(~/(x) l''')'' ~ g(x) - C( I)I>( I). x'" J'. (1) Ilx)y"+ 2 1'(x )' ''' + I"(x))''' + C(l~)( I ) x"'.r ~ O. (2a) I(x) _ 1( 1).v",

<.0 l=i-o:8~~

~---

.Entwurf - Berechnung - A usftihrun g

C""'-'

C"\"":)

•

Bauingenieur 52 (1977) 41-49

Balken v eränderlicher Biegesteifigkeit auf elastischer Bettung variabler Intensitä t

DI'.-Ing. O. Likar, München

1. Einfiihrung

Vic.::lc Fragen der SchHlensllilik 1I1ld 'rriigcrroste fiihl'en zurück auf den eln~tisch gebetteten Balken sowohl "crHndcrlichcr BI'eile wie auch vcrHndcrlichcr Dicke bei Beachtung einer variablen Bettung.

So ist die Lös\lI1g (\el' Kegelschatc konstanter Dicke iden- tisch mit dem elastisch gebetteten kcilförmigcll TrHgcr lind hyperbolischer Bettung, Die Zylinderschale mit linear veriin- dcrlichcr Dicke Iii ßl sich auf den T riig,cr konstante" BI'eile und vcriindcrlichcr Dicke 7.ul'Uckfiihl'cn, wobei die Bettung mit C(x) - Ed/R" gegeben ist. Eine Bogcnstaull1i.1ucr von hyper- bolischem Querschnitt IHßt sich ebenso durch ehlstisch gcbet~

tete Balken gleichen Querschnittcs ersetzen. Ein konischcr Pfuhl, z,B. ans Ilolz, wirkt flir Horizontallastcn als elastisch gebettetcr Balken, bei welchem die Bettung mit der Ticfc grö~

ßcr wird. Die Triigerrostc lind ~\Uch Plntlcli verIinderlicher Bicgcstcifigkcit IHsscl1 sich illif elnstiseh gebetteten Balken zu- riickfiihren.

Nachfolgcnd werden nur die grundsHtzliehcn mathemllli~

sehen Methoden zur Lösung dieser Probleme gC7.cigt, ohne dabei die Einzelheiten zu bedihrcll. Es sot! hiel' 11m die Lösung der cillschmgigen Dgl., nicht ihre weitere Anwendung. bc~

schrieben werden.

fn [9]* wurdc die allgemeine Lösung fUr PGihle konstantcr Uiegesteingkeit und flil' den POICnZillls<\tz dei' Bettung ('(x) ~ C( I) I) (I )s'" abgeleitet. Wir setzen nlln auch fiir den TrUgcr die BiegcslCiligkeit als ve.:riindcrlich nach dem Potcllzgcsctz ^1111:

E/(s)- 1,1(I)x" mit (I)

1(1) = 1>(I)d·'(1)/12 das Trligheitsllloll1cnt all der Stelle s = I.

Dabei kann bei kcilförmiger Ureite b(x) = b(l)x sein. 1111/ ist dann Xl der vcriinderlichen Breite miteIHh"lten.

FUI' 1/ = 0 ist EI(l)

=

eonst,

fiir ¹¹

=

I ist bei 1I = COllst die Breite linear "eriindcrlich und fiir 11

=

J ist bei b

=

const die Dieke lillcar ve!'iindcJ'lich

(KeilSlab).

Mit ^11::= 4 wird ein konischer Sl<Ib, z. B. ein I-Iolzpfahl.

mit 11 > 4 ein parabolisl:hc!i Profil und

mit 1/ < 0 werden allgemein hyperbolische Profite beschrie-

ben,

*

Diese.: Arbeit ist als FOI'lSetzling von Likilt'. 0.: Ucitrag zur Frage des seitlichen Wid~rswlldes der Pfiihle hoi allgemeinem ]>otcnzilnsalZ eier Beltltllg, l3auingcnicur 49 (1974), S.4R5, zU sehen. Daher wird auch das Schrifttum in bcidell Arbeiten durch- gehend llu1l1criorl

•

Zeitschrift Iilr das gesamte

aauwesen

C by Springer-Verlag 1977

2, Oie DilTcrcntinlgleichung des St4tbcs bci \'crändcrtichcr Bettung

Wir bezeichnen mit (J(x) = {)( I).\"\' die aufdcl1 TrHgcr wirkende Fliichenbclnslllng. AllS dei' Gleichsetzung der Beln.stung und Renktioll p(,\") - g(x) - C(J)IJ(l).xmy folgt bei Beachtung des Gleichgewichtes 11m Trligc1'clcmel11

(~/(x)l''')'' ~ g(x) - C(I)I>( I) . x'" J'. (1)

Die FWchcnlust (}(x) ist im Vergleich mit wirkenden Einzcl·

tllsten nur klein und kann \'crnachliissigl \verden; y(x) = O.

Nach Ausfiihrung der Din'erentiatiotl der linken Seite er~

halten wir

Ilx)y"+ 21'(x)''''

+

I"(x))'''

+ C(l~)( I ) x"'·.r ~ O.

^(2a)

Setzen wir für Tri'igheitsl1loment / (x) lind scine Ableitungen I(x) _ 1(1).v",

I'(x) =:: II'/(I)x .. -I lind f"(x) = "(,, - 1)·/(I)x"-' in die Dgl. ein. so folgt

xll'i'

+

2 11 Xii I, y'" -I-11(11 - l)x"-~' y"

C(I)I>(I)v"'· ,=0.

+

EI(I) J

Wir fi.\hren die neuC Veränderliche ~ ein, also lind beachten dabei. dan -^(]I. = ^{I cl'} d,\'" J': d~r

ist. Damit ergibt !iich

~"'lv + 211~"-t. )I'" + ^{11(11 _} I)~" ^1')1"' , « 1)1>(1) 1.:+»>-"''''. ,= 0.

1i1(1) , )

(3) (4) (5)

(2b)

(3e)

worillllunmcht' Striche Ableitungen nach ~ bedeuten. Wir mul·

tiplizieren die Dgl.(3c) noch mit ~4 und dividicren sie mit ~H;

so rolgt

~'.I"v + 2

"S·'),'"

+ "(,, - I)~'.r"

+

( (1)1>(1) 1..'+»>-"·

S" "' - ,, · )'

=

o.

^(3d)

U (I)

Über die Uinge L können wir noch frei verfUgen. Durch Nm- mienmg elcs Koeffizienten VOI11 letzten Summanden, indem wir ihn gleich I setzen. folgt

C(I)I>(I) I.H m-" _ I 10/(1)

42

lind daraus

f:'

t '"

L

EI (I) C(I)!!(I) oder

~ (c~I~~:II)rH'" - '''

Durch die NormicJ'llng geht die DgJ.(Jd) Ober in

(6)

~4l\'

+

211~,ly'''

+

11(11- I)~ly" + ~<H"'-". J'

= o.

(3e) In Kurzform kann diese IJgl, Hudl geschrieben werden

(;"y")" ~

- S "' I'-

(31)

Davon wil'cI splitcr noch Gebrauch gemilcht.

