Dualität von regulären Verbänden und nüchternen Topologien

Dualität von regulären Verbänden und nüchternen Topologien

Seminararbeit Philipp Schönbauer

WS 2011/12

Inhaltsverzeichnis

1 Kategorientheorie 2

2 Die Kategorien RVerb und NTop 5

2.1 Reguläre Verbände . . . 5 2.2 Nüchterne topologische Räume . . . 7

3 Die Dualität 7

1 Kategorientheorie

Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung der Dualität zwischen nüchternen topologischen Räumen und regulä- ren Verbänden als Grundlage für die Herleitung verschiedener topologischer Repräsentationen algebraischer Strukturen, unter anderem der Stone Duality und der Esakia Duality. Diese topologischen Repräsentatio- nen sind formal durch Dualitäten von Kategorien gegeben. In diesem Abschnitt werden dazu die benötigten Begrie aus der Kategorientheorie deniert.

Denition 1.1. Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse von Objekten, einer Klasse von Morphismen und einer Verknüpfungsabbildung◦auf den Morphismen.

1. Die Klasse von Objekten wird bezeichnet mitObj(C).

2. Die Klasse von Morphismen wird bezeichnet mit M or(C). Jeder Morphismus hat einen Denitions- bereich dom(f) ∈Obj(C) und einen Bildbereichran(f)∈ Obj(C). Für einen Morphismus mit De- nitionsbereichA und BildbereichB schreiben wir kurzf :A→B. Die Menge aller Morphismen mit DenitionsbereichAund BildbereichB wird mitM or(A, B)bezeichnet. Um die Kategorie zu betonen, wird die Menge der Morphismen f : A → B in der Kategorie C gelegentlich auch mit M or_C(A, B) bezeichnet.

3. Die Verknüpfungsvorschrift◦. Dabei gilt:

(a) ∀A, B, C ∈ Obj(C) ist ◦ : M or(B, C)×M or(A, B) → M or(A, C), d.h. für alle Morphismen f :A→B undg:B→C istg◦f :A→Cein Morphismus.

(b) ◦ ist assoziativ.

(c) Für alle Objekte A existiert ein Identitätsmorphismus, d.h. ein MorphismusidA:A→A, sodass f ◦idA =f undidA◦g =g, wann immer f, g Morphismen und die entsprechenden Ausdrücke deniert sind.

Zwei ObjekteA, B∈Obj(C)einer KategorieC heiÿen isomorph, i.Z.A∼=B, falls Morphismenf :A→B undg:B→A existieren, sodassf◦g=id_B undg◦f =id_A.

Beispiel 1.2. Erste Beispiele von Kategorien.

1. Die Kategorie Set hat als Objekte die Klasse aller Mengen und als Morphismen die Klasse sämtlicher Funktionen. Die Verknüpfung ◦ist dabei die klassische Verknüpfung von Funktionen.

2. Die Kategorie Top aller topologischen Räume zusammen mit stetigen Funktionen als Morphismen.

3. Die meisten algebraischen Strukturen (wie z.B. Ringe, Algebren, Gruppen, Vektorräume, ...) werden eine Kategorie, wenn man als Morphismen alle Homomorphismen zulässt.

Denition 1.3. Ein Funktor T :C →Dbesteht aus einer Abbildungsvorschrift für Objekte,T :Obj(C)→ Obj(D), und einer Abbildungsvorschrift für Morphismen,T :M or(C)→M or(D). Dabei gilt:

1. Istf : A→B ein Morphismus inC, so istT(f) : T(A)→T(B)ein Morphismus inD.

2. Es istT(f◦g) =T(f)◦T(g), wann immer deniert (wegen 1. ist die linke Seite genau dann deniert, wenn die rechte Seite es ist).

3. Für alle ObjekteAvonC gilt:T(id_A) =id_T(A).

Ein Funktor besteht daher eigentlich aus zwei Abbildungsvorschriften, eine operiert auf den Objekten, die Andere auf den Morphismen. Wir werden aber, der allgemeinen Konvention folgend, beide Abbildungsvor- schriften mit dem selben Zeichen bezeichnen.

Beispiel 1.4. Beispiele zu Funktoren.

1. Der einfachste Funktor ist schlicht der Identitätsfunktorid_C einer KategorieC auf sich selbst.

2. Bezeichnet Ring die Kategorie aller Ringe mit Ringhomomorphismen, so bildet der forgetful functor U : Ring→Set einen RingAauf die zugrunde liegende Menge ab, und einen Ringhomomorphismus auf seine zugrunde liegende Funktion. Analog kann der forgetful functor für jede algebraische Struktur deniert werden

Denition 1.5. Ein CofunktorT : C →Dbesteht analog zu einem Funktor aus einer Abbildungsvorschrift für Objekte T : Obj(C) → Obj(D), und einer Abbildungsvorschrift für Morphismen, T : M or(C) → M or(D). Dabei gilt:

1. Istf : A→B ein Morphismus inC, so istT(f) : T(B)→T(A)ein Morphismus inD.

2. Es istT(f◦g) =T(g)◦T(f), wann immer deniert (wieder ist wegen 1. ist die linke Seite genau dann deniert, wenn die rechte Seite es ist).

