записи выполнены внормировке на 1. В приложении активно используется параметр m≡(M-A)/(B-A). Очевидно, что 0≤m≤1.
1.2. Максимальновозможнаявеличинацентральногомомента дляограниченногоинтервала
Максимально возможную величину центрального момента можно оценить, исходяизопределения
n B
A n
B
A
n B
A
n n
A B dx x f A Const B
dx x f M Const x
dx x f M Const x
M X E
) ( ) ( ) 1 (
) (
| ) (
1 |
| ) ( ) 1 (
|
| ) (
|
1
1 1
−
=
−
≤
≤
−
≤
−
≡
−
∫
∫
∫
Более точную оценку (см. П1) дает имеющая максимально возможную величину центрального момента функция, сконцентрированная на краях интервала, f(x)=CAδ(x-A)+CBδ(x-B) : CA+CB=1. Коэффициенты CA и CB можновыразитьчерез M как CA=(B-M)/(B-A) и CB=(M-A)/(B-A) и
) )
( )
((
) ) (
( B A
A M M
A B B
M M B
A M
X E
Max n n n
−
− −
− +
− −
=
− .
Черезнееполучаемдля n=2 очевидныймаксимумпри Mmax=(B-A)/2
2
2 )
( 2 ) ) (
( B A
M X E
Max − = − ,
адля n=2k>>1 - максимумыпри Mmax≈A+(B-A)/2n и Mmax≈B-(B-A)/2n n
A B M e
X E Max
n n
2 ) ( ) 1 ) (
( − ≈ − .
4
2. Общаятеоремаосуществованииразрывов
2.1. Общаялеммаостремлениикнулюцентральныхмоментов
Если, для f(x), определенной в разделе 1.1., M≡E(X) стремится к A илик B, то, для 1<n<∞, E(X-M)n стремитсяк нулю.
Доказательство (подробносм. П2): Для MÆA
) (
) ( ) 2 )(
)( ) ( ) ((
) )(
)( ) (
) ((
| ) (
|
1 1
1
1 1
A M A A B
B
M B A A M
B A
B
A B
M B A M M
B A
M M
X E
n n
n
n n
n
−
−
− ≤
−
− − +
−
≤
− ≤
−
− − +
−
≤
−
−
−
−
−
−
) 0 (
) 2(
) (
| ) (
| ⎯⎯ →⎯
−
× −
−
≤
− n n M→A
A B
A A M
B M
X
E .
Таким образом, приконечных (B-A) и n ипри M, стремящемсяк A, т.е. при (M-A), стремящемсяк нулю, E(X-M)n тоже стремитсяк нулю. Для MÆB рассмотрениеполностьюаналогичновышеприведенному.
Леммадоказана.
Замечание. Можно (см. П2) получить более точную оценкусходимости кнулюцентральныхмоментов, вт.ч. для MÆA
0 )
(
| ) (
| ⎯⎯ →⎯
−
− −
≤
− n n M→A
A B
A A M
B M
X E
2.2. Общаятеоремаосуществованииразрывов дляматематическогоожидания
Если, для f(x), определеннойвразделе 1.1., существуют n : 1<n<∞, и r1>0 : |E(X-M)n|≥r1>0, то существует r2>0 : A<(A+r2)≤E(X)≤(B-r2)<B.
Доказательство (подробносм. П3): Излеммы, для MÆA ) (
) ( ) 2 (
) 2(
) (
| ) (
|
0 1 B A 1 M A
A B
A A M
B M
X E
r n n = − n −
−
× −
−
≤
−
≤
< −
) ) (
(
0 2 1 1 M A
A B
r
n ≤ −
< − −
1 1 2 ≡ 2( − )n−
A B r r
Для MÆB рассмотрениеполностьюаналогичновышеприведенному. Поскольку (B-A) и n – конечны, а r1>0, токонечны ибольше нуля - как (M-A)≥r2>0 таки (B-M)≥r2>0.
Теоремадоказана.
Таким образом, если, на конечном диапазоне, конечный центральный момент не может приближаться к нулю ближе, чем на ненулевую величину r1>0, то математическое ожидание тоже не может приближаться к границе этогодиапазонаближе, чемнаненулевуювеличину r2>0.