Um die Dimension der elastischen LUnge nach (6) zu CI'-

kCIlIlCII. muß mall beachten, daß

ist. DHmit wird

= [cnr1+m-"J bzw.

[L] ~ [em]_

Mit Formel (6) ist dcr Lingclll11aßstab in Abhiingigkeit \'on

111 und 11 festgelegt.

Für 4

+

111 - 11

=

0 wird 1-.0 _ 1, waS gleichbedeutend ist mi t

~ . LO _ .,. bzw, ~ = x ,

Eine TranSrormulioll der LUngen ist hier Ilicht mehr möglich, Die UillgCIl sind mit den Ausgangswerten x identisch.

Wir müssen dabei beachten, daß in der Dg1.(3d) llUIl auch der Exponent von ~ des letzten Sutnmundcll ebenso Null und somit der veriin<lcrlichc Koeffizient von y gleich I wird. Damit wird abcr die "Dimcnsion" des ktztcn Summanden Null lind die Dgl. wandclt sich in cine "eilldim\;llsiollale" Dg!. vom Eu- lersehen Typ um. die sich mit einem cinfHchen Potenzansatz y

=

^XV lösen mßL SpUter wird dieser Fall noch geHaucr be- sprochen.

Aus (6) erkennt man. daß fi.i,' Vel'lHuschungcll

/11- -/1 und gleichzeitig - 11- m dcr Uillgcnmaßstab J. llilveriindcrt bleibt,

Die nUll vorliegende Dg!. (3 e) weist folgende Mcrkmale auf:

Dic crstcn drei SurYHllHlKlcll sind "cindimcnsional·'. Dies be- dCutel. daß dic Sllmme der Exponenlt.:1l VOll ~ und dic der 01'd-

nung (le,' Abkitllllgell. mit negativen VOI~l:ciehel1 behaftet, hci allcn drei Sllllllllandcll gleich. niimlich Null, ist. U In spüter d ie Zusmlllllcnhiingc klar iibcl'blickt.:n zu können, ist cs 7,.\Veckrnii- ßig, in der Dgl.(Je) stall.r im Ictzten SUl1lmanden einc Hela- stungsfunktion Xl' einzuführcn. Dann folgt dit.: Dgl.(3e) zu X-l·/ V +2I1X·\'y"'+II(II_ I).\'l.y" I .\",1 11111111)= 0. (7) De,' vierte Summand ist reines Stö,'ungsglied geworden lind entspricht dcl' Bclustull~ n(x).

Gesucht wird nun elas purtikuliirc Integral, das sich infolge Eindimcllsionalitiit der homogenen Dgl. mit einem Potenz- ansatz

(8) findcn niß!. Durch Einsetzen eier Ableitungen in dic Dg!. folgt IJ -x'[a(a - I)(a - 2)(" - 3) + 2l1a(a - I)(a - 2)

+ 11(11 - I)a(a - I)] ~ -x' ^{I! I 111 t 0} (~a)

Bauingenieur 52 (1977)

Weite" el'gibt sich dlll'ch Vergleich der Exponenten

0',

=

4 - "

+

111

+

Q, also z, ß.

Q ~O;

Q= 4- ,,+III;

rJ.=4-" + 1II

" =

2(4 - 11 + 111) Q

=

^{v(4 - 11 + 111):}

,, =

^{(v • 1)(4 - 11 + 111)}

sowie I1.ir U nach Klirzung dmch x" lind Umordnung I/IJ ~ - a(a - I)[a' - ,,(5 - 211) + (6 - 511 + 11')]. (8e) Damit ist es möglich, Zu jeder IJdaslUngsfunktion XO das P,II'- tiklllHrc Intcgral, für welches I/P Ilicht gleich Null wird. zu cl'miucln,

3. Reguläre Lösung der Diffcrcnti"lgleichung (3e)

Wir schließclllllISt.:rC l3etrachtllngcn wicdcr an dic Dg!. (Je) an.

Infolge hneli,nensiomllitiit (kr ersten drei Summandcn der vollstHndigen Dg!. kann die Vel'kniipfl1llg mit dem vit.:rten Summandcn durch einen rcguWrell Potenzreihcnansatz erfol- gell. Die Lösl1ngsreihe wird angcst:tzt mit

,

• _ " ' I/ ):-":+V(4-+III- II'

J - L. ,.~ , (9)

o

wobei v K 0, 1,2, ... ^{('f,) •}

Die Ableitungcn dicser Reihe lautcn mit den Abkiirzullgell F(I)(v) ~ x + v(4 + 111 + 11), (9,,) 1'(2)(v) - [, + v(4 + 111- 11)][' + v(4 + 111- 11)- 1], (9b) 1'(3)(v) -

1.'

^{+ v(4 + 111 - 11)] [x + v(4 + 11/ - 11)- 1]-}

Lx

+ v(4 + 111 - 11) - 2), (9c)

1'(4)(v) ~ [x + v(4 + '" - 11)

I

[x + v(4 + '" - 11) - 1]- [x + v(4 + '" - 11) - 2][x + v(4 + '" - 11) -

3J

(9<1) wie folgt

"

y'

=

L(t,Y(I)(v)' C; ... ^{h H -1"", 11) I} o

,11"

=

LlI_vF(2)(v)' ~",(t-v(4+"1-1I)-2.

o

y''' = L:a"F(3)(v)· C;'" ^{t\'(-I I '" OIJ :}} lind o

ylV = L(/\.F(4)(v)' ~Y.+~!4+111-")-4

"

St:tzell wir letzterc in die Dgl.(3c) ein, so cntstcht

L , (1,-

[1'(4)(\') + 2" 1'(3)(\')

+ "(,, -

I) F(2)(v)]

S" , - " "" ,,)

o

+

^{La);Y.+(V+')(-I+III-1IJ}

=

^O.

"

Ausgeschriebcn lautct diese Gleichung nil' v

=

0., .. v - 1 und v-tes Glied

(10[1'(4)(0) + 2111'(3)(0) + "(,, - 1)1'(2)(0)]1;"

+ (1, _,

[1'(4)(v - I) 2,,1'(3)(v - I)

+ "(,, -

1)1'(2)(v - 1)]-

; '+/"-H,a"'-"'+",_lF(4)(v) + 2,,1'(3)(v) + "(,, - I)F(2)(v)]-

~ ... +vt-l+'" "I

+

^{(In ' ~x I 1\41111-Ir)} + (/,,_1 '1;-..:+\'(4 +111-11)

+

a\,·~-":I(Vl lli41111-11)

+ ",

= O. ₍₁₀₎

Oie I;-;xponenten VOll C; in den letztcn drei Summanden liegen jeweils um einmal (4

+

111 - 11) höhe,' als in den Slunrnandcn

dt:r ersten Gruppc.

