Vorlesungszyklus - Maus
1
Funktionale Zusammenhänge
Funktionale
Zusammenhänge
2
Funktionale Zusammenhänge
Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:
3
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:
Bremsweg
Bremsweg → Geschwindigkeit?
ODER
Geschwindigkeit → Bremsweg?
4
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit einen Sinn ergeben?
5
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer
sein:6
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer sein:
ISBN-Nummer Buchtitel → Preis
ODER
Buchtitel → ISBN-Nummer → Preis
nach: Büchter & Henn
7
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Unterschiedliche
Betrachtungsebenen
8
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
quantitativ qualitativ
9
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung:
Je mehr
mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen, desto tiefer können
Betrachtungen und Einsichten sein
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
10
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzliche
Aussagen getroffen werden, z.B.:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
11
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzliche
Aussagen getroffen werden, z.B.:
Die Füllhöhe nimmt zu.
Da der Graph nicht gleichmäßig verläuft, wird es „Störungen“
geben.
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
12
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Möchte man tiefere Einsicht in den Vorgang gewinnen,
benötigt man quantitative Informationen:
ZAHLEN
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
13
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen
beantwortet werden:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
14
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen
beantwortet werden:
Wann wurde welche Füllhöhe erreicht?
Wie schnell steigt der Füllpegel ? (absolut bzw. durchschnittlich)
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
15
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Für einen solchen
unregelmäßigen Verlauf wird es in der Regel keine „Formel“ geben, die diesen Verlauf beschreibt.
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
16
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Das Schnurproblem
17
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen.
Frage: Was geschieht mit der „Schnurhöhe“, wenn die Länge der Schnur zunimmt?
18
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
begründete Vermutungen
aufstellen
nimmt ab bleibt gleich
wird größer
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
19
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Sammeln von konkreten Messdaten
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
20
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Aufstellen einer Formel
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
21
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
22
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
23
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Erklärung finden
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
24
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
25
Schicke Überleitung
Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw.
erkennen können:
1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton.
2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.
26
Schicke Überleitung
Und weiter gedacht:
Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz so leicht aus dem Funktionsterm „abgelesen“ werden kann, z.B. Fragen nach
optimalen Verpackungsgrößen.
27
Schicke Überleitung
Fazit:
Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des Funktionsbegriffs erforderlich machen.
28
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
29
Funktionsbegriff(e)
30
Funktionsbegriff(e)
31
Funktionsbegriff(e)
32
Funktionsbegriff(e)
33
Funktionsbegriff(e)
34
Funktionsbegriff(e)
35
Funktionsbegriff(e)
36
Funktionsbegriff(e)
Gibt es eigentlich einen
Unterschied zwischen den Begriffen „Funktion“ und
„Abbildung“?
37
Funktionsbegriff(e)
38
Zwischenbilanz
Zwischenbilanz
39
Zwischenbilanz
Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen?
konkreter Kontext (innermathematisch) (außermathematisch)
konkrete Fragestellung (erarbeiten lassen)
Funktionsterm (aufstellen lassen) mathematischer
Werkzeugkasten
40
Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-
untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel- berechnungen
Tangenten bestimmen
Parameterunter- suchungen
…
41
Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-
untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel- berechnungen
Tangenten bestimmen
Parameterunter- suchungen
…
42
Kurvendiskussion
Kurvendiskussion
43
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
44
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus der Praxis zum Status Quo:
45
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Pro Kommentar
Es werden zumindest technische Fertigkeiten vermittelt.
Dieser Aspekt gehört nicht zu den primären Zielen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte.
In vielen Fällen könnte dies auch von einem CAS
übernommen werden.
In vielen Bundesländern ist dies auch schon gängige Praxis (z.B. Niedersachsen).
46
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
47
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
48
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
Selten anwendungsrelevante Kontexte. Und wenn, dann sind das künstliche Scheinprobleme.
Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
49
Der Mathematik-Didaktiker Pro Kommentar
--- ---
50
Kleiner Einschub:
Heuristik: ???
51
Kleiner Einschub:
Heuristik: Die Kunst
mit begrenztem Wissen und wenig Zeit
zu guten Lösungen zu kommen.
52
Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben
heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler
werden nicht aufgefordert eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu finden.
Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
53
Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben
heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler
werden nicht aufgefordert eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu finden.
Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
Damit
zusammenhängend: Die typische Kurvendiskussion ist einseitig
ergebnisorientiert angelegt.
Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Auch in der Schule gilt:
„Der Weg ist das Ziel.“
54
Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A
Schüler sind beschäftigt und im Allgemeinen nicht überfordert.
