ScenariosoftransitiontosustainableoilextractioninRussia Andreeva,AnastasiyaandBazhanov,Andrei MunichPersonalRePEcArchive

(1)

Munich Personal RePEc Archive

Scenarios of transition to sustainable oil extraction in Russia

Andreeva, Anastasiya and Bazhanov, Andrei

Far Eastern National University

8 October 2007

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/5343/

MPRA Paper No. 5343, posted 17 Oct 2007 UTC

(2)

УДК 519.8:620.92

Сценарии перехода к устойчивым темпам добычи нефти в России

АндрееваА.А., БажановА.В.

Дальневосточныйгосударственныйуниверситет

Введение

Беспокойство об ограниченных запасах невозобновляемых ресурсах начало проявляться с момента опубликования работы Томаса Мальтуса (Thomas Malthus) в 1789 году. Многие ученые пытаются оценить время пика в добыче ресурсов, влияние предстоящего сокращения их запасов на потребление населения и производительность экономики. Для этого рассматриваются различные траектории исчерпания ресурсов, например, кривая Хабберта [8], возрастающие в начальный момент времени, и убывающие после достижения своего пика. Важно то, что в силу предположения о существенности нефти для экономики, для устойчивого экономического развития необходимо (но недостаточно) чтобыэтитраекторииасимптотическистремилиськ нулю (но не обнулялись), что, пока, противоречит мировой и российской практике нефтедобычи.

В [2,5] предлагается методика построения переходных траекторий добычи невозобновляемых ресурсов, основанная на использовании рациональных функций.

Методика позволяет оценить поведение потребления вдоль этих траекторий и построить траектории исчерпания ресурса, оптимальные в смысле различных критериев, которые может рассматривать государство нефтедобывающей страны. Методика иллюстрируется примерами, основанными на данных о мировых запасах и темпах добычи нефти.

В данной работе методика, предложенная в [2,5], используется для исследования сценариев перехода к устойчивым в экономическом смысле темпам добычи нефти в России с учётом прогнозов Российской Энергетической Программы. Кроме того, исследуется сравнительная эффективность (в смысле уровня потребления) исчерпания ресурсавдольпереходныхкривых, основанныхнадругихфункциональныхзависимостях, в частности, на функциях плотности известных распределений случайных величин и функции Хабберта.

Согласно правилу Хартвика [7], постоянный во времени уровень потребления с(t) достигается путем инвестирования прибыли (ренты), полученной от невозобновляемого ресурса в капитал, направленный на производство того же самогоколичество товаров и услуг при уменьшающемся количестве ресурса. То есть, если согласно правилу направлять ресурсную ренту на развитие капитала в виде технологий, неиспользующих нефть, то увеличение рынка таких товаров будет вытеснять «нефтяные» товары и реализовыватьубывающуютраекториюдлятемповдобычинефти.

В данной работе правило Хартвика рассматривается для модели Солоу [10] с производственной функцией Кобба-Дугласа ^q⁽^t⁾⁼ ^f

(

^k

( ) ( )

^t ^,^r^t

)

⁼^k^α^r^β^, где k(t) - капитал к моменту t, r(t) - текущие темпы добычи ресурса. Если запас ресурсаобозначить за S, то

( )

.

)

( dt

t dS S t

r =−& =− α,β - константы, такие, что α+β <1, 0<α,β <1, α >β.

Cтоимости, соответственно, капитала и ресурса определяются как f_k =∂f ∂k =

β

αkα⁻¹r

= =αq k и f_r =∂f ∂r=

β

k^αr^β⁻¹ =

β

q r. Из правила Хартвика следует, что .

q rf

k&= =

β

Следовательно, функция потребления имеет вид c(t)=q−k&=q(1−

β

)_._Из

(3)

Траектория асимптотическогоубывания определяетсяиз условияизвестных темпов добычивначальныймоментвремени r0 иизменениятемповдобычи A0:

, ) 0 ( ) ( , ) 0 ( )

(t₀ r r₀ r t₀ r A₀

r = = & = & = (1)

атакже требованияо расходовании конечногозапасаресурса S0 в течениебесконечного периодавремени

0 0

) (t dt S

∫

r

∞

= (2)

Приэтомпредполагается, что

1) темпы добычи в начальный момент t₀ =0 возрастающие

(

r&0 = A0 >⁰

)

^, то есть неустойчивыевсмыследолгосрочногоэкономическогоразвитияинеэффективные в смысле уровня потребления;

2) переходкустойчивым иэффективнымтемпамдобычинеможетбытьмгновенным в силу того, что технологии, основанные на возобновляемых ресурсах требуют времени на разработку и внедрение в производство. Поэтому изменение темпов добычи может происходить только постепенно

(

r&≤r&max <∞

)

^.С учётом введенных предположенийзапишемследующиеопределения [3,6].