3. Für alle Objekte A vonC gilt:T(idA) =id_T(A).

Als nächstes benötigen wir noch eine Möglichkeit zwei Kategorien miteinander vergleichen zu können. Hier stellt sich folgende Denition als sinnvoll heraus:

Denition 1.6. Eine Äquivalenz zwischen zwei KategorienC undD(i.Z.C≡D) besteht aus zwei Funktoren S: C →D undT: D→C, sodass:

1. Für alle A∈Obj(C)giltT S(A)∼=A. 2. Für alle B∈Obj(D)giltST(B)∼=B.

3. Für alle A, A⁰∈Obj(C)istS|M or(A,A⁰):M or(A, A⁰)→M or(S(A), S(A⁰))bijektiv.

4. Für alle B, B⁰ ∈Obj(C)istT |_{M or(B,B}⁰₎:M or(B, B⁰)→M or(T(B), T(B⁰))bijektiv.

5. Es existiert eine Abbildungτ :Obj(C)→M or(C), sodass gilt:

(a) Für alleA∈Obj(C)istτA:=τ(A) :A→T S(A)ein Isomorphismus.

(b) Für allef :A→A⁰∈M or(C)giltT S(f)◦τ_A=τ_A⁰◦f, d.h. folgendes Diagramm kommutiert:

A

A⁰

T S(A)

T S(A⁰) f

τ_A

T S(f)

τA⁰

6. Es existiert eine Abbildungσ:Obj(D)→M or(D), sodass gilt:

(a) Für alleB∈Obj(D)istσB:=σ(B) :B→ST(B)ein Isomorphismus.

(b) Für alleg:B→B⁰∈M or(D)giltST(g)◦σB=σB⁰◦g.

Eine Äquivalenz heiÿt Isomorphismus zwischen den Kategorien C und D (i.Z. C ∼= D), falls in obiger Denition immer τA = idA und τB = idB gewählt werden kann, d.h. falls für alle A ∈ Obj(C) und f ∈ M or(C) gilt, dass T S(A) = A und T S(f) = f, und für alle B ∈ Obj(D) und g ∈ M or(D) gilt, dass ST(B) =B undST(g) =g.

Denition 1.7. Eine Dualität zwischen zwei Kategorien C und D (i.Z. C ∼ D), ist analog zu einer Äquivalenz deniert, mit dem Unterschied dass hier S und T Cofunktoren sind, welche die Bedingungen 1. bis 6. erfüllen, wobei in 3. und 4. jeweils die Morphismen ihre Richtung ändern.

Als nächstes ein kleines Lemma, dass es gestattet, in gewissen Fällen die Überprüfung des 6. Axioms von Denition 1.6 und 1.7 zu vermeiden:

Lemma 1.8. Erfüllen mit den Bezeichnungen von Denition 1.6 (bzw. Denition 1.7) die Funktoren (bzw.

Cofunktoren) S und T die Axiome 1. und 5., so folgt aus T(σ_B) = τ_T(B) (bzw. T(σ_B) = τ⁻¹_T(B)) für alle B∈Obj(D), unmittelbar, dass S und T eine Äquivalenz (Dualität) begründen.

Beweis. Wir beweisen die Aussage für Äquivalenzen. Seien B, B⁰ ∈ D und f : B → B⁰ ∈ M or(D). Wir müssen das Axiom 6. beweisen. Es gilt:

T S(T(f))◦τ_T(B)=τ_T(B0)◦T(f) wegen Axiom 5.

⇐⇒ T ST(f)◦T(σB) =T(σB⁰)◦T(f) Voraussetzung

⇐⇒ T(ST(f)◦σ_B) =T(σ_B⁰◦f) daTein Funktor ist

⇐⇒ ST(f)◦σB =σB⁰◦f wegen Axiom 4.

Der Beweis für Dualitäten verläuft anolog.

