H¨ ohere Mathematik II f¨ ur die Fachrichtung Physik

Institut f¨ur Analysis Dr. Christoph Schmoeger M.Sc. Yonas Mesfun

SS 2020 23.04.2020

H¨ ohere Mathematik II f¨ ur die Fachrichtung Physik

1. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1 ( ¨Ubung)

Seienm, n∈N, A∈K^m×n und (·|·) das Standardskalarprodukt imK^m. a) Zeigen Sie, dass

Bild(A)^⊥= Kern(A^∗).

b) Sei nunm =n und K=C. Zeigen Sie:

A ist selbstadjungiert, d.h.,A =A^∗. ⇐⇒ (Av|v)∈R f¨ur alle v ∈Cⁿ.

Seien nun (V,(·|·)) ein beliebiger Skalarproduktraum und M, N ⊆V Untervektorr¨aume von V. c) Zeigen Sie (M +N)^⊥ =M^⊥∩N^⊥.

d) Sei nun zus¨atzlich dim(M)<∞. Zeigen Sie

(M^⊥)^⊥ =M.

Hinweis: Zeigen Sie die Mengengleichheit durch doppelte Inklusion. Nutzen SieV =M⊕M^⊥ (vgl. Satz 15.8) f¨ur den Nachweis der Inklusion ⊆.

Aufgabe 2 (Tutorium)

Sei V ein K-Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·).

a) Seien Vektoren v₁, ..., v_n, w₁, ..., w_m ∈ V und Skalare α₁, ..., α_n, β₁, ..., β_m ∈ K (n, m ∈ N) gegeben. Zeigen Sie, dass

n

X

i=1

α_iv_i

m

X

j=1

β_jw_j

!

=

n

X

i=1 m

X

j=1

α_iβ_j(v_i|w_j).

Seien nun n ∈ N und {u₁, ..., u_n} ⊆ V eine Orthonormalbasis von V. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

b) Es gilt (v|w) = Pn

i=1(v|u_i)(w|u_i) f¨ur allev, w∈V. c) Es giltkvk² =

n

P

i=1

|(v|u_i)|² f¨ur alle v ∈V.

Aufgabe 3 ( ¨Ubung)

Sei (V,(·|·)) ein Skalarproduktraum ¨uber K mit Normkvk:= (v|v)¹²,v ∈V. Wie aus Satz 14.23, HM I, bekannt ist, gilt dann dieParallelogrammidentit¨at, d.h., f¨uru, v ∈V gilt

ku+vk²+ku−vk² = 2 kuk² +kvk²

. (∗)

a) Sei nun V = C([0,1]) := {f: [0,1] → R | f ist stetig}. F¨ur f ∈ V definieren wir kfk :=

maxx∈[0,1]|f(x)|.

(i) Zeigen Sie, dass (V,k · k) ein normierter Raum ist.

(ii) Zeigen Sie mit Hilfe der Parallelogrammidentit¨at, dass (V,k · k) kein Skalarproduktraum sein kann.

b) Zeigen Sie die Umkehrung von a) (vgl. Satz 14.24, HM I): Sei (V,k · k) ein normierter Raum

¨uberK, sodass die Parallelogrammidentit¨at (∗) gilt. Zeigen Sie, dass dann ein Skalarprodukt (·|·) auf V existiert, sodass kvk= (v|v)¹² f¨ur allev ∈V gilt.

Gehen Sie hierf¨ur in mehreren Schritten vor:

(1) Betrachten Sie zun¨achst den Fall K=R und definieren Sie hu|vi:= 1

4(ku+vk²− ku−vk²) f¨uru, v ∈V.

Machen Sie sich klar, dass kuk=hu, ui¹² f¨ur alleu∈V gilt. Damit ist auchh·,·i insbe- sondere positiv. Wir weisen nun in mehreren Schritten nach, dassh·|·iein Skalarprodukt aufV ist.

(i) Zeigen Sie hu|vi=hv|ui und hu|2vi= 2hu|vi f¨ur alle u, v ∈V. (ii) Zeigen Sie,hu+v, wi=hu|wi+hv|wi f¨ur alle u, v, w∈V.

(iii) Folgern Sie aus (ii), dass hλu|vi=λhu|vi f¨ur alle λ∈Q und u, v ∈V.

(iv) Zeigen Sie, dass f¨ur feste u, v∈V die Abbildung R→R, t7→ htu, vi stetig ist.

(v) Folgern Sie aus (iii) und (iv), dasshλu|vi=λhu|vif¨ur alleλ ∈R, undu, v ∈V. (2) Sei nunK=C. Wir definieren

(u|v) :=hu|vi+ihu|ivi f¨uru, v ∈V,

wobei h·|·i so definiert ist wie in (1). Zeigen Sie, dass (·|·) ein Skalarprodukt auf V definiert mitkvk= (v|v)¹² f¨ur allev ∈V.