Определение 1. Мы будем называть экономической программой испольэования ресурсаилипростопрограммойиобозначать ^f

( ) ( ) ( ) ( )

^t ^,^c^t^,^k^t ^,^r ^t ^∞_t₌₀ наборфункций f(t), c(t), k(t) и r(t), определенныхдля t≥0 итаких, что ^f

( )

^t = ^f

[

^k

( ) ( )

^t^,^r^t

]

и ^c

( )

^t ⁼ ^f

( )

^t ⁻^k^&

( )

^t^.

Определение 2. Множество программ ^F ⁼

{

^f

( ) ( ) ( ) ( )

^t ^,^c^t^,^k ^t ^,^r^t ^∞_t₌₀

}

^будем ^{называть}

допустимым пучком программ в точке t = 0 c допустимыми пучками функций f(t), c(t), k(t), r(t), если для положительных начальных запасов капитала k0 > 0 и ресурса S0 > 0 любая программа из F для любых t≥0 удовлетворяет условиям:

1) f(t) > 0, c(t) > 0, k(t) > 0, r(t) > 0;

2) r(t),k(t),c(t) непрерывно дифференцируемы по t, причём r&

( )

t ≤r&^max< ∞;

3) f(t) дваждынепрерывнодифференцируемапо k, r, t;

4) r(t)dt S

( )

t ;

t

∫

≤

∞

5) k(0)=k₀,c(0)=c₀,r(0)=r₀, r&(0)= A₀.

Определение 3. Допустимая программа ^f

( ) ( ) ( ) ( )

^t ^,^c^t ^,^k ^t^,^r^t ^∞_t₌₀ из F является неэффективной, еслисуществуетпрограмма

( ) ( ) ( ) ( )

^∞

=0

*

* , , ,

t t

r t k t c t

f из F такая, что c^*(t)

≥ c(t) длявсех t ≥ 0 исуществует t ≥0такое, что c^*(t)>c(t).

Определение 4. Совокупность допустимых программ ^E ⁼

{

^f

( ) ( ) ( ) ( )

^t^,^c^t^,^k^t ^,^r ^t ^∞_t₌₀

}

является эффективной, если все программы ^f

( ) ( ) ( ) ( )

^t ^,^c^t^,^k ^t ^,^r^t из E не являются неэффективными.

Важными факторами для оценки траекторий являются значение пика rmax, [3,4]

время достижения пика, а также величина и время достижения «шока» (наибольшее снижение темпов добычи ресурса в единицу времени A_min=r&_min, способного повлиять на ростэкономики.

Предположим, что правительство нефтедобывающей страны рассматривает в качестведолговременнойцелиустойчивоеразвитиеэкономики и, следовательно, переход к устойчивым и эффективным темпам добычи. При этом правительство пытается минимизироватьнегативноевоздействиеэтогопереходанакраткосрочныеэкономические

(4)

показатели. Процентное изменение ВВП q& q в экономике с технологией Кобба-Дугласа можетбытьзаписаноследующимобразом

r, r k k q

q& & &

β α +

=

откуда видно, что уменьшающиесятемпы добычи снижают темпы роста q& q. Тогда для определения переходной траектории можно рассмотреть следующие «краткосрочные» критерии, «смягчающие» негативные последствия процесса перехода к устойчивым темпам добычи [4,5]:

a) минимизацияотрицательногоускорения (поабсолютнойвеличине)

( )

min ( ) max ₍₎,

1 r t t At rt

F = → (3a)

b) минимизация «шока» на ВВП

( )

^max ^,

) (

)

min ( ₍ ₎

2 t rt

t r

t t r

r

F ⎥ →

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡&

(3b) Прежде чем начать построение и оценку заданных траекторий, рассмотрим уже известныетраектории: кривуюХартвикаикривую, предложеннуюв [3,6].

