Beweisen Sie außerdem, dass die umgekehrte Implikation im Allgemeinen nicht gilt

J. Wengenroth WS 2009/10

N. Kenessey 16.12.2009

Einf¨uhrung in die Mathematik Ubungsblatt 8¨

Abgabe: Mittwoch, 06.01.2010, 10.00 Uhr, ¨Ubungskasten 5 Aufgabe 1

Sei (xn)n∈N eine gegen x∞ konvergente Folge. Zeigen Sie, dass die Folge der arithmetischen Mittelnan= 1

n

n

X

k=1

xk ebenfalls gegenx∞konvergiert. Beweisen Sie außerdem, dass die umgekehrte Implikation im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe 2

(i) Sei (xn)_n∈N eine Folge strikt positiver Zahlen. Beweisen Sie:

Falls die Quotienten xn+1

x_n gegenqkonvergieren, so ist lim

n→∞

√n

xn=q.

(ii) Beweisen Sie, dass die durch xn=

√n

n!

n definierte Folge konvergiert.

HinweisF¨urε >0 und ein geeignetes n∈Nzeige manxn+m≤(q+ε)^mxn= (q+ε)^n+m xn

(q+ε)ⁿ f¨ur allem, sowie eine analoge untere Absch¨atzung.

Aufgabe 3

Sei wieder (xn)n∈Neine Folge strikt positiver Zahlen und s die Folge der Par- tialsummen s_n =

n

X

k=1

x_k. Zeigen Sie mithilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die

Reihe

∞

X

n=1

xn genau dann konvergiert, wenn

∞

X

n=1

xn

s_n konvergiert.

Aufgabe 4

(i) Berechnen Sie den Limes superior und den Limes inferior der durch x_n=

(₁

k, fallsn=k! f¨ur eink∈N

2 + (−1)ⁿ, sonst definierten Folgex.

(ii) Seien x, y∈R^Nzwei beschr¨ankte Folgen. Beweisen Sie die Ungleichung lim sup

n→∞

(xn+yn)≤lim sup

n→∞

xn+ lim sup

n→∞

yn.

Finden Sie ein Beispiel daf¨ur, dass die Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe 5

Zeigen Sie f¨urz∈Cundp∈N, dass die Reihe

∞

X

n=1

n^pzⁿgenau dann konvergiert, wenn|z|<1.

Bitte wenden Bitte wenden

Bonusaufgabe 1[5 Bonuspunkte]

Berechnen Sie f¨ur|z|<1 die Reihe

∞

X

n=0

(n+ 1)zⁿ.

Hinweisn+ 1 =

n

X

k=0

1.

Bonusaufgabe 2[5 Bonuspunkte]

Die Babylonier benutzten ein sexagesimales Zahlensystem (auf 60-er Basis). Da wir nicht ihre Keilschrift lernen wollen, benutzen wir folgende Symbolik:

(i) 0-9 f¨ur die ersten 10 Ziffern (0 eingeschlossen) (ii) A-Z f¨ur die folgenden 26 Ziffern 10 bis 35 (iii) α-ω f¨ur die letzten 24 Ziffern 36-59

Stellen Sie die Dezimalzahlen 12 019 166 068 und 3 292 109 im babylonischen Zahlensystem. Begr¨unden Sie Ihr Ergebnis mit einer Rechnung.

HinweisDie erste Zahl ist gleich 15·60⁵+27·60⁴+24·60³+17·60²+14·60+28.

Sch¨one Weihnachten, und einen guten Rutsch ins Jahr

∞

X

n=0

µ2009 2010

¶ⁿ .