Analysis Bonn-Rhein-Sieg Hochschule

Hochschule Fachbereich Informatik

Bonn-Rhein-Sieg

University of Applied Sciences

Analysis

Ubungsblatt 3 ¨ Sommersemester 2021

– Musterl¨ osungen –

Aufgabe 1 (Komplexe Zahlen)

a) Bestimmen Sie die arithmetische Darstellung der folgenden komplexen Zahl:

z = (1 + 2i)²−(1−i)³ (3 + 2i)³−(2 +i)² b) Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung von

z := 1−√ 3i 2

Musterl¨osung:

a) Verwende die Binomische Formel:

z = (1 + 2i)²−(1−i)³

(3 + 2i)³−(2 +i)² = 1 + 4i−4−(1−3i−3 +i) 27 + 54i−36−8i−(4 + 4i−1)

= −3 + 4i−(−2−2i)

−9 + 46i−(3 + 4i) = −1 + 6i

−12 + 42i

= −1 + 6i

−12 + 42i · −12−42i

−12−42i = 12−72i+ 42i+ 252 144 + 1764

= 264−30i 1908 = 66

477 − 15 954i b) Wegen

z = 1 2− 1

2

√3i

1

gilt

r = |z|= r1

4+ 3 4 = 1 ϕ = arctan −

1 2

√3

1 2

!

= arctan −sin ^π₃ cos ^π₃

!

= arctan(−tanπ 3

) =−π 3 Also lautet die Polarkoordinatendarstellung 1,−^π₃

bzw. e^−iπ3.

Aufgabe 2 (Komplexe Potenzen) Berechnen Sie

1 2 −i√

3 2

!15

Musterl¨osung:

Gem¨aß A1 b) gilt 1 2 −i√

3 2

!15

= e^−iπ315

=e^−5π

= cos(5π)−i·sin(5π) = −1−i·0 = −1

Aufgabe 3 (L¨osung algebraischer Gleichungen)

Bestimmen Sie alle komplexen L¨osungen der Gleichung z³ = 8

Musterl¨osung:

Wir m¨ussen die drei dritten Einheitswurzelnz0, z1 undz2 von 8 bestimmen.

Wegen 8 = 8 +i·0 lautet die Polarkoordinatenstellung von 8: (8,0). Nach der Formel von Moivre gilt

z_k=√³

8·e^2πik3 , k= 0,1,2

2

also z₀ = 2 z₁ = 2

cos

2π 3

+i·sin 2π

3

= 2

−1

2+i· 1 2

√ 3

=−1 +i·√ 3 z₂ = 2

cos

4π 3

+i·sin 4π

3

= 2

−1

2−i· 1 2

√ 3

=−1−i·√ 3

Aufgabe 4 (Konvergenz von Folgen)

Die Folge an := ³ⁿ⁻²_n+2 konvergiert gegen den Grenzwert a := 3. Bestimmen Sie f¨ur ein beliebiges ε >0 ein n₀ ∈Nso, daß

∀n≥n0 |an−a| ≤ε

Musterl¨osung:

Sei ε >0 beliebig. Wir sch¨atzen|a_n−a| nach oben ab:

|an−a| =

3n−2 n+ 2 −3

=

3n−2

n+ 2 −3(n+ 2) n+ 2

=

3n−2

n+ 2 − 3n+ 6 n+ 2

=

−8 n+ 2

= 8

n+ 2

Dies ist genau dann ≤ε, wenn n≥ ⁸_ε −2. W¨ahle also bspw.

n₀ := max 8

ε −2

,1

Aufgabe 5 (Grenzwerts¨atze)

Es sei (b_n)n∈N ⊆Reine konvergente reelle Zahlenfolge mit

∀n∈N b_n≥0 und lim

n→∞b_n =b ≥0 Zeigen Sie, daß dann auch die Folge √

b_n

n∈N konvergent ist mit

n→∞lim

pb_n =√ b

Musterl¨osung:

1. Fall: b = 0: Seiε >0 beliebig. Da lim

n→∞b_n =b = 0, gibt es ein n₀ ∈Nso, daß

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∀_n≥n0 |b_n−0|=b_n≤ε² Dann gilt auch f¨urn ≥n₀:

|p

b_n−√

b|=|p

b_n−0|=√ b_n≤ε Also gilt auch lim

n→∞

pb_n =√

b (= 0).

2. Fall: b > 0: Sei wieder ε >0 beliebig. Da lim

n→∞b_n=b, gibt es ein n₀ ∈N so, daß

∀_n≥n0 |b_n−b| ≤ε√ b

Somit gilt mithilfe der dritten binomischen Formel:

|p

bn−√ b| =

(p

bn−√ b)

√b_n+√

√ b

b_n+√ b

=

b_n−b

√b_n+√ b

≤ 1

√b|bn−b| ≤ 1

√bε

√ b =ε f¨urn ≥n₀. Somit konvergiert die Folge √

b_n

n∈N gegen √ b.

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