1. Seien wir ehrlich:
manchmal ist es
notwendig, dass man die Schüler auf einfache Weise lange beschäftigen kann.
Aber: dies kann natürlich nicht der grundsätzliche Anspruch an einen
Aufgabentyp sein.
2. Lieber das Niveau
senken als sich Gedanken zu machen, wie man den Stoff vernünftig
aufbereiten kann?
55
Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A
Es handelt sich um einen korrekturfreundlichen Unterrichtsgegenstand.
Das ist ein Aspekt der
Arbeit eines Lehrers, der in der Praxis ein großes
Gewicht besitzt.
Eine schriftliche
Leistungskontrolle sollte stets korrekturfreundlich konzipiert werden, ohne dabei anspruchslos zu sein.
56
Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B
Eintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
57
Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B
Eintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Keine inhaltliche Tiefe. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
58
Der Mathematik-Schüler Pro Kommentar Typ A
Im Gegensatz zu Beweisen und „Denksport-Aufgaben“
sind das „richtige“
Aufgaben:
„Und das ist auch gut so!“
„Brot für die Armen.“
Man weiß, was man machen soll und was für die Klausur zu lernen ist.
Solche Aufgaben(teile) muss es auch weiterhin geben!
59
Der Mathematik-Schüler Contra Kommentar Typ B
Keine umfassenden Denkanstrengungen:
Da lächelt der Mathematik- Didaktiker ´:
„Eine Kurvendiskussion, bei der es nichts zu entdecken gibt, langweilt mich.“
Dies gilt es zu ändern.
60
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Zusammenfassung
61
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
62
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Weg zum Ziel
63
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und
Ergänzungen den „herkömmlichen“ Aufgaben eine neue Qualität zu verleihen:
64
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
qualitative Analysis: Integration neuer Technologien: veränderte Aufgabenstellungen stärkere Betonung
nicht-algorithmischer Elemente
Geogebra CAS
…
aktive Mathematik:
Erkunden Vermuten Begründen Darstellen
65
Kurvendiskussion: Beispiel
Ein konkretes Beispiel
66
Kurvendiskussion: Beispiel
67
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
68
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
69
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1.
2.
3.
70
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen 2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen
3. Per Geogebra / Funktionsplotter gezielt und (schriftlich) begründet ausprobieren 71
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
72
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
73
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen:
1. Wer will, kann hier den „sicheren“ Weg einer „normalen“
Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu Beginn der Aufgabe geleitet.
2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell
variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.B. mit Hilfe des Funktionsterms begründet werden.
74
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
75
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
- Graph der Funktion selbst ist achsensymmetrisch zur y-Achse - Punkte mit demselben Abstand zum Ursprung haben bis auf das
Vorzeichen die gleiche Steigung
76
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem Standardkalkül und ist für jeden Schüler machbar. Das Ergebnis kann anhand der Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis der Definition von lokalen Extrema:
77
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem Standardkalkül und ist für jeden Schüler machbar. Das Ergebnis kann anhand der Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis der Definition von lokalen Extrema:
- mit Hilfe des Funktionsterms lässt sich begründen:
- lokal um 0 herum sind alle Funktionswerte kleiner als fa(0)
78
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Die an sich mechanische Wendepunktberechnung wird in eine Frage eingebettet, deren Antwort nicht offensichtlich ist.
Zunächst können / sollen wieder mit Hilfe von Funktionsplottern begründet verschiedene Parameterwerte ausprobiert werden („Probieren mit System“ verlangt ebenfalls gewisse mathematische Fähigkeiten.)
In diesem Fall ist die Antwort negativ. Eine vernünftige Begründung kommt wahrscheinlich nicht ohne eine konkrete Berechnung der Koordinaten aus.
79
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Dies ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe, die mit reinem Rechnen nichts zu tun hat.
Der Schüler muss einen mathematischen Aufsatz schreiben. Dabei müssen
- wesentliche Aspekte erkannt und - in einer logischen Struktur
- zusammenhängend dargestellt werden.
Dies ist auch für leistungsstarke Schüler keine leichte Aufgabe.
80
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile:
81
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile: Aufgabenstellung und Graphik sichern nicht im schon a priori die Existenz des Schnittpunktes für alle zugelassenen Parameterwerte. Dies muss erst noch begründet werden.
82
Kurvendiskussion: Beispiel
Zwischenbilanz
83
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
84
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle
anwendungsbezogene Kontexte
85
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
(häufige) Probleme
gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext
alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden
Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich
86
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
(häufige) Probleme
gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext
alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden
Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich
Die Folge: Es gibt wenige wirklich geeignete Aufgaben … 1. mit relevantem Sachkontext
2. aus der Erfahrungswelt der Schüler,
3. welche die schulmathematischen Möglichkeiten nicht übersteigen.