0, Likar: ßalkcn vcriindcrlichcr Biegesteifigkeit illlrclastischer Bettung 43 Die ohige a Igehmische (ileichung kann durch Bdriedigung

in jedcr ~·rotCllZ crf1\lh wcrdcn. Dazu muß zunlichsl als b'ak·

101" VOll ~~ dcr Ausdruck in der ecki);cl1 Klammer der ersten

leile Null wc!'dcn, wenll gleichzeitig die lJ'iviale Null-Lösung

"0

= °

^ausgeschlossen wird _(ao ist als IntcgrationskOllslallle zu dcuten), Dk:s ergibt die l3estimmllllgsglcichung rtir d ic noeh unbekannten Anfangs-Koenizientcll

x(x - I)(x - 21(x - J)

+

2l1x(x - I)(y. - 2)

+II(II- I)x(x - I)~O. ( 10a)

Diese Gleichung viCrh.:n Grades ist idclltiseh mit derjenigcn der Lösung fUI' reine Biegung mit U(,\·) ~ 0: sicheduzu GI. (1'::a), wenn die Störllngsrllnktion der rechten Scite Null wil'd. Die Lösungcn von (IOa) lauten

(11 a cl) Wie crsichtlich, werden x., und x4 fiil' gewisse gml/.zilhligc

"gleich XI oder X2 ' Es trcten Doppclwllrzcln aur,dic mit Log.

arithmen bchlll'tetc LöslIligen crfordern. Die vier gewoll11Cllell Wu!'zeln Xi deI' homogcncn Dgl. gelten somit für beliebigen Bicgestab untcr dcm Einfluß von Eillzellaslcn. Sic gelten glcichzcitig abcr ~llIch als Anfangscxponcntcn dcr Potcnzrci- hcn fiir Bicgung<lllrclastischer Bettung.

Die weiteren Kocfflzicntcnvcl'glciche im L.lls'lmmcnlli\l\g mit Gleichung (10) crgehcn sehlicßlich die Rcklll'sionsrol'lllci

11, ~ - IIH /[F(4)(v)

+

^21/1'(3)(1')

+

^{1/(11 -} I)F(2)(v)]

= - (/y_l ' ßy. v = 1,2"" 00 . (12) Da vier Wurzeln Xi der homogcnen ])gl. existieren. licgt fliJ' jede Wurzel eine eigenc Reihcnentwicklung vor. Dic eckige

Klammcr kmlllnm:h Frobenius [13, 14] auch als

I/ß, ~ [x, - x, + 1'(4 + ,1/ - 11)] [x; - x, + 1'(4 + 111 - 11)

I .

[x, - x, + 1'(4 + 111 - 11)] [x; - x, + 1'(4 + ", - 1/)] (I J) mit i= 1,2.3.4 lind v_ l,2, ... ^CQ

gcsduieben wcrdcn. was fiir numcrischc Rcchnung einrache!' sein kann.

Bci Doppelwllrzeln von XI trcten il1 (1.1) zwci gleiche Fak- torcn auf. ßcidc 1-"01'l11eln (12) lind (I J) beinhalten vier Para- meter:

Xi./II.II. v.

Wenn dic Entwicklung der Reihen möglich sein soll. darf der I/ßI.-Wcrt 11\1' v ~ I nicht Null wcrden,

1'(4)(1) + 2I1F(J)(I) + 11(11- 1)1'(2)(1) '" O.

Diest.:lbt.: Bedingung WB, sich <!llch (\,ldul'ch nusdri\ckcn, daß in Formel (13) kein FaklOl" Null werden darf.

Durch Ein~et7.en der PHrmnetcr-WCrlC können wir uns liberzeugen. daß rur gewissc gall7.7.ahligc 11 lind H1 die Lösung vcrsagt. Wir Iwbell cs hier mit Singularitiitcll sowohl der Forlll

11 wic auch dCI' Belaslling '" Zu tun. dic für sich logarithmcn- behartct sind. Dicse Reihen miissell 110dl );enaucr priizisiert werdcn. was spUter gczeigt wird.

Zuniichst ruilren wir rur reguUire Entwieklungcn dcr Rci·

hen ein Bcispiel flil' llichtgan'l.l.~lhlige

11/ ."

vor.

H/'//l/lIlj IH

=

0, KIJl/S/(/IIIl' IJIIl'I1Sillil.

Y.. l = 0; Y..2

=

I; Y...\ = 2.0 - 11

=

2.5; Xi! ~ 3,0 - 11 - 3,5.

Dic Exponentcn wachsen mit (4

+

111 - 11) = 4,5 , und tur die Kocffizicntcn

1/0,. = (Y..j - Xl +-\l4,5)(Xj - Xl

+

v4.5)(x1 - x.1

+

\14.5)'

(Xi y.₄ I \14,5) erhiilt man

I. fiil' Xi- Xl ~O

I/rl, ~ (4.5)( - I + 4.5)( - 2,5 1-4.5)( - 3,5

+

4.5)

~ 4.5 . 3,5 . 2,0' 1,0

I/P, ~ (9.0)(- 1 + 9,0)(- 2.5 + 9,0)(- 3.5 + 9.0)

~ 9,0·8.0·6.5·5.5· I/rl,

1/0., = 13,5' 12,5' 11.0· 10,0' l/ßl' I/PI us\\'o 2. f'iir Xi 111 I

I/p, ~ 5.5·4.5·3.0·2.0

I/~, = 10.0·9.0·7.5·6.5· l;rl, us\\'o 3. fiil' Xi _ 2,5

I/P, ~ 7.0' 6.0' 4.5 . 3,5

1/11, ~ 11.5· 10.5·9.0' ~,O· Ijß us\\'o und schließlich

4.

rur x ,

^{= 3.5}

W,

^{~ ~.O} . 7.0 . 5,5 . 4.5

1/11, ~ 12,5 11.5 10,0' 9.0' I/ß, Damit lauten die Reihen

)' ~ II , ~II (I _

^1','"

4.5' 3.5 . 2 .

~" )

+

9 . 8 . 6.5 . 5.5 . 4.5 . 3.5 . 2 . I ...

+

A,1','

(I __

_),)

_

^-_-_{. 4,5} ^1',... _{. 3 . _} ^,

+

1',' ... )

10·9·7,5·6.5·5.5·4.5 . 3·

(

1','.5

+ A,S'"

1- 7.6. 4.5-:Jj

1'," )

+ C"I-o-I,-:-5-· "'IOcc,5o--·-o9-·~8-· =-7-60-·---'4.5· J.5 ...

+

11 _, 1',.'"

(I -

_~ . 7 . 5,5 . 4,5 ^1','.'

1'," )

+ -;1'2,'5 -. '-;11".50--·-;1"0 . 9 . 8 . 7 . 5.5 . 4.5 ...

Ändel'll wil' die Bettung /11 = -0.5. so folgen die Exponentcn 4

+

m - ¹¹ = 4.0 wie beim rriigcr konstanter Stcifigkeit und konstanter llcltul1ll. jedoch silld die ß-Wertc <Inders.

Zum Beispiel x,=xl =0

I/lI, ~ (4.0)( - I + 4,0)( - 2,5 -I 4,0)( - 3,5 + 4.0)

= 4 . 3 . 1,5' 0,5 usw.

4. Singuljjre Lösungen

\f'.J, r-~I!"(4Im 11) I" I Der LÖSllngs,lIlsatz (9) .I' = ~ {/,,'; leien l1ur (:11\11

o

cill ridlliges Rt,;sllilal. wClln dcr Lösllngszwcig sich in dcn vor·

gesclll"iebenen Rahmen einordnen Hißt.

