Projektionen wie schon immer ...

(1)

Projektionen

wie schon immer ...

Computergraphik

(2)

Bilderzeugung ?

Computergraphik Welt & Bildmodell

4

Graphics Pipeline

Modeling Transformations

Illumination (Shading) Viewing Transformation (Perspective / Orthographic)

Clipping Projection (to Screen Space) Scan Conversion (Rasterization) Visibility / Display

Output:

Farben / Intensitäten:

Angepasst an den Framebuffer und den Bildschirm (z.B. 24-bit RGB Werte) .

Input:

Geometrische Modelle:

Beschreibung aller Objekte, Oberflächen, Position der Lichtquellen.

Beleuchtungsmodell:

Rechenvorschriften zur Simulation der Interaktion von Materie und Licht Blickwinkel:

Kamera oder Augenposition,

"viewing frustum"

Raster Bereich

"Viewport", Pixelgrid in welches die Bildeben abgebildet wird

(3)

Modeling Transformations

3D Modelle haben eigenes Koordinatensystem (object space)

"Modeling transforms" orientieren die Modelle in einem gemeinsamen Koordinatensystem (world space)

Object space World space

Perspektivische Projektion 3D => 2D

(4)

Viewing Transformation

Abbildung der Weltkoordinaten in Kamerakoordinaten.

Blickrichtung wird i.a. in den Ursprung und entlang einer Koordinatenachse gewählt.

Eye space

World space

8

Betrachten dreidimensionaler Szenen

Ebene geometrische Projektionen: Der Wechsel von 3D Koordinaten zu 2D Bildschirmkoordinaten!

perspektivisch parallel

Der Unterschied zwischen parallel und perspektivischer Projektionen liegt im Abstand des Projektionszentrums (Augpunkt) zur Projektionsebene und zum Objekt.

(5)

Parameter einer 3D-Ansicht.

Bild-, Projektions-ebene (viewing plane VP )

Blickpunkt (view reference point VRP) Normale der Bildebene (viewing plane normal VPN) Abstand der Bildebene zum Augpunkt (viewing plane distance VPD) Oben Richtung (viewing up VUP)

Bildschirmmitte (center of window CW) Projektionsrichtung (direction of projection DOP)

Augpunkt (projection referenec point PRP)

Vordere und hinter Clippingebene (front and back plane FP BP)

10

Betrachten dreidimensionaler Szenen (3)

Die Parallel- als auch die perspektivische Projektion werden in viele Projektionstypen aufgespalten.

Parallelprojektionen Perspektivische Projektionen

Rechtwinklig:

Hauptriss

Axionometrische: iso-,di- tri-metrische

Schiefwinklig: Kavalier, Kabinett

1 Punkt , 2Punkt, 3Punkt

(6)

Homogene Koordinaten 2D

n.

beschreibe

Punkt selben

den

und obei w

,



 























































 



 





y P x

h y x k h

y x h y x y

x

2D Kartesische Koordinaten ---> Homogene Koordinaten

12

Perspektivische Projektion

Projektion von 3D-Koordinaten zu 2D Bildschirmkoordinaten!













 















 

 z z

x d z z

z x z

x

pz pz

pe pz p













 















 

z z y d z z

z y z

y

pz pz

pe pz p

z z

z_p  _{p e} 

(x_p,y_p,z_pe)

z z

z z x x

pz pe pz p



 

Strahlensatz:

P= (x,y,z) Annahmen:

Augpunkt auf der z-Achse (0,0,z_pz)

Projektions Ebene Projektionsebene z-Achse

Z_pz Z_pe

d = z_pz- z_pe

(7)

Perspektivische Projektion

Homogenen Koordinaten

1 1

h p

perspektiv

h pe

x x x

y y y

h M

z z z

h

     

     

     

     

     

0 0 0

0 0

1 1

0 0 1

pz

p p pz

pe pz

pe

pz pz

pz

pz pz

d

z z

x d x

z z

y y

z z

z z z z z

z

z z z z

 

  

 

     

      

    

       

        

      

 

    

 

14

Perspektivische Projektion

Homogenen Koordinaten

1 0 0 0

0 1 0 0

mit 0 0

1 1

0 0

h

pz h pe pz

pe h

pz

x x

z z y z z y

h z

z z

d d d

h z

d d

 

 

     

     

      

           

 

 

1 1

h p

perspektiv

h pe

x x x

y y y

h M

z z z

h

     

     

      

     

     

(8)

Perspektivische Projektion (Sonderfall 1 )





















 



 



d z d

d z z d z M

pz pz pe pe per

0 1 0

0 0

1 0

0 0

0 1

Bisherige Annahmen: Augpunkt auf der z-Achse (0,0,z_pz), Projektionsebene z-Achse