Aufgabe 4 (Tutorium)

Hinweis: In Satz 15.2 (Gram-Schmidt-Verfahren) hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Es muss

c_k :=v_k−

k−1

X

j=1

(v_k|c_j)

kc_jk² c_j (k = 2, ..., n) heißen.

a) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von U = lin({u1, u2, u3}) ⊆ R⁴ und berechnen Sie d(v, U) := minu∈Ukv−uk mit

u₁ =











 0 1 1 0











 , u₂ =











 0 1 0 0











 , u₃ =











 1 1

−2 1











 , v =











 1 1 2

−1











 .

b) Sei V = C([−1,1]) ausgestattet mit dem Skalarprodukt (f|g) = R1

−1f(x)g(x)dx, f, g ∈ V, und U = lin({p₀, p₁, p₂}), p_i: [−1,1] → R, p_i(x) = xⁱ, i = 0,1,2, der Untervektorraum der Polynomfunktionen des Grades ≤ 2. Berechnen Sie mithilfe des Gram-Schmidt-Verfahrens eine Orthonormalbasis vonU.

Aufgabe 5 ( ¨Ubung)

Es sei (G,) eine Gruppe. Seien ferner (G1), (G2) und (G3) die Gruppenaxiome aus der Vorlesung (vgl. Seite 7, Skript). Zeigen Sie:

a) Das Elemente in (G2) ist eindeutig bestimmt.

b) Sind a, b∈G wie in (G3), so istb durch a eindeutig bestimmt. (Wir schreiben a⁻¹ :=b).

c) Sind a, b∈G gegeben, so gibt es ein eindeutiges Element x∈Gmit ax=b.

Zusatz: Im Folgenden zeigen Sie, dass man die Gruppenaxiome abschw¨achen kann.

Es seiGeine nichtleere Menge versehen mit einer Verkn¨upfung: G×G→G. Ferner definieren wir die Aussagen (G2’) und (G3’) durch

(G2’) Es existiert ein e ∈G, sodass ea=a f¨ur allea ∈Ggilt (linksneutrales Element), (G3’) F¨ur alle a∈Gexistiert ein b∈G, sodass ba =e (linksinverses Element).

Zeigen Sie:

(G,) erf¨ullt (G1), (G2’), (G3’). ⇐⇒ (G,) ist eine Gruppe.

Aufgabe 6 (Tutorium)

Seienn, m∈N mit n < m. Wir betrachten f¨urA∈K^m×n,y∈K^m die Gleichung Ax=y.

a) Machen Sie sich klar, dass es im Allgemeinen keine L¨osung x∈Kⁿ gibt.

b) In Anbetracht von a) formulieren wir daslineare Ausgleichsproblem: Finde x₀ ∈Kⁿ, sodass ky−Ax₀k= min

x∈Kⁿ

ky−Axk. (∗)

Zeigen Sie: Es existiertx₀ ∈Kⁿ, das (∗) erf¨ullt. Weiterhin gilt f¨ur x₀ ∈Kⁿ die ¨Aquivalenz:

x₀ erf¨ullt (∗). ⇐⇒ A^∗Ax₀ =A^∗y.

Hinweis: Nutzen Sie den Projektionssatz (Satz 15.8) mitV =K^m und U = Bild(A).

c) Zusatz: Seien feste Vektoren x = (x1, ..., xm), y = (y1, ..., ym) ∈ R^m und eine von einem Parametervektor α = (α₁, α₂) ∈ R² abh¨angende Funktion f_α: R → R, f_α(x) = α₁ +α₂x gegeben. Bestimmen Sie den Parametervektorα₀ ∈R² so, dass

m

X

i=1

(y_i−f_α0(x_i))² = min

α∈R² m

X

i=1

(y_i−f_α(x_i))². Hinweis: Fassen Sie die Aufgabe als lineares Ausgleichsproblem auf mit

A= (1, x) :=







 1 x₁

... ... 1 xm









∈R^m×2 und y =







 y₁

... ym









∈R^m

und nutzen Sie Aufgabenteil b).

Allgemeine Informationen

• Webseite zur Vorlesung: http://www.math.kit.edu/iana3/lehre/hm2phys2020s/

• Kursmaterialien in ILIAS: https://ilias.studium.kit.edu/

Ubungsbetrieb ¨

• WICHTIG: Anmeldung zu den Tutorienbis zum 26.04.2020, 14 Uhr,unter

https://www.redseat.de/kit-physik/. Die Einteilung wird am selben Tag noch per E-Mail verschickt. Die Tutorien beginnen ab dem 27.04.2020 und finden zu den angegebenen Ter- minen in Form vonVideokonferenzen inMicrosoft Teams statt. N¨ahere Informationen hierzu finden Sie im ILIAS-Kurs.

• Jeden Donnerstag erscheint auf obiger Webseite und im ILIAS-Kurs ein ¨Ubungsblatt. Sie umfassen den Stoff der aktuellen Woche und werden zum Teil freitags in der ¨Ubung, zum Teil in den Tutorien der folgenden Woche besprochen. Die ¨Ubung wird alsVideo in ILIAS zur Verf¨ugung gestellt.

Klausur

• Informationen hierzu liegen noch nicht vor und werden noch bekanntgegeben.