44

SChOll die Lösungen der homogenen Dgl. (R c) weisen ahcl' singuHirc Zweige ~(ln~- l). lnl;.I;-I.~--1 auf. die im An- salz (9) nicht enll1<1110n sind. ZllsiilZlich wird aber (lUch die Uc- Iaslllllgsfunktion s''',)' flir m < 0 singuHiI'. Es ist dahel' not- wendig..!1ir oben bcst:hricbcnc Funktionell eillen anderen Weg zu!' Lösung deI' Dg.1.(3c) Zu finden. die im folgenden in der iiquivalcntcll Form (3

n

benUtzt wird.

Auf der rechten Seile stcht die Bclasltingsrcaklioll allS

elastischer Bettung, Die abhiingigc VCriilldcrlichc y ist als Funktion von

S

so (bl'zustellen, daß die Ogl. crf[i1!t wird.

Wie aus den vorangegangenen AbwickhlllgCn hCI'vol'gcht, [iißt gü.:h die Lösung in allgemeiner Form <luch nach dem I\nslllz

Y - "0'

fo ( s) " ",' f, I S ),. .. . ,. ",. , . L .. , I S )

I (/\_' .jiy(~) -I- . (IMsIclien. In KurZ["O['l1l

,

.I'

= I",·'

)\Is) .

"~o

Nachdem ein Summand allcine die Dgl. niehl e!'fiHlen kann,

be~((.;ht z.wi~chen den nachfolgenden Summanden die Ver- kniipfung, dic durch D,\;1. forlllldierl ist;

(~JI, (I" '

.v;: )"

= -E,/II. (/~_ I .. V"-l (~) , (15)

Auf dicse Wei~e haben wir nun auf der rechten Seite nur noch cinc Stör'ungsfunktion .V"_I (~), dic wir ab bekannt unter~tel­

len. Die Dgl., bezogen auf f"O~.) (bs nlichsthöhcl'e Glied - Wßt sieh jetzt nach folgendem Schcma inlcgr'icren:

I~"

y:)" - -

~'"

.i\ ,(S )' y:: 1;" ",1,1 -

~""

.1\ .. ,

1~)dS,

,V" =

,IJ1;- ",I,I

- 1;"" .V,., 11',)<11;. (16)

Das Ilun gcwonnene

L

setzcn wir His ncuc Störuligsfullktioll in die Dgl.(15) ein und wicdcrholen die InlCgr'alion, wic ^VOI'- gcschrieben, Das Resultat ist das neue Glied

f"

t I usw.

DUl'ch Wiedcrholung dcrsdbell Uerechnungsschritte nach (16) werden die Rcihcngliedel' auS dcm vorangehe11den lIuf- integriert.

Das Verführen ist hinsichtlich dcr Koeffiziclltenbildung nicht so kbr Zu iiberblickell wic dies bei Reihellentwicklung nach Potellzilnsatz (9) dcl' Fall war'. Es liefe]'t llbci' in cincr durch Integration vorgeschriebcncn Zwangsfolgc auch dic kompliZierten LÖSlll1,\;CII, ohne daß vorher ihr Aufbau bekanllt scin mUßtc. Dieser' lJmslillld iSI gleichzcitig dcr wcscntliche Vorteil diescs Verfahrells.

lu beantworten ist noch die Frage. mit welchem .r~(~) ist dic Integl'ation ZU beginnen, Aus vorhcr'geschilderten GrUn- dcn kann dics nur'

.vo

= 0 sein, das auch hier identisch mit der homogencn Dgl. ist. Wir iibcrzcugcn uns, (iHß der' Weg l'icll- lig ist.

(1','"

.vo)" -

ü

~".vu

-

C,. D~ .~;; =C<;-I'+D<;I-II

Die Exponenten der Lösungen sind nichts iltldel'cs (lls die xr Wertc. wie aus der Dill. (3c) gewonncn. Dic Anfilllgsgliedcr dCI' vicl' Lösullgsreihcl1 lic,\;ell damit für jedes gegebene 1I vor.

Nun könncn wil' der' kiil'7,cren Schrcibwcise wegen - die IlltcgrHtionskonstantell weglassen und dcn nUchstcn Schr'itt

<lnsehl'Ciben.

(~".

Y';)" - -

~"'.

( S " ,.

^{I; ,.}

V -" ,.

1;'--")

bzw. - s'''[1I11;,. s(ll11', - I)] mr Doppclwrrrzcl 0:

Bauingenieur 52 (1977) Dic sukzessive lntl:gration braucht einzeln nur füt die singu- IHren Zweige der Lösung durchgcfilhrl zu wcrdcn. dort, wo dcr

An~atz (9) vcr~agt.

Zur bessercn Übersicht dcr Methodc filhrcn wir ein Bei- spicl vor:

Hl.'ispie/

Um das vorgclwgenc Vcrf;,hl'et17.11 dernonstl'ier'cn, wühlcn wir fi.ir' dilS einfachstc Beispicl d ic konstante Bicgcsteiligkeit 11 =

o.

lind die singuliire Belastung ¹¹¹ ~ I, Siehe [9]. Die Dg1. hilllet allgcmein

und fi.il' 111 =: - I spcziell . ^{\,I\' = _} I; . ^Iv.

Wir beachten die Ausgangszweige fi.ir y'v = 0 mit Xi = 0, 1,2,3 und damit )'₀ = A + B<; + ('1;2 + 1;.\ ,

Durcll Multiplizicrcn mit~ l folgt

-'

,

-' ·

.0

V --!2.-

I;

B- C '-

,

D S' .

Wir' sehcn, c\<I(3 nur A singuWr wird. Die anderen Zweige

S

bleiben rel;?t1Wr.

Beachtcn wir wcitcr: 4

+

IIJ - 11

= ], .

Dic Exponenten wilch- sen mit 3\1.

Die ß,.-Koefflzientcn zugehörig zu jedem Xi lauten

I/ß,.

^m [x;

+

31'J [x;

+

31' - IJ [x;,. 31' - 2] [x;,. 31' - 3]

lind d;nnit rUr

x, -

fiir x_J

-

fUr _X"

-

I :

2:

3:

I/ ß, -

4· J ·2· I:

1 /1 1, -

7' 6' 5' 4:

1/11, - 10·9 8·7

IlIl, - 5'4·3·2: I/ll, - R'7'6'5:

l/Il" - 11 . 10·9· R

1 / 11,

=6·5·4·3: I/ll, =9'R'7'6:

1!ß.,- 12'11·IO·9 Somit dic rcgll!iil'cn Reihen

!' - HS(I r, S·' I· r, r,1',' - r,

ß,

P.,1',",. ... ) I es'll - P,S·',.

ß,

r,1',' - p, P,P.,1',',. ... )

+

/J1','11 - r,1','"

ß,

p,1',' - p, P,P.,S',. ... )

Nun erfassen wir den singuliiren Zweig olmc Jlitcgratiolls- kOrlshllltC A und bczcichnen der Untcl'scheidllng wcgen die cinzelncn Rcihenglicdcr mit

.f'v.