Lemma 1.9. SeienC,D undE Kategorien undS:C →D,T :D→C beide Funktoren oder Cofunktoren, sowie F :D →E undG:E →D beide Funktoren oder Cofunktoren. Sei weiters für alle C ∈Obj(C) ein IsomorphismusτC∈M or_C(C, T S(C))und für alleD∈Obj(D)ein IsomorphismusσD∈M or_D(D, GF(D)) gegeben, sodass:

1. Für alle f :C→C⁰∈M or(C) istT S(f)◦τC=τC⁰ ◦f. 2. Für alle g:D→D⁰∈M or(D)istGF(g)◦σD=σD⁰◦g. Für alle C∈Obj(C)sei weiters

ηC:=

(T(σ_S(C))◦τ_C fallsS und T Funktoren T(σ⁻¹_S(C))◦τC fallsS und T Cofunktoren

Dann istη_C ein Isomorphismus und es gilt fürf ∈M or_C(C, C⁰):T GF S(f)◦η_C=η_C⁰◦f.

Beweis. Wir beweisen die Aussage für Funktoren, für Cofunktoren verläuft der Beweis analog. DassηC ein Isomorphismus ist, folgt, da Funktoren immer Isomorphismen auf Isomorphismen abbilden, und Verknüp- fungen von Isomorphismen wieder Isomorphismen sind. Es gilt:

T GF S(f)◦ηC=T(σS(C⁰)◦S(f)◦σ⁻¹_S(C))◦ηC

=T(σ_S(C0))◦τ_C⁰◦f◦τ_C◦T(σ_S(C)⁻¹ )◦T(σ_S(C))◦τ_C

=ηC⁰◦f

Korollar 1.10. Falls mit den Bezeichnungen von Lemma 1.9S undT eine Äquivalenz (Dualität) begründen und F und G eine Äquivalenz begründen, dann begründen F S : C → E und T G: E → C ebenfalls eine Äquivalenz (Dualität).

Beweis. Das letzte Lemma zeigt die Axiome 1., 2., 5., und 6 von Denition 1.6 (bzw. 1.7). Auÿerdem folgt die Bijektivität auf den Morphismen unmittelbar.

Lemma 1.11. Es gelten die Bezeichnungen von Denition 1.6 (bzw. Denition 1.7) und für alleC∈Obj(C) sei ein Objekt Ξ(C) ∈ Obj(D), mit S(C) ∼= Ξ(C), und ein Isomorphismus ξC : S(C) → Ξ(C) gegeben.

Dann ist Se : C → D deniert über S(C) = Ξ(C)e für alle C ∈ Obj(C) und S(fe ) = ξ_C⁰ ◦S(f)◦ξ_C⁻¹ (bzw.S(fe ) =ξC◦S(f)◦ξ_C⁻¹0)) für alle f ∈M or_C(C, C⁰) ein Funktor (bzw. Cofunktor). Er induziert dann zusammen mitT ebenfalls die gegebene Äquivalenz. Insbesondere gilt:

1. MitµC:=T(ξC)◦τC (bzw.µC:=T(ξ_C⁻¹)◦τC)gilt:µCist ein Isomorphismus undµC⁰◦f =TS(fe )◦µC

für alle f ∈M or_C(C, C⁰).

2. Mitλ_D:=ξ_T(D)◦σ_Dgilt:λ_Dist ein Isomorphismus undλ_D⁰◦f =STe (f)◦λ_Dfür allef ∈M or_D(D, D⁰). Beweis. Man sieht leicht, dass Se ein Funktor (bzw. Cofunktor) ist. Dass Se bijektiv auf den Morphismen operiert, folgt, da S dies tut und die AbbildungM or_C(C, C⁰) → M or_C(Ξ(C),Ξ(C⁰)) : g 7→ξC⁰ ◦g◦ξ_C⁻¹ (bzw.g7→ξ_C◦S(f)◦ξ⁻¹_C0) ebenfalls isomorph ist. Also bleibt noch 1. und 2. zu beweisen, dann folgt auch die Äquivalenz (Dualität).

1. Wir beweisen die Aussage für Funktoren, für Cofunktoren ist der Beweis analog. Wie im Beweis von Lemma 1.9 folgt, dassµ_C isomorph ist. Weiters gilt:

TS(fe )◦µC=T(ξC⁰◦S(f)◦ξ_C⁻¹)◦T(ξC)◦τC

=T(ξC⁰)◦τC⁰◦f◦τ_C⁻¹◦τC

=µC⁰◦f 2. Beweis verläuft analog.

2 Die Kategorien RVerb und NTop

2.1 Reguläre Verbände

Denition 2.1. Ein Verband(A,≤)ist eine beschränkte halbgeordnete Menge (d.h. es existiert ein gröÿtes und ein kleinstes Element), sodass für je zweia, b∈Aein Supremum und ein Inmum existiert. Wir werden das Supremum mit∨, das Inmum mit∧, sowie das kleinste bzw. gröÿte Element mit0bzw.1bezeichnen.

Ist∅ 6=B ⊆A, so bezeichnetWB bzw.VB das Supremum bzw. Inmum vonB, falls dieses existiert. Um Fallunterscheidungen zu vermeiden denieren wirW

∅:= 0undV

∅:= 1.

