Abiturvorbereitung Wachstum/Aufg. „Infusion“ S. 1 von 2
Aufgabenstellung
Ein Patient erhält per Tropfinfusion ein Medikament; zu Beginn der Infusion war das Medikament im Körper des Patienten noch nicht vorhanden.
Durch die Infusion gelangen pro Minute 4 ml des Medikaments in das Blut des Patienten. Das Medikament wird durch die Niere abgebaut; die Ausscheidungsrate beträgt dabei 5% des gerade vorhandenen
Medikaments.
a) Stelle eine Differentialgleichung für die im Blut des Patienten vorhandene Menge des Medikaments auf . b) Von welchem (Dir bekannten) Typ ist die Differentialgleichung?
c) Gib eine Lösung der Differentialgleichung an.
d) Skizziere den Verlauf der Lösung.
e) Wie groß ist die momentane Änderungsrate, wenn das Blut 60 ml des Medikaments enthält?
Lösungen
a
)Ansatz: m(t) sei die Funktion, die beschreibt, welche Menge des Medikaments sich nach t Minuten im Blut des Patienten befindet.
Der Zuwachs durch die Infusion beträgt Z(t) = 4 ml / Min.
Die Ausscheidungsrate A(t) beträgt A(t) = 0,05 • m(t) Die Änderungsrate für m(t) ist Z(t) - A(t) also:
m'(t) = 4 – 0,05 • m(t) b)
Durch Ausklammern erhält man:
m'(t) = 0,05 • ( 4
0,05 - m(t) )
m'(t) = 0,05 • ( 80 – m(t) ) Dies ist eine Differentialgleichung für beschränktes Wachstum (s.u.) mit k=0,05 und S=80.
c)
Lösung der Differentialgleichung ist daher:
m(t) = 80 − 80 e−0,05 t d)
08.10.2015
Abiturvorbereitung Wachstum/Aufg. „Infusion“ S. 2 von 2
e)
Sei
t
60 die Minutenzahl, wenn 60 ml des Medikaments im Blut sind.Dann erhält man durch Einsetzen in die Differentialgleichung aus b) : m'(
t
60 ) = 0,05 • (80 - 60 ) = 1Die Änderungsrate zu dem Zeitpunkt ist also 1.
____________________________________________________________________________
Generell lautet die Formel für beschränktes Wachstum:
f (x) = S − c ⋅ e
−kxk > 0 , c = S - f(0)
und es gilt die Differentialgleichung:
f '(x) = k ⋅ ( S − f (x) )
08.10.2015