2. Исследование существующих траекторий

2.1. КриваяХартвика КриваяХартвикастроитсянаосновеправилаХотеллинга

k,

r

r f f

f& = (4)

где dt

f&_r = df^r ₌ ⁽ ¹⁾ _.

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+ r

q r k

k q r

&

& β

α

β Формулу (4) можно переписать как

k f q r

r k

k f

f

k r

r α β α

=

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= & &

& ( 1)

или, следуя правилу Хартвика, как

k q r

r k

q f

f

r

r αβ β α

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

= &

& ( 1)

, чтоозначает

k q r

r α

−

&=

. (5)

C другойстороны, ¹ ¹ ,

r r q k

k k q

r r r k dt k

dr r q dt dk k

q q & &

&

& α β

β

α ^α ^β + ^β ^α = +

=

∂ ⋅ +∂

∂ ⋅

= ∂ ⁻ ⁻ тогда

r r k

k q

q& α& β&

+

=

, (

6)

Учитывая, что k&=

β

q _иподставив (5) в (6), получим q&=0, а, следовательно, и ,

=0

c& что показывает постоянство потребления вдоль кривой r(t), определяемой

уравнением (5). Решениемэтогоуравнения, сучетомусловий (1)-(2), являетсятраектория добычи, изображенная на Рис. 2. Уравнение траектории имеет вид¹:

) . 1 (

) (

/

0 0 0

β α

β

⁻

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

= S

t r r

t r

1Вработедляпостроенияграфиковирасчетовпараметровкривыхберутсяданныемировыхисследований [Oil & Gas J., 2006, 104, 47: p. 20-23], полученныек 1 Января 2007 года: начальныетемпыдобычи r=3.6243

(5)

Рис. 1. Постоянное потребление вдоль кривой Хартвика.

График показывает, что функцией потребления для данного примера является константа с(t) = 3.0545.

Рис. 2. Траектория добычи нефти для кривой Хартвика (млрд. тонн/год).

Недостатком данной кривой является то, что она является убывающей начиная с t=0, не оставляя времени для внедрения технологий, компенсирующих спад в добыче. Поэтому такая кривая, согласно предположениям данной работы является технически нереализуемойимыбудемискать оптимальныетраекториивклассахфункций, имеющих свойства, аналогичные свойствам кривой Хартвика, но со сдвигом rmax вправо, то есть со смещениемпика. Однойизтакихтраекторий, являетсякривая, описываемаяниже [3,6].

2.2. Рациональнаяпереходнаякривая 2.2.1. Критерийминимальногоускорения

Важное условие в отыскании траекторий - асимптотическое стремление к нулю темпов добычи и ускорений: A(t)=r&(t)→−0_приt → ∞ и r(t) → + 0 при t → ∞, означающее постепенное уменьшение исчерпания нефти. Рациональная траектория добычи [3] имеетвид

. 3 , 0 , 0 ) ,

1 (

) 1 ( 1 )

( ₁ ⁰

0 0

>

+ <

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

+

= ₋ b c d

ct r t d A

c r t

r _d

(6)

Ускорение добычи r&= A(t)=(A₀ +bt) (1+ct)^d . Коэффициенты b, c находят изусловий (1)-(2) [3]:

( )

d c

( )

d (d 2)

[

r0 c

( )

d (d 1) A0

]

b =− ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + ,

( )

0

5 . 0 0 0 2

2 0

0 /

) 2 )(

3 ( ) 3 (

3 S

d d

S A d

r d

d r

c ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

− + −

+ −

= −

.

Параметр d, согласнокритерию (3a), вычисляетсяизусловия

[ ]

0

) (

) )) (

( ln(

) 2 ( )

2 (

0

0 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

+ +

− f d

d d f d r f

d A c c d

c_d ^d , (7)

где

Параметр d невыражаетсяизуравнения (7) вявномвиде. Численноерешениезадачи (3a) имеет вид: d = 12.845. Тогда b = -0.0197, c = 0.0052. Подставляя полученные значения, получаем r(t) и A(t), изображенныенаРис.3 иРис. 4 соответственно.

Рис. 3. Траекториядобычинефтидлярациональнойкривой (млрд. тонн/год).