• Ein Verbandshomomorphismus f : A→B ist eine Abbildung, welche kleinstes und gröÿtes Element, sowie Inma und Suprema von je zwei Elementen erhält. Wir bezeichnen mit Verb die Kategorie der Verbände zusammen mit Verbandshomomorphismen.

• Ein VerbandAheiÿt distributiv, falls für allea, b, c∈Agilt:a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c). Wir bezeichnen die Kategorie der distributiven Verbänden zusammen mit Verbandshomomorphismen mit DVerb.

• Ein Verband heiÿt vollständig, falls alle Teilmengen vonAein Supremum besitzen und die unendliche Distributivität erfüllt ist, d.h. für allex∈AundS⊆Agiltx∧W

S=W

{x∧y: y∈S}. Ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist ein Verbandshomomorphismus, welcher Suprema von sämtlichen Mengen erhält. Die so denierte Kategorie bezeichnen wir mit VVerb.

• Ist Aein vollständiger Verband, so heiÿt ein vollständiger Verbandshomomorphismusp: A→Z2 ein Punkt auf A. Wir bezeichen die Menge aller Punkte aufAmit pt(A).

• Ein vollständiger Verband heiÿt regulär, falls für allex, y∈Amitx6=y ein Punktp∈pt(A)existiert mit p(x)6=p(y). Die Kategorie der regulären Verbände zusammen mit vollständigen Verbandshomo- morphismen bezeichnen wir RVerb.

Denition 2.2. SeiAein Verband.

• EinI⊆Aheiÿt Ideal, falls 1. 0∈I.

2. Für alle a, b∈Iist auch a∨b∈I. 3. Für alle a∈Iundb≤aist auch b∈I.

• Ein IdealI heiÿt echt, fallsI6=A

• Ein echtes IdealI heiÿt Primideal, falls für allea, b∈Aausa∧b∈I folgt, dassa∈I oderb∈I.

• Ein echtes IdealI heiÿt maximal, falls es kein echt gröÿeres echtes IdealJ )I gibt.

• Fürx∈Adenieren wir die Menge↓x :={y∈A: y≤x}. Dann ist↓x ein Ideal, und wird (das von x erzeugte) Hauptideal genannt.

• Einx∈Aheiÿt Primelement, falls↓x ein Primideal ist.

Bemerkung 2.3. Ist I = ↓x ein Hauptideal, so ist x = W

I ∈ I. Ein Ideal I ist daher genau dann ein Hauptideal, fallsW

I∈I. In diesem Fall istI=↓(W I).

Lemma 2.4. Die Bedingung a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) ist äquivalent zu ihrer dualen Bedingung a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c).

Beweis. Seia∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)für allea, b, c∈Aerfüllt. Dann folgt (a∧b)∨(a∧c) = ((a∧b)∨a)∧((a∧b)∨c)

=a∧((a∨c)∧(b∨c)) wegen(a∧b)∨a=a

= (a∧(a∨c))∧(b∨c)

=a∧(b∨c) wegena∧(a∨c) =a

Die andere Richtung sieht man genauso.

Lemma 2.5. Sei A ein vollständiger Verband und I ⊆A. Dann gilt: I ist Kern eines Verbandshomomor- phismuses f : A→Z2 genau dann, wenn I ein Primideal ist.

Beweis. ” ⇒” Wegenf(0) = 0 undf(1) = 1folgt 0 ∈I und 1∈/ I. Weiters folgt für a, b ∈I und c≤a, dassf(a) =f(b) = 0und damitf(a∨b) =f(a)∨f(b) = 0, alsoa∨b∈I, sowief(c)≤f(a) = 0, alsoc∈I. Damit ist I ein echtes Ideal. Füra, b∈Amita∧b∈I folgt0 =f(a∧b) =f(a)∧f(b). InZ²ist das Inmum zweier Elemente aber genau dann Null, wenn zumindest eine der beiden Null ist. Also folgta∈Ioderb∈I.

” ⇐” Deniere f :=II^c. Dann ist f(0) = 0undf(1) = 1. Weiters ist f(a∧b) = 0 genau dann, wenn a∧b∈I und daher genau dann, wenn a∈I oderb∈I. Also ist f(a∧b) = 0genau dann, wenn f(a) = 0 oderf(b) = 0und daherf(a∧b) =f(a)∧f(b). Analog sieht man auch, dassf Suprema erhält.

Lemma 2.6. Sei A ein vollständiger Verband undI⊆A. Dann gilt: I ist Kern eines Punktes genau dann, wenn I ein primes Hauptideal ist.

Beweis. ”⇒”Nach Lemma 2.5 istIein Primideal. Weiters folgtp(W

ker(p)) =W

p(ker(p)) = 0und damit WI∈I.