В более общем виде: Если для функции, определенной на конечном интервале, существует ненулевой разрыв (rupture), запрещенная зона r1>0 между возможными значениями какого-либо из ее конечных центральных моментов и нулем, то между возможными значениями математического ожидания этой функции и любой из границ интервала тоже существуют ненулевыеразрывы, запрещенныезоны r2>0.
5
3. Теоремаосуществованииразрывоввшкалевероятностей 3.1. Общиезамечания
Пусть, для серии испытанийс количеством испытаний K, вт.ч. при K, стремящемся к бесконечности KÆ∞, плотность f(x) оценки вероятности, частоты F : F≡M≡E(X), некоторого события имеет свойства, заданные в разделе 1.1., вчастности, определенана [0, 1] и Const1=1.
3.2. Леммаостремлениикнулюцентральныхмоментов плотностиоценкивероятности
Если для плотности f(x), определенной в разделе 3.1., E(X)Æ0 или E(X)Æ1, то, для 1<n<∞, E(X-M)nÆ0.
Доказательство: Поскольку условия данной леммы удовлетворяют условиям леммы раздела 2.1, то утверждение данной леммы так же справедливо, какиутверждениелеммыраздела 2.1. Леммадоказана.
3.3. Теоремаосуществованииразрывовдляоценкивероятности
Еслидля плотности f(x), определенной в разделе 3.1., существуют n : 1<n<∞, и r1>0 : E(X-M)n≥r1>0, то для оценки вероятности, частоты F≡M≡E(X) существует r2>0 : 0<r2≤F≡M≡E(X)≤(1-r2)<1.
Доказательство: Поскольку условия данной теоремы удовлетворяют условиям теоремы раздела 2.2, то утверждение данной теоремы так же справедливо, какиутверждениетеоремыраздела 2.2. Теоремадоказана.
3.4. Теоремаосуществованииразрывов вшкалевероятностей
Если на интервале [0,1] определена P : при стремлении количества испытаний K кбесконечности, оценка вероятности, частота F стремится к P, т.е. P=LimF, между оценкой вероятности и любой из границ интервала существуют ненулевые разрывы 0<r2≤F≤(1-r2)<1, то такие же ненулевые разрывы 0<r2≤P≤(1-r2)<1 существуютмежду P илюбойизграницинтервала.
Доказательство (подробнеесм. П4): Посколькуоперациявзятияпредела сохраняет нестрогие неравенства, то, при P=LimF, из r2≤F≤(1-r2) следует r2≤P≤(1-r2). Теоремадоказана.
Поскольку вероятность удовлетворяет условиям, наложенным на P, то теоремасправедливаидлявероятности.
Теоремуможносформулироватьидлянуждпрактическихприложений: Если, длясериииспытанийсколичествомиспытаний K, стремящимсяк бесконечности KÆ∞, иоценкойвероятности, частотой F, стремящейся при этом к вероятности P, т.е. P=LimF, существует разрыв r1>0 между возможными значениями дисперсии D оценкивероятности F инулем, тоу границ шкалы вероятностей тоже существуют разрывы r2>0, как для возможных значений оценки вероятности F, так и для возможных значений вероятности P.
Следуетподчеркнуть, чтоэтиразрывыуграницшкалывероятностейдля F и для P существуют только тогда, когда имеет место ненулевой разрыв между возможными значениями дисперсии D (или иного центрального момента) оценкивероятности F инулем.
6
4. Примерразрывоввшкалевероятностей Условия
Простейший пример подобных разрывов – стрельба в мишень в одномерномприближении (подробнеесм. П5):
Пусть размер мишени равен 2L>0, а разброс попаданий, при точном прицеливании, подчиняется нормальному закону с дисперсией σ2. Тогда максимальная вероятность попадания в мишень Pin_Max и минимальная вероятностьпромаха Pout_min=1-Pin_Max равны (см., напр., Прохоров 1988):
Результаты
При σ=0 имеем Pin_Max=1 и Pout_min=0, то есть разрывов нет, то есть r2=1-Pin_Max=Pout_min=0, .
При L=3σ имеем 0≤Pin≤Pin_Max=0,997<1 и 0<0,003=Pout_min≤Pout≤1. При этом, разрывы r2вшкалевероятностейдляпопаданийипромаховсоставляют r2=0,003>0.
