Naturwissenschaftliche Fakultät

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Programmiersprachen und Softwaretechnik

Prof. Klaus Ostermann

Leitung des Seminars David Binder Ingo Skupin

Kategorientheorie für Programmierer

Hausaufgabenblatt 5 – SS18

Aufgabe 1: Lektüre

Für die nächste Sitzung lesen Sie bitte Kapitel 18 und schicken Ihre Fragen bis Dienstag Abend an uns.

Ignorieren Sie dabei Abschnitte, die über representable functors sprechen, da diese erst später behandelt werden.

Aufgabe 2: Äquivalenz der Adjunktionsdefinitionen

Gegeben sei folgende Adjunktion:

C D,

L R

`

also FunktorenL:C → DundR: D → Cmit den natürlichen Transformationenη:I_C →R◦Lundε:L◦R→ I_D, sodass folgende Diagramme kommutieren:

L LRL

L

Lη

id εL

R RLR

R

η_R

id Rε

Außerdem seien

ϕ_c,d: Hom_D(Lc, d)→Hom_C(c, Rd) f 7→Rf◦ηc

und

ψ_c,d: Hom_C(c, Rd)→Hom_D(Lc, d) g7→εd◦Lg

gegeben. Zeigen Sie, dassϕc,d◦ψc,d = id_HomC(c,Rd) undψc,d◦ϕc,d = id_HomD(Lc,d)für alle Objektec ausC unddausDgilt. Zeigen Sie außerdem, dassϕundψnatürlich Transformationen zwischen den Profunktoren HomD(L−,−) :C^op× D → SetundHomC(−, R−) :C^op× D → Setsind, wobei diese Profunktoren durch

HomD(L−,−)(c, d) = HomD(Lc, d) HomC(−, R−)(c, d) = HomC(c, Rd)

auf Objekten und

Hom_D(Lf, g)(h) := Hom_D(L−,−)(f^op, g)(h) =g◦h◦Lf ∈Hom_D(Lc⁰, d⁰) fürh∈Hom_D(Lc, d) Hom_C(f, Rg)(h) := Hom_C(−, R−)(f^op, g)(h) =Rg◦h◦f ∈Hom_C(c⁰, Rd⁰) fürh∈Hom_C(c, Rd) auf Morphismenf:c⁰→cundg: d→d⁰ definiert sind.

Aufgabe 3: Adjunktionen – Beispiele

SeienZ undRdie die ganzen beziehungweise die reellen Zahlen, jeweils als preorder-Kategorien mit ihren natürlichen Ordnungen. Zeigen Sie, dass für die Auf- beziehungs Abrundefunktionend·e,b·c:R→Zund die natürliche Injektioni:Z→Rgilt, dassd·elinks- undb·crechtsadjungiert zuiist.

Aufgabe 4: Adjunktionen – Beispiele 2

SeiC eine beliebige Kategorie mit Initial- und Terminalobjekten. Sei außerdem1die Kategorie mit nur einem Objekt und nur einem Morphismus (der Identität auf dem Objekt). Zeigen Sie, dass man das Initial- und das Terminalobjekt jeweils durch eine Adjunktion zwischen diesen beiden Kategorien darstellen kann.

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