87
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
ein gut erprobtes Beispiel
88
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Das Objekt: Die Messdaten:
Eine 1-Liter-Milchtüte a = 7,1 cm, h = 19,7 cm
Die Frage: Eine Überraschung:
Wird bei der Herstellung der Verpackung darauf geachtet, möglichst wenig Material zu verbrauchen?
Die Messdaten ergeben ein Volumen von ungefähr 993 cm3.
Das Faltnetz: Aufatmen:
Eine gefüllte Milchtüte ist „bauchig“ und bietet ausreichend Platz.
Zu untersuchen:
Sind die Maße von a und h optimal?
89
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3 ergibt sich
?
90
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
91
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
92
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
Aber No.2:
Der Funktionsgraph und seine Eigenschaften würden in keiner Weise diskutiert.
93
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
2 Nebenbemerkungen:
1. Das notwendige Kriterium führt in diesem Fall ohnehin auf eine Gleichung 4.Grades, die mit schulischen Mitteln nicht zu lösen ist.
2. Beim reinem Rechnen würden
interessante Erkenntnisse verloren gehen.
94
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3 ergibt sich
Ein Bild vom Funktionsplotter hilft:
?
95
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion: Begründung für das lokale Minimum – Teil 1 Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3
ergibt sich
kleines a → ersten drei Summanden klein letzte beiden Summanden groß Ein Bild vom Funktionsplotter hilft: großes a → genau umgekehrt
Fazit: Für kleine und große a ist M(a) groß.
„Schluss“: Es ist plausibel, dass
„zwischendrin“ ein Minimum angenommen wird.
?
96
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2 Ableitungen →
2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stets positiv.
1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.
Bestätigung →
97
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2 Begründung für das lokale Minimum – Teil 3
Ableitungen → Die Ausgangsfunktion M ist links von der
Nullstelle von M´ streng monoton fallend.
Die Ausgangsfunktion M ist rechts von der Nullstelle von M´ streng monoton wachsend.
2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stets positiv.
1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.
Damit besitzt M an der entsprechenden Stelle ein Minimum.
Bestätigung → q.e.d.
(Die Existenz der Nullstelle wird durch den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gesichert.)
98
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
!
!
!
99
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
Ergebnis: Der gemessene Wert entspricht nicht dem theoretischen Optimum, der Unterschied scheint aber vernachlässigbar.
!
!
!
100
Kurvendiskussion: Beispiel
Schlussbilanz
101
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
102
Extremwertprobleme
Extremwertprobleme
103
Extremwertprobleme: Probleme
Häufig werden Extremwertprobleme ähnlich wie Kurvendiskussionen unterrichtet:
Funktionsgleichung aufstellen + Kurvendiskussion + Randwertbetrachtung + Ergebnisinterpretation
Problem: Das Lösen von Extremwertproblemen wird gleichgesetzt mit dem Bestimmen von Extrempunkten mit Hilfe von notwendigem und hinreichendem Kriterium.
Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass diese Aufgaben nur auf diesem einen Weg gelöst werden kann.
„Lösung“: Einbeziehen von - elementaren mathematischen Methoden - historischen Lösungswegen
- CAS, Geogebra, …
104
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
kleine
Stellschrauben
105
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Manchmal hängt es an Kleinigkeiten, warum der Unterricht nicht wie gewünscht funktioniert.
106
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
107
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
108
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
109
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
110
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer: Welche Größen genau meinst du?
111
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer: Welche Größen genau meinst du?
Schüler: Seitenlängen, Flächeninhalt und Umfang.
112
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Vorschlag
Zu Beginn der Aufgabe stets klar stellen (lassen), welche Größen variieren und welche nicht.
113
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
114
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
Vorschlag
Die Frage nach dem „Warum?“.
115
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das analytische Warum Das geometrische Warum
116
1. Analysis verständlich unterrichten: Rainer Dankwarts & Dankwart Vogel, Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, 1. Auflage
2. Elementare Analysis: Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2010
3. Zum vereinfachten Grenzwertbegriff in der Differentialrechnung: Werner Blum, MU: Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 1, 1979, KlettVerlag Stuttgart, S. 42-50
117
Abschnitt Quelle
Funktionale Zusammenhänge Büchter & Henn Kurvendiskussion Danckwerts & Vogel Extremwertprobleme Danckwerts & Vogel
Kriterien Danckwerts & Vogel
Ableitung Danckwerts & Vogel
Blum
118
