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Academic year: 2022

Aktie "∑ ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ x − ∑ x = + ∑ ⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ ∑ x − ∑ x () () () () ⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟ x x ,..., ,..., ,..., x x x , , k k = = 1,..., 1,..., m m A Px A P = − c x = c x ,..., x ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ A x M"

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(1)

Hans Walser, [20200101]

Al- S ijz i

Anregung: Z. D., W.

1 Worum geht es?

Kugelproblem. Etwas Rechnung.

Die Idee geht auf al-Sijzi (945-1020) zurück.

2 Problemstellung

Im n-dimensionalen Raum seien m Punkte Ak

(

xk1,...,xkn

)

,k=1,...,m gegeben.

Gesucht ist die Menge der Punkte P x

(

1,...,xn

)

mit der Eigenschaft:

AkP2

k=1

m =c (1)

Dabei ist c eine Konstante.

3 Bearbeitung

Die Bedingung (1) lautet in Koordinaten:

xkjxj

( )

2

j=1

n k=1

m =c (2)

Mit einiger Rechnung lässt sich (2) umformen zu:

xjm1 xkj

k=1

m

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2 j=1

n =mc + m1 xkj k=1

m

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

m1 xkj2

k=1

m

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

j=1

n (3)

Dies ist die Gleichung einer Hyperkugel im n-dimensionalen Raum. Die Hyperkugel hat den Mittelpunkt M:

M m1 xk1

k=1

m ,...,m1 xkn

k=1

m

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ (4)

Dies ist der Schwerpunkt der m Punkte Ak

(

xk1,...,xkn

)

,k=1,...,m.

Weiter hat die Hyperkugel den Radius r:

(2)

Hans Walser: Al-Sijzi 2 / 3

r= mc + m1 xkj

k=1

m

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

2

m1 xkj2

k=1

m

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

j=1

n (5)

4 Beispiel

Es sei n = 3 und m = 3 und weiter:

A1

(

cos 120°

( )

,sin 120°

( )

,0

)

A2

(

cos 240°

( )

,sin 240°

( )

,0

)

A3

( )

1,0,0

(6)

Weitere sei c = 6. Für (3) ergibt sich mit CAS die Kugelgleichung:

x12+x22+x32 =1 (7)

Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt.

(3)

Hans Walser: Al-Sijzi 3 / 3

Abb. 1: Kugel

Die drei blauen Punkte auf dem Äquator sind die durch (6) gegebenen Punkte.

Kontrollen:

Ist P einer der drei blauen Punkte, haben wir die Abstände 0, 3, 3. Die Summe der Quadrate der Abstände ist 6.

Ist P der Nordpol, haben wir dreimal den Abstand 2. Die Summe der Quadrate der Abstände ist 6.

Ist P

(

−1,0,0

)

(hinten auf dem Äquator), haben wir die Abstände 1, 2, 1. Die Summe der Quadrate der Abstände ist 6.

W e bsite s

Hans Walser: Al-Sijzi

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi2/Al-Sijzi2.htm

Referenzen

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