]. ) 2 ( [

) 1 ) (

2 ( ) (

0 0

A d

c r d

A d

c d r

d

f − +

+

− −

=

(7)

Приэтом Amin = -0.076 при t =2028.8 поабсолютнойвеличинеменьше, чем Amin= -0.08 для кривойХартвикапри t = 2006. Пикдостигаетсяпри t = 2011 иравен rmax = 3.77.

Рис. 5. Убывающее в долгосрочном периоде потребление вдоль рациональной кривой, оптимальной относительнокритерия 3a.

Потребление вдоль данной кривой, как видно из Рис.5, после достижения своего наивысшего значения с^max = 1.3005 падает. Если опустить условие (3a) при построении траектории, то с помощью параметра d, которому можно присваивать произвольные значения (но должно соблюдаться d>3, c>0, b>0), ссылаясь на Теорему 3 в [5], можно регулироватьпотребление. ИзТеоремыследует, чтопотребление c(t)

a) убываетвдолгосрочномпериоде, если d > α / β +2;

b) асимптотическипостоянно, если d = α / β +2;

c) возрастает в долгосрочном периоде, если 3 < d < α / β +2.

Рассмотримслучаи, когдаповедение

(1) асимптотически постоянно (Рис.6) (время в годах, потребление в единицах ВВП), (2) возрастает (Рис.7).

Случай (1). d=0.3/0.05 + 2=8, c = 0.0158, b = -0.0232 дают функцию потребления асимптотическиприближающуюсякконстантес(t) = 1.539.

Рис.6. Асимптотически постоянное потребление вдоль рациональной кривой.

(8)

Рис.7. Возрастающее потребление вдоль рациональной кривой.

Случай (2). При d = 4, c =0.0455, b =-0.0518 получаем монотонно и неограниченно возрастающуюфункциюпотребления.

Таким образом, краткосрочный критерий, а именно критерий наименьшего по модулю ускорениявдоль кривой добычм (3a) можетпротиворечитьдолгосрочнымцелям правительства, связанными с устойчивым экономическим развитием [4].

2.2.2. Критерийминимального «шока» наВВП

Параметр d находим, решаязадачу (3b) численно: d = 6.1. Тогда b = -0.023, c = 0.015.

Подставляя полученные значения, получаем r(t) и A(t), изображенные на Рис.8 и Рис.9 соответственно.

Рис. 8. Траекториядобычинефтидля

рациональной кривой (млрд. тонн/год)-(3b). Рис. 9. Изменениетемповдобычинефтивдоль рациональной кривой (млрд. тонн/год²)-(3b).

Таккак d = 6.1 < 8, топотреблениевозрастаетвдолгосрочномпериоде (Рис. 10).

(9)

Рис. 10. Возрастающеепотреблениевдольрациональнойкривой.

Таким образом, критерий (3b) более адекватно отражает краткосрочные цели правительства и не противоречит долгосрочным целям по достижению устойчивого неубывающегопотребления.

3. Построение траекторий с двумя параметрами

3.1. КриваяХабберта

Данная кривая основана на подходе Хабберта [8] к построению моделей для прогнозирования темпов добычи нефти. Обзор литературы и примеры ее использования можнонайти, например, в [1]. Криваяописываетсяследующимвыражением:

( )

¹

( ( ) )

^,

2

max max

t t b ch t P

P = + −

где ^P

( )

^t ⁻годовой объём добычи нефти,

max −

max,t

P максимальный обьём добычи и соответствующий год,

−

b параметр наклона кривой.

Недостатком модели Хабберта является то, что она не учитывает экономические и политические факторы, которые и определяют, добывается ресурс или нет. Эти недостатки могут приводить к достаточно большим погрешностям при решении задач прогнозирования [6].

Рассматриваетсятраекториядобычинефтикакфункция

[

⁰^,

)

^,

(

⁰^,

)

^,

)), ( ( 1

)) ( 1 ) (

( ⁰ ∈ ∞ ∈ ∞

− +

−

= + b c

b t c ch

cb ch t r

r а её производная ( )

dt t

dr как ускорение добычи

[

∞

)

∈

(

∞

)

− ∈ +

−

− +

= , 0, , 0,

))) ( ( 1 (

)) ( ( )) ( 1 ) (

( ⁰ ₂ b c

b t c ch

c b t c sh cb ch t r

A (для выполнения ()→−0

∞

→ t

t

A ).

