Wir definieren Ta und Tb wie in der Vorlesung (Tc

Prof. Dr. H. Schmidli Wintersemester 08/09 Dipl.-Math. J. Eisenberg

Übungen zur Vorlesung Einführung in die Stochastik

Blatt 4

Abgabe: 18.11.2008 nach der Vorlesung

Aufgabe 1. (4 Punkte)

Sei a < 0 < b und Sn eine Irrfahrt. Wir definieren Ta und Tb wie in der Vorlesung (T^c := inf{n≥1 :Sⁿ=c}. Siehe auch S. 16 des Skriptes).

Berechnen Sie

1. P[Ta< Tb ≤N] Hinweis: Reflektionsprinzip 2. P[Tb < T^a≤N]

3. P[max{T^a, Tb} ≤N]

4. P[min{Ta, Tb} ≤N] 5. P[Ta≤Tb, Ta≤N]

Bem.: P[T^a≤Tb, T^a≤N]ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A vor dem ZeitpunktN und vor dem Spieler B ruiniert ist.

Aufgabe 2. (4 Punkte)

Auf einem W-Raum (Ω,F,P) seien Xi B(n, pi)-verteilte Zufallsvariablen i= 1,2. Dabei seip₁< p₂.

Beweisen Sie: P[X₁ ≤k]≥P[X₂≤k]fürk= 0,1, ..., n.

Aufgabe 3. (4 Punkte)

Ein idealer Würfel wird geworfen, bis zum ersten Mal zwei Sechsen hintere- inander auftreten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Experiment

spätestens mit dem 12 Wurf endet?

Aufgabe 4. (4 Punkte)

7% der Produktion eines Artikels besitzen den Fehler F₁; 5% besitzen den FehlerF₂. 90%der Produktion sind fehlerfrei. Wie groß ist die Wahrschein- lichkeit, dass ein aus der Gesamtproduktion zufällig ausgewählter Artikel a) beide Fehler besitzt?

b) den Fehler F₂ besitzt, unter der Bedingung, dass er den Fehler F₁ nicht besitzt?

c) beide Fehler besitzt unter der Bedingung, dass er mindestens einen Fehler besitzt?

d) den FehlerF₂besitzt, unter der Bedingung, dass er den FehlerF₁besitzt?