При L=2σ имеем 0≤Pin≤Pin_Max=0,95<1 и 0<0,05=Pout_min≤Pout≤1. При этом, разрывы r2вшкалевероятностейдляпопаданийипромаховсоставляют r2=0,05>0.
При L=σ имеем 0≤Pin≤Pin_Max=0,68<1 и 0<0,32=Pout_min≤Pout≤1. При этом, разрывы r2вшкалевероятностейдляпопаданийипромаховсоставляют r2=0,32>0.
Вывод Такимобразом:
Принулевой σ=0 - разрывовнет (r2=0).
Приненулевой σ>0:
- появляется ненулевой разрыв r2>0 между возможными значениямивероятностипопадания 0≤Pin≤Pin_Max=1-r2<1 иединицей;
- появляетсятакойжененулевойразрыв r2>0 междувозможными значениямивероятностипромаха 0<r2=Pout_min≤Pout≤1 инулем.
7
5. Применениятеоремы. Экономика. Прогнозирование
Возможность существования разрывов в шкале вероятностей должна проявляться и проявляется в реальности, в т.ч. в экономике и прогнозировании. Широко известен целый ряд парадоксов теории полезности, в т.ч. парадокс Алле, «премия за риск», преувеличение малых и преуменьшение больших вероятностей, «парадокс четырех областей». Как отметили Kahneman и Thaler (2006) эти парадоксы до сих пор не решены современной экономической теорией. Существуют проблемы точности прогнозов, нагляднопроявившиесявходетекущегокризиса.
Использование теоремы о существовании разрывов в шкале вероятностейпозволяетполучитьиобосноватьрешения этихпарадоксов (см., напр., Харин 2007 и 2009), а также корректирующую формулу прогнозирования (см., напр., Харин 2008).
Заключение
В статье доказана общая возможность, при определенных условиях, существования разрывов в шкале возможных значений математических ожиданий величин, определенных на конечных интервалах. Доказана также возможность, при определенных условиях, существования разрывов в шкале вероятностей, какдляоценоквероятности, такидлявероятности.
Следует заметить, что, несмотря на очевидность и элементарность теоремы, инато, чтонекоторыеизпростыхрасчетовиоценок, приведенныхв статье, могли публиковаться ранее, напр., в учебниках, теорема в целом является новой и полезной. Так, теорема позволяет получить и обосновать решения рядаизвестныхпарадоксовэкономической теории (см., напр., Харин 2007 и 2009) иновыерезультатывпрогнозировании (см., напр., Харин 2008).
Литература
Harin, A. (2009) “Ruptures in the probability scale? Calculation of ruptures’
dimensions” MPRA, 19348.
Kahneman, D. and Thaler, R. (2006) “Anomalies: Utility Maximization and Experienced Utility” Journal of Economic Perspectives, 20, #1, 221-234.
Прохоров, Ю.В. ред. (1988) “Математический энциклопедический словарь” М., Советскаяэнциклопедия, 1988.
Харин, А.А. (2009) “Учет краевых эффектов шумов – новыйпуть крешению проблем теории полезности?” Первый Российский экономический конгресс (РЭК-2009).
Харин, А.А. (2008) “К разработке общей формулы прогнозирования” Труды 51-й научной конференции МФТИ – 2008 “Современные проблемы фундаментальныхиприкладныхнаук”.
Харин, А.А. (2007) “Принцип неопределенного будущего, примеры его применения в экономической теории, возможности его применения в теориях сложных систем, в теории множеств, теории вероятностей и логике” Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах: Труды 7-йМеждународнойНаучнойШколыМАБР – 2007.