”⇐” Nach Lemma 2.5 istI Kern eines Verbandshomomorphismusesp: A→Z2. Nun gilt fürS⊆A _p(S) = 0 ⇐⇒ ∀s∈S: p(s) = 0

⇐⇒ S⊆ker(p) =I

d(daIHauptIdeal) ⇐⇒ _

S∈I daIein Hauptideal ist

⇐⇒ p(_ S) = 0

Damit erhält psämtliche Suprema und ist daher ein vollständiger Verbandshomomorphismus.

2.2 Nüchterne topologische Räume

Denition 2.7. Sei X ein topologischer Raum und A ⊆ X. Dann heiÿt A irreduzibel, falls keine zwei disjunkten, nicht leeren und in der Spurtopologie oenen Teilmengen vonAexistieren.

Denition 2.8. Ein topologischer Raum X heiÿt nüchtern, falls jede nicht leere, irreduzible und abgeschlos- sene Menge der Abschluss eines eindeutigen Elementes ist. Wir bezeichnen die Kategorie der nüchternen topologischen Räume, zusammen mit stetigen Funktionen als Morphismen, mit NTop.

Wir beweisen zwei kurze Lemmata über die vorangehenden Denitionen.

Lemma 2.9. A ⊆X ist genau dann irreduzibel, falls aus B∪C =A und B, C ⊆A abgeschlossen in der Spurtopologie folgt, dassB =A oderC=A.

Beweis. Folgt aus der Denition über Komplementbildung.

Lemma 2.10. Für einen topologischen RaumX gilt: T2 =⇒ n¨uchtern =⇒ T0

Beweis. In Hausdorräumen sind die nicht leeren, abgeschlossenen und irreduziblen Mengen genau die ein- punktigen Mengen. Diese sind gleichzeitig der Abschluss ihres (eindeutigen) Elementes. Also sind Haus- dorräume nüchtern.

Umgekehrt sind Abschlüsse von einpunktigen Mengen immer irreduzibel, da jede in der Spurtopologie oene und nicht leere Teilmenge von{x}den Punktxenthält. Daher folgt für nüchterne Räume ausx6=y immer{x} 6={y}, womit aber xundy durch zumindest eine oene Menge getrennt werden können. Damit erfüllen nüchterne Räume immerT0.

3 Die Dualität

Wir leiten die DualitätNTop∼RVerbnun in drei Schritten her. Im ersten Schritt konstruieren wir einen Cofunktor Ω : NTop→RVerb. Im zweiten Schritt versehen wir für alle reguläre Verbände A die Menge pt(A)mit einer Topologie, und zeigen, dass für reguläre VerbändeAein VerbandsisomorphismusΦA:A→ Ωpt(A)existiert und für nüchterne RäumeX ein HomöomorphismusΨX:X→ptΩ(X)existiert. Im letzten Schritt wird schlieÿlich der Cofunktorpt:RVerb→NTopkonstruiert.

Der CofunktorΩ :Top→RVerb

Denition 3.1. Für einen topologischen RaumXbezeichneΩ(X)das System der oenen Mengen. IstY ein weiterer topologischer Raum undf :X →Y eine stetige Abbildung, dann seiΩ(f) :=f⁻¹: Ω(Y)→Ω(X). Proposition 3.2. SeiX ein topologischer Raum. Dann ist (Ω(X),⊆)ein regulärer Verband. Dabei gilt:

1. Ein U ∈Ω(X)ist genau dann ein Primelement, fallsU 6=X undU^c irreduzibel ist.

2. Für alle x∈X ist die AbbildungU 7→IU(x)ein Punkt aufΩ(X).

Beweis. Es ist∅ ∈Ω(X)das kleinste Element undX∈Ω(X)das gröÿte Element. Weiters ist die Topologie Ω(X)unter endlicher Schnitt- und beliebiger Vereinigungsbildung abgeschlossen. Da diese Operationen gera- de die Inma bzw. Suprema denieren, folgt, dassΩ(X)ein Verband ist, welcher beliebige Suprema besitzt.

Die unendliche Distributivität folgt nun aus elementarer Mengentheorie. Also ist Ω(X) ein vollständiger Verband.

1. ” ⇒” Ist U ein Primelement, so folgt X /∈ ↓U, also U 6=X. Um zu sehen, dass U^c irreduzibel ist, seienV, W ⊆U^c oen in der Spurtopologie, disjunkt und nicht leer. Dann istV = ˜V ∩U^c, W = ˜W∩U^c mit gewissenV ,˜ W˜ ∈Ω(X). Nun folgt der Widerspruch:V ,˜ W /˜ ∈ ↓U aberV˜ ∩W˜ ∈ ↓U

”⇐”WegenU 6=X folgt X /∈ ↓U. Seien weitersA, B∈Ω(X), A, B /∈ ↓U aberA∩B∈ ↓U. Es folgt der WiderspruchA∩U^c6=∅ 6=B∩U^c undA∩B∩U^c=∅und daher U^c reduzibel.