So folgt dann

-IV I

)'

- --

., - S

y, - -1',"

ß,

(In

S f - ~ - })

- -S" 'll,(lns - ^c,)

Dabci ist I I I

Ilrl K I ·2·3 und (·1 = + - + -1 . I 2 . Wir sctzcn wciter Hir das nHchste Rcihcnglicd;

.ii~v

^{= _}

~ ~I

⁼

~l, ßdlli ~

_ CI)

r;

v'" - S " 'Il, (~ - ---'---, - -,,-,-)

. l 3 . 1 3

, ,

t I

I I

O. Likill': Balken "criindcrlicbcr Bicgcstcifigkcit allfcla!>lischer Heilung 45

~~' .

Il (J!.c~ ^{I I} I)

.\-;;

, 3·4 -

3 . 4' V~ - J ^,1₄

I I

f;

^{~ 1;' .}

^{p ( I}

_{, 3·}

^O'L_

_{4·5 3 ·4 .5}2 - 3' 4²

-5 - 3

¹ _{·4 ·5}

, )

-~

I 3·4'·5·6 3' . 4 . 5 . (,

y,

~~" ll , ß , (ln l; - ~ - ~ - ~-~-c,)

~S" 'll,p,llns 1,- 1,)

I I I I

Dabei ist I/ß2 = J . 4·5· 6 und Cl =

+ - + - + - .

3 4 5 6

WeiteI' folg.t für das nHdlsthöhcrc Reihenglied

J'~,. ~ -1;"

p, p, [ln l; -

^(C, + c,))

.1'.' -1;'"

I l, I l, l l" (In l; - ~ ~ ^- ~ ^- ~ ^{- (', -} I,)

-1;"

r l, l l, l lJ (lnS - I'J

- I, - I,).

Dabei ist I/P j

~

^{6 ' 7 ' 8 '9 lind c,}

~ ?, + ~ + ~ + t,

Mit Aufsulnmienu\g. folgt der vierte Lösllngszwcig. ZlI; y (0) ~

il S"{

^{I -} I;J,

p ,lln l; - c,J + S ', 'Il, P , fin s - c, - I', J

- S 'l o p,

ß,p.,lln~

-

c,

-1', - "J "'}

Sct7.cn wir In ~ vor die Klamme]', so folgt:

y 101 ~

A S o

(I - In~ [JJ,

S·' - p , P ,1;6 + p, I ), I l. , S

^{11 - " .}

J

+ (', ß, S " -

(c,

+ 1', 11),

p,~6

+

(c"

+ c , + I', )P, P, P .,I;' - " '}

Der Ausdruck in der eckig.en Klmnmcr entspricht ZllSilmmen

mit I davor der n:l;?uliircn Reihe fiir 'Xl = 0, Die f3,,-Kocffi- zielltcll folgen fitr %1 = O. wie leicht Zu cnllldllllCll ist dem Aufbau

) 1/1\ ~ (lv - 3)(3" - 2)(3" - 1)(3,,),

lJas ist l~bcr idcntiM.:!J I;?lcich der FOl1ncl für dCII Aulbau der Kocfflzientcn dOI' reglll~ircn Zweigc.

Nun betrachtcn wil' nochmals den /3j-Wert mit

n l =

_ I

~ I I

11_

2 3' sOlnit tkrsclbe Aun)f\u wic die n;lch- I ' 2 ' J 0 · · ·

folgenden. Da die Dimension von In Null iSI, triU sic ab F~lk­

tm nicht auf. Sie wird cinfach ilbersprungen.

5, AufSJI:lllung der DiH'cl'cntilllglcichulig \'icrtcr Onlnung in zwci GlciclltlllgCII zweiter Ordnung

Eine Dgl. viertcr Ordnung IHBt sich bcl EI'fUllung gc\visscr Bc- dingungen in zwei DgL zweitcr Ordnung ilufspallen. Dies ist [Iur dann Il1öglich, wenn zwei "ertausdlb,lre Difrerellt i,llopcl'iI- toren, IHICh fulgendem Schema aufgebaut. d ic DgJ. vierter Ord- nung c"geben. Siehe [15, 16J

(Sei'/ciS'

+

~(I/dS - k2)(~eI'/eiV

+

Pei/cll;

+

k')y ~ 0, l;iihrcll wir die Ableiwngell (hlt'ch und ordnen sie, so folgt

1;" .1''''

+ la + I l + 2)SY '" + "m

^{I 11.1'''}

+

m -

^{Cl)/,l. y' _ 1(1, Y = 0,} (171

Dic~c Dgl. besogt folgendes: [)er Untcrs(,;hied ill PotenZcll tkr VcrHnderlichen

S

zwischen dem el'sten lind letzten Sum- manden bctriigt 2, Auf deli Typ unserer Dgl.(3e) Ubertragen.

bedeutet dies, daß 4

+

^{//1 - 11} = 2 sein muß,

Weiter: In der Dgl.{3e) ist der Summ,1IId mit y' nicht vor'- hunden, Demzufolge muß 13 - Cl = 0 sein. Daraus 13 = Cl.

[)arnil wird dic Ucdingullg aus dem drittcn Summanden durch Vergleich mit (Je) nbge[eitcl:

~(~+ I)~,,(,,- I)

und tlUS dem zweiten Summanden

2(~

+ [)

= 2/1 bzw, ("j = /I - I .

Als weilere Bedingung ist Zu beachtcn, daß die Aufspaltung

lIur danll möglich ist, wenn in der' [)gl. (17) das [etzle Glied - V'y ein negatives Vorzeichen <lufwcist. [n dei' Dgl.(3e) ist jedoch das Vorzeichen plus vorhanden. [Anmerkullg: Bei Schwingllngsgteichung liegl rninus vor!] Ikaclilen wir die Ver- kniipfung

I+i)(-il~ -i'~ -(-I)~

+

I,

so können wil' in der <I\rrge~pn [tenen Dgl. den letzlen Summa1l- den mit ..!:ik²y schreibeIl .

N 11 11 kanll bei 13eachtung der dargelegten Bec! ingungcn die

Dgt.(3e) aufgespaltcn wcrden in zwei Dgl. zweiter Ordnung folgendei' Gestillt

Sy"+(Il - [)y'± iIi²·y=O, (18)

Diese Dgl. wird <hll'CIl Mu[tip[ikalion mit f, in die l)gl. vom Bessclschell Typ übel'fiihl'l.

s' · )''' + ( " -

Ill;y'

±

ik'l;y ~ O. 1191

Nach Kamke [[61, S.440, \Vil'd als vel'gleichende Swndard- glcicllung eingefiihrt:

S' .

^y" I

,, 1;,.' +

1&1;"

+

c)y ~ 0, d 'f; 0, " ;I' 0, ,,' ~ I ,

(20)

Die allgemeine [.ösung, in /.ylin(\erfunktiotlcn ausgedrUckt.

lautet dann

mit v

= !

^{J(I _ (1)2} 4(

d

(21)

(22) Dabei sind lInter Z,. die Zylinderfunktionen .Iv und Y_v zu ver'- stehe", Siehe [17, 18,19,20,21].

