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Einführung Numerik / Numerik für Naturwissenschaftler

Prof. Dr. H. Harbrecht FS 2021

Übungsblatt 9.

Betrachten Sie das Integral

𝐼 = ∫

𝜋 /2 0

cos(𝑥) d𝑥.

(a) Bestimmen Sie eine Approximation an das Integral mittels der Trapezregel. Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals.

(b) Bestimmen Sie eine Approximation an das Integral mittels der zusammengesetzten Trapezregel𝑇_𝑁 ^für𝑁 = 2, 4, 8^.

(c) Wieviele Teilintervalle sind hinreichend, um den Fehler|𝐼 − 𝑇𝑁| ≤ 10⁻⁵garantieren zu können?

Aufgabe 2(Simpson-Regel|4 Punkte).

Sei𝑓 (𝑥) = 𝛼 cos(𝑥) + 𝛽^mit𝛼, 𝛽 ∈R. Wir möchten die Approximation des Integrals

̂𝐼 = ∫ ^{𝜋 /2}

0

𝑓 (𝑥) d𝑥

mit Hilfe der Simpson-Regel betrachten. Zeigen Sie:

(a) Die zusammengesetzte Simpson-Regel𝑆𝑁 kann mittels der zusammengesetzten Trapez- regel𝑇_𝑁 wie folgt dargestellt werden:

𝑆𝑁[𝑓 ] = 𝑇2𝑁[𝑓 ] − (𝑇𝑁[𝑓 ] − 𝑇2𝑁[𝑓 ]) /3.

(b) Bestimmen Sie eine Approximation an das Integral ̂𝐼^mittels𝑆𝑁 für𝑁 = 2, 4^.

Aufgabe^⋆3(korrigierte Trapezregel|4 Punkte).

Seien𝑎, 𝑏 ∈Rund𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] →Rstetig. Zeigen Sie: Diekorrigierte Trapezregel

𝑇 [𝑓 ] =̃ 𝑏 − 𝑎

2 (𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑏)) +(𝑏 − 𝑎)²

12 (𝑓^′(𝑎) − 𝑓^′(𝑏))

istexaktfür Polynome bis zum Grad3, d.h. für alle Polynome𝑝 ∈ 𝛱₃ist

∫

𝑏 𝑎

𝑝(𝑥) d𝑥 = ̃𝑇 [𝑝].

Wie sieht diezusammengesetztekorrigierte Trapezregel𝑇̃𝑁[𝑓 ]^aus?

Aufgabe^⋆4(periodische Spline-Quadratur|4 Punkte).

Sei

𝑠(𝑥) =

𝑛+𝑘

∑

𝑖=−𝑘

𝑐_𝑖𝐵_𝑚(𝑥 − 𝑖)

der𝑛-periodische Spline der Ordnung𝑚 durch die Stellen(𝑗, 𝑦𝑗)^, 𝑗 = 0, … , 𝑛 − 1^{, wobei} 𝑘 ∶= ⌊^𝑚₂⌋^{ist und}𝑛 ≥ 2𝑘 + 1erfüllt. Dies bedeutet, es gelten𝑐₀ = 𝑐_𝑛 ^und𝑐_−𝑗 = 𝑐_𝑛−𝑗 ^und 𝑐𝑗 = 𝑐𝑛+𝑗 für alle𝑗 = 1, … , 𝑘. Zeigen Sie

∫

𝑛 0

𝑠(𝑥) d𝑥 =

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝑐𝑖.

Programmieraufgabe 5(Quadratur|4 Punkte).

Das MATLAB-Livescript mit der Aufgabenstellung finden Sie auf der Webseite der Vorlesung.

Reichen Sie bitte Ihre Lösung der Programmieraufgabe als ein komplettiertes MATLAB- Livescript und als eine pdf-Datei ein.