2. Sei nun x ∈X. Dann ist {x} irreduzibel und {x}^c 6=X. Also ist nach dem ersten Beweisteil daher {x}^c ∈Ω(X)ein Primelement. Nach Lemma 2.6 gibt es einen PunktpaufΩ(X), sodass

df f ddddddddaaaaaaaaaaaa ker(p) =↓({x}^c) aaaaaaaadddddddddaa

⇐⇒ p(V) = 0⇔V ⊆ {x}^c

⇐⇒ p(V) = 0⇔V ∩ {x}=∅

⇐⇒ p(V) = 0⇔x /∈V

⇐⇒ p(V) =IV(x)

Es bleibt zu zeigen, dassΩ(X)regulär ist. Seien dazuU, V ∈Ω(X)mitU 6=V, und sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit U * V. Dann gibt es x ∈ U\V und p(W) := IW(x) ist ein Punkt auf Ω(X). Es folgt p(U) = 16= 0 =p(V).

Proposition 3.3. Seien X und Y topologische Räume und f : X → Y eine stetige Abbildung. Dann ist Ω(f) =f⁻¹: Ω(Y)→Ω(X)ein vollständiger Verbandshomomorphismus.

Beweis. Es gilt f⁻¹(∅) =∅ und f⁻¹(Y) =X. Auÿerdem ist die Urbildbildung mit Schnitten und Vereini- gungen verträglich, und daher erhältf⁻¹ sämtlich Inma und Suprema.

Damit folgt unmittelbar:

Korollar 3.4. Ω :Top→RVerb ist ein Cofunktor.

Oenbar gilt dann auch:

Korollar 3.5. Ω :NTop→RVerbist ein Cofunktor.

Die Isomorphismen ΦA undΨX

Denition 3.6. SeiAein vollständiger Verband unda∈A. Dann seiΦ_A(a) :={p∈pt(A)|p(a) = 1}. Lemma 3.7. Für einen regulären VerbandAist¹ Φ_A:A→P(pt(A))ein injektiver vollständiger Verbands- homomorphismus. Daher ist das BildΦ_A(A)ein regulärer Verband undΦ_A:A→Φ_A(A)ist ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Insbesondere ist das SystemΦ_A(A) ={Φ_A(a) : a∈A} eine Topologie aufpt(A). Beweis. Da für alle Punktep(0) = 0 undp(1) = 1 ist, folgtΦA(0)=∅ undΦA(1) =pt(A).

Um zu sehen, dassΦAbeliebige Suprema erhält, seiS⊆A. Wir müssen zeigen, dassSΦA(S) = ΦA(WS).

p∈[

ΦA(S) ⇐⇒ ∃s∈S : p(s) = 1

⇐⇒ _

{p(s) : s∈S}= 1

⇐⇒ p(_ S) = 1

⇐⇒ p∈ΦA(_ S) Um zu sehen, dassΦA endliche Inma erhält seienx, y∈A. Dann gilt

p∈Φ_A(x)∩Φ_A(y) ⇐⇒ p∈Φ_A(x)und p∈Φ_A(y)

⇐⇒ p(x) =p(y) = 1

⇐⇒ p(x∧y) = 1

⇐⇒ p∈ΦA(x∧y)

1Pbezeichnet hier die Potenzmenge.

Also istΦA ein vollständiger Verbandshomomorphismus. Um zu sehen, dass ΦA injektiv ist, seienx, y∈A mit x6=y. DaA regulär ist, gibt es einen Punktpauf Amit p(x)6=p(y), also sei ohne Beschränkung der Allgemeinheitp(x) = 0undp(y) = 1. Damit folgtp∈Φ_A(y)undp /∈Φ_A(x), alsoΦ_A(x)6= ΦA(y).

Das SystemΦ_A(A)ist als Bild eines vollständigen Verbandshomomorphismuses unter beliebigen Suprema und endlichen Inma abgeschlossen, also für sich ein vollständiger Verband. Oensichtlich ist nunΦ_A:A→ Φ_A(A)bijektiv und daher ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Insbesondere istA∼= ΦA(A), und daA regulär ist, ist auchΦ_A(A)regulär.

Die letzte Aussage folgt einfach über die Tatsache, dass inP(pt(A))Suprema bzw. Inma über Vereini- gungen bzw. Schnitte gegeben sind.

Ab nun seipt(A)immer mit der TopologieΦA(A)versehen.

Denition 3.8. SeiX ein topologischer Raum. Dann seiΨX:X→pt(Ω(X)),ΨX(x)(U) =IU(x).