Nun verglcichen wir unsere DgJ.(19) mit der Sl:indard- Form (20). Wil' sehen, daß

cl

=

I: h -

±

i: ( :::::! 0; a

=

^{11 - [} ist und

damit v = (I - 11

+

I) SI 2 - 11. Die Lösungcn lauten dallrl

2· " I

Y ~

S - , - ,

Z, ,,(2

J±I

1; ') . ₁₂₁

nl

Daraus resultieren vier Lösungen vom imaginiiren Al'gurnellt

(2 .... / ii ' ~ L/2): das silld die ber-. bei-, ker-lind kei-Funktionen,

fUr die T,lbelletlwcl'lc, 7,Urllindest für Zn(x.J±I) vorliegen [17, 18,20,22].

Mit der Formel (21 a) lassen sich die Lösungen flir einige ganz- zllhligc 11 und dazugehörige 111 sufort anschreiben:

11= - 2: /11-: - 4; v:;::;4

y ~ 1;" Z,(2/±i' 1; "')

11= - I: 111= - 3: v= 3 y ~ S3/2. 7..)(lJ± i .

V

^1l)

46

11 = 0: /11 = - 2; v = 2

\' ~ ~ Z (2 !±l's' ')

,

"

/1= [; 111= -1: v= 1 .I' ~ 1,"" Z,(2m '1,"') I1lS2: 111- 0: v- O

\' ~ 1,' '/,,,(2m '1,"')

11 = 3: I!I == 1: ^\I

=

1

.I'~I,'" "Z,(2,!±l'I,' ')

11=4: 111=2: v=2

!' ~ 1,-" Z,(2m '1,"')

siehe[IR)

siehe fiS]

siehe [161 Die erl\wickcllcn Fonnein gellen (luch f'iir niehl g~lI\Zz{lhlig.c 1/.

Dabei muß eingehalten wcrden 2

+

111 - 11 und folglich v ~

2 ^{- /1} = - 111.

Zum Beispiel;

11 = 3;2; ^I/I = - 1/2: v = 1/2

.I' ~ 1,'" Z, ,(2/±i '1,' ')

11 ~ 1/2: 111 ~ - 3/2: v ~ 3/2 Y = <;.1¹4. ZJ l(2/I1· r;1/1).

6. Oie Lösung der cindimcllsiolllllcll Difl'crcnlialglcichunJ.::

Die Dgl. (3 b) Cl'hlilt 11<Icl1 Multiplikation durch ,\,.1 "die l'"Ol'm x*' ylV + 21/x². J''''

+

11(11 - l)x². y"

+

x-++",-,,/(I. Y _ 0 (22) mit 1(' ~ C(llh(11 ,

FI(II

Flir 4 + 111 - 11 = 0 wird sie eindimensional, da x^H ",-" = t . Eine rnlllsl"ormalioll der Liingc.\" in .\" = <;L ist llidll mein möglich, da die elast ische UillgC L die Dimension 0 crlüilt und somit ll11ddinicrbar bleibt. Oie Dgl. (22) ist vom Eulel'schcn Typ und Wßt sich mit dcm Ansatz J' = XO lösen.

Durch Einsetzen der Ableitungen dieses Ansatzes in die Dgl. folgt die <llgebr'<lische Bestimrnungsgleichung, iihnlich wie flir die homogene Dgl. (7) bzw. (3e), lediglich kommt "m Ende noch der Summand k⁴ hinzu, Nachdt:m wir die Wtlrzeln Xi der homogenen l)gl.(Je) schon vorher ennillCl\ haben, körllreli wir die Bestimml1ngsgleiehung

rur

^Q sofort in allgemeiner' Form ansr..:hreibcn

nil x ¹ und x₁ :>:Iel:>: gleich 0 lind 1 sind, können wir weiter ver- einfachen:

9 (0 - 1110 - x ,110 - x,1

+ ,,'

= 0 ' ⁽²³ bl Bei der Doppelwlll'zel x.\, x₄ gleich Oodo[' 1 vOfeinrilchl sic]) dit: Gicidlllng weiter. indem der dazugehörige Faktor in zweite Potenz gehoben wird, So wird z,U, flir /1 = 2 mit x_J = 0, und X4 ~ 1

Q' (Q - I)'

+ , ,'

~ 0

Hir 11= 4 mit x.₁= - I, %4= -2 Q (Q - IIIQ + IIIQ + 2) + ,,' ~ 0

Nun liefcl'n die Bostimmungsgleichullgen vienen Grades immer vier Wurzeln. die abhiingig vom Absolutwert \'on 1.;4

entweder redl ader konjugiert komplex sein können. Reelle Werle sind nur dann Inöglir..:h. wenn 0< Q < Y..,. wobei an den Stellen Xl bis x4 keine 1.ösung möglich ist Fiir konjugicrt

Bauingenieur 52 (1977) komplexe Wurzeln (CI.

±

13i) ist Imcbfolgende Ver'knUpfung Zu bcaclllcI1 ;

,I' = xl.' = .\"(i±t\1

Um hier die Eulcrschc Formel über komplexen Exponent trn- wt:ndcn Zu können. mUssen wir be(lehtell, daß x = el".\. Da·

mit wird

.1" = .\"7. ef}iln ... = ^'y1rAcosWln.\')"," Hisin(fHnx)]

iJi kann weiter in einc reelle In\egrillionskonstante IJ zusam·

mengehlßl we['den.

Wir sehcn, daß die Lösung durch Krt:isfunktiollcll im Auf- bau zum Schluß doch zyklisch wird, Oie Periode ist ZWar k ¹ 2n mit k ¹ = 1.2 ... , jedoch ist eins Argumcnt selbst als Funktion In gebunden, mit einer Periode kz2rri. wobei

"2

= 1,2. ist. Damit liegen dit: Nullstdien nicht mehr im kon- stanten Abstand 2n:, wie bei reinen K reisrllnktioncn, vielmehr' werden sie (]In Anfang wesentlich kUrzer. Erst rur große Argu-

T:\bcllc I. Übersicht der rcellcn Wurzcln dcr Bestimmungsglci·

dlllllg fiir Q ü

2'00 1'90 I'SO 1'70 1·60 1'5U 1'40 J'3U 1'20 1'10

1'00 0"iO O'MO (]'70 0'60 0'50 (],41l 0'.10 0'20 0'10 (]'Oll - 0'10 - 0'20 - 0']11 - (],41l - 0'50 - 0'60 - (]'71l - (]'RI) - 0'90 - 1'00 - 1'10 - 1'20

- n o

- 1'40 - 1'50 - 1'60 - 1'70 - I'RIl - 1'<)0 - 2'00

1/ = 1

0'0000 - 0'153<) - 0'2.104 - 0'2499 - 0'2304 -O'I~75 - 0'1344 - O'UHIY - 0'0384 - 0,0099 0'(1)00 - (f0099

-O'03~d

(],(IXIY - 0'1.144 - 0'1875 - 0'2104 - ()'2499 - 0'2304 - 0'1539 O'OOOU

I(~

11 = 3 11 = 4

'-

(fOIlIlIl (]'1l001l

- 0'1539 - 0'4959

- 0'2)04 - 0'8064

- 0'2499 - 0'9639 - ()'2.104 - ()'99R4

- O'IX75 (),9375

- 0'1344 - 0'8064 - (]'(lXIY - O'()279

- (]'03X4 0'4214

- O'OOYY - 0·1079

0'0000 0'0000

- (]'OOYY - 0'0384 - 0'0819 - U' 1344 - (flX75 - 0'2.104 - 0'2<199 - 0'2304 - O'153Y

0'0000

- O'207Y

- 0'4214

- 0'6279 - 0'8064 - 0'9375 - O'99/{4 -O"l6.JY - 0'8064 - O'495tJ (]'(11i01l

Tabelle 2a. Übersichl"der Lösüngen rür ganzzahlige JJ und m.