Известно, что A(0) = A0, то есть , ) ( 1

) (

0

0 A

cb ch

c cb sh

r =

+ что позволяет выразить b:

( ) ( )

⁼

+chcb c cb sh r 1

0

( )

(

+

)

⁼

−

2 2 0

1 1 cb ch

cb ch c

r

( )

^⎟^⎠⁼

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

−

2 2 2 2

1 1

0

0 cb

ch cb c

sh cb r

ch cb ch c

r ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛cb c th r⁰ 2

. 1

1 ² ₀

2 2 2

0 e c e A

r

cb cb

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

= ^⎟^⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

(10)

Следовательно, r0⁽e^cb −¹⁾c= A0

(

e^cb +¹

)

или e^cb

(

r0c−A0

)

= A0 +r0c^, что можно записать как ,

) (

)

(A₀ r₀c A₀ r₀c

e^cb = + − + итогда .

ln

0 0

0

0 c

A c r

c r

b A ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= +

Подставляя b в r(t), получим

( )

, ln

1 ) 2

(

0 0

0 0 2 2

0 2 0

3 2 0

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

− + +

+

−

=

c r A

c r ct A

ch c

r A

c t r

r тогдаусловие (2) имеетвид:

( )

( ) ( )

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

−

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

+ =

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

− +

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

− + +

−

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

− + + +

−

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

−

− + + +

−

∞

=

∞

=

∞

∫

2 ln 1

2 ln 1 2

2 ln 2 2

) (

2 ln 2

2 ln

2

)) ln(

( 1 ))

ln(

( 1

2

0 0

0 0 2

0 2 0

0 0

0 0 3

0

0 0 0

0 0 2

0 2 0

0 0

0 0 3

0

0 2

0 2 0

0 0

0 0 3 2

0

0 0

0 0 2

2 0 2 0

3 2 0

0

0 0

0 0 2 2

0 2 0

3 2 0 0

0 0

0 0 2 2

0 2 0

3 2 0

c r A

c r A th c r A

c r A

c r A th c r

c r A

c r A ct th

th c r A

c r A

c r A ct th

th c r

c r A c

c r A

c r ct A

th c r dt c r A

c r ct A

ch c r A

c r

dt c r A

c r ct A

ch c

r A

c dt r

c r A

c r ct A

ch c

r A

c r

t

( ) ( ) (

⁻ ⁺

)

⁼

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

+ +

= − +

−

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

−

− 2

0 2 0

0 0

0 0 3

0

2 0 2 0

3 0 2

0 2 0

0 0

0 0 3

0 2

ln 2

2 2

ln 2

c r A

c r A th

c r

c r A

c r c

r A

c r A

c r A th

c r

(11)

( ) ( )

_⎟⎟^⎟⁼

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + −

+

= −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ + −

+

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

− +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

1 1 1

2

1 1 1

2

0 0

ln ln

2 0 2 0

3 0

2 ln

* 2

2 ln

* 2

2 0 2 0

3 0

c r A

e e c

r A

c r

e e c

r A

c r

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

^.

2 2

2 1 2 2

1 1 2 1

0 0 0

2 0 0

0 0 0

0 0 2 0

2 0 2 0

0 2 0 2

0 2 0

3 0 0

0 2

0 2 0

3 0

0 0

2 0 2 0

3 0

A S c r

r A

c r A c r

A c r r

c r A

A r c

r A

c r c

r A c

r A

c r c

r A

c r A

c r A c

r A

c r

− =

− = +

= +

+ = + −

+

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

− +

+ −

− + + +

= −

Из последнего равенства находим с = ² _.

0 0

0 0 2 0

r S

A S

r + Используя данные о мировой добычеизапасахнефти, получаем b = 0.74, c = 0.063,

( )

¹

(

⁰^.⁰⁶²⁸ ⁰^.⁷⁴¹⁵

)

^,

212 . 8

−

= +

t t ch

r

( ) ( )

( )

(

¹ ⁰^.⁰⁶²⁸ ⁰^.⁷⁴¹⁵

)

^.