Satz 3.9. SeiX ein topologischer Raum. Dann istΨX genau dann bijektiv, wennX nüchtern ist. In diesem Fall istΨX ein Homöomorphismus und es gilt ΨX(U) = ΦΩ(X)(U)für alle U ∈Ω(X).

Beweis. ΨX ist injektiv genau dann, wenn es für alle x, y∈X mit x6=y eine oene MengeU gibt, sodass U genau einen der beiden Punkte xodery enthählt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ausx6=y immer {x} 6={y}folgt.

Ψ_X ist surjektiv genau dann, wenn aus p ∈ ptΩ(X) folgt p ∈ Ψ_X(X). Nun gilt ptΩ(X) = {I↓U : U ∈ Ω(X), Uist Primelement} sowie Ψ_X(X) = {U 7→ IU(x) : x ∈ X} = {I_{↓ {x}}^c : x ∈ X}. Also gilt ptΩ(X) = ΨX(X) genau dann, wenn alle Primelemente vonΩ(X) von der Form{x}^c für ein x∈X sind.

Mit Lemma 3.2 ist dies äquivalent dazu, dass alle irreduziblen, abgeschlossenen und nichtleeren Mengen von der Form{x}sind.

Insgesamt gilt daher:Ψ_Xist bijektiv genau dann, wenn alle irreduziblen, abgeschlossenen und nicht leeren Mengen von der Form{x} für genau einx∈X sind, also genau dann, wennX nüchtern ist.

Nach Satz 3.2 ist Ω(X) regulär, und damit Φ_Ω(X) : Ω(X) → ΩptΩ(X)bijektiv. Also sind alle oenen Mengen vonptΩ(X)von der FormΦ_Ω(X)(U)für genau einU ∈Ω(X). Es folgt

Ψ⁻¹_X (Φ_Ω(X)(U)) = Ψ⁻¹_X ({p∈ptΩ(X) : p(U) = 1})

={x∈X : ΨX(x)(U) = 1}

={x∈X : x∈U}

=U

Insbesondere induziert die bijektive AbbildungΨ_X auch eine Bijektion zwischen den TopologienΩ(X)und ΩptΩ(X)und ist daher ein Homöomorphismus.

Der Cofunktorpt

Proposition 3.10. SeiAein regulärer Verband. Dann ist pt(A)nüchtern.

Beweis. Nach Korollar 3.9 reicht es zu zeigen, dassΨ_pt(A) bijektiv ist.

Um die Surjektivität zu sehen seip∈ptΩpt(A). Dann ist ker(p)⊆Ωpt(A)ein Hauptideal und daher ker(p) =↓(_

ker(p)).

DaW

ker(p)∈Ωpt(A)undAregulär ist, gibt es genau ein a∈A, sodassW

ker(p) = ΦA(a). Als Kern eines Punktes ist ker(p) auch ein Primideal, und damitWker(p)∈Ωpt(A) ein Primelement, und, daΦ_A: A→ Ωpt(A) ein vollständiger Verbandsisomorphismus ist, ist auch a = Φ⁻¹_A (Wker(p)) ein Primelement. Also existiert (genau) ein Punktq∈pt(A), sodass Wker(q) =↓a.

Es bleibt zu zeigen, dassΨpt(A)(q) =p. Es gilt:

dddddddddddddddddd Ψ_pt(A)(q) =p ⇐⇒ ker(Ψ_pt(A)(q)) =ker(p) f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f

⇐⇒ _

ker(Ψ_pt(A)(q)) =_

(ker(p))

⇐⇒ {q}^c= ΦA(a)

⇐⇒ s:= Φ⁻¹_A ({q}^c) =a Es ists=W

{b∈A: ΦA(b)⊆ {q}^c} und

ΦA(b)⊆ {q}^c ⇐⇒ q /∈ΦA(b)

⇐⇒ q(b) = 0

⇐⇒ b∈ker(q)

⇐⇒ b≤a und dahers=W

{b∈A : b≤a}=a.

Um die Injektivität zu zeigen, seien p, q ∈ pt(A) mit p 6= q. Dann existiert ohne Beschränkung der Allgemeinheit eina∈A, sodass:

ddddddddddddddddddd p(a) = 0 und q(a) = 1 dddddddddddddddddddddddd

=⇒p /∈Φ(a) und q∈Φ(a)

=⇒Φ(a)⊆ {p}^c und Φ(a)*{q}^c

=⇒ {p}^c6={q}^c

=⇒Ψ(p)6= Ψ(q)

Proposition 3.11. Seien X und Y nüchterne topologische Räume und f : Ω(Y) → Ω(X) eine Abbil- dung. Dann existiert genau dann eine stetige Funktion g : X →Y mitg⁻¹ =f, falls f ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist. In diesem Fall ist g eindeutig.