8
ПриложенияП1-П5 П1. Подробныйрасчетмаксимальновозможной
величиныцентральногомомента
дляограниченногоинтервала ……… 9 Дведельта-функции
П1.1. Расчетдля n=2k идляоценкисверху Максимумвсерединеинтервала Максимумпри n=2
Локальныемаксимумы, ближайшиеккраямдиапазона П1.2. Оценкадля n=2k+1
Оценкамаксимумовдля n=2k+1 Максимумпри n=3
Замечание. Сравнениесоценкойсверхудля n=3 П2. Подробноедоказательстволеммы
остремлениикнулюцентральныхмоментов ……… 15 Подробноедоказательство
Болееточнаяоценкасходимостицентральныхмоментов П3. Подробноедоказательствотеоремыосуществовании
разрывовдляматематическогоожидания ………. 16 Подробноедоказательство
Возможныеформулировки
Замечание 1. Болееточнаяоценкаразрыва r2 Замечание 2. Условиясуществованияразрывов
П4. Подробноедоказательствотеоремыдлявероятности … 18 Подробноедоказательство
Возможныеформулировки
Замечание 1. Болееточнаяоценкаразрыва r2 Замечание 2. Условиясуществованияразрывов
П5. Подробныйпримерразрывоввшкалевероятностей….. 20 Условия
Результаты Вывод
Замечание. Дисперсия σ2 разбросапопаданий идисперсия D оценкивероятностипопаданийипромахов
9
ПриложениеП1. Подробныйрасчетмаксимальновозможной величиныцентральногомоментадляограниченногоинтервала Дведельта-функции
П1.1. Расчетдля n=2k идляоценкисверху Максимумвсерединеинтервала
Максимумпри n=2
Локальныемаксимумы, ближайшиеккраямдиапазона П1.2. Оценкадля n=2k+1
Оценкамаксимумовдля n=2k+1 Максимумпри n=3
Замечание. Сравнениесоценкойсверхудля n=3 Дведельта-функции
Максимально возможную величину центрального момента Max(E(X-M)n) имеет функция fMax(x)=CAδ(x-A)+CBδ(x-B) : CA+CB=1, представляющая собой две дельта-функции, находящиеся на разных краях интервала [A, B]. Коэффициенты CA и CB можно выразить через M как CA=(B-M)/(B-A) и CB=(M-A)/(B-A). Тогда
) )
( )
((
) ( ) 1 (
) ) (
(
1
A B
M M A
A B B
M M B
A
dx x f M Const x
M X E Max
n n
B
A
Max n n
−
− −
− +
− −
=
=
−
=
−
∫
.
Введемпараметр m≡(M-A)/(B-A)=CB, 1-m≡(B-M)/(B-A)=CA. Тогда
n n
n
n n
n n
n n
n n
A B m
m m m
A B m
m m m
A B m
m m m
M X E Max
) ( ) ) 1 ( ) 1 ( (
) ( ) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ((
) ( ) ) 1 ( ) 1 ( ) ((
) ) (
(
−
×
− +
−
≤
≤
−
×
− +
−
−
=
−
×
− +
−
−
=
−
Полный анализ функции ((-1)nmn(1-m)+m(1-m)n) не является целью данной статьи. Поэтому далее будут выполняться только самые простые оценкиирасчеты.
Для n=2k идляоценкисверху
n n
n
n m m m m B A
M X E
Max( ( − ) )≤( (1− )+ (1− ) )×( − ) иперваяпроизводнаяпо m
1
1(1 ) (1 ) (1 )
) ) 1 ( ) 1 ( (
−
− − − + − − −
=
′ =
− +
−
n n
n n
m n n
m nm m
m m nm
m m m
m .
Для n=2k+1
n n
n
n m m m m B A
M X E
Max( ( − ) )=(− (1− )+ (1− ) )×( − ) иперваяпроизводнаяпо m
1
1(1 ) (1 ) (1 )
) ) 1 ( ) 1 ( (
−
− − + + − − −
−
=
′ =
− +
−
−
n n
n n
m n n
m nm m
m m nm
m m m
m .
10
П1.1. Расчетдля n=2k идляоценкисверху Максимумвсерединеинтервала
Видно, что, для n=2k и для оценки сверху, Max(E(X-M)n) и первая производнаяпо m симметричныпо m и 1-m. Полагая 1-m=m, получаем
0 ) 1 ( )
1 ( )
1 (
1 1
1 1
1 1
≡ +
−
−
=
=
− +
−
=
=
−
−
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
n n n n
n n
n n
n n
n n
m m nmm m
nm
nmm m
m m nm
m nm m
m m nm
,
т.е., для n=2k и для оценкисверху, посередине интервала, при m=1-m=1/2, всегда имеет место экстремум либо точка перегиба. Вычислим вторую производную
2 1
1 2
2 1
1
1 1
2
1 1
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
) ) 1 ( )
1 ( )
1 ( (
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− +
−
−
−
−
−
=
=
−
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
′ =
−
−
− +
−
−
n n
n n
n n
n
n n
n
m n n
n n
m m n n m n nm
m m
n n
m m n n m n m n
nm nm
m m
n n
m nm m
m m nm
.