A) mit z_pz= 0 und z_pe= -d‘

per

1 0 0 0

0 1 0 0

M' 0 0 1 0

0 0 1 0

' d

 

 

   

 

  

 

 

' und

'

d d h z

   d

16

Perspektivische Projektion

Projiziere alle Punkte entlang der z-Achseauf die z= dEbene, Augpunkt im Ursprung

x y z z / d

=

x y z 1 1

0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1/d

0 0 0 0 x · d / z

y · d / z d 1

=

homogenize

p

d x x

x z z d

  

p

d y y

y z z d

   zp d

(9)

Perspektivische Projektion (Sonderfall 2 )





















 



 



d z d

d z z d z M

pz pz pe pe per

0 1 0

0 0

1 0

0 0

0 1

Bisherige Annahmen: Augpunkt auf der z-Achse (0,0,z_pz),

B) mit z_pz= -d‘ und z_pe= 0

per

1 0 0 0

0 1 0 0

M' 0 0 0 0

0 0 1 1

' d

 

 

   

 

 

' '

und '

d

z h d d

d 









Projektionsebene z-Achse

18

Grenzübergang, d → ∞

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1/d

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

→

...ist eine

orthographische Projektion diese perspektivische

Projektionsmatrix...

(10)

Perspektivische Projektion (allgemein)

 

mit (0, 0, ) ( , , )

folgt für einen Punkt ' ( ', ', ') auf .

' ' '

pe x y z

x x

y y

pe z pe z

PZ z Q d d d

P x y z S

x Qd x Qd

y Qd t y Qd

z z Qd z z Qd

 



 

  

     

            

löse die Gleichungen für ' nach , ' und '

pe p

p p

z z z

t x x y y

 

( ), 0 1

P Z  t P  P Z  t

P_pliegt auf der Strecke Szwischen PZund P

P= (x,y,z) Annahmen:

Augpunkt auf der z-Achse (0,0,z_pz)

Projektions- Ebene

Pp=(xp,yp,zpe)

(0,0,z_pe) PZ

Projektionsebene z-Achse

Q (d_x,d_y,d_z) PZ

20

Perspektivische Projektion (allgemein)

 

' (1)

' (2)

' (3)

x x

y y

p z p z

x Qd x Qd

y Qd t y Qd

z z Qd z z Qd

 

  

     

      

     

    

      ^{P= (x,y,z)}

Projektions- Ebene

P_p=(x_p,y_p,z_p)

(0,0,z_p) Q

(d_x,d_y,d_z) PZ

z 1

) 2 ( in ) 3 (

p  







z

z y p z y p

Qd z

d z d d z d y y

 

für ' (3)

p

p p z

p z

z z

z z Qd

t z z Qd



 

   

, z 1

(1) in ) 3 (

p  







z

z x p z x p

Qd z

d z d d zd x x

(11)

Perspektivische Projektion (allgemein)

z 1

p  







z

z y p z y p

Qd z

d z d d zd y y

, z 1

p  







z

z x p z x p

Qd z

d z d d zd x x

p

z 1

z

z 1

z

p p

z

z z Qd

z Qd

 

 



p

z 1

z

z 1

z

p p

z

z z Qd

z Qd

 

 



per ?

M 

z 1 h 1

p  

 Qdz

z

2

1 0

0 1

0 0

0 0 1 1

x x

p

z z

y

p

z z

per

p p

p

z z

p

z z

d d

d z d

d dy

d z d

M z z

Qd Qd z z

Qd Qd

  

 

  

 

  

   

 

   

 

 

2

1 0

0 1

0 0

0 0 1 1

x x

p

z z

y

p

z z

p p

p

z z

p

z z

d d

d z d

d dy

d z d

z z

Qd Qd z z

Qd Qd

  

 

  

 

   

 

   

 

 

22

Perspektivische Projektion (allgemein)



























1 1 0 0

0 0

1 0

0 1

allgemein 2

z p z

p z p z

p

z y p z

y

z x p z

x

Qd z Qd

Qd z z Qd

z

d z d d

d

d z d d

d

M

Z_p Q [ d_x d_y d_z]



⁰⁰^-¹



0



o r t

M



0 0 -1



d d

p e r

M



0 0 -1



d 0 '_{p e r} M

(12)

Parallel Projektion



























1 1 0 0

0 0

1 0

0 1

allgemein 2

z p z

p z p z

p

z y p z

y

z x p z

x

Qd z Qd

Qd z z Qd

z

d z d d

d

d z d d

d

M

Z_p Q [ d_x d_y d_z]



^{c o s} ^{s in} ^-¹



0

  

C a v a lie r

1 - 2 s in 2 cos 0





  

Cabinet

24

Was ist falls p

_z

≤ Auge

_z

ist ?