Beweis. ”⇒”Es wurde bereits gezeigt, dassg⁻¹ ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist.

”⇐” Seig:X→Y,g(x) := Ψ⁻¹_Y (Ψ_X(x)◦f)und seiU ∈Ω(Y). Dann folgt g⁻¹(U) ={x∈X : Ψ⁻¹_Y (ΨX(x)◦f)∈U}

={x∈X : ΨX(x)◦f ∈ΨY(U)}

={x∈X : Ψ_X(x)◦f ∈Φ_Ω(Y)(U)}

={x∈X : ΨX(x)◦f(U) = 1}

={x∈X : If(U)(x) = 1}

={x∈X : x∈f(U)}

=f(U) Also hat gdie gewünschten Eigenschaften.

Um die Eindeutigkeit zu sehen, seien g, h stetig, sodass g⁻¹(U) =h⁻¹(U) =f(U) für alleU ∈Ω(Y), und seix∈X. Dann folgt

x∈g⁻¹({g(x)}) =h⁻¹({g(x)})

=⇒h(x)∈ {g(x)}

=⇒ {h(x)} ⊆ {g(x)}

Analog folgt auch{g(x)} ⊆ {h(x)}und insgesamt{h(x)}={g(x)}. Aus der Nüchternheit vonY folgt daraus h(x) =g(x).

Denition 3.12. Für einen regulären VerbandAsei wie gehabtpt(A)der nüchterne topologische Raum der Punkte. IstB ein weiterer regulärer Verband und f : A→B ein vollständiger Verbandshomomorphismus, dann istΦ_B◦f◦Φ⁻¹_A : Ωpt(A)→Ωpt(B)ebenfalls ein vollständiger Verbandshomomorphismus undpt(f) : pt(B)→pt(A)sei die eindeutige stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass(pt(f))⁻¹= Φ_B◦f◦Φ⁻¹_A .

Dann folgt

Korollar 3.13. pt: RVerb→NTopist ein Cofunktor.

Die Dualität

Satz 3.14. Die Cofunktoren Ω und pt begründen eine Dualität zwischen der Kategorie der nüchternen topologischen Räume NTop und der Kategorie der regulären Verbänden RVerb. Dabei gilt:

1. Für alle regulären VerbändeA istΦA:A→Ωpt(A)ein vollständiger Verbandsisomorphismus. Er hat die bei einer Dualität geforderte KommutativitätseigenschaftΩpt(f)◦ΦA= ΦB◦f für alle vollständigen Verbandshomomorphismusf :A→B.

2. Für alle nüchternen topologischen Räume X ist Ψ_X : X → ptΩ(X) ein Homöomorphismus. Er hat die bei einer Dualität geforderte Kommutativitätseigenschaft ptΩ(g)◦Ψ_X = Ψ_Y ◦g für alle stetigen Funktioneng:X→Y.

Beweis. 1. DassΦ_A ein vollständiger Verbandshomomorphismus ist, wurde bereits bewiesen. Die Kommu- tativitätseigenschaft folgt sofort aus der Denition.

2. DassΨX ein Homöomorphismus ist, wurde ebenfalls schon bewiesen. Um die Kommutativitätseigen- schaft zu beweisen, reicht es nach Lemma 1.8 zu zeigen, dass Ω(ΨX) = Φ⁻¹_Ω(X). Dies folgt aber sofort aus Satz 3.9.

Es bleibt die Bijektivität der Cofunktoren auf den Morphismen zu zeigen. Sind X und Y nüchterne topologische Räume, dann gibt es für jeden vollständigen Verbandshomomorphismus f : Ω(Y) → Ω(X) genau eine stetige Funktion g : X → Y mit Ω(g) = g⁻¹ = f. Es folgt die Bijektivität von Ω auf den Morphismen.

Die Bijektivität vonptauf den Morphismen folgt durch folgende Überlegung: Die Morphismen inM or(A, B) stehen in bijektiver Beziehung zu den Morphismen in M or(Ωpt(A),Ωpt(B)) über die Abbildung χ(f) = ΦB◦f◦Φ⁻¹_A . Nun gilt nach Denition 3.12Ωpt(f) =χ(f). Da nunχ: M or(A, B)→M or(Ωpt(A),Ωpt(B)) bijektiv, und Ω : M or(pt(B), pt(A)) → M or(Ωpt(A),Ωpt(B)) bijektiv, folgt auch die Bijektivität von pt: M or(A, B)→M or(pt(B), pt(A)).

Literatur

[1] Steven R Givant. Introduction to Boolean Algebras. Springer-Verlag, 2009.

[2] Peter Johnstone. Stone Spaces. Cambridge University Press, 1982.

[3] Saunders Mac Lane. Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, 1971.