Вточке m=1-m втораяпроизводнаяравна
) 3 ( 2
) 2 1 ( 2 4
) 1 ( 2
) 1 ( 2
2 )
1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2
) 1 ( ) 1 (
1
1 1
1
1 1
1 1
2 1
1 2
−
=
=
−
−
=
−
−
=
=
− +
−
−
−
=
=
−
− +
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
n nm
n nm nm
m n n
m n n nm nm
m n n
m m n n m n nm
m m
n n
n
n n
n
n n
n n
n n
n n
,
т.е., при n=2 получаеммаксимум, при n>3 – минимум, апри n=3 – точку перегибалибоэкстремум.
Максимумпри n=2
В точке m=1-m=1/2 при n=2 для центрального момента (дисперсии) получаемизвестноевыражение
2
2 3
2 3
2 2
2
2 2
2 2
2 ) (
) 2 (
2 1 ) ( 2 ) )(
(
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
A B
A B A
B m A
B mm m m
A B m m m m M
X E Max
= −
=
−
=
−
=
− +
=
=
−
− +
−
=
−
11
Локальныемаксимумы, ближайшиеккраямдиапазона
Найдем ближайшие ккраям диапазона локальные максимумыпри n>3.
Рассмотримобласти, где m<<1 и n>3
nm
nm nm m
nm m
m nm m
m m nm
m m m m
n n
n n
n n
m n n
2 1
1 ) 1 ( )
1 (
) 1 ( )
1 ( )
1 (
) ) 1 ( ) 1 ( (
1
1 1
−
=
=
−
−
≈
−
−
−
≈
≈
−
−
− +
−
−
=
′ =
− +
−
−
−
−
.
тоесть, локальныеэкстремумыимеютместопри m n
2
≈ 1 .
Заметим, чтоэтоподразумевает n>>1.
Аналогично, для (1-m)<<1, локальныеэкстремумыимеютместопри m n
2 1− 1
≈ .
Влокальныхэкстремумахвтораяпроизводная 0
2 ) 2 1
( − nm ′m=− n< ,
т.е. имеют место локальные максимумы. Аналогично, локальные максимумы имеют место и в точках m=1-1/2n. В обоих этих случаях значения центральногомоментапри n>>1 приближенноравны
n n
n n
n
n n
n
n n
n n
A n B
n
A n B
n n
A n B
n n n
A B m m m m M
X E Max
) ( 2 ) 1 1 2 (
1
) )(
2 ) 1 1 2 ( ) 1 2 (( 1
) )(
2 ) 1 1 2 ( ) 1 2 1 1 ( 2 ) (( 1
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
−
−
≈
≈
−
− +
≈
≈
−
− +
−
=
=
−
− +
−
≤
−
.
Найдем (1-1/2n)n. Обозначая x≡-2n, получаем n=-x/2 и, при n>>1, вычислениесводитсяквычислению e
x e n
x
n 1
1) 1 ( 2 ) 1 1
( − = + −2 ≈ .
Врезультатеполучаемдля m=1/2n идля m=1-1/2n, при n>>1
n A B e
A n B
n
A B m m m m M
X E Max
n
n n
n n
n n
2 ) ( 1
) ( 2 ) 1 1 2 (
1
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
≈ −
≈
−
−
≈
≈
−
− +
−
≤
−
.
12
Для проверки, сравним величины полученных локальных максимумов центральных моментов с величинами центральных моментов, для M в серединедиапазона. Для m=1-m=1/2
n n
n n
n n n
n n
n
n n
n n
A B
A A B
B A
B m A
B mm m m
A B m m m B m
X A E Max
2 ) (
2 ) ( ) 2 (
) 2 ( 2 ) )(
(
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) 2 ) (
(
1 1
= −
− =
=
−
=
−
=
− +
=
=
−
− +
− + ≤
−
+ +
Для m=1/2n и n>>1
n A B n e
A A B
X E Max
n
n ( )
2 ) 1 )) (
(
( − + − ≈ −
Видно, что в формулах различаются только коэффициенты знаменателя при (B-A)n, т.е. n2√e и 2n. Степенная функция 2n растет быстрее, чем натуральный ряд n. Оценим, начиная с какого n, коэффициент 1/n2√e станетбольше, чемкоэффициент 1/2n. Сравним
n e n
n и
1 3 1 1 2
1 2
1 ≈ .