(eye_x, eye_y, eye_z)

image plane z axis

(13)

Was ist falls p

_z

≤ Auge

_z

ist ?

26

Was ist falls p

_z

≤ Auge

_z

ist ?

(14)

Was ist falls p

_z

≤ Auge

_z

ist ?

???

28

Was ist falls p

_z

≤ Auge

_z

ist ?

Ausweg: beschränken der Geometrie auf das " view

frustum"

(15)

Projektionen der "pipeline"?

Camera /eye Space

Normalized Device Coordiantes

Screen Space

30

Normalizing the Viewing Volume

2 0 0 0

2

0 0 0

2

0 0 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

2 2

2

1 1

normalized normalized normalized

r l

t b

n f

l r b t

n f

x x

y y

z z





 



   

   

       

       

      

       

       

   

 

Orthographic viewing volume:

x = l:=left plane x = r:=right plane y = b :=bottom plane y = t:= top plane z = n:=near plane z = f:= far plane

(16)

Orthographic Projection

   

1 1 1

pixel normalized

sreeen o

normalized normalized

x x x

y y y

M M

z z z

     

     

        

     

     

 

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

2 2 2

1 1

pixel pixel

screen normalized

r l

r b

r f

l r b t n f

x x

y y

z M z





 



   

   

       

       

        

       

       

   

 

2 0 0 0

0 0

2 2

0 2 0 0

0 0

2 2

2

0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

2 2 2

1 1

x x

pixel

y y

pixel normalized

n n

r l

n n

r b

r f

l r b t n f

x x

y y

z z





 



   

      

 

        

         

         

        

           

32

Viewing Transformation

Welt Koordinaten → Kamera koordinaten

Positionieren der Kamera

Translation + Änderung der orthonormal Basis Gegeben:

Koordinatenxyz& uvn, und der Punkt p= (x,y,z) Finde:

p= (u,v,w) x

y v

u x p

y u

v

- w

(17)

Viewing Transformation

Positionieren der Kamera

Gegeben:

Koordinatenxyz& uvw, e und der Punkt p= (x,y,z) Finde:

p= (u,v,w)

v

0 1 0 0

0 0 1 0

M

0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1 1

x y z x

x y z y

x y z z

u u u e x

v v v e y

w w w ^ e z

      

      

     

      

     

     

34

Full orthoraphic projection pipeline

compute: M_v

compute: M_o M = M_oM_v

Foreach line segment ( a_i, b_i) do p = M a_i

q = M b_i

draw line (x_p, y_p, x_q, y_q)

(18)

Perspective Projection

 

'

1

P

h x x

h y y

h z M z

h

    

    

     

    

   

   

P

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0

0 0 1 0

n f

M f

n n



 

 

  

   

 

 

36

Full perspective projection pipeline

compute: M_v compute: M_o compute: M_P

M = M_oM_PM_v

Foreach line segment ( a_i, b_i) do p = M a_i

q = M b_i

draw-line ( x_p/h_p, y_p/h_p, x_q/h_q, y_q/h_q)

M_oM_Pis often called theprojection matrix

(19)

The openGL projection Matix

M_oM_Pis often called theprojection matrix

openGL

2

0 0

M

0 0

0 0 1 0

n r l

r l r l

n t b

t b t b

f n fn

f n f n



 



 

 

 

 

 

 

 

  

 

38

Graphics Pipeline

Effizientes Clipping wird NICHT in einem einzelne Prozessschritt durchgeführt!

(20)

Full Clipping

"clip" geometry to view frustum

40

Front- & Backplane clipping

"clip" geometry to near plane

(21)

Tiefenspeicher ( z-buffer algorithm 1974 )

Für jeden Rasterpunkt x,ywird zusätzlich, außer dem BildspeicherB(x,y) der die Farbintensitäten i speichert, noch ein Tiefenspeicher T(x,y)für z(x,y)angelegt (16 - 32 bit).

1.) Initialisieren: für alle x,y

B(x,y)= Hintergrundfarbe

T(x,y)= Zmax (maximal vom Beobachter entfernt).

2.) Alle Objekte rendern ( rastern, scanline-konvertieren) z(x,y)berechnen;

nur falls z(x,y) < T(x,y)

==> T(x,y)= z(x,y) und B(x,y)= i (x,y)

Wolfgang Strasser, in seiner Habilitationschrift (1974) erster Hinweis auf Z-buffer Methodik.