7415 . 0 0628 . 0 516 . 0

− 2

+

− −

= ch t

t t sh

A

Траекториядобычинефти r(t) вдолькривойХаббертаизображенанаРис.8. Приэтом Amin= -0.09 (по абсолютной величине превышает предыдущие) в момент времени t = 2036.7, rmax = 4.106 при t =202.6. Последние 2 значения указывают, что величина пика большеионнаблюдаетсяпозднеепосравнениюспредыдущимикривыми.

Рис.11. Добыча нефти вдоль кривой Хабберта

(млрд.тонн/год).

Рис.12. Изменение темпов добычи нефти вдоль кривойХабберта (млрд.тонн/год²).

Теперь исследуем поведение потребления. Для этого сделаем некоторыевыкладки, на которые будем ссылаться далее. В общем случае

).

( r

r k q q dt f dr dt f dk dt dq

r k

&

+

= +

= α

β (8)

Кроме того,

( )

⁼

( )

⁼

( )

⁼

(

⁺

₍

⁻

₎ )

⁼

=

= ⁻ ⁻ ⁻

−

r k r r

k dt k

r k d dt

r q d dt

f&_r df^r β β β ^α ^β βα ^a 1& ^β 1 β ^β 2 ^α&

1

(12)

2 . r

q r r

r f r

k

f_k & _r& β&

β ⎟⎟⎠−

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

Разделивобечастиэтогоравенствана r f_r βq

= иучитывая, что , k f_k αq

= получим

].

[ )

1 ( )

1 (

2 2

⋅

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

k k

r

r r

qr f r k q

f k qr

r k q

k k

q

r r r

r k

k q

r q r r

r f kr

k r q

f

r q r r

r f kr

k q f

dt df

β α β α

α

β α β

β β α

&

Для кривой Хартвика ][⋅ =1, так как для неё выполняется правило Хотеллинга

k.

r

r f f

f& = Если [⋅]< 1, значит f&_r f_r < f_k, и, учитывая ),k&=βq(t получаем, что

(

⁻¹

)

⁼ ⁺⁽ ⁻¹⁾ ^<¹

+ qr

r k qr

r k q

k

β α α β

β ^& ^&

&

или kr&αqr>−1, чтодаетнам

k . q r

r α

<

− &

С учетомпоследнего неравенства из (8) получаем q&>0, и, наоборот, если[⋅]> 1, то ,

<0

q& то есть sgn(q& ) = sgn{1-[⋅]}. А значит, чтобы проверить поведение функции

потребления с(t) = (1-β)q(t) надо исследовать выражение, находящееся в квадратных скобках в (5).

ИспользуяправилоХартвика, перепишем

qr r k q

k

β α^&

&

) 1 ( −

− как

. ) 1

( qr

r k β α

β− − ^& (9)

Так как нас интересует потребление в долгосрочном периоде (на бесконечном интервале времени), где k, α, r, (1-β), q >0, a r&<0, мы можем записать (9) в виде

qr r k β α

β+(1− ) ^& или, учитывая, что q = k^αr^β, как

(

1

)

⁽ ⁾ .

) 1 ( 1

β α β

α

β k r

r⁻ ⁺ ⁻ &

− +

Тогда

{ [ ] } ( )

⁽ ^{) (} ⁾ =

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + −

−

=

⋅

−

− +

−

β α β

α

β k r

r ¹ ¹ &

1 1

sgn 1

sgn

(

¹

)

¹ ⁽ ^{) (} ⁾ ^sgn ¹ ⁽ ^{) (} ⁾ ^,

sgn

1 1 1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

=

− +

−

− +

−

α β α

β k r r k r

r & &

так как

(

¹⁻β

)

^>⁰^, то

( ) ( )

. 1

sgn sgn

1 1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

=

− +

−

α

β k r

c r &

& (10)

То есть, чтобы исследовать поведение функции потребления на бесконечности, нужно найти к чему стремится дробь в уравнении (10) при t → ∞. Причем, так как k& = βq

> 0, то k^1−α(0 < (1-α) < 1) при t → ∞ такжестремитсякбесконечности. ДлякривойХабберта lim

→

t ∞

( )

r t ⁽^{− −}¹ ^β⁾ dr( )t dt =

(13)

= _lim

→

t ∞

r0(1 + ch(c b))sh(c(t − b))c⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

r0(1 + ch(c b)) +

1 ch(c(t − b))

(− − 1 β)

(1 + ch(c(t − b)))²

=

= _lim

→

t ∞

( )

sh c(t − b) c⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

r0(1 + ch(c b)) +

1 ch(c(t − b))

(−β)

+

1 ch(c(t − b))

=

= _lim

→

t ∞

( )

sh c(t − b) c +

1 ch(c(t − b)) lim

→

t ∞

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

r0(1 + ch(c b)) +

1 ch(c(t − b))

(−β)

.