При n=3
9 1 3 1 3 1 8
1 2
1
3 = > = .
При n=4
12 1 4 1 3 1 16
1 2
1
4 = < = .
Видно, что, начиная с n=4, величины полученных локальных максимумов центральных моментов при m=1/2n превышают величины центральных моментовпри m=1/2.
13
П1.2. Оценкадля n=2k+1 Оценкамаксимумовдля n=2k+1 Легковидеть, чтодля n=2k+1 функция
n n
n
n m m m m B A
M X E
Max( ( − ) )=(− (1− )+ (1− ) )×( − ) будетна 2mn(1- m) меньшеоценкисверху
n n
n
n m m m m B A
M X E
Max( ( − ) )≤( (1− )+ (1− ) )×( − ) , полученнойвыше.
Максимумпри n=3
Дляпримерарассчитаемположениемаксимумапри n=3
1 6 6
1 3 3 6 3 3 3
3
3 6 3 3
3 1 3
3
) 1 ( 3 ) 1 ( )
1 ( 3
) ) 1 ( ) 1 ( (
2
2 2 2 3 3 3 3
3 2 3
2 3
3 2
2 3
3 2
3 3
+
−
=
= +
−
− + +
−
− +
−
=
=
− +
−
− +
− + + +
−
=
=
−
−
− + +
−
−
=
′ =
− +
−
−
m m
m m m m m m m m m
m m m m m m m
m m
m m m m
m m
m m m
m m
.
9) 1 1 1 2( 1
9) 1 8 2( 1 6
1 9 3
0 1 6 6 2
−
±
=
=
±
− =
= ±
= +
− m
m m
.
Втораяпроизводная m
m
m m
12 6
) 6 6 1
( 2
+
−
=
′ = +
−
меньшенулядля m<1/2 ибольшенулядля m>1/2, т.е. имеемдвамаксимума поабсолютномузначению. Приближенноможноположить
9)) 1 2 1 1 ( 1 2( ) 1 9 1 1 1 2(
1 ± − ≈ ± − .
Вчастности, для m<1/2
62
1 36
1 9 1 2 1 2 )) 1 9 1 2 1 1 ( 1 2(
1 − − = = =
≈ m и
36 1 6 ) 1 6 1 1 6 ( ) 1 6 1 1 6 (
1
) 1 ( ) 1 (
2 3 2 2 2 6
3 3
=
≈
− +
−
−
=
=
− +
−
−m m m m
и
3 3
2 3 3
3 3
3 3
6 ) ( 6 2 )
9( 2 6
) ) (
(
) ( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
A B A
B A
A B B m
A B m
m m m M
X E Max
= −
= −
≈ −
−
≈
≈
−
×
− +
−
−
=
−
14 Замечание.
Сравнениесоценкойсверхудля n=3 Рассмотримоценкусверхудля n=3:
Для n=3 можноразложитьоценкусверхупопараметру x : m=1/2(1+x), )
) 1 )(
1 ( ) 1 ( ) 1 2 ((
) 1 1 ( ) 1
( 3 4 3 3
3 m m m x x x x
m − + − = + − + + −
) 1 ( 2 2
2 1
2 2 1
3 3 3
3 1
3 3 3
3 1
) 1 )(
3 3 1 ( ) 1 )(
3 3 1 (
) 1 )(
1 ( ) 1 ( ) 1 (
4 4
3 4 3
4 3 2 3
2
4 3 2 3
2
3 2 3
2
3 3
x x
x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x
−
=
− +
− +
+
−
− +
=
=
− +
− +
− +
− +
+
−
−
−
− + + +
=
= +
− +
− +
− +
+ +
=
=
− + +
− +
3 4
3 4
4
3 3
3 3
2 ) )(
1 (
) 2 (
) 1 1 ( 2
) ( ) ) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
A x B
A B x
A B m
m m m M
X E Max
− −
=
=
−
−
=
=
−
×
− +
−
<
−
Тоестьпри m=1/2 оценкасверхуимеетмаксимум
3 3
3 )
( 2 9 ) 2 ( 2 ) ) (
( B A B A
M X E
Max −
− >
<
− ,
При m=1/2n=1/6
3 3
3 3
3 4
3 3
4
3 3
3
6 ) ( 6 6 )
( 21
6 ) 3 ( ) 65 ( 6
6 130
) 6 (
) 130 )(
5 5 ( 6) (1
) )(
6) 1 1 6( ) 1 6 1 1 ((
6) (1
) )(
2 ) 1 1 2 ( ) 1 2 1 1 ( 2 ) (( 1
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
A B A
B
A B A
B
A B A
B
A B
A n B
n n n
A B m m m m M
X E Max
n n
n
n n
n n
> −
> −
− >
− =
=
=
−
=
− +
=
=
−
− +
−
=
=
−
− +
−
=
=
−
− +
−
≤
−
.