Anf~exponen ten

Y.,: Expon·enten

d~r

Reihenglieder tlir \' = 1; -"_

± ^{~"i + ,, (~}

^{+ ... ''',} singuläre Zweige o

ReHung Formparameter 11

Exp = ;."., + 3 + ^/PT

3 ;:: 12 ;::11 ~9

e'

" ^{. . .}

~8 ~'

, " ^I

^{~'llnl, - I)}

1,' 1,' 11;'(1111; - I) ~J(ln;; - I)

;,HZ3{2/±i~1 2)

I

"

^{;;.l(ln~ - I) ;;2}

^I

^{i,lln/, - 1)}

,

I _x' E_D.

~l(ln;_ I) ~2 In~

I

^i,"

~2 ~(In;; I) t, ,

,

^~-2

i,(lnl;- 1) In; ^~-2 1,"

~IO

-. ^.,

^{• l}

I ~9 ^{, ;8 ,}

^1,'

^,

^~6

"

^;:.;

^'"

^~5

, , ,

~'

,. , ,s ,

_1,'

~l) ~'

" ^{, I}

^{i,'lln~ - 11}

~Z2(2,./±i;;12)

" ^I

^{~3(ln,; I}) t;'lll1t - I) I; (In I; - I)

,

xl! E.D.

;;2(ln; - I) ;(In;; - I) In;

I

I; ,

;(In ~ - 1) In~

W'

^1,"

In; 11; , ^;::

,

^-2

;;- J

I, , I, "

, ,

^" .; --I

, .,

1,'

,0 , ,s _,

~3

~(In;; -

n

In 1;

;:. - I

,

~-2

,

~-3

c

.

~(lIl~-1)

;$ O n;; -

^I)

-'(ln; - I)

!;1/2Z1(2",l+i~1 2,

I

^{;'lln~ - 11 i,'[(lnl;)' - Ini,]}

-,~

In~ (In 1,)' - In 1,

I

^{~-I l; 1(ln;_I)}

; 2 1," (lnl; - I)

;; -J

;-3(1n~ _ I)

.; --I ;-.l(ln~ - 1)

Tabelle 2 b. Cbersicht der Lösungen rur ganzzahlige J1 und m, Anfangsexponenten Y.,: Exponenten der Reihenglieder rur \' I: y

= ± ;;"-i+

YI.l-tt' -.. I; singuläre

Z~\ieige

ßeuung m

5 4

1;"

I

^{I, ,}

"

,l , _,

11=2 i,lln/, - I)

;;8(ln'; - I)

;7(ln~ _ I}

Exp = ;.".[ + 2 + m

~o In~

^, "

;:7 _{;;7In~ ;::'}

, ,

1,' ;6In;

,. _,

•

Formparameier 11

11 = 3 Exp = Z, + I

+

^/Ir

1,0 In:; ^~

, ,

~I

;~

;;5

,0

,

"

,

"

,

1/=4

~-l

1,"

1,'

~o

~'

' 0

I

~[(Ini,)' - Inl,:

E.D.

I

^1,"

;: -1

" ,

^"

,

1,"

;;- 5

Exp = Y., + ^pt]

; -2

~.3

.;2

~6(ln~- li

;.$

;51n ;;

" ^,

"

,

3

~ ...

~s t,'"

~l)ln:;

~~ In';

';"'In';

1;'

~'"

t,J

" ^, _" ^{" .;2} r

^{;;Unt, - I)}

2

o

- I

-2 -3 -4 -5 -6 -7

;;~(II1~-1)

" , ;"'10:; , "

-;5

~'" i;:'fln~ - 1) 1,'

;;3

In:;

t,°Zo(2"I±i;12) ';2

~2 s'{ln~ - I)

I

^{s [i1n 1,)' +} In~] i;ln~

- ,'

(1n;f+ln~nn;;).3+(ln;;)l

I;

¹

.; 1

t,

I(ln; - ])

.;

;;-2 ~ 2(10:; _ I) ^{~ ,l}

~ -3 t, 3(ln:; -

I,

^{I, ,}

,

,

^{';-.l(ln; _ I)}

, , ,

E_D.

~-J In~ ..,

>---,--,::.::..::...:.:.

~-~ In';

t, ^-J In;;

~-"'In;;

';-!oln;

~3 ;;3 In'; ~2

; 12ZI(1,,":±i;;11)

r'---

~(In~ - I) i,[(ln~)'- lns] Iln1;l' - Ins

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lY""" •• '-, .. 10:;

--'-~;"-

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Z~(2,.i ±i~' 2)

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~(Ins - I) In~

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ln~

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~-2(ln;;-

n ' -'

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..

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:;-It1I1~ - I )

E.D.

::. -3

,

;::-4

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^"

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.;-8

t, ⁹

o

r

'"

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'"

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::i:

~ Q.

~

g:

~

'"

r.:

0;

Ö

'"

_!:, ~ ^~

:=

~

2 ~

[

~

"

~

"

0;

A

~

48

mellte VOn x nilhcl"I1 sich die Nulklurchgiingc logMilhmisch dem Wert 2 TC.

Es darl" darauf Ilingcwicscll werden, daß die Dimension von .\' in deI' Dgl. ,lls Uingc definiert ist. Die trigonometrischen Funktionen beziehen sich aber auf ein Bogenmaß: mIr eine Zahl. Durch komplexes Argument wird die Umwandlung deI' Liingc, durch Ins, in eine 1.(1111, Hogcnmilß, cl'I'cichl. Mit die- ser Erkliirung wird die Lösung der Dgl. fiir den konischen Pfahl mit konstanlcr Betlung 11

=

4: 111 = 0 \'crstHndlich.

Wir nehmen dil: Lösung nach Kamkc [16]. S.533. Dabei ist die Bezeichnung lHlCh Kamkc (t statt k* zu beachten:

.\'~yl\'+ R:~Jy"'+ 12x²y"+ rtJ'= O: d.i. (x⁴y"),,+ay=O.