К первому из пределов применим правило Лопиталя. Получим, lim

→

t ∞

( )

sh c(t − b) c +

1 ch(c(t − b))= lim

→

t ∞

cch(c(t− b))

( )

sh c(t − b) =lim

(

cth

(

c

(

t b

) )

c

)

c.

t − =

∞

→

Так как 0 < β < 1/2, то второй предел будет равен ∞. Следовательно, lim

t → ∞

( )

r t ⁽^{− −}¹ ^β⁾ dr( )t

dt ⁼^с^{⋅ ∞ = ∞ (}^так^как^с^>0).^То^есть^,^в^данном^случае⁽¹⁰⁾ ^примет^вид sgn{1- ∞ ⋅ ∞ / α}=-1. А этоозначает, что потребление c(t), также как и производство q(t) постепенно будут снижаться, асимптотически приближаясь к нулю.

Дляпостроения численнойоценки функции c(t) =(1-β)k^αr^β, нужнонайти k(t), решив дифференциальноеуравнение

( )

k

( ) ( )

t r t dt

t

dk _α _β

β

= (11)

или

( )

^r

( )

^t ^dt

t k

t

dk _β

α =β⋅ Что дает нам

∫ ( )

⁺

+ =

−

+

−

1 .

1

const dt t

k ^α r_β

α β

Решениевобщемвидеможнозаписатькак k^1−α = β(1−α)I(t) + k01−α

(12) где

I(t) = ∫r(t)^βdt, (13)

( )

¹

[ ]

0 ¹^/⁽ ¹⁾^, 0

0 0 0

−

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

α

α β

β r ^r

q A q

k &

а

(

q& q

)

0 - процентное изменение ВВП в начальный момент времени. Для кривой Хартвика

(

q& q

)

₀ =⁰^. Для остальных рассматриваемых кривых

(

q& q

)

₀ =⁰^.⁰⁴ [3]. К сожалению, для

функцииХаббертаинтегралв (13) невыражаетсявэлементарныхфункциях, поэтомудля построения c(t) использовались численные процедуры программы Maple.

График на Рис.13 для траектории Хабберта показывает вначале возрастающее потребление, достигающее своего наибольшего значения cmax = 1.211, а затем асимптотическистремящеесякнулю.

(14)

Рис.13. Убывающее в долгосрочном периоде потребление вдоль кривой Хабберта.

Для сравнения эффективности (в смысле уровня потребления) вдоль устойчивых траекторий исчерпания, описываемых разными функциональными выражениями, исследуем поведение потребления вдоль кривых, задаваемых функциями плотности непрерывныхраспределений.

3.2. Траектория 1

3.2.1. Характеристикикривойисчерпания

Даннаятраекторияописываетсяфункциейплотностинормальногораспределения

( )

⁽ ⁾ , , , 0,

2

1 ²

2

2 ∈ ∈ >

=

− −

σ π ξ

ϕ σ ^σ

ξ

R R X e

X

где ξ −математическоеожидание, σ² −дисперсия, X −случайнаявеличина. Траектория описывается функцией вида

( )

(

0,

)

, . ,

2 2

0e c b R

r t

r ^c

t b b

∈

∞

∈

= ^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − −

( )

⁽ ⁾ 2

( )

,

(

0,

)

, .

) (

2 2

0 c b R

c t e b

dt r t t dr

A ^c

t b b

∈

∞

⎟⎟ ∈

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

=

= ^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − −

Изусловий (1)-(2) находимпараметры b, c.

Условие (1): 2 , )

0

( ₀ ₀

c r b A

A = = откуда .

2 ₀

0

r

b= cA Подставив b в r(t),получим

2 . 4

exp )

(

2

0 0 2

0 2 2 0

0 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

= t c

r c A r

c r A

t r