Крометого,
3 3
3 3
3 3
3 3
3
6 ) ( 6 6 )
( 24 6 )
( 2 3
6 ) 9 ( 6 3
) ( 3 1 3
) ( 2 ) 1 3 )) (
( (
A B A
B A
B
A B A
B A
B e A
A B X E Max
> −
= −
× −
×
=
− =
− =
− ≈
− ≈ +
−
Видно, что оценка сверху при всех подходах действительно превышает реальноезначениефункции.
15
ПриложениеП2. Подробноедоказательстволеммы остремлениикнулюцентральныхмоментов
Подробноедоказательство
Если, для f(x), определеннойвразделе 1.1., E(X)=M стремитсяк A или к B, то E(X-M)n стремитсяк нулю.
Доказательство: Для MÆA
n n
n n
n
n n
n
A B m A
A B B
A M
A B A M A
B A
A B B
M B A M
A B
M B A M M
B A
M M
X E Max
) ( 2 ) )(
2(
) )(
( 2 ) ) ( ) )((
)(
(
) )(
)( ) (
) ((
) ) (
(
1 1
1
1 1
−
≡
− −
= −
=
−
−
≤
− +
− −
−
< −
− <
−
− − +
−
≤
−
−
−
−
−
−
,
Если справедливо строгое неравенство, то тем более справедливо нестрогоенеравенство
0 2
) ( 2
) ( )
( ≡ − × ⎯⎯ →⎯0
−
× −
−
≤
− n n B A n m m→
A B
A A M
B M
X
E ,
достаточноедляцелейнастоящейстатьи.
Такимобразом, приконечных (B-A) и n ипри MÆA, т.е. при (M-A) и m, стремящихся к нулю, центральные моменты E(X-M)n тоже стремятся к нулю. Для MÆB рассмотрениеполностьюаналогичновышеприведенному.
Леммадоказана.
Болееточнаяоценкасходимостицентральныхмоментов
Сделаем более точную оценку сходимостик 0 центральных моментов. Сноварассмотрим, при MÆA, т.е. при mÆ0,
n m
m n n
m
m n n
n
n n
n n
A B m
A B m
m
A B m
m m m
A B m m m m M
X E Max
) (
) ( ) 1 (
) ( ) ) 1 ( )(
1 (
) )(
) 1 ( ) 1 ( ( ) ) (
(
0
0 1
0
0 1
1
−
⎯
⎯ →
⎯
⎯
⎯ →
⎯
−
×
−
⎯
⎯ →
⎯
⎯
⎯ →
⎯
−
×
− +
−
=
=
−
− +
−
≤
−
→
→
−
→
→
−
−
Дляпроверки, сравнимэтуоценкусобщейформулой
n n
n
n m m m m B A
M X E
Max( ( − ) )≤ (1− )( −1+(1− ) −1)( − ) . Оценкуотличаетотобщейформулытолькосомножитель
) ) 1 ( )(
1
( −m mn−1+ −m n−1 .
Поскольку m≤1, то (1-m)≤1 и, для n≥2, 1 )) 1 ( ( ) ) 1 (
(mn−1+ −m n−1 ≤ m+ −m ≡ . Следовательно, для n≥2
n n
n
n m B A m B A
m m
m(1− )( −1+(1− ) −1)( − ) ≤ ( − ) .
Такимобразом, болееточную оценкусходимости центральныхмоментовк 0 можноприменятьдлявсеготребуемогодиапазона 1<n<∞.