Die Lösungen sind Ilir

(/ < I; y = x-1(Crx/lll + '" + C4:/"4)

mit

III~ =

5 ₄

+

_{- v}

~

_{' - "}

,

(/= I: y=x

! tlJl

¹(C₁+C₂[Ogx)+x It"'2(c.~+C",IOg,\")

mit

", .., = ±

2¹

15 ,

(I> I : Y=.\" l[(C,x'

+

C,x ')cos(ßiogs)

+

(C,x'

+

C,x ')sin(ßlogx))

mit ^{a;:::;; ;-;cos}

"

₂^,

,

p ... ;-;sin'2' wOl"undcdurch r^l

=

^(I

+ -

₁9 _6'

v" -

I(i'"-=!

,

~ rsinr., 5 ~ 4rcos!:

bestimmt sind.

Wir fllhn':l1 für /1 = 1.2. J. 4 noch dic UestillHllungsglei- chungcn flir Q an.

11 = I: Q(~ - I)'(~ - 2) = - k'

11=2: g'(g- I)'

=

- k"' keine reellen Wurzeln

11= 3; g'(Q- I)(Q+ I)~-I,'

" = 4; 0(0 - IHo

+

I)(Q

+

2) = - k"

Um dir..: reellen Wurzeln dieser Gleichungen zu gewinnen, milchen wir von einer Umkdlrullgder Gleichungen Gebnlllt:h.

Wir sondern 1H1t' solche Wcrte für Q uuS. die inl \lorgcsdIricbe- nr..:n Produkt einen ncgativen Wel't, dei' (bnn gleich {(I ist. er- geben.

Aus der vorstehenden Tabelle I können die reellen WIII'- zcln flir J/ = 1,3,4 enlnommen wel·den.

7. Übersicht

Um die Systematik der Lösungen in GesamlabhHngigkeit von

111 lind 11 ZII zeigen. wurden in den n<lchrolgcnden 'Llbellen 2il und 2b flir ganzzahlige /I von - I bis +4 und flif ganzztthlige

/11 von +4 bis -8 bzw, \'on +5 bis -7 nur die erstcn zwei Reihenglieder iillsschließlich in ihrem rllnktionldcn Alln)(lll (bl'geslellt. Die ~-lind ('-Wcrte erscheinen dabei nichl

Weiler sind auch für die singuliiren 1.\Veige die ersten heiden Reihellglicder mit ihren Funktionen aufgcfiihrt. Die Darstel- lung der Lösung mit Zylinderfunktiol1l:11 an den Stellen 4 I 111 11 - 2 ist ebenso el'f,tßt.

Schließlich ist an den Stellen 4

+

^{/11 -} 11 = 0 angedeutct.

daß dort die Lösung mit dem Ansatz XO - l:indimensionalc [)gl. 7.\1 konjugiert komplexen Wl1I'zeln aller vier I.weige lInd damit zu singuliil'en Lösungen, mit In behaftet, fülH'1. Gen,ILl

Bauingenicur 52 (1977) in diesel' Zeile iiberschneidcn sich dann die vier singultü'cn Zweige, die bei DoppelwufZcln entspl'echend reduziert wer- den,

F(ir den Balken verHnderlicher Biegesteifigkeit EI(!)x"

md' chlstischer Bel1ung veriindedichel' Intensitiit ("(s);::;

C(I)h(J)x'" wurden zur DgL (x'" .1''')'' =

C~?tl\ l)

^{x"', .I' fiir}

alle ^/11-, /I-Kombinationen die Lösungsmethodcn filr die regu- Wren wie auch fUr die singulürell Zweige vorgel1ihrt.

Fiir die rcguliiren Zweige wlll'de der Ansatz

)1 = L{/,·~"+\'H+"'-")

o

verwendet. wobei

1;=x:L mit C'"'' "= [/(1):("(1)/,(1) ;<1.

Dil: Anfangsexponenten 'Xi entsprechen der homogenen Dgl.

dei' einfachen Biegung. Ansonsten sind die Exponentcn von dei' Subform /I und IntensiHit dcr Bettung m abhlingig.

Die singuliircn Zweige sind sehr llilterschicdlich lind bc- inlllllten eine der nachfolgenden Funktionen S-l; S"I: Ins: s(lns - I) multipliziert mit dem regulHren Zweig. wie oben dargelegt. In der Lösung ist stets eine Zusatueil"e el1lhallen.

die durt:h Inlegration eines mit In behafteten POlell7!lusdr'llcks entsteht.

Die singllWl'en Zweige werden durch sukzcssive Integra- tion der Dgl. (~".

,,0"

=

S "'·

)1, ... I (<;) gewOIlIll:n, Dil: Intl:gra- lioll fiingt mit Yn = 0 an; das ist mit der homogenen Ogl.

I.usiilzlich wurden die Fiille bespt'Ochen, in welchen eine Aufspaltungder Dgl. vierter in zwei Dgl. zwcitcr Ordnung VOm

ßcsselsehen Typ möglit:h ist. In diesenl FHlIe ist die Anwen- dung der bereits tabellarisierten FUllktiollen möglich.

I.um Schluß wurdc noch k~II'z dei' Fall einei' eindimensio- nalen Dgl. vom EuJc.·schen Typ und deren Lösung mit dem Ansatz .I' = .:\"1.' crl;iutert. Fiir gC\'Jissc Werte von VI bnn die Lösung einc einfilche PotCIlZ von ,\' sein: sonst flilh g als kom- plexe Zahla

+

pi an. Dic Lösung wird auf xCl[Acos(lHnx) + Bsin03Inx)] zllriickgefiihrt.

Damit sind Wege zur Lösung jeder beliebigen Kombina- lion von I;orm und Heilung gezeigl worden.

'I,iteratur

~icllc daZu die An/;\,iben untCr' [9]

9. Likar, 0.: BeilrH~ zur Fl'ilgC dcs scitlichcn Widerstandcs der Pliihll: bl:i 111Igcllll:illl:m p()ICriZlln~HIZ dCI' Beltung. Dcr Bau- ingenieur 49 (1974). H, 12. S, 485-488

10. Likar. 0.: Sliihc konSI;lnter Dieke und linear \'criindcrlir,:hcr Bn.:ilc: die EIH~liziliilsglcichunßen und Verformungswerte, Bauteehnik 1968, [I. 5, S. 155 159

11. Uhr. 0.: SHibc konstanter Breitl: und linellr vedlndcrlichcr Dicke: illt'c Vcl'formllngs\\,erte, Bautcchnik 1968, H. 2, S. 61 bis 66

12, Ukar, 0,: Die konischen SI;;hc, ihre Fblslizitülsgleicllungen und Vcrformungen, l3autcehnik 1964, I-I. 10, S . .148 35() 13. Frohenius: Cl'clces Journal. Bd,80. S, 317

14. IIOrl-ThOll1n: Oie DiflcrcntialglciclHlng dcr Technik und Physik.lAufl, LCip;.o;ig: A. Barth 1939

15. McLachlan, N, W,: Theory 01" vibn1lions. Dovcl'. Publica·

lions. [ne.. Ncw YOl'k 1951

16. Kamkl:, E.: Oifrcrcnlialgleichungcll. Lösllngsmctllodcn llnd Lösungen, I, I3d .. 6, Aufl .. Leip;.o;ig: Ak !l(len~. VCl'bgs~cs. Gcest

1I. Portig 1959