Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
6. Ableitungsregeln
H. Rodner, G. Neumann
Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik
Sommersemester 2010/11
Internetseite zur Vorlesung:
http://www.mathematik.hu-berlin.de/˜neumann/
H. Rodner, G. Neumann Humboldt-Universität Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II, Teil 6 Sommersemester 2010/11
Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II
Differentialrechnung
Hausaufgabe
Die Kettenregel
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Hausaufgabe
Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema Ableitung der Exponentialfunktion
mit dem Ziel der Einführung der Exponentialfunktion zur Basis e.
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Die Kettenregel
Wie kann die Kettenregel eingeführt werden?
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Die Kettenregel
Ermitteln Sie die Ableitung von f (x) = (x 2 ) 3
I über bekannte Ableitungsregeln
I über die Ableitungen der verketteten Funktionen
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Die Kettenregel
Stellen Sie möglichst viele Zusammenhänge zwischen den Funktionstermen her.
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Die Kettenregel: Beweis
Wir betrachten den Differenzenquotienten für f(x) = u(v(x)) mit den differenzierbaren Funktionen u, v :
Zu zeigen ist f 0 (x) = u 0 (v(x)) · v 0 (x) f(x) − f(x 0 )
x − x 0 = u(v(x)) − u(v(x 0 )) x − x 0
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Die Kettenregel: Beweis
Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x v(x)−v(x
0)
0
)
Voraussetzung???
v(x) − v(x 0 ) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0
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Die Kettenregel: Beweis
Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x)−v(x v(x)−v(x
0)
0
)
Voraussetzung???
v(x) − v(x 0 ) 6= 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0
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Die Kettenregel: Beweis
f (x) − f (x 0 )
x − x 0 = u(v(x)) − u(v(x 0 ))
v(x) − v(x 0 ) · v(x) − v(x 0 ) x − x 0
Da die innere Funktion v differenzierbar ist, ist sie auch stetig, daher geht für x → x 0 auch v(x) gegen v(x 0 ) und
- mit den Grenzwertsätzen für den Grenzwert von Produkten - gilt:
f 0 (x) = u 0 (v(x)) · v 0 (x)
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Die Kettenregel: Aufgaben
f(x)=u(v(x)) v(x) u(v) v’(x) u’(v) u’(v(x)) f’(x) (5x − 1) 3 5x − 1 v 3 5 3v 2 3(5x − 1) 2 15(5x − 1) 2
2x + 3 v 2
2
(2x+1)
22v −2
cos(2x √ + 1) 5 − x 2
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Die Kettenregel: Aufgaben
Für den Grundkurs: Binnendifferenzierung! Für schwache Schüler:
Reaktivierung der Potenzschreibweise für Wurzeln und Brüche in Form von Vorübungen!
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Die Kettenregel: Aufgaben
I Ableitung mit Kettenregel- Vergleich mit dem CAS
I Funktionen mit Parameter
I Kombination mit Produktregel
I Funktionen mit mehr als einer Verkettung, z.B.
f (x) = ( √
x 2 + 1 + x) 2
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Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe
In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und der Höhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm 3 Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen also von der Zeit ab.
a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) → V (t).
b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell.
Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser im Behälter 5 cm hoch steht?
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Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe a)
Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekunden sowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegel
und h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit - in cm gilt:
V(h(t)) = 1 3 πr 2 h
Außerdem gilt H R = 10 30 nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe H und Radius R. Mit dem Strahlensatz und H R = r h folgt: r = h 3 Dann ist
V(h(t)) = π
27 (h(t)) 3
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